Exercices élémentaires

Exercices élémentaires
Exercices élémentaires
I-
obturateur et section contractée
Dans une conduite circulaire de section S se
trouve placé un obturateur comportant un orifice
cylindrique de section s et de faible épaisseur (voir
U
figure). Un débit permanent de liquide sans viscosité
s'écoule avec une vitesse U dans la section S1 ou la
p1
pression est p1. Dans la section s2, un jet noyé de
section contracté sc de forme, et il regne dans son
voisinage une pression p2. Dans la partie annulaire
S1
autour de s2, liquide est pratiquement au repos et la
pression est p3. L'effet de la pesanteur est négligé.
On pose : m = s2/ S1 et c = sc/ s2 (coefficient de contraction).
p3
p2
sc
s2
S2
1) Calculer en fonction de U, m, c, … les différences de pression (p3 – p1) et (p1 - p2).
2) Appliquer le théorème des quantité de mouvement au liquide compris entre les sections
S1 et s2. en déduire une relation entre m et c.
3) La valeur de c donnée par cette relation pour m = 1 est elle logique ? calculer c pour m
= 0 et interpréter ce cas limite. Calculer c pour m = 1/2.
II-
Canal déversoir
l
Q
h
h
H
Canal
Bassin
Section du
Canal
Un bassin de grandes dimensions est alimenté en eau au débit volumique Q. Ce débit se
déverse en passant par un canal à fond horizontal et de largeur constante l = 0,5 m. La hauteur
d'eau dans le canal est notée h. Dans la région centrale du bassin, la vitesse d'écoulement est
pratiquement nulle, et le niveau d'eau, par rapport au fond du canal, est H.
Cohard 02
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Exercices élémentaires
1) Exprimer la vitesse d'écoulement dans le canal en fonction de Q, l, et h.
2) Au moyen du théorème de Bernoulli, établir la relation entre H et h pour Q donné.
3) Etudier la variation de H avec h, pour Q donné. L'allure est
donnée par la figure ci-contre. Expliciter les coordonnées (hm, Hm)
du minimum en fonction de Q et l.
4) L'expérience montre que c'est l'écoulement caractérisé par
(hm, Hm) qui se produit spontanément. La mesure du niveau d'eau
dans le bassin, Hm, permet donc de connaître le débit.
H
Hm
En remplissant le tableau suivant, définir la graduation d'une
échelle fixée sur la paroi du bassin, permettant de lire directement
le débit, qui peut atteindre 0,5 m3/s.
hm
h
Prendre g=10 m/s2 et l = 0,5 m.
Q (m3/s)
Hm (cm)
III-
0,1
0,2
Poussé hydrodynamique sur un
obturateur
0,3
0,4
0,5
x
fenêtre
Un obturateur profilé est guidé sans
S
frottement dans une conduite horizontale
s
circulaire de section S, II est en équilibre sous
l'effet de la poussée d'un ressort et de la poussée
ressort
hydrodynamique du fluide. Le fluide considéré
obturateur
comme parfait, circule dans la conduite au débit
volumique Q. La section de passage du fluide à la
S1
S2
sortie de l'obturateur est s = S/α (α > 1). La
section de conduite S1 définie sur la figure se situe en amont de l'obturateur, et la section S2
immédiatement en aval.
1) Expliciter en fonction de Q, S et α, les vitesses d'écoulement VS1 et VS2 dans chacune
des sections S1 et S2.
2) Au moyen du théorème de Bernoulli, exprimer la différence des pressions (pS1 – pS2)
entre les sections S1 et S2.
3) Appliquer le théorème des quantité de mouvement au liquide compris entre les sections
S1 et S2. En déduire la poussée hydrodynamique FH sur l'obturateur.
4) Le ressort, de raideur K, délivre une réaction FR = K.x, proportionnelle à son
allongement, x.
Cohard 02
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Exercices élémentaires
Exprimer l'équilibre de l'obturateur. Montrer qu'en rendant l'obturateur visible à travers une
fenêtre transparente et graduée, on peut exploiter sa position x pour mesurer le débit. Expliciter
la relation x(Q).
