Introduction à la théorie géométrique des groupes

Introduction à la théorie
géométrique des groupes
Cours de Master 2, année 2016-2017
Université de Montpellier
Thomas Haettel
en cours de rédaction

Table des matières
1 Notions de topologie algébrique 3
1.1 Homotopie, groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Revêtements.................................... 6
1.3 Surfaces ...................................... 8
2 Constructions de groupes discrets 10
2.1 Groupesdetypefini ............................... 10
2.2 Sous-groupes ................................... 12
2.3 Opérations élémentaires pour construire de nouveaux groupes . . . . . . . . 12
2.4 Groupeslibres................................... 14
2.5 Présentation des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Produitslibres .................................. 18
2.7 Produitamalgamé ................................ 20
2.8 ExtensionHNN.................................. 21
2.9 Variétés de dimension 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Graphes de Cayley, actions de groupes sur les arbres 24
3.1 Graphesetarbres................................. 24
3.2 GraphesdeCayley ................................ 25
3.3 Actions de groupes sur les graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 2-complexesdeCayley.............................. 28
3.5 Graphesdegroupes................................ 29
3.6 Distances dans les graphes et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.7 Propriété(FA) .................................. 33
3.8 Propriété (FA) pour SL(3,Z).......................... 34
3.9 ThéorèmedeGrushko .............................. 37
3.10 Bouts d’un groupe et théorème de Stallings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Sous-groupes libres, alternative de Tits 41
4.1 Lemme du ping-pong classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Lemme du ping-pong dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 LemmedeSelberg ................................ 44
4.4 Corpslocaux ................................... 45
4.5 Elementsproximaux ............................... 46
4.6 L’alternativedeTits ............................... 47
1

5 Les groupes hyperboliques 49
5.1 Le plan hyperbolique réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Espaces Gromov-hyperboliques, quasigéodésiques . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Groupes Gromov-hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Propriétés des groupes hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2

Chapitre 1
Notions de topologie algébrique
De bonnes références sont [God71], [Hat02] et [Pau10].
Nous allons faire de brefs rappels de topologie algébrique élémentaire, avec notamment
le groupe fondamental d’un espace topologique, qui est l’un des premiers invariants, et qui
est au coeur du lien entre groupes discrets et topologie. Nous rappellerons également la
classification des surfaces compactes.
1.1 Homotopie, groupe fondamental
Définition 1.1.1. Soient Xet Ydeux espaces topologiques, et f, g :X→Ydeux appli-
cations continues. On dit que fet gsont homotopes, et on note f∼g, s’il existe une
application continue h:X×[0,1] →Ytelle que h(·,0) = fet h(·,1) = g. Autrement dit,
on peut "passer continûment" de fàg.
Si de plus Aest une partie de X, on dit que fet gsont homotopes relativement à
As’il existe une application continue h:X×[0,1] →Ytelle que h(·,0) = f,h(·,1) = g
et ∀a∈A, ∀t∈[0,1], h(a, t) = f(a) = g(a). Autrement dit, on peut "passer continûment"
de fàg"en laissant Afixe".
Exemples.
•Si fet gsont deux applications continues quelconques de [0,1] dans Rou R2, elles
sont homotopes. Si f(0) = g(0) et f(1) = g(1),fet gsont homotopes relativement
à{0,1}.
•Si f:t∈[0,1] 7→ eiπt ∈S1et g:t∈[0,1] 7→ e−iπt ∈S1parcourent les deux
demi-cercles de S1entre les points opposés 1et −1,fet gne sont pas homotopes
relativement à {0,1}(même si elles sont homotopes).
•Si f:z∈S17→ z∈S1parcourt le cercle S1et g:z∈S17→ 1∈S1est constante,
alors fet gne sont pas homotopes.
Remarque. Pour le cercle S1, on choisira indifférement comme modèle le cercle unité de
C, ou bien le quotient R/Z, ou encore le quotient [0,1]/(0 ∼1).
Définition 1.1.2. Soit Xun espace topologique. Un lacet de Xest une application conti-
nue du cercle S1dans X. Si x0∈Xest un point base, un lacet basé en x0est une
application continue :S1→Xtelle que (0) = x0(où 0∈S1désigne un point base de
S1).
3

Définition 1.1.3. Soit Xun espace topologique, et , 0:R/Z→Xdeux lacets. On définit
la concaténation de et 0comme le lacet suivant :
·0:R/Z→X
t∈0,1
27→ (2t)
t∈1
2,17→ 0(2t−1).
Notons que si et 0sont basés en x0∈X, alors ·0est basé en x0.
Proposition 1.1.4. Soit Xun espace topologique, et x0∈Xun point base. L’ensemble
des classes d’homotopies de lacets R/Z→Xbasés en x0, relativement à 0∈R/Z, muni
de la loi de composition interne de concaténation, est un groupe, noté π1(X, x0)et appelé
groupe fondamental de Xen x0.
Démonstration. [Idée] L’élément neutre est la classe d’homotopie du lacet constant en
x0(d’où l’importance de l’homotopie). L’inverse de la classe d’homotopie []d’un lacet
:R/Z→Xest la classe d’homotopie []du lacet :R/Z→X:t7→ (1 −t)parcouru en
sens inverse.
Exemples.
•On a π1(R,0) = {1}, et de même π1(R2,0) = {1}.
•Le cercle S1a pour groupe fondamental Z. Plus précisément, l’application suivante
est un isomorphisme de groupes :
Z→π1(S1,1)
n7→ z∈S17→ zn.
Autrement dit, le nombre nde tours qu’un lacet fait autour de S1détermine entiè-
rement le lacet à homotopie près.
•On a π1(R2\{(0,0)},(1,0)) 'Z.
•On a π1(S2, x0) = {1}.
•Le tore T2=S1×S1a pour groupe fondamental Z2. Plus précisément, l’application
suivante est un isomorphisme de groupes :
Z2→π1(T2,(1,1))
(n, p)7→ z∈S17→ (zn, zp).
Proposition 1.1.5. Soit Xun espace topologique, et x0,y0deux points de Xappartenant
à la même composante connexe par arcs. Alors π1(X, x0)et π1(X, y0)sont isomorphes. En
particulier, si Xest connexe par arcs, le groupe fondamental de Xne dépend pas du point
base (à isomorphisme près).
4