Chapitre 8 - Tourbillon

Chapitre 8
Jean-Paul Vincent

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Chapitre 8
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Intégration des formes différentielles
Intégrales curvilignes
Primitives des formes différentielles
Circulation de vecteurs
Formule de Green-Riemann
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Intégration des formes différentielles
Introduction
En dimension 1 nous savons que les fonctions continues admettent des
primitives. Quelle notion généralise la notion de primitive en dimensions
supérieures à 2 ?
La dérivée d’une fonction f : (x , y ) 7→ f (x , y ) n’est pas une fonction mais
∂f
∂f
dx + ∂y
dy .
une forme différentielle : df = ∂x
La question que nous devons nous poser est : «quelle forme différentielle
est la différentielle d’une fonction ?» Pour y répondre nous examinons
quelques propriétés des formes différentielles.
Definition
Une forme différentielle ω = f1 dx + f2 dy est de classe C si, et seulement
si, f1 et f2 sont de classe C n .
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Intégration des formes différentielles
Intégrales curvilignes
Intégrales curvilignes
Soient f une fonction de classe C 1 définie sur une partie ouverte de R2 ,
un arc paramétré (I, γ) de classe C 1 (avec I = [0, 1]) d’origine γ(0) = a
et d’extrémité γ(1) = b. Alors
d(f ◦ γ )
(t ) = f 0 (γ(t ))γ0 (t )
dt
Donc
f (b ) − f (a ) =
Z 1
0
=
f 0 (γ(t ))γ0 (t ) dt
Z 1
∂f
0
∂x
(γ(t ))γ10 (t ) +
∂f
(γ(t ))γ20 (t ) dt
∂y
Cette formule nous amène à la définition suivante.
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Intégration des formes différentielles
Intégrales curvilignes
Intégrales curvilignes
Definition
Soient ω = f1 dx + f2 dy une forme différentielle de classe C 0 sur un
ouvert U de Rn (n = 2 ou 3) et ([0, 1], γ) un chemin de classe C 1 .
Appellons intégrale curviligne de ω le long de γ l’intégrale :
Z
ω=
γ
Z 1
0
ω (γ(t )).γ0 (t ) dt
Ainsi
f (b ) − f (a ) =
Z
df
γ
R
Donc γ df = 0 si a = b. Une condition nécessaire pour que ω admette
une primitive est que pour tout lacet γ :
Z
df = 0
γ
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Intégration des formes différentielles
Intégrales curvilignes
Intégrales curvilignes
Changement de paramétrisation
Soit ([α, β], η ) un arc équivalent à γ, alors il existe θ un
difféomorphisme de classe C 1 tel que
γ(θ (s )) = η (s ),
η 0 (s ) = γ0 (θ (s ))θ 0 (s )
d’où
Z
ω=
γ
Z 1
0
0
ω (γ(t )).γ (t ) dt =
Z β
ω (γ(θ (s ))).γ0 (θ (s ))θ 0 (s ) ds
α
Z
ω=
γ
Z β
ω (η (s )).η 0 (s ) dt = ±
α
Z
ω
η
± suivant que θ conserve ou change l’orientation.
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Intégration des formes différentielles
Primitives des formes différentielles
Primitives des formes différentielles
Definition
Soit ω = f1 (x , y )dx + f2 (x , y )dy une forme différentielle dont les
coefficients f1 et f2 sont définis et dérivables sur un ouvert U de R2 .
∂f
∂f2
= 1
ω est fermée si , et seulement si
∂x
∂y
S’il existe une application F définie sur U telle que dF = ω, ω est
exacte ou est une différentielle totale.
Example
D’après le théorème de Schwarz, une forme différentielle exacte de
classe C 2 est fermée.
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Intégration des formes différentielles
Primitives des formes différentielles
Primitives des formes différentielles
Theorem
Soit ω une forme différentielle fermée, définie et de classe C 1 sur une
boule ouverte U de R2 . Alors ω est exacte.
Autrement dit : une forme C 1 et fermée est localement exacte.
car la preuve utilise
les segments qui
relient les points
de l’ensemble à un
point donné
Le théorème est
vrai sur les ensembles étoilés
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Circulation de vecteurs
Circulation de vecteurs
Definition
Appellons champ de vecteurs une application v définie sur un ensemble
U et à valeurs dans un espace vectoriel E . Si U est un ouvert de Rm
(1 ≤ m ≤ 3) et E = Rn (1 ≤ n ≤ 3) , le champ v est dit de classe C p
si ses coordonnées sont de classe C p .
À tout vecteur ~u = (u1 , u2 ) de R2 correspond la forme différentielle
u1 dx + u2 dy et inversement.
Ainsi il y a deux points de vue et donc deux vocabulaires. Le lexique suit.
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Intégration des formes différentielles
Circulation de vecteurs
Circulation de vecteurs
Definition
Appellons circulation du champ (continu) v le long de l’arc ([a, b ], γ)
(de classe C 1 ) l’intégrale :
Z b
a
v1 (γ(t ))γ10 (t ) + v2 (γ(t ))γ20 (t ) dt
Notations
Z b
a
v1 (γ(t ))γ10 (t ) + v2 (γ(t ))γ20 (t ) dt =
Z b
~v (t ).dγ(t ) =
a
I
v
γ
La circulation est l’intégrale de la forme différentielle associée
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Intégration des formes différentielles
Circulation de vecteurs
Circulation de vecteurs
Potentiels
Soient un champ continu v et ω la forme associée à v définis sur un
ouvert U. Si ω est exacte, il existe une application f de classe C 1 dans
U telle que ω = df , nous dirons que le champ dérive du potentiel
scalaire f (scalaire parce que f est à valeurs réelles). Le champ v est dit
conservatif
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Intégration des formes différentielles
Formule de Green-Riemann
Formule de Green-Riemann
Theorem
Soient un champ de vecteurs v = f1 dx + f2 dy , D une partie bornée du
plan délimité par un lacet ([a, b ], γ) de classe C 1 :
Z
f1 dx + f2 dy =
γ
ZZ
D
∂f2
∂f
− 1 dx dy
∂x
∂y
y
L’ensemble D est
approché par un
quadrillage. Détail
→
c
d
Rk
Rj
a
b
x
O
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Intégration des formes différentielles
Formule de Green-Riemann
Formule de Green-Riemann
La formule de Green-Riemann s’applique aux calculs d’aires de parties A
dont le bord ∂A est paramétré, et un champ ω = f1 dx + f2 dy tel que
∂f2
∂f
− 1 =1
∂x
∂y
Aire (A) =
Z
ω
∂A
Exemples : x dy , −y dx et 12 (−y dx + x dy ).
Règle de parcourt du
bord, qui peut être une
réunion de lacets :
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Intégration des formes différentielles
Formule de Green-Riemann
Formule de Green-Riemann
En coordonnées polaires :
dx = cos θdr − r sin θdθ,
dy = sin θdr + r cos θdθ
d’où
1 2
r dθ
2
résultat observé sur un petit accroissement de l’angle, le lacet
OM (θ0 )M (θ1 ) est
assimilé au bord d’un triangle dont l’aire est approximativement 12 r (r d θ )
ω=
M(θ1 )
O
1
2 r dθ
dθ
r(θ)
M(θ0 )
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Formule de Green-Riemann
Fin
Pour plus de précisions :
http://pagesperso-orange.fr/tourbillon/mpsi/math_mpsi.html.
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