5) Le débit maximum d'eau (de masse volumique 1 g/cm3 ) susceptible de circuler dans la
conduite est de 10 l/s. Le diamètre intérieur de la conduite est 5 cm, et le rapport des sections
est α = 3. Calculer la poussée hydrodynamique pour le débit maximum. Quelle raideur faut-il
choisir pour le ressort de façon qu'au débit maximum, le déplacement de l'obturateur soit de 10
cm. Représenter à l'échelle la graduation de la fenêtre à intervalles réguliers de débit (Q = 0, 2,
4, 6, 8, 10 l/s).
IV-
Ecoulement transitoire
Une installation hydroélectrique comporte :
! un réservoir dont la surface libre est à l'altitude h par rapport à l'usine.
! Une galerie de section S et de longueur L
! Une conduite de section s et de longueur l
! L'injecteur de la turbine formant un jet à l'air libre dont la section σ peut varier de 0 à
σ0.
h
S
V(t)
L
s
l
v(t)
σ
u
1) On étudie l'ouverture progressive de l'injecteur, pendant laquelle la section du jet σ(t)
varie en fonction du temps, et on la suppose réalisée de façon que le débit varie linéairement
en fonction du temps : q = at. On néglige les pertes de charge.
Montrer qu'on peut adopter, pour le potentiel Φ de la vitesse, les expression suivantes :
Φ = V(t) . x pour x<L
Φ = v(t) . (x-L) + L.V(t) pour x>L
où V(t) est la vitesse dans la galerie, v(t) la vitesse dans la conduite et x l'abscisse
mesurée le long de l'ensemble.
Cohard 02
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Exercices élémentaires
2) Ecrire le théorème de Bernoulli généralisé entre le réservoir et le jet à l'air libre. Montrer
que si on réalise q = a.t, la vitesse U du jet est constante pendant l'ouverture. La comparer à la
vitesse U0 du jet en régime permanent..
3) Montrer que cet écoulement n'est réalisable que pour des valeurs de a inférieures à un
maximum a0 que l'on exprimera
4) Pour a<a0, exprimer en fonction du temps la section du jet σ(t) et le temps t0 au bout
duquel l'ouverture est totale (σ = σ0).
5) Pour les valeurs numériques :
g = 10 ms-2, h = 300 m, L = 10 km, l = 2 km, S = 7 m2, s = 0,2 m2, et s0 = 10-2 m2,
calculer a0 et la vitesse de régime permanent U0. Si on adopte a = 0,03 m3s-2, calculer la
vitesse du jet U pendant l'ouverture et le temps d'ouverture totale t0.
V-
Ecoulement instationnaire dans une conduite
Un réservoir de très grande section où l'on
suppose maintenir un niveau constant h de
liquide et où la vitesse est pratiquement nulle,
alimente une conduite de longueur l et de
section S. A l'extrémité de la conduite se trouve
une vanne. On appelle v(t) la vitesse dans la
conduite.
Le
liquide
est
supposé
rigoureusement incompressible, de sorte que
les écoulements étudiés sont semi permanents.
On rappelle le théorème de Bernoulli généralisé
:
h
l
S
s
v(t)
ρ.u2/2 + pg + ρ.∂Φ/∂t = cste
Le potentiel Φ(x,t) = ∫0 v.dx sera calculé dans toutes les questions en ne tenant compte
que de l'écoulement uniforme V = v(t) sur la longueur l de la conduite.
x
1) La vanne est initialement fermée, est ouverte totalement et instantanément à l'instant t
= 0. Etablir, à l'aide du théorème de Bernoulli généralisé, appliqué entre le réservoir et
l'écoulement sortant, l'équation différentielle à laquelle obéit v(t).
2) On appelle v0 la vitesse qui sera atteinte en régime permanent, au bout d'un temps
infini. Exprimer v0 en fonction de h et réécrire l'équation différentielle à l'aide de v0. Vérifier
qu'on peut par séparation des variables l'écrire:
3) Intégrer cette équation et en déduire la loi de variation v(t). Représenter
schématiquement la courbe v(t).
