Syst`emes polynomiaux : que signifie (( résoudre ))?

Syst` emes polynomiaux : que signifie (( r´ esoudre )) ?
Universit´ e Lille 1
UE INFO 251
8 janvier 2007

Table des mati` eres
1 Introduction 4
1.1 R´esoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 La chaˆıne GB + RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Le cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Commande de robots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Un robot s´erie planaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Un robot parall`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Sch´ema g´en´eral de la partie GB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Sch´ema g´en´eral de la partie RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 R´ esolution r´ eelle 15
2.1 Suppression des multiplicit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Rappels math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Division euclidienne, pgcd dans K[x]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Irr´eductibilit´e, multiplicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.4 Factoriser pour r´esoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Algorithme de Vincent – Collins – Akritas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Intervalles d’isolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Quelques bornes et un algorithme ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 L’algorithme de Vincent – Collins – Akritas . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 ´ El´ements d’arithm´etique par intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Le probl`eme des d´ependances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Suppression des multiplicit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Isolation des racines r´eelles positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.3 Report des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.4 Am´elioration de la pr´ecision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Simplification de syst` emes 35
3.1 Solutions, id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Solutions d’un syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2 Id´eal engendr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.3 Correspondance entre solutions d’un syst`eme et id´eal engendr´e . . . . . . . 37
1

3.2 Ordres admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Termes, monˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Ordres admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 R´e´ecriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Bases de Gr¨obner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 L’algorithme de Buchberger en MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 D´ecider si un syst`eme admet au moins une solution . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.1 Application `a la d´emonstration automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 ´ Eliminer des ind´etermin´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.1 Application `a la d´emonstration automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8 ´ Elimination et ´equation aux abscisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.9 D´ecider si un syst`eme admet un nombre fini de solutions . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10 Bases de Gr¨obner sous forme r´esolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.11 L’algorithme de Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.11.1 Un syst`eme r´eduit `a un unique polynˆome est une base de Gr¨obner . . . . . 53
3.11.2 L’algorithme de Buchberger pr´eserve la rationnalit´e . . . . . . . . . . . . . 53
3.11.3 L’intersection d’une droite et d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.11.4 L’algorithme de Buchberger contient l’algorithme d’Euclide . . . . . . . . 54
3.11.5 L’algorithme de Buchberger contient le pivot de Gauss . . . . . . . . . . . 55
3.11.6 L’algorithme de Buchberger pr´eserve les dimensions . . . . . . . . . . . . 55
3.12 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.13 Arrˆet de l’algorithme de Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Pgcd de polynˆ omes et calcul modulaire 62
4.1 Le probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Calcul modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.1 Division euclidienne, pgcd dans Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.2 Anneau Z/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.3 Test d’inversibilit´e et calcul de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.4 Le th´eor`eme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.5 Conversions entre rationnels et nombres modulaires . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Application du calcul modulaire au pgcd de deux polynˆomes . . . . . . . . . . . . 68
4.3.1 Une premi`ere m´ethode, pr´esent´ee sur un exemple . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.2 Ce que cache l’exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.3 Nombres premiers malchanceux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.4 Pgcd dans Z[x]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.5 Le probl`eme du degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.6 Le probl`eme du coefficient dominant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.7 Un algorithme pour la premi`ere m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3.8 Une seconde m´ethode, fond´ee sur le th´eor`eme chinois . . . . . . . . . . . 72
2

5 La m´ ethode de Newton 74
5.1 Une ´equation en une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.1 Justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.3 Convergence de la m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2 Deux ´equations en deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2.1 Justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Introduction au logiciel MAPLE 81
6.1 Les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1.1 Les nombres inexacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1.2 Les entiers et les rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1.3 Les nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2 Variables et symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3 Proc´edures et fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.2 Retourner une valeur en l’affectant `a un param`etre . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.3 Retourner une expression symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.4 Fonctions d´efinies avec une fl`eche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.5 Fonctions et expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4 Structures de donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4.1 S´equences, listes et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4.2 ´ Equations et intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4.3 Polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.5 Structures de contrˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.1 Les boucles for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.2 La structure if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.3 La boucle while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.6 ´ El´ements d’alg`ebre de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.7 Le paquetage LinearAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Index 97
Bibliographie 102
3

Chapitre 1
Introduction
´
Equipe p´ edagogique
Franc¸ois Boulier
Jean–Claude Depannemaecker
Jean–Charles Faug`ere
Michel Petitot
Franc¸ois Recher
Fabrice Rouillier
Mohab Safey El–Din
Alexandre Sedoglavic
´
Eric Wegrzynowski
L´eopold Weinberg
Ce cours est issu de l’expos´e assur´e par Fabrice Rouillier le 7 juillet 2002 pendant le (( week–
end d’initiation–formation au calcul formel )) organis´e `a l’occasion de la conf´erence ISSAC 2002.
Il s’agit d’une introduction `a la th´eorie et la pratique d’une chaˆıne logicielle d´evelopp´ee par
Fabrice Rouillier et Jean–Charles Faug`ere dans le cadre du projet INRIA1SPACES et destin´ee `a
la r´esolution r´eelle d’une certaine classe de syst`emes d’´equations polynomiales.
1.1 R´ esoudre
R´esoudre un syst`eme d’´equations lin´eaires `a coefficients rationnels est facile en th´eorie : l’algo-
rithme du pivot de Gauss permet de d´ecider de l’existence et de l’unicit´e d’une solution. Il fournit
la solution — n´ecessairement rationnelle — lorsqu’elle est unique. Il permet de d´ecrire simplement
l’ensemble des solutions lorsqu’il y en a une infinit´e.
R´esoudre une ´equation polynomiale de degr´e deux et `a coefficients rationnels est facile : on
dispose de formules simples explicitant (( par radicaux2)) la ou les racines du polynˆome.
1Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique.
2On dit qu’une racine d’un polynˆome en une ind´etermin´ee est exprimable par radicaux si elle peut se noter `a partir
4