Rayon spectral, quotient de Rayleigh, norme subordonnée de la

Rayon spectral, quotient de Rayleigh, norme subordonnée de la
norme k.k2
28 mai 2012
Dans tout ce qui suit :
•Kdésignera l’un des corps Rdes nombres réels ou Cdes nombres complexes (limites des programmes des
classes préparatoires).
•nest un entier naturel non nul et Nn={k∈N/1≤k≤n}
•Toutes les matrices carré sont de taille net à coefficients dans K
•Si besoin est on notera (A)i j le terme de la matrice Ade la iemme ligne et la jemme colonne.
•On rappelle donc que si Aet Bsont deux matrices carrées de taille nalors , pour tout (i,j)∈N2
non a , :
(AB)i j =
n
∑
k=1
(A)ik(B)k j
•On aura besoin une fois de parler de Mn,p(K), auquel cas pest un entier naturel non nul
•Edésignera le K−espace vectoriel Mn,1(K)de dimension ndes matrice à une seule colonne et nlignes et à
coefficients dans K.
1 Quotient de Rayleigh, norme subordonnée de la norme ||.||2
1.1 Quelques definitions et propositions préliminaires
Soit A∈Mn,p(K). La matrice A∗tel que pour tout (i,j)∈N2
n,(A∗)i j = (A)ji , ce qui veut dire que : A∗=tA
s’appelle la matrice adjointe de A. Si n=p, la matrice carrée Aest hermitienne si elle est égale à sa matrice
adjointe. on dit qu’une matrice Uest unitaire si elle est inversible d’inverse son adjointe. On dit q’une matrice
Uest normale si UU ∗=U∗Uc’est-à-dire elle commute avec sa matrice adjointe.
Soit Aune matrice carrée à coefficients complexe et Sp(A)le spectre de A. On appelle rayon spectral de Ale
nombre réel positif ρ(A) = sup{|λ|/λ∈Sp(A)}.
Proposition 1 Si une matrice A ∈M(C)est à la fois triangulaire et normale alors elle est diagonale
Corollaire 1 Toute matrice M ∈Mn(C)est trigonalisable via une matrice unitaire, c’est-à-dire il existe U
unitaire et T triangulaire supérieure tel que M =UTU∗
Corollaire 2 Pour toute matrice hermitienne M il existe une matrice ∆diagonale réelle et une matrice unitaire
U tel que M =U∆U∗. unitaire.
1.2 Quotient de Rayleigh : Definition, quelques propriètés
Dans cette section E=mcmn,1(C)est muni de son produit scalaire usuel, c’est-à-dire que pour X,Y∈E,ona:
hX,Yi=X∗Y=
n
∑
k=1
xkyk
On note k.k2la norme euclidienne associée à ce produit scalaire.
Aest une matrice carrée complexe hermitienne.
Proposition 2 Pour tout X ∈E on a : hAX,Xiest un nombre réel
1

Preuve :
il suffit de montrer qu’il est égal à son conjugué :
a=hAX,Xi= (AX)∗X=X∗A∗X
donc et compte tenu que a∈Cdonc : a=a∗, on a :
a=a∗= (X∗A∗X)∗=X∗AX =X∗A∗X=a
en effet A∗=Acar Aest supposée hermitienne.
Definition 1 L’application RAde E\{O}vers Rdéfinie par RA(X) = hAX,Xi
kXk2
est appelée quotient de Rayleigh
associé à la matrice hermitienne A
Lemme 1 Soit Ω=E\{O}alors Ωest un ouvert connexe par arc de l’espace vectoriel normé (E,k.k2)
Preuve :
Ωest un ouvert car {O}est un fermé. Soit (X,Y)∈ω2, démontrons qu’il existe un chemin continue γqui
lie Xet Y:
•Premier cas : Si O/∈[X,Y]c’est terminé car γ:[0,1]→Utel que ∀t∈[0,1]γ(t) = (1−t)X+tY convient.
•Deuxième cas : O∈[X,Y]alors il existe un nombre réelle non nul αtel que Y=αX. On va montrer que
O6∈ [X,iX]et O6∈ [iX,Y].
En effet : si O∈[X,iX], on aurait : ∃t∈[0,1]O= (1−t)X+tiX
Alors comme X6=Oon aurait : (1−t) + it =0, impossible car cela donne t=1et t=0
De même si O∈[iX,Y]et comme Y=αXon aurait pour un certain t∈[0,1]:(1−t)iX +tαX=Odonc :
(1−t)i+tα=0donc t=1et αt=0, impossible car α6=0. d’après l’étude faite au premier cas, il existe
un chemin continue tracé sur ωqui joigne Xet iX et un autre qui joigne iX et YPar jonction des deux
chemins on en a un qui joigne Xet Y, d’oùΩest connexe par arcs.
