Rayon spectral, quotient de Rayleigh, norme subordonnée de la

Rayon spectral, quotient de Rayleigh, norme subordonnée de la
norme k.k2
28 mai 2012
Dans tout ce qui suit :
• K désignera l’un des corps R des nombres réels ou C des nombres complexes (limites des programmes des
classes préparatoires).
• n est un entier naturel non nul et Nn = {k ∈ N/1 ≤ k ≤ n}
• Toutes les matrices carré sont de taille n et à coefficients dans K
• Si besoin est on notera (A)i j le terme de la matrice A de la i emme ligne et la j emme colonne.
• On rappelle donc que si A et B sont deux matrices carrées de taille n alors , pour tout (i, j) ∈ N2n on a , :
n
(AB)i j =
∑ (A)ik (B)k j
k=1
• On aura besoin une fois de parler de Mn,p (K) , auquel cas p est un entier naturel non nul
• E désignera le K− espace vectoriel Mn,1 (K) de dimension n des matrice à une seule colonne et n lignes et à
coefficients dans K.
1
1.1
Quotient de Rayleigh, norme subordonnée de la norme ||.||2
Quelques definitions et propositions préliminaires
Soit A ∈ Mn,p (K). La matrice A∗ tel que pour tout (i, j) ∈ N2n , (A∗ )i j = (A) ji , ce qui veut dire que : A∗ = t A
s’appelle la matrice adjointe de A. Si n = p, la matrice carrée A est hermitienne si elle est égale à sa matrice
adjointe. on dit qu’une matrice U est unitaire si elle est inversible d’inverse son adjointe. On dit q’une matrice
U est normale si UU ∗ = U ∗U c’est-à-dire elle commute avec sa matrice adjointe.
Soit A une matrice carrée à coefficients complexe et Sp(A) le spectre de A. On appelle rayon spectral de A le
nombre réel positif ρ(A) = sup{|λ |/λ ∈ Sp(A)}.
Proposition 1 Si une matrice A ∈ M (C) est à la fois triangulaire et normale alors elle est diagonale
Corollaire 1 Toute matrice M ∈ Mn (C) est trigonalisable via une matrice unitaire, c’est-à-dire il existe U
unitaire et T triangulaire supérieure tel que M = UTU ∗
Corollaire 2 Pour toute matrice hermitienne M il existe une matrice ∆ diagonale réelle et une matrice unitaire
U tel que M = U∆U ∗ . unitaire.
1.2
Quotient de Rayleigh : Definition, quelques propriètés
Dans cette section E = mcmn,1 (C) est muni de son produit scalaire usuel, c’est-à-dire que pour X,Y ∈ E, on a :
hX,Y i = X ∗Y =
n
∑ xk yk
k=1
On note k.k2 la norme euclidienne associée à ce produit scalaire.
A est une matrice carrée complexe hermitienne.
Proposition 2 Pour tout X ∈ E on a : hAX, Xi est un nombre réel
1
Preuve :
il suffit de montrer qu’il est égal à son conjugué :
a = hAX, Xi = (AX)∗ X = X ∗ A∗ X
donc et compte tenu que a ∈ C donc : a = a∗ , on a :
a = a∗ = (X ∗ A∗ X)∗ = X ∗ AX = X ∗ A∗ X = a
en effet A∗ = A car A est supposée hermitienne.
Definition 1 L’application RA de E\{O} vers R définie par RA (X) =
hAX, Xi
est appelée quotient de Rayleigh
kXk2
associé à la matrice hermitienne A
Lemme 1 Soit Ω = E\{O} alors Ω est un ouvert connexe par arc de l’espace vectoriel normé (E, k.k2 )
Preuve :
Ω est un ouvert car {O} est un fermé. Soit (X,Y ) ∈ ω 2 , démontrons qu’il existe un chemin continue γ qui
lie X et Y :
• Premier cas : Si O ∈
/ [X,Y ] c’est terminé car γ : [0, 1] → U tel que ∀t ∈ [0, 1] γ(t) = (1 −t)X +tY convient.
• Deuxième cas : O ∈ [X,Y ] alors il existe un nombre réelle non nul α tel que Y = αX. On va montrer que
O 6∈ [X, iX] et O 6∈ [iX,Y ].
En effet : si O ∈ [X, iX] , on aurait : ∃t ∈ [0, 1] O = (1 − t)X + tiX
Alors comme X 6= O on aurait : (1 − t) + it = 0, impossible car cela donne t = 1 et t = 0
De même si O ∈ [iX,Y ] et comme Y = αX on aurait pour un certain t ∈ [0, 1] : (1 − t)iX + tαX = O donc :
(1 − t)i + tα = 0 donc t = 1 et αt = 0, impossible car α 6= 0 . d’après l’étude faite au premier cas, il existe
un chemin continue tracé sur ω qui joigne X et iX et un autre qui joigne iX et Y Par jonction des deux
chemins on en a un qui joigne X et Y , d’oùΩ est connexe par arcs.
