Plans des leçons d`analyse

Plans des le¸cons d’analyse
S´ebastien Pellerin
I.U.T. de Marseille
[email protected]

Analyse 01 – Espaces de fonctions. Exemples et applications
1. Types de convergence et fonctions
continues
D´efinition. Convergence simple, uniforme, en
moyenne, en moyenne quadratique.
Exemples. ... et pathologies
D´efinition. Espace des fonctions continues un compact
Exemple. Une limite simple de fonctions continues
n’est pas n´ecessairement continue.
Proposition. limite simple/uniforme de fonctions
continues
Corollaire. en termes de compl´etude
Application. en int´egration
Th´eor`eme de Stone-Weierstrass.
Exemple. Polynˆomes trigonom´etriques
Application. Th´eor`eme de Brouwer
Th´eor`eme d’Ascoli.
Application. Exemple d’op´erateur compact
Application. Th´eor`eme de Cauchy-Peano
2. Les espaces Lp
D´efinition des espaces Lppour 1≤p≤+∞.
Propri´et´es fondamentales.
Dual de Lpet cas particulier de L2.
−→ Dual de Lp([0,1], dx) pour 1 < p < 2
Approximation de l’identit´e et convolution.
Application : transform´ee de Fourier dans L1.
3. L’espace L2et les espaces de Hilbert
Propri´et´es g´eom´etriques des espaces de Hilbert.
Application : s´eries de Fourier.
Retour sur l’exemple de l’espace L2.
Application : transformation de Fourier.
−→ Vecteurs propres de la transformation de Fourier
4. L’exemple des fonctions holomorphes
G´en´eralit´es.
D´efinition.
Formule de Cauchy et cons´equences.
Existence de primitives et analyticit´e.
Topologie de la converge uniforme sur les com-
pacts.
D´efinition.
Th´eor`eme de Weierstrass.
Propri´et´e de Montel.
Application : th´eor`eme de la repr´esentation conforme.
Une structure hilbertienne : l’espace de Berg-
man.
−→ Noyau de Bergman
D´ eveloppements
Dual de Lp.
Vecteurs propres de la transformation de Fourier
dans L2.
Noyau de Bergman.
R´ ef´ erences
[1] H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Dunod, 1999.
[2] A. Chambert-Loir et S. Fermigier, Exercices d’analyse 3, Du-
nod, 1996.
[3] F. Hirsch et G. Lacombe, ´ El´ements d’analyse fonctionnelle,
Dunod, 1999.
[4] G. Lacombe et P. Massat, Analyse fonctionnelle, Dunod, 1999.
[5] F. Bayen et C. Margaria, Espaces de Hilbert et op´erateurs,
Ellipses, 1986.
[6] A.N. Kolmogorov, ´ El´ements de la th´eorie des fonctions et de
l’analyse fonctionnelle, Ellipses, 1994.