4) On suppose maintenant qu'on ouvre la vanne de façon progressive, laissant à
l'écoulement une section de sortie s(t). exprimer la relation entre la vitesse de l'écoulement
sortant, V(t) et la vitesse dans la conduite, v(t). Donner la nouvelle équation différentielle qui
gouverne v(t).
Cohard 02
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Exercices élémentaires
5) On veut obtenir dans la conduite une vitesse v(t) variant linéairement avec le temps :
v(t) = a.t.
Quelle loi d'ouverture de la vanne s(t) faut il adopter ? A quelle condition sur a est-ce
possible ?
6) Au bout de quelle durée t1 l'ouverture de la vanne est elle totale (s=S) ? Quelle est alors
la vitesse v1 atteinte dans la conduite ?
7) Montrer qu'à partir de l'instant t1, l'équation différentielle qui gouverne v(t) est de
nouveau celle obtenue en 1) et 2). Montrer qu'on peut se ramener à la solution trouvée en 3) en
adoptant une nouvelle origine des temps (il est inutile de la calculer). Représenter
schématiquement les variations de la vitesse de t = 0 à t = ∝.
VI-
Pompage par entraînement.
Ce procédé est employé pour vidanger
de l’eau sale qu’on ne veut pas faire passer
dans une pompe. Dans une chambre de
section S, de l’eau propre est injectée à
grande vitesse V0 par une conduite de
section α.S. L’eau sale est entraînée, et
entre dans la chambre à la vitesse V1. Le
mélange sort de la chambre à la vitesse V2 .
Puis la conduite s’élargit progressivement
(pas de perte de charge) jusqu’à la section
S/β et le mélange est rejeté à l’atmosphère
à la vitesse V3. On note ρ la masse
volumique de l’eau (propre ou sale).
V3
S/β
h0
V2
h
B
S
A
V0
α.S
1) Compte tenu de la discontinuité de
vitesse dans la section A de la chambre, il
faut employer le principe de la résultante
(ou théorème de la quantité de mouvement) pour le volume fluide compris entre les sections A
et B de la chambre. Etablir la relation entre la différence des pressions motrice (pgA – pgB), α et
les vitesses V0, V1. V2.
2) Au moyen de la conservation des débits, exprimer V2 en fonction de V0, V1 et α.
3) Au moyen du théorème de Bernoulli pour l’écoulement de l’eau sale entre la surface
libre et la section A, exprimer pgA.
4) Au moyen du théorème de Bernoulli pour l’écoulement du mélange entre la section B et
la sortie à l’atmosphère, exprimer pgB.
5) En reportant les résultats des questions 2), 3), 4) dans celui de la question 1) et en
posant V1 = x V0, établir la relation suivante:
(1/2 – α).x2 – (1 + β2)/2 .[(1 – α).x + α]2 + α = g.(h0 – h)/V02
Cohard 02
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Exercices élémentaires
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
f(x)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
6) La fonction f(x) au premier membre de cette relation est donnée par le graphique cidessus, pour α = 0,1 et β = 0,25. La vitesse d’injection est V0 =20 m/s. On prend g = 10 m-2, La
hauteur de refoulement est h0 = 3 m. Le niveau d’eau sale peut varier entre h = 0 et h = 2,5 m.
Pour ces deux niveaux, calculer V1 et le rapport du débit d’eau sale évacué au débit d’eau
propre injecté.
VII-
Amortisseur à air
piston
La
figure
ci-contre
représente
un
dispositif
L
R
d’amortissement à air pouvant
y
être utilisé par exemple pour
stabiliser le plateau d’une
balance. Le principe saute aux
V
yeux quand le piston se dirige,
vers le bas par exemple, à la
vitesse V. l’air chassé de la
chambre
chambre
du
cylindre
a
cylindre
s’échappe par le jeu entre
piston
et
cylindre.
Cet
x
écoulement
visqueux
provoque une surpression
dans la chambre qui donne
naissance à la force d’amortissement s’opposant au déplacement du piston.
