Premier fascicule de mathématiques pour préparer le brevet des

Mathématiques, 2013 −2014 Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
Premier fascicule de mathématiques pour préparer le brevet des collèges
(et pour après le collège)
28 NOVEMBRE 2013
COLLEGE MONTGAILLARD (Saint Denis de la Réunion)
Site du collège : http ://college-montgaillard.ac-reunion.fr
•αdésigne un angle aïgu, nous avons : (cos α)2+ (sin α)2= 1
•Si le triangle RUN est rectangle en U alors nous pouvons écrire (d’après le
théorème de Pythagore) :
RN2=RU2+UN2
•Lorsque deux événements A et B sont incompatibles alors :
p(Aou B) = p(A) + p(B)
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Mathématiques, 2013 −2014 Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
Voici le premier fascicule de mathématiques, le deuxième fascicule vous sera
donné en 2014.
Ce fascicule a été élaboré par les professeurs de mathématiques de 3ème du
collège MONTGAILLARD pour la sixième année consécutive. Des améliorations
ont été apportées, les exercices traîtés dans ce livret sont importants, à bien
comprendre.
Ce fascicule ne remplacera jamais le travail fait en classe avec votre professeur
de mathématiques. Ce livret (riche en informations) est un complément du cours
de votre enseignant.
Ce fascicule a pour but de vous aider dans vos révisions et vous sera très utile
pour le brevet des collèges (DNB) en juin 2014.
Ce fascicule vous servira très certainement l’an prochain en seconde générale
et technologique (de nombreux chapitres (fonctions, probabilités,...) seront revus
et approfondis en 2˚GT) mais aussi en lycée professionnel. Gardez le et prenez en
soin.
Toute l’équipe pédagogique de mathématiques vous souhaite une bonne réussite
au DNB. Nous espérons que ce document va vous donner le goût des mathéma-
tiques, l’envie de travailler cette discipline.
Bonne lecture, travaillez bien, refaites les exercices. Nous vous souhaitons une
bonne année scolaire 2013 −2014 en particulier en cours de mathématiques.
Enfin, le lien vers le site de mathématiques de M. MORICEAU est le suivant :
http ://reunionammaths.pagesperso-orange.fr/
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Mathématiques, 2013 −2014 Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
SOMMAIRE
Intitulé du thème Séquences concernées
ARITHMETIQUE Séquences 1et 11
RAPPELS sur les fractions, utile dans de
puissances, nombres relatifs nombreuses séquences
THEOREME DE PYTHAGORE Séquences 2et 4
RACINE CARREE Séquences 3et 32
EQUATIONS et INEQUATIONS Séquences 5,27,30 et 32
ANGLE au CENTRE, angle INSCRIT Séquence 6
LES PROBABILITES Séquences 7et 26
RAPPELS sur la utile dans de
proportionnalité nombreuses séquences
THEOREME DE THALES Séquences 8et 12
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Mathématiques, 2013 −2014 Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
ARITHMÉTIQUE
I. Critères de divisibilité
•Un nombre entier est divisible par 2si son chiffre des unités est 0ou 2ou 4ou 6ou 8.
•Un nombre entier est divisible par 3si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
•Un nombre entier est divisible par 5si son chiffre des unités est 0ou 5.
•Un nombre entier est divisible par 9si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
•Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
II. PGCD
Soit aet bdeux nombres entiers positifs (entiers naturels).
Un diviseur commun aux nombres aet best un entier naturel qui divise à la fois aet b.
On appelle P GCD de aet ble plus grand des diviseurs communs à aet b.
III. Méthodes pour calculer le PGCD de deux nombres
1) Première méthode : à l’aide des diviseurs
Pour déterminer le P GCD de deux nombres entiers aet b, nous devons :
•dresser la liste des diviseurs du nombre a.
•dresser la liste des diviseurs du nombre b.
•dresser la liste des diviseurs communs aux nombres aet b.
•Le PGCD des deux nombres aet best le plus grand de ces diviseurs communs.
2) Deuxième méthode : méthode des soustractions successives
•Soustraire le plus petit nombre au plus grand nombre.
•On prend les deux plus petits nombres et on recommence l’étape précédente, on
continue jusqu’à l’obtention d’un résultat nul.
•le P GCD des deux nombres est le dernier résultat non nul.
3) Troisième méthode : méthode des divisions successives (ALGORITHME d’EUCLIDE)
•On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit nombre.
֒→Si le reste de la division euclidienne précédente est NUL alors le P GCD des deux nombres
est le diviseur de la division précédente.
֒→Si le reste de la division euclidienne précédente n’est pas NUL alors on renouvelle l’étape
précédente en considérant le diviseur et le reste de la division euclidienne précédente et ainsi
de suite.
•On arrête le procédé lorsque nous obtenons un reste NUL et le PGCD des deux nombres est
le dernier reste non nul.
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Mathématiques, 2013 −2014 Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
IV. Nombres premiers entre eux.
1. Définition :
Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres qui ont un unique diviseur commun :
1.
2. Propriété :
Si le P GCD de deux nombres est égal à 1alors ces deux nombres sont premiers entre eux.
V. Fractions irréductibles.
1. Définition :
Une fraction irréductible est une fraction que l’on ne peut plus simplifier.
2. Propriété :
Si le dénominateur et le numérateur d’une fraction sont des nombres premiers entre eux alors
cette fraction est irréductible.
3. Propriété :
En divisant le dénominateur et le numérateur d’une fraction par le P GCD de ces deux nombres
on obtient une fraction irréductible.
Exercices
Premier exercice
Énoncé :
1. Calculer le P GCD de 182 et 117 à l’aide de la méthode des soustractions successives
2. En déduire la forme irréductible de la fraction 117
182
Correction :
1. Déterminons le P GCD des nombres 182 et 117 à l’aide de la méthode des soustractions
successives.
182 −117 = 65
117 −65 = 52
65 −52 = 13
52 −13 = 39
39 −13 = 26
26 −13 = 13
13 −13 = 0
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