Proposition 3 L’application RAest continue sur Ω
Preuve :
On sait que le produit scalaire est une application bilinéaire continue de E2vers K(en effet Eest de
dimension finie et même si ce n’était pas de dimension finie on a le résultat par l’inégalité de Cauchy-
Schwarz ). L’application X7→ AX est continue car linéaire et on est en dimension finie. L’application
X7→ kXkest continue sur Ωet ne s’y annule jamais, d’où la continuité de RA(par composition et rapport
de deux fonctions continues)
Remarque : On peut démontrer que RAest de classe C∞sur Ωet que :
(∀X∈Ω)gradRA(X) = 2
kXk2(AX −RA(X)X)
Proposition 4 Soit A ∈Mn(C)une matrice hermitienne de valeurs propres réelles : λ1,··· ,λntel que : λ1≤
··· ≤ λn. Alors : RA(Ω) = [λ1,λn].
Preuve :
Remarquons tout de suite que si λ∈Sp(A)alors il existe X∈Etel que X6=Oet AX =λX, de sorte que
RA(X) = hAX ,Xi
kXk2
2
=hλX,Xi
hX,Xi=λ. Autrement dit, toutes les valeurs propres de Asont atteintes par RA.
Comme la matrice Aest diagonalisable via une matrice unitaire, alors Eadmet une base O= (ω1,··· ,ωn)
de vecteurs propres de l’application linéaire X7→ AX canoniquement associée à la matrice A. On numérote
les ωide sorte que λiest la valeur propre associée à ωi. Soit alors X=
n
∑
k=1
xiωi∈E, alors : AX =
n
∑
k=1
λkxkωk
et par suite : hAX,Xi=
n
∑
k=1
λk|xk|2(n’oublions pas que les λksont réels.). Comme : ∀k∈Nnλ1≤λk≤λn
on a par sommation : λ1
n
∑
k=1
|xk|2≤ hAX,Xi ≤ λn
n
∑
k=1
|xk|2et compte tenu de : kXk2=
n
∑
k=1
|xk|2on a le résultat
désiré : RA(X)∈[λ1,λ2]. Réciproquement, le lemme ci-dessus assure par continuité de RAque l’image de Ω
qui est connexe par arc est un connexe par arc de Rdonc un intervalle dont les bornes sont λ1et λnet y
appartiennent, donc c’est exactement [λ1,λn].
2

1.3 Norme subordonnée de k.k2
Definition 2 Une matrice hermitienne A est dite positive si ses valeurs propres sont positives
Remarque : le rayon spectral d’une telle matrice est égal à sa plus grande valeur propre.
Proposition 5 Soit M ∈Mn(C)une matrice quelconque. La matrice M∗M est hermitienne positive. En parti-
culier, on a :
∀M∈M2(C)ρ(M∗M) = sup
X∈Ω
RM∗M(X)
Preuve :
On a : (M∗M)∗=M∗(M∗) = M∗Mdonc elle est hermitienne.
Soit λune valeur propre de M∗Malors, il existe X∈Etel que X6=Oet M∗MX =λX. On a : hM∗MX,Xi=
λkXk2
2(car λest réel) D’autre part : hM∗MX,Xi= (M∗MX)∗X=X∗M∗MX = (MX)∗MX =kMXk2 2≥0
donc λ≥0.
Conséquence : ρ(M∗M) = sup
X∈Ω
RM∗M(X)
Proposition 6 La norme subordonnée de k.k2est définie par :
∀M∈Mn(C)|||M|||2=pρ(M∗M)
Preuve :
Par définition de la norme subordonnée, on a : |||M|||2=sup
X∈Ω
kMXk2
kXk2
. Or : kMXk2
2=h(iMX,MX) =
(MX)∗MX =X∗M∗MX =X∗(M∗M)∗X= (M∗MX)∗X=hM∗MX,Xi. Par suite : |||M|||2=sup
X∈ΩpRM∗M(X) =
rsup
X∈Ω
RM∗M(X) = pρ(M∗M), ce qu’il fallait démontrer.
2 Rayon spectral et convergence
Proposition 7 Soit ||.|| une norme sur Mn1(K)et soit |||.||| la norme subordonnée qui lui est associée, c’est-à-
dire la norme sur Mn(K)définie par :
(∀A∈Mn(K)) |||A||| =sup
X∈M(K),X6=O
||AX||
||X|| .
