eléments de théorie des groupes et symétries quantiques

D. BERNARD, Y. LASZLO et D. RENARD
ELÉMENTS DE THÉORIE
DES GROUPES ET
SYMÉTRIES QUANTIQUES

D. BERNARD, Y. LASZLO et D. RENARD
1er septembre 2011

ELÉMENTS DE THÉORIE DES
GROUPES ET SYMÉTRIES
QUANTIQUES
D. BERNARD, Y. LASZLO et D. RENARD

TABLE DES MATIÈRES
Introduction..................................................... 1
Auteurs......................................................... 2
I. Groupes, actions de groupes et représentations........... 3
I.1. Un exemple fondamental et quelques définitions. . . . . . . . . . . . . 3
I.2. Exemples de groupes et d’actions de groupes. . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.3. Le groupe symétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.4. Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I.5. Représentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.6. Opérations sur les représentations : sommes directes et
produits, produits tensoriels, représentation contragrédiente 25
I.7. Décomposition canonique et règles de sélection.. . . . . . . . . . . . . . 31
I.8. Représentations des groupes topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
I.9. Mesure de Haar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
II. Groupes linéaires et leurs algèbres de Lie................ 39
II.1. Le groupe GL(n, K)........................................ 39
II.2. L’application exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II.3. Groupes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II.4. Connexité.................................................. 45
II.5. Homomorphismes de groupes linéaires. Revêtements. . . . . . . . 49
II.6. Représentations de dimension finie des groupes linéaires
connexes................................................. 53