Proposition 3 L’application RA est continue sur Ω
Preuve :
On sait que le produit scalaire est une application bilinéaire continue de E 2 vers K (en effet E est de
dimension finie et même si ce n’était pas de dimension finie on a le résultat par l’inégalité de CauchySchwarz ). L’application X 7→ AX est continue car linéaire et on est en dimension finie. L’application
X 7→ kXk est continue sur Ω et ne s’y annule jamais, d’où la continuité de RA (par composition et rapport
de deux fonctions continues)
Remarque : On peut démontrer que RA est de classe C∞ sur Ω et que :
(∀X ∈ Ω) gradRA (X) =
2
(AX − RA (X)X)
kXk2
Proposition 4 Soit A ∈ Mn (C) une matrice hermitienne de valeurs propres réelles : λ1 , · · · , λn tel que : λ1 ≤
· · · ≤ λn . Alors : RA (Ω) = [λ1 , λn ].
Preuve :
Remarquons tout de suite que si λ ∈ Sp(A) alors il existe X ∈ E tel que X 6= O et AX = λ X, de sorte que
hAX, Xi hλ X, Xi
RA (X) =
=
= λ . Autrement dit, toutes les valeurs propres de A sont atteintes par RA .
hX, Xi
kXk22
Comme la matrice A est diagonalisable via une matrice unitaire, alors E admet une base O = (ω1 , · · · , ωn )
de vecteurs propres de l’application linéaire X 7→ AX canoniquement associée à la matrice A. On numérote
n
n
les ωi de sorte que λi est la valeur propre associée à ωi . Soit alors X =
k=1
n
et par suite : hAX, Xi =
2
∑ λk |xk |
k=1
n
∑ xi ωi ∈ E, alors : AX = ∑ λk xk ωk
(n’oublions pas que les λk sont réels.). Comme : ∀k ∈ Nn
n
λ1 ≤ λk ≤ λn
n
on a par sommation : λ1 ∑ |xk |2 ≤ hAX, Xi ≤ λn ∑ |xk |2 et compte tenu de : kXk2 =
k=1
k=1
k=1
∑ |xk |2 on a le résultat
k=1
désiré : RA (X) ∈ [λ1 , λ2 ]. Réciproquement, le lemme ci-dessus assure par continuité de RA que l’image de Ω
qui est connexe par arc est un connexe par arc de R donc un intervalle dont les bornes sont λ1 et λn et y
appartiennent, donc c’est exactement [λ1 , λn ].
2
Norme subordonnée de k.k2
1.3
Definition 2 Une matrice hermitienne A est dite positive si ses valeurs propres sont positives
Remarque : le rayon spectral d’une telle matrice est égal à sa plus grande valeur propre.
Proposition 5 Soit M ∈ Mn (C) une matrice quelconque. La matrice M ∗ M est hermitienne positive. En particulier, on a :
∀M ∈ M2 (C) ρ(M ∗ M) = sup RM∗ M (X)
X∈Ω
Preuve :
On a : (M ∗ M)∗ = M ∗ (M ∗ ) = M ∗ M donc elle est hermitienne.
Soit λ une valeur propre de M ∗ M alors, il existe X ∈ E tel que X 6= O et M ∗ MX = λ X. On a : hM ∗ MX, Xi =
λ kXk22 (car λ est réel) D’autre part : hM ∗ MX, Xi = (M ∗ MX)∗ X = X ∗ M ∗ MX = (MX)∗ MX = kMXk22 ≥ 0
donc λ ≥ 0.
Conséquence : ρ(M ∗ M) = sup RM∗ M (X)
X∈Ω
Proposition 6 La norme subordonnée de k.k2 est définie par :
∀M ∈ Mn (C) |||M|||2 =
p
ρ(M ∗ M)
Preuve :
kMXk2
. Or : kMXk22 = h(iMX, MX) =
kXk
2
X∈Ω
p
(MX)∗ MX = X ∗ M ∗ MX = X ∗ (M ∗ M)∗ X = (M ∗ MX)∗ X = hM ∗ MX, Xi. Par suite : |||M|||2 = sup RM∗ M (X) =
X∈Ω
r
p
∗
∗
sup RM M (X) = ρ(M M) , ce qu’il fallait démontrer.
Par définition de la norme subordonnée, on a : |||M|||2 = sup
X∈Ω
2
Rayon spectral et convergence
Proposition 7 Soit ||.|| une norme sur Mn1 (K) et soit |||.||| la norme subordonnée qui lui est associée, c’est-àdire la norme sur Mn (K) définie par :
(∀A ∈ Mn (K)) |||A||| =
||AX||
.