Pour toute matrice P de taille n inversible , ||.||Pdéfinie par :
(∀X∈Mn1(K)) ||X||P=||PX||
est une norme sur Mn,1(K)dont la norme subordonnée |||.|||Pest définie par : Mn(K)définie par :
(∀A∈Mn(K)) |||A||| =|||PAP−1|||
Preuve :
Il est facile de prouver que ||.||Pest une norme.
Soit A∈Mn(K). On a :
|||A|||P=sup
X6=O
||AX||P
||X||P
=sup
X6=O
||PAX ||
||PX||
=sup
X6=O
||PAP−1PX ||
||PX||
=sup
Y6=O
||PAP−1Y||
||Y||
=|||PAP−1|||
L’avant dernière égalité est justifiée par le faite que X7→ PX est un isomorphisme de Mn(K)donc il est
légitime de dire que Xparcourt Mn,1(K)si et seulement si Y=PX fait la même chose.
3

Proposition 8 Soit D =diag(λi)et D0=diag(λ0
i)deux matrices diagonale. Pour toute matrice carré M = (mi j),
si M0= (m0
i j) = D0MD alors m0 i j =λ0 imi jλj.
Preuve :
(DM)i j =
n
∑
k=1
δikλkmk j =λimi j
(MD)i j =
n
∑
k=1
mikδk jλj=mi jλj
Donc :
(D0MD)i j = (D0(MD))i j =λ0
i(MD)i j =λ0 imi jλj=λ0 iλjmi j
Corollaire : Si pour t∈R∗, on pose ∆t=diag(t,...,tn)alors pour toute matrice Mt= (mi j)on a : (∆t)−1M∆a
pour terme général : m0
i j =tj−imi j.
Remarque : Si Mest triangulaire supérieure alors alors Mtest triangulaire supérieure et lim
t→0Mt=diag(m11,...,mnn)
En effet : Mtest le produit de deux matrices triangulaires supérieures et pour i<jon a : lim
t→0tj−i=0 et pour
i=jon a m0
ii =mii.
Proposition 9 Pour toute matrice M à coefficients complexes et pour tout ε>0il existe une norme subordonnée
||.|| tel que ||M|| <ε+ρ(M)
Preuve : Tout d’abord, notons que Mest semblable à une matrice triangulaire supérieure Tdont les termes
diagonaux λ1,··· ,λnsont exactement les valeurs propres de la matrice M. Disons : M=QT Q−1avec Q∈
GLn(C). Il existe une matrice diagonale de la forme Dtci-dessus te que : Tt=D−1
tT Dtet :
|||Tt−∆|||2<ε
où ∆=diag(λ1,··· ,λn). On en déduit que :
|||Tt|||2≤ |||∆|||2+ε
On a : Tt=D−1
tT Dt=D−1 tQ−1T MQDt=PMP−1avec P=D−1 tQ−1
Tenant compte du fait que ||∆||2=ρ(M), on a alors :
|||M|||2,P≤ρ(M) + ε
et comme on a vu que |||.|||2,Pest une norme subordonnée, le résultat de la proposition est établit.
Proposition 10 Soit A ∈Mn(C). Les quatres assertions suivantes sont équivalentes :
(i) lim
k→+∞Ak=O
(ii) ∀X∈Elim
k→+∞AkX=O
(iii) ρ(A)<1
Preuve :
(i) ⇒(ii) : Supposons qu’on a (i) , soit k.kune norme sur Eet |||.||| sa norme subordonnée sur Mn(K)
alors pour tout X∈E,ona:|||AkX||| ≤ |||Ak|||kXk. Or lim
k→+∞|||Ak||| =0par continuité de |||.||| et par (i).
d’où (ii).
(ii) ⇒(iii) : Soit λune valeur propre de Aet Xun vecteur propre associé. Par (ii), on a : lim
n→+∞AkX=O.
Or AkX=λkX, et comme X6=O, on a : lim
k→+∞λk=0. Donc |λ|<1.
(iii) ⇒(i) : On va utiliser la proposition 9 : Prenons ε=1−ρ(A)
2. Il existe une norme subordonnée |||.|||
tel que
|||A||| <ρ(A) + ε=1+ρ(A)
2
Or q=1+ρ(A)
2<1Donc pour tout k∈Non a :
|||Ak||| ≤ |||A|||k≤qk
et lim
k→+∞qk=0. D’où (i).
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