Nombres p-adiques - Laboratoire de Mathématiques

Nombres p-adiques : prise de notes
Joël Cohen
20 octobre 2010
Table des matières
1 Motivation
1.1 Perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Equations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 Construction de l’anneau Zp
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Extension de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
3 Topologie de Zp
3.1 Valuation p-adique . . . . . . .
3.2 Norme p-adique . . . . . . . . .
3.3 Arithmétique de Zp . . . . . . .
3.4 Topologie . . . . . . . . . . . .
3.5 Propriétés de la topologie de Zp
3.5.1 Compact . . . . . . . .
3.5.2 Ultramétrique . . . . . .
3.5.3 Totalement discontinu .
5
5
5
5
6
6
6
6
7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Définition et topologie de Qp
7
5 Lemme de Hensel
7
Ce sont les notes personnelles d’un exposé d’introduction aux nombres p-adiques donné pour le séminaire
des doctorants du laboratoire de Mathématiques de l’Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand. Rien de
plus.
1
1.1
Motivation
Perspective
Pour chaque p premier, on va construire de “nouveaux nombres”, appelé nombres p-adiques. D’une part
un anneau topologique noté Zp (entiers p-adiques) qui étend l’anneau Z des entiers, et d’autre part un
corps topologique noté Qp (nombres p-adiques) qui étend le corps Q des rationnels. Les nombres p-adiques
Qp forment le corps des fractions des entiers p-adiques Zp (c’est-à-dire que tout élément de Qp est un quotient
de deux éléments de Zp ), tout comme Q est le corps des fractions de Z. Il est essentiel de noter que ces deux
1
1
MOTIVATION
2
ensembles sont munis conjointement d’une structure algébrique (anneau ou corps) et d’une topologie (ce qui
fait en grande partie leur intérêt).
Z
complétion
/ Zp
fractions
fractions
Q
complétion
/ Qp
Il s’agit bien de constructions vraiment nouvelles au sens où Qp muni de sa topologie ne peut pas s’injecter
dans C de manière continue, et le corps Qp est strictement plus grand que Q (et de dimension inifinie sur
Q). Par ailleurs les nombres p-adiques dépendent réellement du choix du nombre premier p. En effet, pour
p 6= l deux nombres premiers distincts, les anneaux Zp et Zl sont différents (non isomorphes) et de même
pour Qp et Ql .
1.2
Equations diophantiennes
Problème : Soit f ∈ Z[X1 , . . . , Xd ] un polynôme à d variables à coefficients entiers, on cherche d entiers
(x1 , . . . , xd ) ∈ Zd tels que
f (x1 , . . . , xd ) = 0
(1)
C’est ce qu’on appelle une équation diophantienne. C’est un problème souvent très difficile, notamment parce
que Z est un ensemble infini (il n’est pas question d’essayer toutes les possibilités unes à unes) et relativement
pauvre en structures (pas d’inversion, pas de limites etc).
Exemple 1.1. On peut citer les exemples classiques d’équations diophantiennes :
Pn
1. Savoir si le polynôme P = k=0 ak X k possède une racine rationnelle revient à chercher des solutions
(x, y) ∈ Z2 à
n
X
ak xk y n−k = 0
k=0
√
avec y 6= 0, auquel cas le quotient
est racine de P . Par exemple, montrer que 2 est irrationnel
revient à montrer que l’équation f = X 2 − 2Y 2 n’admet pas de zéros entiers non nuls.
x
y
2. Pour f = X 2 + Y 2 − Z 2 , on trouve une équation qui admet de nombreuses (une infinité) solutions
non triviales appelées triplets pythagoriciens, comme (3, 4, 5). On peut donner une description complète
de tous les triplets pythagoriciens. Le triplet (x, y, z) est pythagoricien si et seulement s’il existe des
entiers u, v, w ∈ Z tels que (à permutation près de x et y)
x = w(u2 − v 2 )
y = 2uvw
z = w(u2 + v 2 )
3. Pour p ≥ 3 premier et f = X p +Y p −Z p , on retrouve l’équation de Fermat. Ce dernier avait conjecturé
qu’elle n’admettait pas de solution hormis celles évidentes obtenues en annulant x, y ou z. Il a fallu
environ 350 ans pour parvenir à le prouver (A. Wiles, 1994).
2
CONSTRUCTION DE L’ANNEAU ZP
3
Une idée est de réduire l’équation (1) modulo n (pour n ∈ N∗ ), ce qui ramène à un problème fini dans
(Z/nZ)d . La philosophie est que si l’équation (1) admet une solution, alors l’équation résiduelle (modulo n)
admet une solution.
(1) admet une solution =⇒ (1) admet une solution modulo n
Ou en contraposée
(1) n’a pas de solution modulo n =⇒ (1) n’a pas de solution
√
Exemple 1.2. Donnons pour illustrer une démonstration de l’irrationnalité de 2 qui utilise ce principe.
