CHAPITRE VII FORMES DIFFÉRENTIELLES § 1. Formes

CHAPITRE VII
FORMES DIFF´ ERENTIELLES
§1. Formes multilin´eaires altern´ees
1. Formes p-lin´eaires altern´ees
Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K et soit p
un entier ≥0 . On appelle forme p-lin´eaire sur E une application de Epdans K qui est
une fonction K -lin´eaire de chacune des pcomposantes.
Remarque 1. — L’espace vectoriel des formes p-lin´eaires sur E est canoniquement isomorphe au
dual de l’espace vectoriel Tp(E) = E⊗p, et donc `a Tp(E∗) . Pour p= 0 , il s’identifie `a K .
Une forme p-lin´eaire ωsur E est dite altern´ee si ω(x1, . . . , xp) = 0 lorsque deux des
xisont ´egaux. Une telle forme est antisym´etrique : pour toute permutation σ∈Spet
tout (x1, . . . , xp)∈Ep, on a
ω(xσ(1), . . . , xσ(p)) = ε(σ)ω(x1, . . . , xp),
o`u ε(σ) est la signature de σ. Inversement, si K est de caract´eristique 6= 2 , toute forme
p-lin´eaire antisym´etrique sur E est altern´ee.
On note Altp(E) l’espace vectoriel des formes p-lin´eaires altern´ees sur E . Il s’identifie
`a K pour p= 0 , `a E∗pour p= 1 ; il est nul pour p > dim(E) .
Remarques. — 2) L’espace vectoriel Altp(E) est canoniquement isomorphe au dual de l’espace
vectoriel Λp(E) .
3) Lorsqu’on identifie l’espace vectoriel des formes p-lin´eaires `a Tp(E∗) , l’espace vectoriel des
formes p-lin´eaires antisym´etriques sur E s’identifie `a l’espace vectoriel des tenseurs antisym´etriques
dans Tp(E∗) .
2. Produit ext´erieur de formes multilin´eaires altern´ees
Conservons les notations du no1.
Soient p,qdes entiers ≥0 , et soient ω∈Altp(E) et ω0∈Altq(E) . Notons Sp,q
l’ensemble des permutations de {1, . . . , p +q}qui sont croissantes dans {1, . . . , p}et dans
{p+ 1, . . . , p +q}. L’application ω∧ω0: Ep+q→K d´efinie par
(ω∧ω0)(x1, . . . , xp+q) = P
σ∈Sp,q
ε(σ)ω(xσ(1), . . . , xσ(p))ω0(xσ(p+1), . . . , xσ(p+q))
est (p+q) -lin´eaire altern´ee. On l’appelle le produit ext´erieur de ωpar ω0.
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L’application (ω, ω0)→ω∧ω0de Altp(E)×Altq(E) dans Altp+q(E) est K -bilin´eaire.
Le produit ext´erieur est anticommutatif : on a
ω∧ω0= (−1)pqω0∧ω
pour ω∈Altp(E) et ω0∈Altq(E) . Il est associatif : on a
(ω∧ω0)∧ω00 =ω∧(ω0∧ω00)
pour ω∈Altp(E) , ω0∈Altq(E) et ω00 ∈Altr(E) ; on note donc simplement ω∧ω0∧ω00
les deux membres de l’´egalit´e pr´ec´edente.
Soit (u1, . . . , up) une suite de pformes lin´eaires sur E . La forme p-lin´eaire altern´ee
u1∧. . . ∧upest donn´ee par
(u1∧. . . ∧up)(x1, . . . , xp) = det(ui(xj)) .
(Lorsque p= 0 , cette forme s’identifie `a l’´el´ement 1 de K , lorsqu’on identifie Alt0(E) `a
K .)
L’application (u1, ... ,up)→u1∧... ∧upde Tp(E∗) dans Altp(E) est p-lin´eaire altern´ee. On en
d´eduit par passage au quotient un isomorphisme canonique de Λp(E∗) dans Altp(E) . Le produit dans
l’alg`ebre ext´erieure Λ(E∗) correspond par ces isomorphismes au produit ext´erieur d´efini ci-dessus. Il n’y
a donc pas d’inconv´enient `a noter ces deux op´erations par le mˆeme symbole ∧.
On prendra garde que le tenseur antisym´etrique dans Tp(E∗) associ´e `a la forme p-lin´eaire altern´ee
u1∧... ∧up( no1, remarque 3) est P
∈Sp
( )u(1) ⊗... ⊗u(p).
