Td 5 : Endomorphismes des espaces euclidiens - LMPT

Université François Rabelais de Tours
Département de Mathématiques
Td 5 : Endomorphismes des espaces euclidiens
Algèbre Semestre 4
Exercice 1
Soit E=Mn(R), où n∈N∗, muni du produit scalaire : hA, Bi= Tr(tA.B).
Déterminer l’adjoint f∗de l’endomorphisme fde Edans les deux cas suivants :
1. f(A) =tA.
2. f(A) = M.A où Mest une matrice fixée de E.
Solution. 1. On a
hA, f(B)i=hA, tBi
= Tr(tA·tB)
= Tr(t(B·A))
= Tr(B·A)
= Tr(A·B)
= Tr(t(f(A)) ·B)
=hf(A), Bi
et donc l’adjoint de fest f.
2. On a
hA, f(B)i=hA, M ·Bi
= Tr(tA·M·B)
= Tr(t(tM·A)·B)
=hf∗(A), Bi
où f∗(A) = tM·A.
Exercice 2
Soient fet gdes endomorphismes symétriques d’un espace euclidien (E, h., .i).
Prouver l’équivalence : (g◦fest symétrique) ⇔(g◦f=f◦g).
Solutions. On suppose que g◦fest symétrique. Pour tout x, y ∈Eon a
hx, g ◦f(y)i=hg◦f(x), y.
De, comme fet gsont symétriques, on a
hx, g ◦f(y)i=hg∗(x), f(y)i=hf∗◦g∗(x), yi=hf◦g(x), yi.
Ceci étant vrai pour tout x,y, on a f◦g=g◦f.
Récirpoquement, si g◦f=f◦galors pour tout couple (x, y)∈E2, on a
hx, g ◦f(y)i=h(g◦f)∗(x), yi=hf∗◦g∗(x), yi=hf◦g(x), yi=hg◦f(x), yi.
Ainsi f◦gest symétrique.

Exercice 3
Soit fun endomorphisme d’ un espace euclidien (E, h., .i).
1. Prouver l’équivalence des quatre assertions suivantes :
(a) f∗=−f;
(b) ∀x∈E, hx, f(x)i= 0 ;
(c) ∀(x, y)∈E2,hf(x), yi=−hx, f (y)i;
(d) la matrice représentant fdans une base orthonormale de Eest antisymétrique.
Un endomorphisme fvérifiant l’une de ces quatre propositions est dit antisymétrique. On note A(E)
l’ensemble des endomorphismes antisymétriques de E.
2. Etablir que A(E)est un s.e.v. de L(E), en donner sa dimension.
3. Prouver que le spectre d’un endomorphisme antisymétrique de Eest soit ∅soit réduit à {0}.
En déduire qu’un endomorphisme antisymétrique non nul de En’est jamais diagonalisable.
4. Soit f∈A(E). Prouver que : Im(f) = (ker(f))⊥.
Solution. (a) =⇒(b). On suppose que f∗=−f. Soit x∈E. On a :
hx, f(x)i=hf∗(x), xi=h−f(x), xi=−hx, f(x)i.
Ainsi, hx, f(x)i= 0.
(b) =⇒(c). Soient x, y ∈E. D’après (b), on a
0 = hf(x+y), x +yi=hf(x), xi
|{z }
=0 d’après (b)
+hf(x), yi+hf(y), xi+hf(y), yi
|{z }
=0 d’après (b)
Ainsi, hf(x), yi=−hx, f(y)i.
(c) =⇒(d). Soit B= (bi,j)la matrice de fdans une base orthonormale (e1,...,en). On a
f(ej) =
n
X
i=1 hf(ej), eiiei=⇒bi,j =hf(ej), eii
Or bi,j =hf(ej), eii=−hej, f(ei)i=−bj,i d’où le résultat.
(d) =⇒(a). La matrice B∗de f∗dans une base orthonormale est la transposée de la matrice Bde f
dans cette même base. La matrice de fétant antisymétrique, on a B∗=tB=−Bet donc f=−f∗.
2. L’endomorhisme nul est évidemment dans A(E. Soient f, g ∈A(E)et λ∈R. On a alors (f+λg)∗=
f∗+λg∗=−f−λg et donc f+λg ∈A(E). Ainsi, A(E)est bien un espace vectoriel.
3. Soit λune valeur propre (s’il en existe) de f∈A(E)et xun vecteur propre associée. On a alors
0 = hf(x), xi=λhx, xi
et comme hx, xi>0on a nécessairement λ= 0. Ainsi, fne peut avoir que 0comme valeur propre.
4. On sait que
dim(Im f) = dim E−dim ker fet dim ker f⊥= dim E−dim ker f
il suffit donc de montrer une inclusion pour avoir légalité souhaitée. Soit f(x) = y∈Im fet z∈ker f.
On a
hy, zi=hf(x), zi= 0hx, f (z)i=−hx, 0i= 0
donc y∈ker f⊥et Im f⊂ker f⊥.