Les dimensions utiles sont indiquées sur la figure. L longueur utile du cylindre; a jeu entre
piston et cylindre; R rayon du cylindre (ou du piston, le jeu a étant supposé négligeable par
rapport à R).
On admet que la surpression reste assez faible pour qu’on puisse négliger la
compressibilité de l’air. L’écoulement de l’air dans l’espace annulaire de longueur L est assimilé
à l’écoulement entre deux plans parallèles avec un profil de vitesse u(y) parabolique du type
montré sur la figure. L’air est pratiquement immobile en dehors de cette zone. La surpression
régnant dans la chambre, par rapport à la pression extérieure, est notée p0.
La viscosité de l’air est notée µ. L’effet de la pesanteur sur l’écoulement est négligé.
Cohard 02
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Exercices élémentaires
1.
Etude de l’écoulement et des forces d’amortissement
1) Exprimer, en fonction de la vitesse V du piston, le débit volumique d’air chassé de la
chambre et la vitesse moyenne U de l’écoulement d’air dans l’espace annulaire entre piston et
cylindre. Montrer que V est négligeable par rapport à U.
2) Exprimer en fonction de V le gradient de pression le long de cet écoulement. En déduire
la force de pression sur le piston et montrer que la surpression p0 dans la chambre est :
p0 = 6.µ.R.L.V/a3.
3) Montrer que le profil de vitesse u(y) est de la forme :
u(y) = 1 /(2 µ) . dp/dx . y.(y – a) + V.y/a
4) Exprimer la contrainte visqueuse τ exercée par l’air sur la surface du piston. Exprimer la
force de frottement qui en résulte sur cette surface, et montrer qu’elle est négligeable par
rapport à la force de pression calculée en 2)
2.
Mouvement du piston et dimensionnement
Le piston, de masse m, est soumis à son poids et à l’action d’un ressort de raideur K. Son
mouvement est défini par la loi X(t). L’axe des X, dirigé vers le bas, a son origine à la position
d’équilibre du piston. Alors, la résultante du poids et de l’action du ressort s’exprime
algébriquement par - KX.
La vitesse instantanée du piston est V = X'. Bien qu’elle varie avec le temps, on admettra
que l’expression de la force d’amortissement obtenue dans l’étude de l’écoulement est valable.
5) Appliquer le principe de la résultante au piston. Montrer que l’équation différentielle du
mouvement peut être mise sous la forme, bien connue de vous, n’en doutons pas:
X'' + λ.X' + k.X = 0
Expliciter les constantes λ et k.
6) On se place dans le cas de l’amortissement critique, caractérisé, vous ne sauriez
l’ignorer, par la condition:
k = λ2/2
Vérifier que le mouvement du piston, lâché sans vitesse initiale de la position X0, est décrit
par:
X(t) = X0.(1+t/T).exp(-t/T) avec T = 2/λ
Dimensionnement du système
La viscosité de l’air est 1,8 10-5 kg.m-1.s-1. Les dimensions utiles du cylindre Sont R = 25
mm et L = 50 mm. La masse du piston est 1 kg. Le jeu consiste à dimensionner le jeu.
Cohard 02
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Exercices élémentaires
7) Déterminer le jeu a pour que la durée typique d’amortissement soit T = 5 s.
8) La vitesse typique du piston est V = X0/T. Prenons X0 = 10 mm. Calculer pour cette
vitesse la surpression typique de l’air dans la chambre p0. Comparer cette surpression à la
pression atmosphérique qui vaut, c’est une injure que de vous le rappeler, 100 kPas. Etait-il
légitime de négliger la compressibilité de l’air?
VIII- Système Bielle Manivelle
Le problème porte sur le système piston-bielle-manivelle représenté sur la figure. Dans la
première partie, on détermine les efforts à exercer sur la bielle aux points A et B pour l’entraîner
dans son mouvement. Dans la seconde partie, on étudie l’écoulement du film de lubrification du
palier centré en A et les forces de pression qui engendrent l’effort en A. Les deux parties
peuvent être traitées indépendamment.
