RÉVISION Probabili..

Automne 2016
Prof : Simon Plouffe, IUT
On reprend tout
Événements et quelques graphiques
Si on lance une pièce 2 fois : l’événement qui consiste à n’avoir
qu’une seule fois FACE. En notant F = 1 et P = 0 est représenté
graphiquement par :
En tant qu’événements on a l’ensemble S lui-même qui est certain
en terme de probabilités et l’ensemble vide qui est un événement
impossible puisqu’un élément du vide ne peut pas avoir lieu.
Comment compter avec des arbres
Si une chose peut être accomplie de façons différentes suivie d’une 2ème
de
façons différentes , et au final k choses accomplies de façon
différente alors le nombre au final de façons différentes de faire est
…
façons
Par exemple, un individu possède 2 serpillères différentes à se metre sur la
tête et 4 tutus (rouge, rose, bleu poudre et saumon) alors il peut s’habiller
de 8 façons différentes.
Permutations et arrangements
On note
cette façon de compter des objets et
=
!
!
Exemple,
= 120. Un corollaire de ce théorème est qu’il y a n!
On en déduit que
permutations de n objets. Si on a 3 lettres a,b,c, il y a 6 permutations.
Permutations avec répétitions
Le nombre de permutations de n objets dont
sont semblables ou indiscernables,
sont semblables, …
sont semblables est :
!
!
!…
!
Par exemple, le nombre de permutations avec les 11 lettres du mot :
M I S S I S S I P P I (grand fleuve américain très plat) qui contient 1M, 2 P, 4 I et 4 S est
11!
1! 2! 4! 4!
34650
Dans l’échantillonnage on distingue 2 cas de figure
Exhaustif et non-exhaustif
Par exemple, de combien de façons peut-on tirer 3 cartes (cas exhaustif) d’un jeu de 52 cartes
il y a 52 x 52 x 52 = 140 608 façons.
Pour le cas exhaustif il y a 52 x 51 x 50 = 132 600 façons.
Arrangements
!
!
Combinaisons
!
Permutations
!
! !
!
Le problème du calcul de
Par la formule de Stirling
quand n et k sont >> 1.
!
2
En prenant le logarithme (népérien ou en base e) on obtient que
1
log 2π
2
!
Donc avec
=
, on a log(1000!)
3000 ln(10) - 1000 + ln(2000 Pi)/2 et
!·
!
log(500!) 500 ln(500) - 500 + ln(1000 Pi)/2 et simplifié qui nous donne :
log !
n · log n
n
exp(999 ln(2) - 3/2 ln(5) - 1/2 ln(Pi)) = exp(689.4675116)
Indépendance et probabilité conditionnelle
Par conséquent
Exemple
Exemple
Considérons les épreuves répétées et indépendantes d’une même expérience
n’ayant que 2 résultats possibles.
On suppose que l'un de ces résultats correspond à un succès et l'autre à un échec.
Soit p la probabilité de succès.
Par voie de conséquence, la probabilité d'échec est
1
Si l'on ne s'intéresse qu'au nombre de succès, et non à l'ordre dans lequel ceux‐ci se
réalisent, on peut énoncer le théorème suivant.
Laprobabilitépourqu'ilyaitexactementksuccèslorsdenépreuvesrépétées
estdonnéepar
; ,
Onpeutobserverquelaprobabilitéden'avoiraucunsuccèsest ,etquepar
conséquent,laprobabilitéd'avoiraumoinsunsuccèsest1
.
Exemples
Exemples
Onarriveauthéorèmetrèsimportantsuivant
Distribution binomiale
Moyenne
Variance
Écart‐type
Onjetteundéparfait180foisdesuite.L’espérancemathématiquedunombrede
5.
30etl’écart type,
180 · ⁄ · ⁄
sixest
180 · ⁄
Revenonsuninstantauxdés
Lesdiagrammesenbâtonsreprésententleslois
discrètesdelasommede1,2,3,4ou5dés.Lacourbe
noireestladensitédelaloinormalevuecommelimite
desdiagrammesenbâtons.
La planche de Galton
Sionregardedeprèslaloibinomiale,onreconnaîticilescoefficientsbinomiauxquand
. Sintendversl’infini…quesepasse t‐il ?