Exercice 4
Soit E=R2[X]muni du produit scalaire : hP, Qi=Z1
0
P(t).Q(t)dt.
A tout Pde E, on associe le polynôme : f(P) = (X2−X)P′′ + (2X−1)P′= ((X2−X)P′)′.
1. Prouver que fest un endomorphisme symétrique de E.
2. Déterminer la matrice Areprésentant fdans la base canonique B0de E.
Qu’en déduisez-vous pour B0?
Solution. On va montrer que pour tout P, Q ∈R2[X], on a hf(P), Qi=hP, f (Q)i. On a par intégration
par partie :
hf(P), Qi=Z1
0
((t2−t)P′)′(t)Q(t)dt
=(t2−t)P′(t)Q(t)1
0−Z1
0
(t2−t)P′(t)Q′t
=−Z1
0
(t2−t)P′(t)Q′t
et
hP, f(Q)i=Z1
0
P(t)((t2−t)Q′)′(t)dt
=P(t)(t2−t)Q′(t)1
0−Z1
0
P′(t)(t2−t)Q′(t)dt
=−Z1
0
(t2−t)P′(t)Q′(t)dt
d’où le résultat.
2. On trouve
A=
0−1 0
0 2 −4
0 0 6 
La matrice An’étant pas symétrique la base B0n’est pas une base orthonormale pour le produit
scalaire h·,·i.
Exercice 5
Soient (E, h., .i)un espace euclidien de dimension n, où n∈N∗, et f∈O(E).
1. Justifier que : Sp(f)⊂ {−1,1}.
2. Prouver que si Fest un s.e.v de E, alors f(F⊥) = (f(F))⊥.
Solution. 1. Soit λune valeur propre (s’il en existe) de f∈A(E)et xun vecteur propre associée. On
a alors
hx, xi=hf(x), f(x)i=λ2hx, xi
et donc puisque hx, xi>0on a λ2= 1 ce qui implique λ=±1.
2. Puisque fest orthogonal, fest inversible. Ainsi si Gest un s.e.v de Ede dimension kalors f(G)
est un s.e.v de Ede dimension k. On a donc
dim f(F⊥) = dim F⊥= dim E−dim Fet dim f(F)⊥= dim E−dim f(F) = dim E−dim F.

Pour prouver légalité demandée, il suffit donc de prouver une includion. Montrons que f(F⊥)⊂f(F)⊥.
Soit x∈F⊥et f(y) = z∈f(F). On a alors
hf(x), zi=hf(x), f(z)i=hx, zi= 0
car x∈Fet y∈F.
Exercice 6
1. Déterminer les réels a,b,c,dtels que : A=1
7
6 3 a
−2 6 b
3d c 
∈O+
3(R).
2. Déterminer les matrices réelles orthogonales et triangulaires d’ordre 2, puis d’ordre 3.
Généraliser.
Solution. 1. La matrice Aest orthogonale si et seulement ses colonnes forment une b.o.n de R3.
On désigne par Cila iième colonne de A. On doit donc avoir
C1⊥C2⇐⇒ 18 −12 + 3d= 0
⇐⇒ d=−2
C1⊥C3⇐⇒ 6a−2b+ 3c= 0
C2⊥C3⇐⇒ 3a+ 6b+dc = 0
⇐⇒ 3a+ 6b−2c= 0.
De plus, si A∈O+
3(R)alors det(A) = 1 :
det(A) = 1
73
6 3 a
−2 6 b
3d c 
=1
73
(−14a+ 21b+ 42c) = 1
72
(−2a+ 3b+ 6c) = 1.
Finalement, on a
A∈O+
3(R) =⇒
6a−2b+ 3c= 0
3a+ 6b−2c= 0
−2a+ 3b+ 6c= 49
=⇒
a=−2
b= 3
c= 6
Réciproquement, on vérifie facilement que si A=1
7
6 3 −2
−2 6 3
3−2 6 
alors tA·A=I3. Ainsi
A∈O+
3(R)si et seulement si a= 2, b = 3, c = 6, d =−2.
2. Soit A=
a b c
0d e
0 0 f
∈M2(R). On sait que A∈O3(R)ssi ses colonnes forment une b.o.n de R3.

De plus si A∈O3(R)alors det(A) = ±1. On a donc
det(A) = ±1⇐⇒ a·d·f=±1
=⇒a, d, f 6= 0
C1⊥C2⇐⇒ a·b= 0
⇐⇒ b= 0 car a6= 0
C1⊥C3⇐⇒ a·c= 0
⇐⇒ c= 0 car a6= 0
C2⊥C3⇐⇒ d·e= 0
⇐⇒ e= 0 car d6= 0
||C1|| = 1 ⇐⇒ a2= 1
⇐⇒ a=±1
||C2|| = 1 ⇐⇒ d2= 1
⇐⇒ d=±1
||C3|| = 1 ⇐⇒ f2= 1
⇐⇒ f=±1
On a donc montrer que si Aest orthogonale et triangulaire, alors Adoit être une matrice diagonale
avec des 1ou des −1sur la diagonale. Réciproquement, toutes matrices diagonales avec ±1sur la
diagonale est orthogonale.
On géneralise facilement au cas de la dimension n: les matrices triangulaires et orthogonales d’ordre
nsont les matrices diagonales avec ±1sur la diagonale.
Exercice 7
Soit Aune matrice de Mn(R)symétrique et orthogonale.
1. Caractériser géométriquement l’endomorphisme fde Rncanoniquement associé à A.
2. Dans les deux cas suivants, caractériser géométriquement l’endomorphisme fide R3
canoniquement associé à Ai:A1=1
9
−8 4 1
474
1 4 −8
et A2=1
3
−1 2 2
2−1 2
2 2 −1
.
Solution. 1. Puisque Aest symétrique, Aest diagonalisable dans une b.o.n de Rn. Puisque Aest
orthogonale, le spectre de fest inclu dans {1,−1}. Ainsi, il existe une b.o.n dans laquelle la matrice de
fest diagonale avec ±1sur la diagonale. On voit donc que fest un symétrie orthogonale par rapport
au s.e.v E1={u∈Rn|f(u) = u}.
2. Un simple calcul montre que tA1·A1=I3et comme A1est symétrique, on en déduit que f1est une
symétrie orthogonale par rapport au s.e.v F={X∈R3|A1.X =X}.
Soit X=
x
y
z
. On a
A1.X =X⇐⇒
−8x+ 4y+z= 9x
4x+ 7y+ 4z= 9y
x+ 4y−8z= 9z