Exercices élémentaires

Exercices élémentaires
Cohard 02 1/11
I- obturateur et section contractée
Dans une conduite circulaire de section S se
trouve placé un obturateur comportant un orifice
cylindrique de section s et de faible épaisseur (voir
figure). Un débit permanent de liquide sans viscosité
s'écoule avec une vitesse U dans la section S1 ou la
pression est p1. Dans la section s2, un jet noyé de
section contracté sc de forme, et il regne dans son
voisinage une pression p2. Dans la partie annulaire
autour de s2, liquide est pratiquement au repos et la
pression est p3. L'effet de la pesanteur est négligé.
On pose : m = s2/ S1 et c = sc/ s2 (coefficient de contraction).
1) Calculer en fonction de U, m, c, … les différences de pression (p3 – p1) et (p1 - p2).
2) Appliquer le théorème des quantité de mouvement au liquide compris entre les sections
S1 et s2. en déduire une relation entre m et c.
3) La valeur de c donnée par cette relation pour m = 1 est elle logique ? calculer c pour m
= 0 et interpréter ce cas limite. Calculer c pour m = 1/2.
II- Canal déversoir
Un bassin de grandes dimensions est alimenté en eau au débit volumique Q. Ce débit se
déverse en passant par un canal à fond horizontal et de largeur constante l = 0,5 m. La hauteur
d'eau dans le canal est notée h. Dans la région centrale du bassin, la vitesse d'écoulement est
pratiquement nulle, et le niveau d'eau, par rapport au fond du canal, est H.
Exercices élémentaires
S1
s2
Usc
p2
p3
p1
S2
Bassin
Canal
Q
H
hh
l
Section du
Canal

Exercices élémentaires
Cohard 02 2/11
1) Exprimer la vitesse d'écoulement dans le canal en fonction de Q, l, et h.
2) Au moyen du théorème de Bernoulli, établir la relation entre H et h pour Q donné.
3) Etudier la variation de H avec h, pour Q donné. L'allure est
donnée par la figure ci-contre. Expliciter les coordonnées (hm, Hm)
du minimum en fonction de Q et l.
4) L'expérience montre que c'est l'écoulement caractérisé par
(hm, Hm) qui se produit spontanément. La mesure du niveau d'eau
dans le bassin, Hm, permet donc de connaître le débit.
En remplissant le tableau suivant, définir la graduation d'une
échelle fixée sur la paroi du bassin, permettant de lire directement
le débit, qui peut atteindre 0,5 m3/s.
Prendre g=10 m/s2 et l = 0,5 m.
Q (m3/s) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Hm (cm)
III- Poussé hydrodynamique sur un
obturateur
Un obturateur profilé est guidé sans
frottement dans une conduite horizontale
circulaire de section S, II est en équilibre sous
l'effet de la poussée d'un ressort et de la poussée
hydrodynamique du fluide. Le fluide considéré
comme parfait, circule dans la conduite au débit
volumique Q. La section de passage du fluide à la
sortie de l'obturateur est s = S/α
αα
α (α > 1). La
section de conduite S1 définie sur la figure se situe en amont de l'obturateur, et la section S2
immédiatement en aval.
1) Expliciter en fonction de Q, S et α
αα
α, les vitesses d'écoulement VS1 et VS2 dans chacune
des sections S1 et S2.
2) Au moyen du théorème de Bernoulli, exprimer la différence des pressions (pS1 – pS2)
entre les sections S1 et S2.
3) Appliquer le théorème des quantité de mouvement au liquide compris entre les sections
S1 et S2. En déduire la poussée hydrodynamique FH sur l'obturateur.
4) Le ressort, de raideur K, délivre une réaction FR = K.x, proportionnelle à son
allongement, x.
h
H
hm
Hm
S1
s
obturateur ressort
S2
x
S
fenêtre