Posons f = X 2 − 2Y 2 . Supposons par l’absurde que f (x, y) = 0 admet une solution (x, y) ∈ Z2 non nulle.
Quitte à diviser x et y par leur pgcd (ce qui reste solution), on peut supposer qu’ils sont premiers entre eux.
Modulo 3, on a
x2 ≡ 2y 2 ≡ −y 2 mod 3
Comme x et y sont premier entre eux, l’un d’eux est non nul modulo 3, et donc finalement aucun n’est nul
modulo 3. En particulier, y est inversible modulo 3, notons y −1 son inverse modulo 3. On a donc
xy −1
2
≡ −1
mod 3
Mais par le petit théorème de Fermat, on trouve par ailleurs
xy −1
2
≡1
mod 3
Ce qui est manifestement absurde. En conclusion f (x, y) = 0 n’admet aucune solution non nulle, et
irrationnel.
√
2 est
Malheureusement, la réciproque est fausse en général. Donc bien souvent, regarder modulo un seul entier
n ne suffit pas. Une idée pour augmenter les chances d’une réciproque consiste à considérer ensemble un
“paquet” d’équations résiduelles (modulo n pour tout n ∈ N∗ ). On peut effectuer deux réductions du fait
que ces équations résiduelles ne sont pas indépendantes les unes des autres. La première résulte du théorème
suivant.
Théorème 1.3 (Théorème des restes chinois 1 ). Si a, b ∈ Z sont deux entiers premiers entre eux, alors on
a un isomorphisme d’anneaux
Z/aZ × Z/bZ ' Z/abZ
Le théorème nous assure que résoudre l’équation (1) modulo a et b (dans ses notations) équivaut à la
résoudre modulo ab. Si on veut, on peut donc se contenter de regarder l’équation modulo pn pour tout
nombre premier p et entier 2 n ∈ N.
2
Construction de l’anneau Zp
2.1
Définition
Dans toute la suite, on fixe donc p un nombre premier (p = 2, 3, 5, 7, . . . , 243112609 − 1, . . . ). La seconde
réduction est que si l’on connaı̂t la solution de (1) modulo pn+1 , on la déduit modulo pn (où n ∈ N).
1. C’est le théorème qui est chinois.
2. L’équation modulo p0 = 1 n’a pas grand intérêt, mais je la rajoute pour des questions de notation.
2
CONSTRUCTION DE L’ANNEAU ZP
4
Formellement, si n ∈ N, on a dispose du morphisme d’anneaux
ϕn :
Z/pn+1 Z −→ Z/pn Z
x mod pn+1 7−→ x
mod pn
qui est bien défini (au sens où l’image ne dépend pas du choix du représentant x) parce que si x ≡ y
mod pn+1 , alors en particulier x ≡ y mod pn . Et ϕn transforme une solution modulo pn+1 en solution
modulo pn (puisque ϕn est un morphisme d’anneaux). En définitive, le “paquet” des solutions modulo pn
vit donc dans l’anneau suivant (les opérations somme et produit sont définies terme à terme).
(
)
Y
n
Zp = (xn )n∈N ∈
Z/p Z, ϕn (xn+1 ) = xn = lim Z/pn Z
←−
ϕn
n∈N
2.2
Extension de Z
On a alors le morphisme de plongement diagonal
i : Z −→ Zp
x 7−→ (x mod pn )n∈N
qui est injectif (si x mod pn = 0 pour tout n ∈ N, alors tous les pn divisent x). Ce qui permet de considérer
Z ⊂ Zp
Exemple 2.1. Pour illustrer que Zp est strictement plus grand, regardons Z3 . Dans Z3 on considère l’entier
3-adique suivant
n−1
X
x=(
3k mod 3n )n∈N
k=0
C’est effectivement un entier 3-adique puisque la suite vérifie bien la condition de réduction (on a
Pn−1 k
mod 3n ). On vérifie par ailleurs que
k=0 3
2x = (3n − 1
= (−1
Pn
k=0
3k ≡
mod 3n )n∈N
mod 3n )n∈N
= −1
Donc x est dans Z3 mais pas dans Z.
On prolonge l’exemple précédent si on remarque qu’un entier est inversible dans Z/pn Z si et seulement si
p ne le divise pas. On en déduit que tous les entiers premiers à p ont un inverse dans Zp (les inverses modulo
pn existent tous et sont compatibles aux morphismes de réductions ϕn ). Mais p n’admet pas d’inverse dans
Zp . Si l est un nombre premier distinct de p, alors Zp possède un inverse à l mais pas à p, tandis que Zl
possède un inverse à p mais pas à l. Cela montre que Zp et Zl sont deux anneaux non isomorphes, et qu’aucun
n’est inclus dans l’autre.