Laloibinomialetendversunelimitequiestlaloinormale,qu’onpeut montrer en
utilisantdesclousetdesbillesetuneplanche Galton .
Laloinormale
En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale est l'une des lois de
probabilité les plus adaptées pour modéliser des phénomènes naturels issus de
plusieurs événements aléatoires.
Elle est également appelée loi gaussienne, loi de Gauss ou loi de Laplace‐Gauss
des noms de Laplace 1749‐1827 et Gauss 1777‐1855 ,
deux mathématiciens, astronomes et physiciens qui l'ont étudiée.
Plus formellement, c'est une loi de probabilité absolument continue qui dépend
de deux paramètres : son espérance, un nombre réel noté μ,
et son écart type, un nombre réel positif noté σ.
La densité de probabilité de la loi normale est donnée par :
La courbe en cloche
Si
0et
1, laformulesesimplifieetdevientlaloinormalecentréeréduite.
Mais,selon que estdifférentet aussi,
La demonstration de ce théorème dépasse le cadre du cours, on peut
se contenter du petit film sur la planche de Galton.
LaloidePoissonaétéintroduiteen1838parSiméonDenisPoisson 1781–1840 ,
danssonouvrageRecherchessurlaprobabilitédesjugementsenmatière
criminelleetenmatièrecivile.
LesujetprincipaldecetouvrageconsisteencertainesvariablesaléatoiresN
quidénombrent,entreautreschoses,
lenombred'occurrences parfoisappelées«arrivées» quiprennent
placependantunlapsdetempsdonné.
Quiseformule ainsi :
Silenombremoyend'occurrencesdanscetintervalleestλ,
alorslaprobabilitéqu'ilexisteexactementk occurrences
k étantunentiernaturel,k 0,1,2,... est
e labasedeslogarithmes népériens :2,7182818284590452353602874…,et
unnombre strictement 0. OnditalorsqueX suitlaloidePoisson deparamètreλ.
Ça donne bien une courbe dont lasurfaceest 1mais …
Parexemple,siuncertaintyped'évènementsseproduitenmoyenne4foisparminute,
pourétudierlenombred'évènementsseproduisantdansunlapsdetempsde10
minutes,onchoisitcommemodèleuneloidePoissondeparamètre
10 4 40.
Comme aveclaloi normale,onaces paramètres utiles etessentiels :
L’espérance est
Lavarianceest également :
Donc,l’écart typeest .
Autres exemples :Letempsd’arrivée d’unascenceur,
Ledomained'applicationdelaloidePoissonaétélongtempslimitéàceluides
événementsrarescommelessuicidesd'enfants,lesarrivéesdebateauxdansunportou
lesaccidentsdusauxcoupsdepieddechevaldanslesarmées Ladislaus Josephovich
Bortkiewicz 1868‐1931 .
Mais ons’est apercubien plustard queça pouvait également s’appliquer à
Probabilité d’undéfaut depaiement decredit,phénomènes radioactifs,mutations
biologiques etleYield Managementpourlescompagniesaériennesquiconsiste
àoptimiserleremplissage desavions,chambres d’hotels,etc.
Comme toute loi de probabilité discrète, une loi de
Poisson peut être représentée par un diagramme en
bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en
bâtons des lois de Poisson de paramètres 1, 2 et 5.
Lorsque le paramètre λ de la loi de Poisson devient
grand, (pratiquement lorsqu'il est supérieur à 5), son
diagramme en bâton est correctement approché par
l'histogramme d'une loi normale d'espérance et de
variance égales à λ (l'intervalle de classe étant égal à
l'unité). Cette convergence était mise à profit, avant que
les moyens informatiques ne se généralisent, pour
utiliser la loi normale en lieu et place de la loi de Poisson
dans certains tests.
Quelques exemples
Silaprobabilité d’avoir unboulon défectueux est 0,1,trouver lamoyenne
etl’écart typepourlenombre deboulons défectueux surunlotde400boulons ?
Onaici :
L’écart typeest
∶ 400 0,1
40, ilyaura40boulonsdéfectueuxenmoyenne.
400 ·
·
36.
