Chapitre 8 - Tourbillon

Chapitre 8
Jean-Paul Vincent
Jean-Paul Vincent () Chapitre 8  1/8

1Intégration des formes différentielles
Intégrales curvilignes
Primitives des formes différentielles
Circulation de vecteurs
Formule de Green-Riemann
Jean-Paul Vincent () Chapitre 8  2/8

Intégration des formes différentielles
Introduction
En dimension 1 nous savons que les fonctions continues admettent des
primitives. Quelle notion généralise la notion de primitive en dimensions
supérieures à 2 ?
La dérivée d’une fonction f:(x,y)7→ f(x,y)n’est pas une fonction mais
une forme différentielle : df=∂f
∂xdx+∂f ∂ydy.
La question que nous devons nous poser est : «quelle forme différentielle
est la différentielle d’une fonction ?» Pour y répondre nous examinons
quelques propriétés des formes différentielles.
Definition
Une forme différentielle ω=f1dx+f2dyest de classe Csi, et seulement
si, f1et f2sont de classe Cn.
Jean-Paul Vincent () Chapitre 8  3/8

Intégration des formes différentielles Intégrales curvilignes
Intégrales curvilignes
Soient fune fonction de classe C1définie sur une partie ouverte de R2,
un arc paramétré (I,γ)de classe C1(avec I= [0,1]) d’origine γ(0) = a
et d’extrémité γ(1) = b. Alors
d(f◦γ)
dt(t) = f0(γ(t))γ0(t)
Donc
f(b)−f(a) = Z1
0
f0(γ(t))γ0(t)dt
=Z1
0
∂f
∂x(γ(t))γ0
1(t) + ∂f
∂y(γ(t))γ0
2(t)dt
Cette formule nous amène à la définition suivante.
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Intégration des formes différentielles Intégrales curvilignes
Intégrales curvilignes
Definition
Soient ω=f1dx+f2dyune forme différentielle de classe C0sur un
ouvert Ude Rn(n=2 ou 3) et ([0,1],γ)un chemin de classe C1.
Appellons intégrale curviligne de ωle long de γl’intégrale :
Zγω=Z1
0ω(γ(t)).γ0(t)dt
Ainsi
f(b)−f(a) = Zγ df
Donc Rγdf=0 si a=b. Une condition nécessaire pour que ωadmette
une primitive est que pour tout lacet γ:
Zγ
df=0
Jean-Paul Vincent () Chapitre 8  4/8