L`ÉQUATION DIFFERENTIELLE y ′ = ay + b Une égalité

L’ÉQUATION DIFFERENTIELLE y ′ = a y + b
Une égalité faisant intervenir une fonction inconnue d’une variable réelle x appartenant à un intervalle I de ,
et/ou certaines de ses dérivées successives, est appelée une équation différentielle.
Elle est dite du n-ième ordre lorsque l’égalité comporte la dérivée n-ième de la fonction, mais pas de dérivées
d’ordre supérieur.
Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I de , c’est déterminer toutes les fonctions f définies et
dérivables sur I, au moins jusqu’à l’ordre de l’équation, vérifiant la relation donnée par l’équation, pour tout
réel x de I.
Une fonction solution est appelée une solution particulière de cette équation.
Pour une équation différentielle du premier ordre, on peut imposer la valeur en un réel x0 de I de la solution
particulière cherchée : cette condition est appelée la condition initiale.
Nous allons résoudre sur  l’équation différentielle y ′ = a y + b , où a et b sont des réels donnés, c’est à dire
chercher toutes les fonctions f définies et dérivables sur  telles que , pour tout réel x, f ′ (x) = a f (x) + b.
Elle est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants (a et b).
L’équation y ′ – a y = 0 est appelée équation différentielle associée sans second membre.
Théorème 1 Soit a un réel.
 Les fonctions solutions de l’équation différentielle y ′ = a y sont les fonctions fk définies sur 
par fk (x) = k e a x , avec k  .
 Pour tous réels x0 et y0 , l’équation différentielle y ′ = a y admet une unique solution f vérifiant
la condition initiale f (x0) = y0 .
Exercice 1 Résoudre les équations différentielles :  2 y ′ – 5 y = 0 ;   
  .
Théorème 2 Soit a et b deux réels, avec a ≠ 0.
 Les fonctions solutions de l’équation différentielle y ′ = a y + b sont les fonctions fk définies sur 
par fk (x) = k e a x – 
 , avec k  .
Solution de l’équation sans second membre + Solution particulière (constante)
 Pour tous réels x0 et y0 , l’équation différentielle y ′ = a y+ b admet une unique solution f vérifiant
la condition initiale f (x0) = y0 .
Les solutions de l’équation y ′ = b sont les fonctions fk définies sur  par fk (x) = ……
Exercice 2 Résoudre l’équation différentielle 2 y ′ + 4 y = – 3 , puis déterminer la solution dont la
représentation graphique dans un repère donné passe par le point A (1 ; 2).
Exercice 3 Soit les équations différentielles (E) y ′ + 2 y = 4 x + 3 et (E′) y ′ + 2 y = 4.
1) Montrer que si la fonction f est solution de l’équation (E) alors f ′ est solution de l’équation (E′).
2) Résoudre l’équation différentielle (E′). En déduire les solutions de l’équation (E).
3) Déterminer la solution g de l’équation (E) telle que 0 soit un antécédent de 1 par g.

Démonstration du théorème 1
  Soit la fonction fk définie sur  par fk (x) = k e a x , avec k  .
fk est dérivable sur  et, pour tout réel x, fk ′ (x) = ……
Il reste à démontrer ……
 Soit f une solution de l’équation différentielle y ′ = a y .
Soit la fonction g définie sur  par g (x) = e – a x f (x) .
La fonction g est dérivable sur  ……
Pour tout réel x, g′ (x) = ……
 f (x0) = y0  ……
Démonstration du théorème 2
y ′ = a y + b  y ′ = a ( y + b
a )
On pose z = y + 
 . On a z ′ = ……
Résoudre l’équation (E) revient à résoudre l’équation (E ′) ……
D’après le théorème 1, les solutions de l’équation (E ′) sont les fonctions z définies sur  par
z (x) = k e a x , avec k  .
z (x) = k e a x  ……