Annales de STG sur la dérivation

Annales – Dérivation
Terminale 8 STG - 2010/2011 – Exercices 3
Exercice 1 CGRH – Antilles, juin 2010
On considère une fonction fdéfinie et dérivable sur l’intervalle [−2,5;3]. On note f0la fonction dérivée de
f. On donne ci-dessous la courbe Creprésentative de la fonction fdans un repère du plan.
La courbe Cpasse par le point A(1;−4). La droite Test tangente à la courbe Cau point Aet passe par le
point B(0;2).
−2−1 1 2 3
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
0
A
B
C
T
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Dans cette partie, pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est correcte.
Aucune justification n’est demandée.
1. a) f0(1) = −4 b) f(1) =4 c) f0(1) = −6
2. L’équation f(x)=0 admet une seule solution dans l’intervalle :
a) [−2,5;3]b) [−1;3]c) [1;3]
3. Sur l’intervalle [−2,5;3], l’équation f0(x)=0
a) admet une seule solution b) admet deux solutions c) n’admet pas de solution
4. On a :
a) f0(x)<0 sur [−2,5;0]b) f0(x)<0 sur [2;3]c) f0(x)>0 sur [2;3]
Partie B
La fonction fdont on connait la courbe Cest définie sur l’intervalle [−2,5;3]par :
f(x)=x3−1,5x2−6x+2,5.
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1. Calculer f(−1).
2. a) Calculer f0(x).
b) Vérifier que f0(x)=3(x+1)(x−2).
c) Étudier le signe de f0(x) sur l’intervalle [−2,5;3]à l’aide d’un tableau de signes.
3. En déduire le tableau de variation complet de la fonction fsur l’intervalle [−2,5;3].
Exercice 2 Mercatique – Antilles, septembre 2007
On considère une fonction fdéfinie et dérivable sur l’intervalle [−5;5]. On note Csa courbe représentative
dans un repère orthonormal d’unité 1 cm. Le tableau de variations de fest le suivant :
x
Variations
de f
−5−2,5 5
33
44
−2−2
On précise les valeurs suivantes concernant fet sa fonction dérivée f0:
f(0) =2,5 f(2) =0f0(−5) =1f0(5) = −1
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1. Quel est le maximum de fsur l’intervalle [−5;5]?
2. Quelle est la solution de l’équation f(x)=0 ?
3. Quel est le signe du nombre f0(0) ?
4. Établir une équation de la tangente à Cau point d’abscisse −5.
5. Tracer une courbe représentative possible de la fonction frespectant l’ensemble des informations four-
nies dans l’énoncé.
Exercice 3 CGRH – France, juin 2010
Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un produit. Ce laboratoire peut produire de 5 à
30 kg du produit par semaine.
Partie A - Étude du prix de revient unitaire moyen
1. Le prix de revient d’un produit dépend de la quantité produite. Pour xkg de produit fabriqué, le prix de
revient moyen d’un kg de ce produit, exprimé en euros, est modélisé par la fonction Udont l’expression
est :
U(x)=1
3x3−11x+100 +72 x
où xappartient à l’intervalle [5;30].
Quel est le prix de revient moyen d’un kg de produit lorsqu’on en fabrique 5 kg par semaine ?
On arrondira le résultat à 10−1près.
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2. À l’aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On arrondira les résultats à 10−1
près.
x5 10 15 16,5 17 18,5 20 25 30
U(x)
Partie B - Étude graphique du bénéfice
Le laboratoire s’intéresse maintenant au coût total de production, exprimé en euros et modélisé par la fonc-
tion Cdont l’expression est :
C(x)=1
3x3−11x2+100x+72
où xappartient à l’intervalle [5;30].
La courbe représentative de la fonction Csur l’intervalle [5;30]est donnée ci-dessous :
5 10 15 20 25 30
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0
y=C(x)
1. Par lecture graphique, estimer la quantité dont le coût total de production est de 600 e.
On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.
2. a) Après une étude de marché, le prix de vente du produit a été estimé à 60 ele kg. Donner, en fonction
de x, l’expression R(x) de la fonction Rmodélisant la recette.
b) Représenter graphiquement, sur le graphique précédent, la fonction Rsur l’intervalle [5;30].
c) Le laboratoire souhaite connaitre l’intervalle dans lequel doit se trouver la quantité de produit à
vendre pour réaliser un bénéfice. Quel est cet intervalle ?
On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.
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Partie C - Étude algébrique du bénéfice
Le bénéfice réalisé par l’entreprise, c’est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, est
exprimé en euros et modélisé par la fonction Bdont l’expression est :
B(x)= − 1
3x3+11x2−40x−72
où xappartient à l’intervalle [5;30].
1. Montrer que B0(x)= −(x−2)(x−20).
2. En déduire les variations de Bsur l’intervalle [5;30].
3. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
a) On considère que la production est entièrement vendue. Déterminer la quantité à produire pour réa-
liser un bénéfice maximum.
b) Le service de commercialisation du laboratoire a fixé un objectif de vente entre 15 kg et 24 kg pour la
semaine à venir. Quel est le bénéfice minimum envisageable ?
Exercice 4 CGRH – Antilles juin 2007
On considère une fonction fdéfinie et dérivable sur l’intervalle [0;2,5]. On note f0la fonction dérivée de la
fonction f.
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f, appelée C, dans un repère orthogonal.
La courbe Cpossède les propriétés suivantes :
– la courbe Cpasse par le point A(1;5,5) ;
– la courbe Cpasse par le point B(2;2) ;
– la tangente en Bà la courbe Cest horizontale ;
– la tangente en Aà la courbe Cpasse par le point T(0;8,5).
Partie A
1. Placer les points A,Bet Tet tracer les tangentes à la courbe Cen Aet B.
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