Analyse 02 – Exemples de parties denses et applications
1. Quelques exemples dans R
1.1. Approximation des r´eels par des rationnels.
Proposition. Si p≥2et x∈[0,1[ alors il existe
une unique suite (ξn)n≥1dans {0, . . . , p −1}telle que
x=
+∞
P
n=1
ξn
pnet avec ξn6=p−1pour une infinit´e d’indices.
Corollaire. Qest dense dans R.
Application. L’identit´e est le seul automorphisme de
corps de Rdans R.
1.2. Suites de r´eels.
Proposition. Les sous-groupes additifs de Rsont soit
denses, soit de la forme aZavec a > 0.
Application. L’ensemble {e2iπnθ;n∈Z}est dense
dans S1si et seulement si θest irrationnel ; en parti-
culier, l’ensemble {sin n;n∈Z}est dense dans [−1,1].
On note {x}l’unique r´eel de [0,1[ tel que x− {x} ∈ Z.
D´efinition. (xn)nest ´equir´epartie modulo 1 si pour
tous 0 ≤a<b<1, N(a, b, n) = card{m≤n;a≤
{xm} ≤ b}est ´equivalent `a n(b−a) quand ntend vers
l’infini.
Remarque. Si (xn)nest ´equir´epartie modulo 1 alors
les {xn}sont denses dans [0,1[.
Th´eor`eme. Soit (xn)nune suite de r´eels. Les condi-
tions suivantes sont ´equivalentes :
(i) (xn)nest ´equir´epartie modulo 1
(ii)pour toute fonction 1-p´eriodique Riemann-
int´egrable f,R1
0f(x)dx = lim
n→+∞
1
n
n
P
k=1
f(xk)
(iii)pour toute fonction 1-p´eriodique continue f,
R1
0f(x)dx = lim
n→+∞
1
n
n
P
k=1
f(xk)
(iv)pour tout m∈Znon nul,
n
X
k=0
e2iπmxk=o(n)
Exemple. Si θ /∈Qalors (nθ)nest ´equir´epartie.
2. Compl´ etude et compl´ etion
2.1. Prolongement uniform´ement continu.
Th´eor`eme. Si (E, d)est un espace m´etrique alors il
existe un espace m´etrique complet (F, δ)et une appli-
cation isom´etrique j:E→Ftels que j(E)soit dense
dans F.
Th´eor`eme. Soit f:A→Fune application uni-
form´ement continue d’une partie dense Ad’un espace
m´etrique (E, d)dans un espace complet (F, δ). Alors il
existe une unique application continue g:E→Fqui
prolonge f; de plus gest uniform´ement continue.
Application. Int´egrale de Riemann des fonctions
r´egl´ees
Application. Transform´ee de Fourier dans L2(T).
2.2. M´ethodes hilbertiennes.
D´efinition et proposition. On dit qu’un syst`eme or-
thonorm´e (ei)i∈Iest une base hilbertienne d’un espace
de Hilbert Hs’il v´erifie les conditions ´equivalentes sui-
vantes :
(i) (ei)i∈Iest un syst`eme orthonorm´e maximal,
(ii) Vect(ei)i∈Iest dense dans H(on dit que (ei)i∈I
est totale),
(iii)∀x∈H, x =X
i∈Ihx, eiiei,
(iv)∀x∈H,kxk2=X
i∈I|hx, eii|2,
(v)∀x, y ∈H,hx, yi=X
i∈Ihx, eiihei, yi.
Proposition. Un espace de Hilbert est s´eparable si et
seulement s’il admet une base hilbertienne d´enombrable.
Exemple. Les fonctions de Hermite Hnforment une
base hilbertienne de L2(R).
Exemple. La suite (en)n∈Zd´efinie par en(t) = e2iπnt
est une base hilbertienne de L2(T).
Application (s´eries de Fourier).Soit (en)n≥0une suite
orthonorm´ee d’un espace de Hilbert H.
(i)bx(n) = hx, eniest appel´e n`e coefficient de Fou-
rier de x∈H
(ii)Pbx(n)enest appel´ee la s´erie de Fourier de
x∈Hrelativement `a la suite (en)n
(iii) la suite (en)nest une base hilbertienne de H
si et seulement si tout x∈Hest somme de sa
s´erie de Fourier i.e. x=P
n≥0bx(n)en
Application (Espace de Bergman).L’espace de Berg-
man du disque unit´e Dde Cest d´efini par A2(Ω) =
L2(Ω) ∩ H(Ω) et est muni du produit scalaire hf, gi=
RΩf(z)g(z)dz. Alors
(i) A2(Ω) est un espace de Hilbert,
(ii)en(z) = qn+1
πznest une base hilbertienne,
(iii)k(ζ, z) = 1
π(1 −ζz)2est un noyau reproduisant.
2.3. Quelques applications du th´eor`eme de Baire.
Th´eor`eme de Baire. Si (E, d)est un espace m´etrique
complet alors toute intersection d´enombrable d’ouverts
denses de Eest dense dans E.
Application. Soit (E, d) un espace de Banach sur Cet
Aun op´erateur continu de E.
S’il existe X, Y denses dans Eet B:Y→Ytels
que pour tous x∈Xet y∈Yon ait An(x)→0,
Bn(y)→0 et AB(y) = y, alors il existe ω∈Etel que
{An(ω), n ≥0}soit dense dans E. Cette condition est
v´erifi´ee pour