3
TOPOLOGIE DE ZP
3
3.1
5
Topologie de Zp
Valuation p-adique
Définition 3.1. Soit x = (xk )k∈N ∈ Zp , on définit la valuation p-adique de x, notée vp (x), par
vp (x) = max {k ∈ N, xk = 0}
Avec la convention que le maximum d’un ensemble non borné est +∞, ce qui donne vp (0) = +∞
Si x ∈ Z est un entier, alors vp (x) correspond à l’exposant de p dans la décomposition de x en facteurs
premier. On établit facilement les propriétés suivantes.
Proposition 3.2. Pour tous x, y ∈ Zp , on a
1. vp (x) = +∞ ⇐⇒ x = 0
2. vp (xy) = vp (x) + vp (y)
3. vp (x + y) ≥ min(vp (x), vp (y))
Ajoutons, que si x, y ∈ Zp sont deux entiers p-adiques de valuation différente, alors l’inégalité 3 devient
une égalité.
3.2
Norme p-adique
Définition 3.3. Pour x ∈ Zp , on définit la norme p-adique de x, notée |x|p , par
|x|p = p−vp (x)
avec la convention |0|p = 0.
Exemple 3.4. On a |10|2 = 12 , |10|3 = 1 et |10|5 = 15 .
Par exponentiation, on déduit les propriétés de la norme p-adique à partir de celles de la valuation
p-adique.
Proposition 3.5. Pour tous x, y ∈ Zp , on a
1. |x|p = 0 ⇐⇒ x = 0
2. |xy|p = |x|p |y|p
3. |x + y|p ≤ max(|x|p , |y|p ) ≤ |x|p + |y|p
3.3
Arithmétique de Zp
On remarque que les propriétés 1 et 2 de la norme p-adique entrainent en particulier que l’anneau Zp est
intègre (c’est-à-dire que xy = 0 entraine x = 0 ou y = 0). Et un entier p-adique est inversible si et seulement
si il est de norme 1 (c’est clairement nécessaire, et réciproquement c’est le même argument qu’en 2.2 pour
les entiers premiers à p). En conséquence, l’arithmétique de Zp est simple. Moralement, p est le seul nombre
premier de Zp (tous les autres sont devenus inversibles). Précisément, on a le résultat suivant.
Proposition 3.6 (Zp est local). L’anneau Zp est intègre, et possède un unique idéal maximal c’est pZp ,
l’idéal engendré par p, qui est aussi l’ensemble des entiers p-adiques de norme strictement inférieure à 1.
On a
Zp /pZp ' Z/pZ
3
TOPOLOGIE DE ZP
3.4
6
Topologie
D’après les propriétés de la norme p-adique, on définit une distance sur Zp par d(x, y) = |x − y|p (pour
x, y ∈ Zp ) et donc une topologie pour laquelle les opérations (somme, produit, et inverse quand il est défini)
sont continues. Notons surtout que pour la norme p-adique, on a
pn −→ 0
n→∞
Et le théorème suivant permet de se donner une image mentale de Zp comme des “séries entières en p” (ou
des nombres dont le développement en base p serait “infini vers la gauche”).
P
N
Théorème 3.7 (développement de Hensel). Pour toute suite (an )n∈N ∈ [[0, p − 1]] , la série an pn converge
N
dans Zp . En outre, pour tout x ∈ Zp , il existe une unique suite (an )n∈N ∈ [[0, p − 1]] telle que
x=
∞
X
an pn
n=0
Et on a alors
vp (x) = min{n ∈ N, an 6= 0}
Les entiers positifs sont exactement 3 les entiers p-adiques dont le développement de Hensel est fini.
Nous avions déjà dit que Zp est plus grand que Z, mais le développement de Hensel fournit une bijection
N
(ensembliste) entre Zp et [[0, p − 1]] . En particulier Zp est non dénombrable, donc beaucoup plus grand que
Z.
3.5
3.5.1
Propriétés de la topologie de Zp
Compact
Théorème 3.8 (Zp est compact). Pour la norme p-adique, Zp est compact, et Z (et même N) est dense
dans Zp .
Cette propriété est fondamentale. Elle assure que Zp est un bon ensemble pour faire de l’analyse. En
particulier il est complet (lire “sans trou”), et si on accepte de faire des approximations (regarder à > 0
près), on se ramène à des problèmes finis (on peut recouvrir Zp par un nombre fini de boule de rayon ).
Remarquons que la compacité de Zp montre qu’il ne peut pas s’injecter continument dans C. En effet,
soit f : Zp → C est un morphisme continu d’anneau. On pose a = f (1) alors on trouve f (Z) = aZ (puisque
f est un morphisme d’anneau). Mais comme f est continu, son image est compacte dans C en particulier
bornée, donc a = 0 et f est nulle sur Z, et par densité f = 0.
