Probabilité. Loi binomiale.

Loi binomiale.
I
Étude d'une situation.
Exercice 1
Un sac contient un carton sur lequel est écrite la lettre S , signiant succès, et 3 cartons
sur lesquelles est écrite la lettre E signiant échec.
On prend au hasard trois fois successivement un carton avec remise, c'est-à-dire en
remettant chaque fois dans le sac le carton tiré, avant de prendre le suivant.
1. Vériez que cette situation correspond à un schéma de Bernoulli.
2. Représentez ce schéma de Bernoulli par un arbre pondéré.
3. (a) À l'aide de l'arbre, déterminez toutes les issues pour lesquelles on obtient 2
succès exactement.
(b) Montrez que chacune de ces issues a pour probabilité 0,252 × 0,75.
(c) Déduisez-en que la probabilité d'obtenir exactement 2 succès est : 3 × 0,252 ×
0,75.
Exercice 2
On considère un schéma de Bernoulli de paramètres n = 4 et p = 0,2.
1. Dessinez l'arbre probabiliste correspondant à cette situation.
2. Calculez la probabilité d'obtenir (exactement) deux succès.
II
La loi binomiale.
Dénition 1
Une variable aléatoire X est un compteur de gain associé à une expérience
aléatoire. Dans le cas d'un schéma de Bernoulli la variable aléatoire compte le
nombre de succès obtenus.
Exemples :
1. Pour un schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = 0,4 la variable
aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3.
2. Plus généralement, pour un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, la
variable aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, . . . , n.
-1
Dénition 2
On dit que la variable aléatoire, X , associée à un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p).
Exemple : la variable aléatoire X associée à un schéma de Bernoulli de paramètre n = 3 et p = 0,1 suit le loi B(3; 0,1).
Notation. L'événement obtenir k succès dans un schéma de Bernoulli est noté
{X = k}. La probabilité de cet événement est notée P (X = k).
Exemple : Dans l'exercice 1 nous avons calculé P (X = 2).
Dans la pratique pour calculer la probabilité d'une variable aléatoire suivant
une loi binomiale :
Si n ≤ 4 on peut construire un arbre pour calculer la probabilité.
Si n > 4 la construction d'un arbre devient problématique on utilise alors
la calculatrice (ou le tableur).
Pour justier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale nous procèderons
en 4 étapes :
1. Montrer qu'il y a une expérience de Bernoulli en détaillant :
L'expérience.
Le succès (il faut parfois regarder ce que compte la variable aléatoire pour
savoir ce qu'est le succès).
La probabilité du succès p.
2. Montrer qu'il y a un schéma de Bernoulli en remarquant que l'expérience est
répétée à l'identique et de façon indépendante n =? fois.
3. Indiquer que la variable aléatoire est le compteur de succès du schéma et
donc suit une loi binomiale de paramètres n =? et p =?.
III
Calculer la probabilité d'obtenir
k
succès avec la calcu-
latrice.
Si l'on souhaite calculer la probabilité que {X = 6}, sachant que X suit la loi
B(33; 0,7) on procède comme suit :
1. Pour appeler la loi binomiale on se rend dans distrib : 2nde , var .
2. Dans l'onglet (DISTRIB) choisissez la ligne 0 :binomFdp
3. On écrit (de façon générale binomFdp(n,p,k)) :
-2
IV
Calculer la probabilité d'au plus
latrice.
V
Espérance mathématique.
-3
k
succès avec la calcu-