Chapitre 3 Proportionnalité

Chapitre 3
I.
Proportionnalité
Proportionnalité et produit en croix
1) Activité d’introduction
2) Notion de proportionnalité
Définition : Deux grandeurs sont dits proportionnels si on peut passer de l’une à
l’autre en multipliant par un même nombre non nul. Ce nombre est un coefficient de
proportionnalité.
Exemple :
Le prix d’une quantité de figues est proportionnel à sa masse.
Si 2,5 kg de figues coûtent 2 € alors
5 kg(le double) de figues coûtent 4 € (le double).
Définition : Un tableau de proportionnalité est un tableau à deux lignes dans lequel
on obtient les nombres d’une ligne en multipliant ceux de l’autre ligne par un même
nombre appelé coefficient de proportionnalité.
Exemple
1 2 3
5 10 15
On a un tableau de proportionnalité avec un coefficient de
proportionnalité de 5.
3) Quatrième proportionnelle et produit en croix
Activité :
Chez un fleuriste, le prix d’un bouquet de roses est proportionnel au nombre de fleurs qui le
composent. Un bouquet de trois roses coûte 3,75 €.
1) Pour calculer le prix x d’un bouquet de 11 roses, on peut dresser le tableau ci-dessous :
Nombre de fleurs 3
11
Prix en euros
3,75
x
a.
Justifier l’égalité
3,75
3
=
11
𝑥
.
b. En mettant les deux fractions au même dénominateur, monter que :
1
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Proportionnalité
3 × 𝑥 = 11 × 3,75.
On appelle cette égalité l’ « égalité des produits en croix ».
c. Quel est le prix d’un bouquet de 11 roses ?
d. Calculer le prix d’un bouquet de 23 roses.
e. Combien de roses peut-on acheter avec 18,75 € ?
Propriété :
Si un tableau est un tableau de proportionnalité, alors on a l’égalité des produits en
croix dans ce tableau.
a
b
Si le tableau est un tableau de proportionnalité, alors 𝑎 × 𝑑 = 𝑏 × 𝑐
c
d
Exemple1
Grandeur A
Grandeur B
1
1,2
2
2,4
Les grandeurs A et B sont proportionnelles.
On a :
1 × 2,4 = 2,4
1,2 × 2 = 2,4
Donc l’égalité des produits en croix.
L’égalité du produit en croix permet de calculer une quatrième proportionnelle
sans utiliser le coefficient de proportionnalité.
Exemple 2
2,5 kg de pommes coûtent 3 €. Combien coûtent 1,8 kg de pommes ?
Prix
Poids
3
2,5
X
1,8
2
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Proportionnalité
𝑥 = 1,8 × 3 ÷ 2,5
= 2,16 (Produit en croix)
1,8 kg de pommes coûtent 2,16 €.
Propriété :
S’il y a égalité du produit en croix, alors un tableau est de proportionnalité.
II.
Proportionnalité et représentation graphique
Activité
Propriété :


Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un
repère par des points alignés avec l’origine du repère.
Réciproquement, si une situation est représentée graphiquement dans un
repère par des points alignés avec l’origine du repère, alors c’est une situation
de proportionnalité
III Application de la proportionnalité
1) Vitesse moyenne
Définition :
La vitesse moyenne d’un mobile est le quotient de la distance d parcourue par la
durée t mise pour effectuer cette distance.
distance parcourue
3
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Proportionnalité
v = Error!
vitesse
moyenne
durée
Application1 :
Une voiture a parcouru 290 km en 3h30 min. Quelle fut sa vitesse moyenne en
Km/h ?
3h30min=3,5 h donc 𝑣 =
290
3,5
≈
83𝑘𝑚
ℎ
( 𝑜𝑢 𝑘𝑚. ℎ−1 )
Application2 :
Un avion vole à une vitesse moyenne de 800 km/h pendant 7h45 min. Quelle
distance parcourt-il ?
2) Conversion d’unités
Exemple
La vitesse moyenne du son est de 1200 km/h. Convertir en m/s.
1200000
1200 km = 1 200 000 m et 1h= 3600 s donc 𝑣 =
3600
≈ 333 𝑚/𝑠
Exemple :
La vitesse de la lumière est de 299 792 458 m/s. Quelle est sa vitesse moyenne en
km/h ?
1
299 792 458 m = 299 792,458 km ; 1 𝑠 = 3600 ℎ 𝑑𝑜𝑛𝑐
𝑑
𝑣=
𝑡
299 792,458
=
1
3600
= 1079252849 𝑘𝑚/ℎ
3) Pourcentages
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Proportionnalité
Définition : un pourcentage traduit une situation de proportionnalité.
𝑡
Le quotient 100, que l’on peut noter t %, se lit « t pour cent ».
Propriété :
Pour calculer t % d’une quantité, on multiplie cette quantité par
𝑡
100
Application 1
150 grammes de steak hachés contiennent 15 % de matière grasse. Calculer la
quantité de matière grasse.
Application2
Dans une classe de 30 élèves, 60 % des élèves pratiquent un sport.
Quel est le nombre de sportifs dans cette classe ?
Application3 :
Dans un collège de 550 élèves, 231 élèves sont externes.
Quel est le pourcentage d’externes dans ce collège ?
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