Calcul Numérique - e-campus 2

UNIVERSITÉ DE VERSAILLES
SAINT-QUENTIN-EN-YVELINES
Calcul Numérique
Formation FSI-ISN
Version 2015-2016
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Table des matières
1 Introduction 3
1.1 Le calcul numérique dans le programme ISN . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Le calcul numérique et la simulation numérique . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Objectifs du module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Représentation des réels 7
2.1 Système de représentation des nombres réels et erreurs . . . . . . . . 7
2.1.1 Représentation des nombres réels en informatique . . . . . . . 7
2.1.2 L’erreur en arithmétique flottante . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Limites du calcul en arithmétiques flottantes . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Étude de f(x) = 1−cos(x)
x2..................... 11
2.2.2 Équation du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Algèbre linéaire dense et implémentation 13
3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Opérations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 Opérations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Opérations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Algorithmes pour les opérations de base . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.1 Opérations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.2 Le produit Matrice Vecteur et le produit "extérieur" de deux
vecteurs .............................. 16
3.3.3 Produit Matrice-Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Considérations des niveaux d’opérations . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Résolution de systèmes linéaires par une méthode directe 25
4.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Estimation de l’erreur de résolution . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.2 Gauss ou Cramer ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Systèmes linéaires à matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Méthode directe avec élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.1 Élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.2 Factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Du choix du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.1 Analyse de la méthode d’élimination de Gauss sans pivot . . 33
4.4.2 Pivot partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 Implémentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Table des matières
5 Vers l’optimisation d’algorithmes numériques 37
5.1 Matrices symétriques définies positives . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Matrices creuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.1 Stockage General Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.2 Largeur de bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Matrices tridiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.1 Cas de test pour la résolution d’un système tridiagonal . . . . 43
5.3.2 Résolution d’un système tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . 43
Bibliographie 45

Chapitre 1
Introduction
Ce cours est réalisé dans le cadre de la formation FSI-ISN proposée par l’Univer-
sité de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines (UVSQ). Son intitulé couvre une large
discipline consistant à appliquer des méthodes mathématiques pour la résolution de
divers problèmes issus de la modélisation de problème provenant de diverses disci-
plines, sur des machines de calcul.
Dans cette introduction nous présentons la place du calcul numérique dans les pro-
gramme de la spécialité ISN et d’informatique des classes préparatoires aux grandes
écoles (CPGE). Puis, nous présentons les enjeux du calcul numérique pour la simu-
lation sur ordinateur avant de présenter les objectifs du cours.
1.1 Le calcul numérique dans le programme ISN
Cette discipline repose sur les acquis du programme d’Informatique et Sciences
du Numérique concernant la représentation de l’information, l’algorithmique et la
programmation. Et, elle est, par essence et dans son application, intimement liée
aux enseignements des différentes matières scientifiques (mathématiques, physique,
chimie, biologie, etc...).
Le calcul numérique fait l’objet du programme d’informatique des CPGE sous le
nom d’Ingénierie numérique et simulation. Il est proposé d’étudier l’implémentation
d’algorithmes numériques simples et l’utilisation de bibliothèques pour résoudre
des problèmes modélisés, i.e. mis en équations, dans d’autres disciplines. A l’instar
de ce programme, on peut classer les algorithmes selon trois types de problèmes
à résoudre : les problèmes stationnaires conduisant à la résolution d’une équation
algébrique ou transcendante, les problèmes dynamiques conduisant à la résolution
approchée d’une équation différentielle ordinaire et les problèmes discrets multidi-
mensionnels linéaires, conduisant à la résolution de systèmes linéaires.
Selon le type de modèle que l’on se propose d’étudier il est possible que les types
de problèmes rencontrés soient de différentes natures et pas seulement d’une sorte.
Le numéricien doit alors pouvoir comprendre les modèles, connaître les types
d’algorithmes qu’il peut employer, leurs limites ainsi que d’interpréter les résultats.
Il s’intègre dans un processus qui est celui de la simulation numérique.