Chapitre 13 Dénombrement et probabilité.

PCSI 1 - 2015/2016 www.ericreynaud.fr
Chapitre 13
Dénombrement et probabilité.
1 Points importants 3 Questions de cours 6 Exercices corrigés
2 Plan du cours 4 Exercices types 7 Devoir maison
5 Exercices
1

Chap 13 Dénombrement et probabilité.
Et s’il ne fallait retenir que neuf points ?
1. Savoir dénombrer un ensemble. Mis à part la méthode directe, il existe deux méthodes très
efficaces pour dénombrer un ensemble :
a) Trouver une bijection entre l’ensemble que l’on souhaite dénombrer Eet un que l’on sait
dénombrer F. Alors, on a |E|=|F|
b) Casser l’ensemble que l’on souhaite dénombrer en morceaux que l’on sait dénombrer.
2. Les p-listes avec répétitions. Soit Eun ensemble de cardinal n:
a) Il y a npp-listes de N.
b) il y a autant de p-listes de Eque d’applications d’un ensemble Fde cardinal pdans E. Ainsi :
F(F, E) = |E||F|
c) On peut en déduire que P(E)=2n
3. Les arrangements. Soit Eun ensemble de cardinal n:
a) Si 0≤p≤n,ilya Ap
n=n!
(n−p)! arrangements d’ordre pde Eet 0 sinon.
b) Ap
ncorrespond au nombre de façons de choisir péléments parmi net ce en tenant compte de
l’ordre.
c) Il y a Ap
napplications injectives d’un ensemble à péléments dans un ensemble à néléments.
En particulier, si n=p,ilyan!bijections.
4. Les combinaisons. Soit Eun ensemble de cardinal n:
a) Si 0≤p≤n,ilya Cp
n=n
p=n!
p!(n−p)! combinaisons d’ordre pde Eet 0 sinon.
b) n
pcorrespond au nombre de façons de choisir péléments parmi net ce sans tenir compte
de l’ordre.
c) n+ 1
p=n p+n p−1(Propriété de Pascal).
d)
n
X
k=0 n
k= 2n(C’est la formule de Newton pour a=b= 1)
e) Il faut savoir reproduire le triangle de Pascal pour connaître les valeurs de n
psi net p
petits (petits étant défini par votre courage).
1

5. Leibnitz / Newton. Soient aet bréels, nun entier naturel non nul, fet gdes fonctions
dérivables nfois d’un intervalle Ide Rdans R, alors :
(a+b)n=
n
X
k=0
Ck
nakbn−k=
n
X
k=0
Ck
nan−kbk(f×g)(n)=
n
X
k=0
Ck
nf(k)g(n−k)=
n
X
k=0
Ck
nf(n−k)g(k)
Attention à ne pas confondre ces deux propriétés. L’une est une somme, l’autre un produit, l’une
est une puissance, l’autre une dérivée. . .
6. Quelques notions sur les probabilités.
a) Savoir que pour étudier un événement aléatoire, il faut déterminer :
– un univers Ω. c’est un ensemble représentant les résultats possibles de l’expérience. Cette
année on n’étudiera uniquement les expériences où l’univers est finie.
– un ensemble d’événements : dans le cas où l’univers est fini, l’ensemble des événement est
toujours P(E).
– une probabilité : c’est une application de l’ensemble des événements (P(E)) vers [0,1]
vérifiant quelques propriétés.
b) Dans le cas où Ωest fini (toujours cette année), pour calculer la probabilité d’un événement, il
suffit d’additionner les probabilités des événements élémentaires qui composent cet événement,
c’est-à-dire pour tout événement Aon a :
p(A) = X
x∈A
p({x})
c) Dans le cas d’une probabilité uniforme, on a pour tout événement A:
p(A) = Nombre de cas favorables
Nombre de cas total
2

Chap 13 Dénombrement et probabilité.
Plan du cours
I. Les p-listes. ...............................................................................2
1/ Les p-listes avec répétition. ........................................................2
2/ Les p-listes sans répétition ou arrangements. ....................................2
II. Combinaisons............................................................................3
1/ Définition............................................................................3
2/ Calcul du nombre de combinaisons................................................3
3/ Propriétés et triangle de Pascal. ..................................................3
4/ Binôme de Newton / Formule de Leibniz. .......................................4
III. Méthodes générales de dénombrements ...........................................5
1/ Trois méthodes classiques de dénombrements....................................5
2/ Dénombrement de P(E)de 3 manières ...........................................5
3/ Dénombrement et applications. ...................................................5
4/ Exercies de dénombrement ........................................................5
IV. Probabilité ..............................................................................5
1/ Univers...............................................................................5
2/ Événements..........................................................................5
3/ Probabilité...........................................................................5
4/ Expression en fonction des probabilités des événements élémentaires. ........5
5/ Le cas de la probabilité uniforme. ................................................5
1

Chap 13 Dénombrement et probabilité.
Questions de cours
1. Donner les formules avec les factorielles de Ap
net Cp n=n
p. (I, II)
2. Énoncer les formules de Newton et Leibniz. Vous en montrerez une sur les deux. (II)
3. Soient Eun ensemble de cardinal net pun entier naturel inférieur à n. Déterminer
le nombre de sous ensembles de Eayant exactement péléments.
(V)
4. Donner le cardinal P(E)en fonction de celui de E. Vous démontrerez votre résultat. (VI)
1