Soient (e1, . . . , en) une base de E et (e∗
1, . . . , e∗
n) la base duale de E∗. Les formes
p-lin´eaires altern´ees e∗
i1∧. . . ∧e∗ ip, o`u i1< . . . < ipest une suite strictement croissante
d’´el´ements de {1, . . . , n}, forment une base de Altp(E) , dite d´eduite de la base (e1, . . . , en)
de E . La dimension de Altp(E) est Cp
n.
3. Produit int´erieur par un vecteur
Conservons les notations du no1.
Soient pun entier ≥1 , ωune forme p-lin´eaire altern´ee sur E et xun ´el´ement
de E . L’application
(x1, . . . , xp−1)7→ ω(x, x1, . . . , xp−1)
est une forme p−1 -lin´eaire altern´ee sur E que l’on note i(x)(ω) et que l’on appelle le
produit int´erieur de xpar ω. On ´etend par convention cette d´efinition au cas o`u p= 0
en posant i(x)(ω) = 0 dans ce cas.
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L’application (x, ω)7→ i(x)(ω) de E×Altp(E) dans Altp−1(E) est K -bilin´eaire. On a
i(x)(i(x)ω) = 0 et
i(x)(ω∧ω0) = i(x)(ω)∧ω0+ (−1)pω∧i(x)(ω0)
pour x∈E , ω∈Altp(E) et ω0∈Altq(E) .
§2. Formes diff´erentielles
1. Formes diff´erentielles
Soit X une vari´et´e diff´erentielle. On appelle forme diff´erentielle de degr´e pde classe
C∞sur X une application de classe C∞du fibr´e vectoriel T(X)p(produit fibr´e de p
copies de T(X) ) dans R,p-lin´eaire altern´ee sur les fibres. Pour tout x∈X , ωd´efinit
donc une forme p-lin´eaire altern´ee ωxsur l’espace vectoriel Tx(X) .
On note Ωp(X) le C∞(X) -module des formes diff´erentielles de degr´e pet de classe
C∞sur X . Il s’identifie `a C∞(X) pour p= 0 et au module des sections de classe C∞
de T(X)∗pour p= 1 . On pose Ω(X) = L
p≥0Ωp(X) .
Une construction analogue `a celles du chap. V, §3 permet de d´efinir un fibr´e vectoriel Altp(T(X))
sur X dont les sections de classe C∞s’identifient aux ´el´ements de Ωp(X) . Ce fibr´e est canoniquement
isomorphe au dual de Λp(T(X)) et `a Λp(T(X)∗) . La remarque 3 du §1, no1 permet aussi d’identifier
Ωp(X) `a l’ensemble des champs de tenseurs pfois covariants antisym´etriques de classe C∞sur X .
On munit Ω(X) du produit ext´erieur caract´eris´e par (ω∧ω0)x=ωx∧ω0
x. Il est
C∞(X) -bilin´eaire et associatif. Pour ω∈Ωp(X) et ω0∈Ωq(X) , on a ω∧ω0∈Ωp+q(X)
et ω0∧ω= (−1)pqω∧ω0.
Le produit int´erieur d’un champ de vecteurs ξde classe C∞sur X par une forme
diff´erentielle ω∈Ω(X) est la forme diff´erentielle d´efinie par i(ξ)(ω)x=i(ξ(x))(ωx) . On a
i(ξ)(ω)∈Ωp−1(X) si ω∈Ωp(X) avec p≥1 , et i(ξ)(ω) = 0 par convention si ω∈Ω0(X) .
L’application (ξ, ω)7→ i(ξ)(ω) est C∞(X) -bilin´eaire. On a i(ξ)(i(ξ)(ω)) = 0 et
i(ξ)(ω∧ω0) = i(ξ)(ω)∧ω0+ (−1)pω∧i(ξ)(ω0)
pour ω∈Ωp(X) et ω0∈Ωq(X) .
2. Calculs dans un ouvert de Rn
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Soit U un ouvert de Rn. On a Ωp(U) = 0 pour p>n. Soit pun entier compris
entre 0 et n. Toute forme diff´erentielle ω∈Ωp(U) s’´ecrit de mani`ere unique
ω=P
IfIdxI
o`u I parcourt l’ensemble des parties de {1, . . . , n}`a p´el´ements, les fIsont des fonctions
de classe C∞sur U et dxId´esigne la forme diff´erentielle dxi1∧. . .∧dxipsi I = {i1, . . . , ip}
avec i1< . . . < ip.
Soient I et J des parties de {1, . . . , n}`a pet q´el´ements respectivement. On a
dxI∧dxJ=0 si I ∩J6=∅,
εI,JdxI∪Jsi I ∩J = ∅,
o`u εI,J= (−1)m, avec mle nombre de couples (i, j)∈I×J tels que i > j .