(i) la d´erivation sur H(C),
(ii) l’op´erateur Ade `2d´efini par Ae0= 0 et
Aei+1 =λeipour i≥0, o`u λ > 1 et (ei)i≥0
est une base hilbertienne de E=`2.
Application. Si f:R→Rest d´erivable alors f0est
continue sur un ensemble dense.
3. Approximation et r´ egularisation
3.1. R´egularisation.
Proposition. Soit fune application `a support compact
d´efinie sur Rn.
(i)si fest de classe Cket gest int´egrable `a support
compact alors f ? g est de classe Cket `a support
compact
(ii)si fest continue et (ρn)nest une unit´e ap-
proch´ee de convolution alors kρn? f −fk∞→0
(iii)si f∈Lp(p < +∞)et (ρn)nest une unit´e ap-
proch´ee de convolution alors kρn? f −fkp→0
Application. Les fonctions C∞`a support compact sont
denses dans Cket dans Lppour 1 ≤p < +∞.
Application. Si f∈L1(R) alors b ftend vers 0 `a l’infini.
Application. Si f∈L2(R) alors kb fk2=kfk2.
3.2. Approximation polynˆomiale.
Th´eor`eme de Stone-Weierstrass. Soit Xun espace
compact et Aune sous-alg`ebre de C(X, R)telle que : A
s´epare les points de Xet pour tout x∈Ail existe f∈A
avec f(x)6= 0. Alors Aest dense dans C(X, R)pour la
topologie de la convergence uniforme.
Application (th´eor`eme de Brouwer).Toute applica-
tion continue de la boule unit´e ferm´ee de Rndans elle-
mˆeme admet un point fixe.
Th´eor`eme de Runge. Soit fune fonction holo-
morphe sur un ouvert Ωde Cet soit Aun ensemble
qui a un point dans chaque composante de b C\Ω.
(i)On peut approcher funiform´ement sur les com-
pacts par une suite de fractions rationnelles
dont les pˆoles sont dans A.
(ii)Si b C\Ωest connexe alors fest approchable uni-
form´ement sur les compacts par une suite de po-
lynˆomes.
Application. Si Ω est un ouvert de Cavec b C\Ω
connexe et si fest holomorphe sur Ω alors Rγf= 0
pour tout chemin ferm´e γdans Ω.
Th´eor`eme de Fejer. Soit f∈ C(T)et σN(x) =
1
N
N−1
X
n=0
n
X
k=−nb
f(k)eikx alors lim
N→+∞kf−σNk∞= 0.
Application. Si f∈ C(S1,R) alors il existe une unique
u:B(0,1) →Rcontinue, de classe C2sur B(0,1) avec
u|S1=fet ∆u= 0.
Application. La transformation de Fourier dans L2(R)
admet les fonctions de Hermite comme base de vecteurs
propres associ´ees aux valeurs propres {±1,±i}.
3.3. ´ Equicontinuit´e.
Proposition. Soit Dune partie dense d’un espace to-
pologique Tet soit Hune famille ´equicontinue d’appli-
cations de Tdans C. Alors les topologie de la conver-
gence uniforme sur les compacts de Tet la topologie de
la convergence simple sur Dco¨ıncident sur H.
Application. Soit Tun espace m´etrique compact.
Une partie Hde de C(T) est relativement compacte si
et seulement si elle est ´equicontinue et uniform´ement
born´ee.
D´ eveloppements
´
Equir´epartition modulo 1.
Noyau de Bergman.
Hypercyclicit´e.
Vecteurs propres de la transformation de Fou-
rier.
R´ ef´ erences
[1] F. Bayen et C. Margaria, Espaces de Hilbert et op´erateurs,
Ellipses, 1986.
[2] A. Chambert-Loir, S. Fermigier et V. Maillot, Exercices d’ana-
lyse 1, Masson, 1997.
[3] S. Gonnord et N. Tosel, Topologie et analyse fonctionnelle,
Ellipses, 1996.
[4] X. Gourdon, Analyse, Ellipses, 1994.
[5] A. Kolmogorov, ´ El´ements de la th´eorie des fonctions et de
l’analyse fonctionnelle, Mir Ellipses, 1994.
[6] A. Pommellet, Cours d’analyse, Ellipses, 1994.
[7] W. Rudin, Analyse r´eelle et complexe, Masson, 1995.
[8] H. Queff´elec et C. Zuily, ´ El´ements d’analyse pour l’agr´egation,
Dunod, 2002.

Analyse 03 – Utilisation de la notion de compactit´e
1. Compacit´ e et applications continues
Image continue d’un compact.
Th´eor`eme de Heine et applications.
Aspects s´equentiels.
−→ Sous-groupes compacts de GL(R)
2. Existence d’un extremum
Une fonction continue sur un compact `a valeurs
r´eelles est born´ee.
Fonction distance sur un compact.
Existence d’un minimum et d’un maximum.
−→ Th´eor`eme de Jordan
3. Convolution et approximation
Fonctions plateaux.
Convolution et fonctions `a support compact.
Application : r´esultats de densit´e.
Approximation par des polynˆomes.
−→ Th´eor`eme de Brouwer-Schauder
4. Th´ eor` eme d’Ascoli et applications
Application : th´eor`eme de Cauchy-Peano.
Application : th´eor`eme de Montel.
−→ Th´eor`eme de repr´esentation conforme
Application : op´erateurs compacts.
D´ eveloppements
Sous-groupes compacts de GL(R).
Th´eor`eme de Jordan.
Th´eor`eme de Brouwer-Schauder.
Th´eor`eme de repr´esentation conforme.
R´ ef´ erences
[1] M. Alessandri, Th`emes de g´eom´etrie. Groupes en situation
g´eom´etrique, Dunod, 1999.
[2] H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Dunod, 1999.
[3] H. Cartan, Th´eorie ´el´ementaire des fonctions analytiques
d’une ou plusieurs variables complexes, Hermann, 1985.
[4] X. Gourdon, Analyse, Ellipses, 1994.
[5] A. Pommellet, Cours d’analyse, Ellipses, 1994.
[6] H. Queff´elec et C. Zuily, ´ El´ements d’analyse pour l’agr´egation,
Dunod, 2002.