1.
y
efforts aux paliers
La bielle est liée à la manivelle par
piston
→
L
L
→
pivot idéal d’axe (B, z). La manivelle est
A
G
pivot idéal d’axe (A, z) et au piston par
B
θ
O
x
liée au bâti par pivot d’axe (O, z), de
manivelle
R
sorte que le point A décrit un cercle de
centre O et rayon R. La manivelle
tourne à la vitesse angulaire constante
ω et la position du point A par rapport à Ox est repérée par l’angle ω.t, t étant le temps. Le
piston est lié au bâti par glissière idéale de sorte que le point B reste sur l’axe Ox. La longueur
entre pivots de la bielle est AB = 2.L, son centre d’inertie G est au milieu de AB, sa masse est
m.
→
bielle
ω.t
Cinématique et torseur dynamique de la bielle
1) La bielle fait avec l’axe Ox un angle variable θ. Etablir la relation suivante :
2L sin θ = R sin(ω.t)
2) Exprimer les coordonnées xG, yG du centre d’inertie de la bielle. Remplacer sin θ par sa
valeur donnée en 1) et cos θ par 1, en supposant que θ est suffisamment petit. Ré exprimer
ainsi xG, et yG en fonction de ω.t.
3) Exprimer les composantes de l’accélération de G et de la résultante dynamique de la
bielle.
4) En dérivant la relation obtenue en 1), exprimer la vitesse angulaire θ' de la bielle.
Remplacer de nouveau cos θ par 1. Exprimer l’acclélération angulaire θ'' de la bielle en fonction
de ω.t.
Cohard 02
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Exercices élémentaires
→
5) L’axe (G, z) est un axe principal d’inertie pour la bielle. Le moment d’inertie
correspondant est J. Exprimer le moment cinétique en G de la bielle. Exprimer ensuite son
moment dynamique en G.
On admet que la bielle se présente pratiquement comme deux masses m/2 concentrées
aux points A et B. Expliciter J et donner l’expression correspondante du moment dynamique.
Calcul des efforts
On néglige la pesanteur. Les efforts de liaison sur la bielle se réduisent à deux forces
appliquées aux centres A et B des paliers, de composantes respectives (XA, YA) et (XB YB).
→
6) Le piston a une masse nulle, et il est lié au bâti par glissière idéale de direction x. En
déduire que l’effort XB est nul.
7) Au moyen du principe de la résultante appliqué à la bielle, déterminer XA et (YA + YB).
8) Au moyen du principe du moment appliqué en G à la bielle, établir une seconde
équation en YA et YB . Expliciter finalement ces deux composantes en négligeant R/L devant 1.
2.
génération de l’effort en A par écoulement d’un film d’huile
V=r.ω
a(ϕ)
r
a0
A
ω
ϕ
0
π/2
ϕ
π
pression
Force de pression
sur la bielle
X = r.ϕ
0
π.r/2
π.r
Le pivot A est réalisé matériellement par un palier de rayon r et de largeur b. Lejeu entre
l’alésage porté par la bielle et l’arbre porté par la manivelle est a0. Cet espace est lubrifié par de
l’huile. On considère qu’en pratique, la bielle est immobile, et que la manivelle tourne autour de
A à la vitesse angulaire ω.
Le mécanisme de génération de l’effort en A est le suivant (voir figure) : la manivelle
s’excentre légèrement vers la droite et un film d’huile se forme dans la moitié inférieure de
l’alésage. Ce film a une épaisseur a(ϕ), variable avec la position angulaire ϕ (0 < ϕ < π). Le film
développé est représenté sur la droite de la figure.
L’épaisseur a(ϕ) est donnée par:
Cohard 02
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Exercices élémentaires
a(ϕ) = a0.(1+ ε cos ϕ), l’excentricité ε étant petite devant 1.
La vitesse linéaire de la paroi supérieure (la manivelle) est V = r.ω, la paroi inférieure étant
immobile. La viscosité de l’huile est notée µ.
9) Rappeler l’expression de la vitesse moyenne d’écoulement U d’un film visqueux en
fonction de la vitesse V de la paroi et du gradient de pression dp/dX.