Soit I une partie de {1, . . . , n}`a p´el´ements et soit j∈ {1, . . . , n}. On a
i∂
∂xj(dxI) = 0 si j6∈ I,
ε{j},I--{j}dxI--{j}si j∈I.
3. Diff´erentielle ext´erieure
Soit X une vari´et´e diff´erentielle. Nous allons d´efinir un op´erateur ω7→ dω de Ω(X)
dans Ω(X) qui poss`ede les propri´et´es suivantes :
a) on a d(ω+ω0) = dω +dω0pour ω, ω0∈Ω(X) ;
b) si f∈Ω0(X) , df est la diff´erentielle de la fonction f;
c) on a d(ω∧ω0) = dω ∧ω0+ (−1)pω∧dω0pour ω∈Ωp(X) , ω0∈Ωq(X) ;
d) on a d(dω) = 0 pour tout ω∈Ω(X) .
Commen¸cons par examiner le cas o`u X est un ouvert de Rn. L’op´erateur d, s’il
existe, est n´ecessairement donn´e par la formule
d(PfIdxI) = PdfI∧dxI.
On v´erifie que de fait, l’op´erateur dd´efini par cette formule satisfait bien les conditions
requises : c’est clair pour a) , b) et c) ; pour d) , cela r´esulte de ce que, pour pour toute
fonction f∈C∞(X) , on a
d(df) = d(
n
P
j=1
∂f
∂xjdxj) =
n
P
i=1
n
P
j=1
∂2 f
∂xi∂xjdxi∧dxj= 0 ,
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puisque ∂2f
∂xi∂xj=∂2f ∂xj∂xiet dxi∧dxj=−dxj∧dxi.
L’existence et l’unicit´e de dlorsque X est diff´eomorphe `a un ouvert de Rns’en
d´eduit par transport de structure. Dans le cas g´en´eral, on recouvre X par de tels ouverts
U et on d´efinit dω en exigeant que (dω)|U = d(ω|U) pour chacun d’entre eux.
L’op´erateur dainsi d´efini s’appelle la diff´erentielle ext´erieure. Il applique Ωp(X) dans
Ωp+1(X) .
Proposition 1. — Soient ω∈Ωp(X) et ξ0, . . . , ξpdes champs de vecteurs sur X. On a
dω(ξ0, . . . , ξp) = P
0≤i≤p(−1)iDξiω(ξ0, . . . , b
ξi, . . . , ξp)
+P
0≤i<j≤p(−1)i+jω([ξi, ξj], ξ0, . . . , b
ξi, . . . , b ξj, . . . , ξp).
Il suffit de prouver cela lorsque X est un ouvert de Rn. On v´erifie facilement que la
diff´erence entre les deux membres de l’´egalit´e est C∞(X) -lin´eaire en ωet en chacun des
ξk. Il suffit donc prouver cette ´egalit´e lorsque ω=dxIpour une partie I de {1, . . . , n}
de cardinal pet que chaque ξkest ´egal `a ∂
∂xikpour un indice ik∈ {1, . . . , n}. Or dans
ce cas chacun des termes de l’´egalit´e est nul.
Exemple. — Lorsque p= 1 , cette formule s’´ecrit d( , ) = D ( ( )) −D ( ( )) −([ , ]) .
4. Image r´eciproque d’une forme diff´erentielle
Soient X et Y des vari´et´es diff´erentielles et u: X →Y un morphisme de vari´et´es. Soit
pun entier ≥0 et soit ω∈Ωp(Y) . Il existe une unique forme diff´erentielle u∗(ω)∈Ωp(X)
telle que
u∗(ω)x=ωu(x)◦(Tx(u), . . . , Tx(u))
pour x∈X . On l’appelle l’image r´eciproque de ωpar u.On ´etend ω7→ u∗(ω) par
lin´earit´e `a Ω(Y) .
On a u∗(f) = f◦upour f∈Ω0(Y) = C∞(Y) , u∗(ω+ω0) = u∗(ω) + u∗(ω0) ,
u∗(ω∧ω0) = u∗(ω)∧u∗(ω0) et u∗(dω) = d(u∗(ω)) pour ω, ω0∈Ω(Y)
Si Z est une troisi`eme vari´et´e diff´erentielle et v: Y →Z un morphisme de vari´et´es,
on a u∗(v∗(ω)) = (v◦u)∗(ω) pour tout ω∈Ω(Z) .
5. D´eriv´ee de Lie d’une forme diff´erentielle suivant un champ de vecteurs
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