L’écart typeest élevé,ce quiveut direqu’on peut seretrouver avecplusde100boulons
défectueux souvent.
Mais pourquoi ?
Onsait que selon laloi normale,ici proche decette loi binomial ,que
plusde68%descas onaura1· dechaque côté de40,donc entre4et76boulons
défectueux,que3
108. 0 148 é
99%
.
Comment calculer la probabilité liée à une loi normale.
Toutd’abord lacourbe delaloi normale
Pouravoir laprobabilité il faut trouver selon une tabledelaloi normale .
Alors :soit onpeut établir un‘scoreZ’selon lanoteou bien
une noteselon le‘scoreZ’.
ScoreZou pointsZou unitescentrées réduites sont
synonymes.
L’important est dedevelopper unminimumderigueurpoureffectuer une
statistique uncalcul deprobabilité
,ou bien seservir desonintuitiongéométrique pourinterpreter
lerésultat d’uncalcul
Pourleproduitdematricesonprocèdecommesuit:
Vecteursdeprobabilitéetmatricestochastique
, ,…,
estunvecteurdeprobabilité
Onditqu'unvecteur
sisescomposantes sontpositivesounullesetsilasommedeces
composantesestégaleà1.
Onditqu’unematricecarréeestunematricestochastiquesichacunedes
lignesestunvecteurdeprobabilité,sichaqueélémentdecettematriceest
positifounuletsilasommedechaqueligneest1.
Exemple
Onditqu’unematricestochastique estrégulière sitous leséléments
sont strictement positifs 0 . SiAest d’ordre m
d’une puissancequelconque
il yauraauplusm‐1puissances avant quelamatrice nesestabilise.
Toutça pouren arriveràceci
Quidit matrice detransitiondit aussi graphe detransition
Qui se lit, lorsque c’est ensoleillé il y a 90 % de chances que ça le reste le
lendemain et 10 % de chance qu’il pleuve.
Quand il pleut, il y a 50% de chance que ça le reste le lendemain et
50 % de chances qu’il fasse soleil.
En effectuant les puissances, on en vient à la conclusion qu’à la longue, il
fait soleil 83,3 % du temps et il pleut 16,67 % du temps.
Pour l’exemple du train et voiture : l’ouvrier en vient à prendre le train
1/3 du temps et sa voiture 2/3 du temps.
Commentinterpréter lespuissances delamatrice detransition
D’ungraphe àune matrice detransition
Leretourdupoissonbinomialetnormal
Quisedécodecommesuit,
0
109
200
1
65
200
2
22
200
3
3
200
4
1
200
0,545
0,325
0,11
0,015
0,005
DoncE(X)est(calculdel’espérance)=0,61.
Autreexemplebinomialement infaisable
Sionappliquelaformulepourlaloibinomialeonaura1000000!àévaluer
ParcontreaveclaloidePoisson:
Aveclaloinormale
onal’intervalle
1,1 ,
1
0,5
1,5
0,383.
Onbasenotre raisonnement surl’Hypothèse :que lanaturedesperformancesdes
sauteursseralamêmequecelleobservée.
5) Il y a un estimateur de proportion (on dit aussi indicateur)
calculé à partir de N observations, en autant que ce soit une distribution normale.
La variance est
.
p étant la probabilité, p = 0,565.
Donc, que l’écart type est
.
La moyenne étant 0,565, il y a 95 % de chances que le pointage obtenu soit situé entre
0,565
1,96 ·
1
1,96 étant en unités centrées réduites sur la courbe de Gauss (loi normale) et qui
correspond à 95 % de la surface de la courbe.
Il y a 95 % de chances que le nombre de succès soit entre 36 % et 76 %.
Traduiten français,lasomme desécarts àlamoyenne théorique aucarré donne
unparamètre Tquipermet d’accepter ou derejeter une hypothèse.
Ici
estlamoyennethéorique.
à(j‐1)degrésdeliberté.
Sousl’hypothèse nulle, suitasymptotiquement une loi du
Mais bien sûr ici onasouslamainune tabledu
nouspermettant deconclure.
Etlalirecorrectement :ici onavait j=5et
0,05quidonne11,070.
Autre exemple :