Dans le cas présent, la vitesse moyenne varie avec ϕ, puisque l’épaisseur du film est
variable. Soit Uo la vitesse moyenne au milieu du film (ϕ = x/2). La pression présente un
maximum en ce point. En déduire U0, puis U(ϕ).
10) Exprimer le gradient de pression en fonction de ϕ. En tenant compte que ε est petit,
montrer que:
dp/dX = 6.µ.ω.r.ε.cosϕ / a02
Intégrer cette expression (dX = r.dϕ) et donner la répartition de la pression p(ϕ), qui est
nulle aux extrémités du film.
11) En se référant à la partie gauche de la figure, déterminer la résultante F des forces de
pression sur l’alésage porté par la bielle. Montrer qu’elle est dirigée suivant ϕ = π / 2.
12) Dans la première partie, on a vu que l’effort à appliquer en A sur la bielle est de l’ordre
de F = mω2R. Exprimer pour cette valeur l’excentricité ε adoptée par le palier.
Exemple numérique. La bielle a une masse de 2 kg. La manivelle, de rayon R=30 mm,
tourne à 6000 tours/mn. Le rayon du palier est r =10 mm, et sa largeur est b=10 mm, avec un
jeu a0 = 1/100 mm. La viscosité de l’huile est 0,3 en unités SI.
Calculer l’excentricité que prend le palier.
IX-
écoulement d’un film visqueux.
Contrairement aux idées reçues, on
ne skie pas sur la neige, mais sur un film
liquide fondu par la chaleur de frottement.
On va voir si cette affirmation péremptoire
tient debout.
Afin d’avoir affaire à un écoulement
stationnaire, on se place dans un repère lié
au ski, où c’est la piste qui a une vitesse V
> 0 (voir figure). On note µ (10-3 poiseuille)
la viscosité. L’effet de la pesanteur sur
l’écoulement est négligé.
Cohard 02
x
L
a(x)
0
V
y
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Exercices élémentaires
1) En admettant pour l’instant que la répartition transversale de la vitesse u(y) est
pratiquement linéaire et que l’épaisseur du film est une constante a0, exprimer la contrainte de
frottement visqueux et la force de frottement sur le ski.
2) Le skieur pèse 80 kg (P = 800 N). il descend une pente de θ = 30° sur un film
d’épaisseur a0 = 8 microns. La longueur du ski est L = 2 m et on évalue la largeur portante à b
= 5 cm pour les deux skis. Le tiers de la composante du poids parallèle à la piste, 1/3 P sin θ
,est supporté par le frottement du ski, le reste étant supporté par les frottements
aérodynamiques.
a) Calculer la vitesse V du skieur.
b) La puissance dépensée par la force de frottement est utilisée pour fondre le volume
a0.b.V d’eau par unité de temps. La fusion d’un m3 d’eau demande 3,3 108 Joules. Montrer que
cela justifie la valeur annoncée pour a0.
L’épaisseur du film, a(x) est en fait légèrement variable avec x, ainsi que la vitesse
moyenne U de l’écoulement. C’est ce qui assure la portance. a étant très petit on pose:
a (x) = a0 (1 – α.x/L)
U(x) = U0.a0/a(x)
3) Exprimer le gradient de pression local en fonction de a(x). En utilisant des
développements au premier ordre, montrer qu’on peut l’écrire:
dp/dx = 12.µ/a02 [(V/2 – U0) + (V – 3 U0).α.x/L]
4) Par intégration, donner la répartition de la pression p(x). La pression s’annule en x = 0
et en x = L. En déduire U0 et établir la nouvelle expression de la pression en négligeant le terme
en α2:
p(x) = 3.µ.V.α .(x – x2/L) / a02
U0 = V/2.(1-α/2)
5) Par une nouvelle intégration, exprimer la force de pression sur le ski, dont la largeur
portante est b. Déterminer l’inclinaison α pour que la composante du poids perpendiculaire à la
piste, p.cos θ , soit supportée par la force de pression sur les skis.
Cohard 02
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