DM n°7 : LE LOGARITHME DECIMAL à rendre le 29/04/2013 ln x ln

DM n°7 : LE LOGARITHME DECIMAL à rendre le 29/04/2013
Peu de temps après que Neper ait publié sa table de logarithmes, Henry Briggs publia une autre table de logarithmes, plus
commode pour les calculs : la table des logarithmes décimaux .
L' idée est la suivante : si on multiplie les logarithmes de Neper par un même nombre k, on conservera la propriété de
transformer les produits en sommes. Mais en choisissant k de façon que l'image de 10 soit 1, on aura d'autres
propriétés intéressantes : l'image de 100 sera 2, celle de 1000 sera 3, celle de 0,1 sera -1 .....
Pour tout nombre x strictement positif on appelle logarithme décimal de x le nombre :
log x=ln x
ln 10
.
A/ QUELQUES PROPRIETES
1. Démontrez que pour tout nombre x et y strictement positifs :
log(x y)=log x+log y
.
2. Démontrez que pour tout entier n,
log(10n)=n
.
Justifiez les affirmations de Briggs (texte en gras)
3. On donne
log(347)=2,5403
Calculez de tête avec 4 décimales les nombres suivants :
log(3470)
,
log(34700)
,
log 34,7
,
log(3,47)
,
log(0,0347)
Quelle conjecture générale pouvez-vous faire ?
B/ EN CHIMIE : PH D'UNE SOLUTION AQUEUSE
Pour mesurer l'acidité d'une solution aqueuse, on utilise le potentiel hydrogène pH défini par :
pH =−log[H+]
où
[H+]
est la concentration en
H+
(en ions-grammes par litre).
1. Une solution a pour pH 5. Quelle est la concentration en ions
H+
?
2. Une solution est acide quand sa concentration en
H+
dépasse sa concentration en ions
OH -
.,
Or dans les conditions normales de température et de pression
[H+]×[OH -]=10−14
.
Démontrez que dans ces conditions, une solution est acide si et seulement si son pH est inférieur à 7.
C/ EN ACOUSTIQUE : INTENSITE D'UN SON
L'intensité I d'un son (en décibel, dB) est reliée à sa puissance de réception P (en watt par m²) de façon qu'on ait, pour
deux sons quelconques 1 et 2,
I2−I1=10 log
(
P2
P1
)
.
1. A quelle variation d'intensité correspond un doublement de la puissance ?
2. Que signifie une augmentation de 10 dB en terme de puissance sonore ?
D/ EN ASTRONOMIE : MAGNITUDE APPARENTE D'UNE ETOILE
Les astronome de l'Antiquité (Hipparque, Ptolémée) avait classé les étoiles visibles à l'oeil nu selon leur brillance : les plus
brillantes étaient dites de première grandeur, celles qui étaient un peu moins brillantes étaient de deuxième grandeur, etc .
Le Soleil n'était pas considéré comme une étoile.
Aujourd'hui, on appelle éclat d'une étoile la puissance lumineuse par unité de surface qu'on en reçoit sur la Terre (en watt
par m²).
Pour faire le lien entre ces deux notions, on appelle magnitude apparente d'une étoile d'éclat E le nombre
m=−2,5 log
(
E
E0
)
, où
E0
est l'éclat de Véga, choisie comme étoile de référence.
1. Quelle est la magnitude apparente de Véga ?
2. Démontrer que pour deux étoiles, celle qui a l'éclat le plus grand a la magnitude la plus petite.
3. Que signifie , pour une étoile, d'avoir une magnitude apparente négative ?
4. L'étoile la plus brillante (après le Soleil) est Sirius, dont l'éclat est 3,9 fois celui de Véga. Quelle est la magnitude
apparente de Sirius ?
5. Le soleil a une magnitude apparente de -26,7. Calculez le rapport de son éclat à celui de Véga