X∈M (K),X6=O ||X||
sup
Pour toute matrice P de taille n inversible , ||.||P définie par :
(∀X ∈ Mn1 (K)) ||X||P = ||PX||
est une norme sur Mn,1 (K) dont la norme subordonnée |||.|||P est définie par : Mn (K) définie par :
(∀A ∈ Mn (K)) |||A||| = |||PAP−1 |||
Preuve :
Il est facile de prouver que ||.||P est une norme.
Soit A ∈ Mn (K). On a :
|||A|||P
=
||AX||P
X6=O ||X||P
=
||PAX||
X6=O ||PX||
=
||PAP−1 PX||
||PX||
X6=O
=
||PAP−1Y ||
||Y ||
Y 6=O
sup
sup
sup
sup
= |||PAP−1 |||
L’avant dernière égalité est justifiée par le faite que X 7→ PX est un isomorphisme de Mn (K) donc il est
légitime de dire que X parcourt Mn,1 (K) si et seulement si Y = PX fait la même chose.
3
Proposition 8 Soit D = diag(λi ) et D0 = diag(λi0 ) deux matrices diagonale. Pour toute matrice carré M = (mi j ),
si M 0 = (m0i j ) = D0 MD alors m0i j = λi0 mi j λ j .
Preuve :
n
(DM)i j =
∑ δik λk mk j = λi mi j
k=1
n
(MD)i j =
∑ mik δk j λ j = mi j λ j
k=1
Donc :
(D0 MD)i j = (D0 (MD))i j = λi0 (MD)i j = λi0 mi j λ j = λi0 λ j mi j
Corollaire : Si pour t ∈ R∗ , on pose ∆t = diag(t, ...,t n ) alors pour toute matrice Mt = (mi j ) on a : (∆t )−1 M∆ a
pour terme général : m0i j = t j−i mi j .
Remarque : Si M est triangulaire supérieure alors alors Mt est triangulaire supérieure et lim Mt = diag(m11 , ..., mnn )
t→0
En effet : Mt est le produit de deux matrices triangulaires supérieures et pour i < j on a : lim t j−i = 0 et pour
t→0
i = j on a m0ii = mii .
Proposition 9 Pour toute matrice M à coefficients complexes et pour tout ε > 0 il existe une norme subordonnée
||.|| tel que ||M|| < ε + ρ(M)
Preuve : Tout d’abord, notons que M est semblable à une matrice triangulaire supérieure T dont les termes
diagonaux λ1 , · · · , λn sont exactement les valeurs propres de la matrice M. Disons : M = QT Q−1 avec Q ∈
GLn (C). Il existe une matrice diagonale de la forme Dt ci-dessus te que : Tt = Dt−1 T Dt et :
|||Tt − ∆|||2 < ε
où ∆ = diag(λ1 , · · · , λn ). On en déduit que :
|||Tt |||2 ≤ |||∆|||2 + ε
On a : Tt = Dt−1 T Dt = Dt−1 Q−1 T MQDt = PMP−1 avec P = Dt−1 Q−1
Tenant compte du fait que ||∆||2 = ρ(M) , on a alors :
|||M|||2,P ≤ ρ(M) + ε
et comme on a vu que |||.|||2,P est une norme subordonnée, le résultat de la proposition est établit.
Proposition 10 Soit A ∈ Mn (C). Les quatres assertions suivantes sont équivalentes :
(i) lim Ak = O
k→+∞
(ii) ∀X ∈ E
lim Ak X = O
k→+∞
(iii) ρ(A) < 1
Preuve :
(i) ⇒ (ii) : Supposons qu’on a (i) , soit k.k une norme sur E et |||.||| sa norme subordonnée sur Mn (K)
alors pour tout X ∈ E, on a : |||Ak X||| ≤ |||Ak |||kXk. Or lim |||Ak ||| = 0 par continuité de |||.||| et par (i).
k→+∞
d’où (ii).
(ii) ⇒ (iii) : Soit λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé. Par (ii), on a : lim Ak X = O.
n→+∞
Or Ak X = λ k X, et comme X 6= O, on a : lim λ k = 0. Donc |λ | < 1.
k→+∞
(iii) ⇒ (i) : On va utiliser la proposition 9 : Prenons ε =
tel que
|||A||| < ρ(A) + ε =
Or q =
1 − ρ(A)
. Il existe une norme subordonnée |||.|||
2
1 + ρ(A)
2
1 + ρ(A)
< 1 Donc pour tout k ∈ N on a :
2
|||Ak ||| ≤ |||A|||k ≤ qk
et lim qk = 0. D’où (i).
k→+∞
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