3.5.2
Ultramétrique
La distance issue de la norme p-adique vérifie une inégalité plus restrictive que l’inégalité triangulaire,
on dit qu’elle est ultramétrique. Cette inégalité étant plus forte, il est souvent plus facile de montrer des
convergence dans Zp , mais en contrepartie il faut oublier son intuition géométrique. A titre de curiosité, on
peut vérifier que l’inégalité ultramétrique entraine que tout triangle est isocèle et que tout point d’une boule
ouverte est au centre 4 .
P
n
3. Pour les entier négatifs, on par exemple −1 = ∞
n=0 (p − 1) p .
4. Précisément si l’on prend 3 points dans Zp , alors parmi les distances 2 à 2, alors deux d’entre elles sont égales. Et si l’on
prend un point x ∈ Zp dans une boule ouverte B de rayon r > 0, alors B est aussi la boule centre x et de rayon r.
5
LEMME DE HENSEL
3.5.3
7
Totalement discontinu
La norme p-adique sur Zp ne peut prendre comme valeur que 1, p1 , p12 , . . .. En particulier les boules ouvertes
1
(et vice versa). On vérifie qu’à part les points, aucune partie
de rayon p1n sont aussi fermées de rayon pn+1
de Zp n’est connexe. On dit que la topologie est totalement discontinue.
4
Définition et topologie de Qp
On a vu que Zp est intègre, ce qui nous autorise à définir Qp comme le corps des fractions de Zp 5 . La
norme et la valuation p-adique s’étendent naturellement à Qp (en conservant les propriétés 1, 2 , 3) pour
a
b ∈ Qp (avec a, b ∈ Zp ) par
a
= vp (a) − vp (b)
vp
b
et
a
|a|p
=
b p
|b|p
On a alors que Q est dense dans Qp , et Qp est obtenu à partir de Zp en rajoutant un inverse à p :
[
Qp = Zp [p−1 ] =
pn Zp
n∈Z
5
Lemme de Hensel
Revenons à notre objectif initial de trouver des solutions à des équations diophantiennes. Grâce à la
topologie de Zp on peut résoudre certaines équations polynomiales par approximation successives (un peu
comme ce que l’on ferait sur R). On dispose notamment du résultat suivant qui moralement permet de
construire une racine à un polynôme dont on connait une “racine approchée”.
Théorème 5.1. (Lemme de Hensel) Soit f ∈ Zp [X]. On suppose que l’on dispose d’un α0 ∈ Zp tel que
|f (α0 )|p < |f 0 (α0 )|2p
Alors il existe α ∈ Zp tel que
f (α) = 0
et
|α − α0 |p < |f 0 (α0 )|p
Démonstration. La démonstration consiste à définir la suite d’entier p-adiques (αn )n∈N par récurrence sur
n ∈ N par
f (αn )
αn+1 = αn − 0
f (αn )
Tout en vérifiant par réccurence que cette suite est bien définie et converge.
Ce résultat est à rapprocher de la méthode de Newton sur R pour trouver les zéros d’une fonction C 1
qui consiste à supposer que l’on parte d’un réel α0 par trop loin d’un zéro et tel que la pente en α0 soit
suffisante et on définit αn+1 comme l’abscisse en laquelle la tangente à f en αn coupe l’axe des abscisses
(c’est la formule donnée plus haut).
Il faut noter que la complétude de Zp est essentielle dans la démonstration 6 de ce résultat qui n’est pas
vrai dans Z comme on peut le voir sur l’exemple suivant.
5. C’est-à-dire le quotient Qp = (a, b) ∈ Z2p , b 6= 0 / ∼, où ∼ est la relation d’équivalence définie par (a, b) ∼ (c, d) ⇔ ac =
bd
6. En fait, il est possible pour des anneaux non complets de satisfaire le lemme de Hensel, on les appelle anneaux Henseliens.
RÉFÉRENCES
8
Exemple 5.2. Considérons p = 5, f = X 2 + 1 et α0 = 2. Alors on a
|f (α0 )|5 = |5|5 =
1
5
et
|f 0 (α0 )|5 = |4|5 = 1
Donc on peut appliquer le lemme de Hensel, et on obtient α ∈ Z5 tel que α2 = −1. Mais f n’a clairement
aucune racine dans Z.
Références
[1] Yvette Amice. Les nombres p-adiques. Presses universitaires de France, 1975.
[2] Pierre Colmez. Les nombres p-adiques. Notes du cours de M2.
[3] Jurgen Neukirch. Algebraic Number Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 322.
Springer, 1999.
[4] Jean Pierre Serre. Corps Locaux. Hermann, 1979.