Exercices élémentaires
Cohard 02 3/11
Exprimer l'équilibre de l'obturateur. Montrer qu'en rendant l'obturateur visible à travers une
fenêtre transparente et graduée, on peut exploiter sa position x pour mesurer le débit. Expliciter
la relation x(Q).
5) Le débit maximum d'eau (de masse volumique 1 g/cm3 ) susceptible de circuler dans la
conduite est de 10 l/s. Le diamètre intérieur de la conduite est 5 cm, et le rapport des sections
est α
αα
α = 3. Calculer la poussée hydrodynamique pour le débit maximum. Quelle raideur faut-il
choisir pour le ressort de façon qu'au débit maximum, le déplacement de l'obturateur soit de 10
cm. Représenter à l'échelle la graduation de la fenêtre à intervalles réguliers de débit (Q = 0, 2,
4, 6, 8, 10 l/s).
IV- Ecoulement transitoire
Une installation hydroélectrique comporte :
 un réservoir dont la surface libre est à l'altitude h par rapport à l'usine.
 Une galerie de section S et de longueur L
 Une conduite de section s et de longueur l
 L'injecteur de la turbine formant un jet à l'air libre dont la section σ
σσ
σ peut varier de 0 à
σ
σσ
σ0.
1) On étudie l'ouverture progressive de l'injecteur, pendant laquelle la section du jet σ(t)
varie en fonction du temps, et on la suppose réalisée de façon que le débit varie linéairement
en fonction du temps : q = at. On néglige les pertes de charge.
Montrer qu'on peut adopter, pour le potentiel Φ
ΦΦ
Φ de la vitesse, les expression suivantes :
Φ ΦΦ
Φ
= ==
=
V(t) . x pour x<L
Φ ΦΦ
Φ
= ==
=
v(t) . (x-L) + L.V(t) pour x>L
où V(t) est la vitesse dans la galerie, v(t) la vitesse dans la conduite et x l'abscisse
mesurée le long de l'ensemble.
hSs
V(t)
v(t)
Ll
u
σ

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Cohard 02 4/11
2) Ecrire le théorème de Bernoulli généralisé entre le réservoir et le jet à l'air libre. Montrer
que si on réalise q = a.t, la vitesse U du jet est constante pendant l'ouverture. La comparer à la
vitesse U0 du jet en régime permanent..
3) Montrer que cet écoulement n'est réalisable que pour des valeurs de a inférieures à un
maximum a0 que l'on exprimera
4) Pour a<a0, exprimer en fonction du temps la section du jet σ
σσ
σ(t) et le temps t0 au bout
duquel l'ouverture est totale (σ
σσ
σ = σ
σσ
σ0).
5) Pour les valeurs numériques :
g = 10 ms-2, h = 300 m, L = 10 km, l = 2 km, S = 7 m2, s = 0,2 m2, et s0 = 10-2 m2,
calculer a0 et la vitesse de régime permanent U0. Si on adopte a = 0,03 m3s-2, calculer la
vitesse du jet U pendant l'ouverture et le temps d'ouverture totale t0.
V- Ecoulement instationnaire dans une conduite
Un réservoir de très grande section où l'on
suppose maintenir un niveau constant h de
liquide et où la vitesse est pratiquement nulle,
alimente une conduite de longueur l et de
section S. A l'extrémité de la conduite se trouve
une vanne. On appelle v(t) la vitesse dans la
conduite. Le liquide est supposé
rigoureusement incompressible, de sorte que
les écoulements étudiés sont semi permanents.
On rappelle le théorème de Bernoulli généralisé
:
ρ. ρ.ρ.
ρ.u2/2 + pg + ρ
ρρ
ρ.∂
∂∂
∂Φ
ΦΦ
Φ/∂
∂∂
∂t = cste
Le potentiel Φ
ΦΦ
Φ(x,t) = ∫
∫∫
∫0x v.dx sera calculé dans toutes les questions en ne tenant compte
que de l'écoulement uniforme V = v(t) sur la longueur l de la conduite.
1) La vanne est initialement fermée, est ouverte totalement et instantanément à l'instant t
= 0. Etablir, à l'aide du théorème de Bernoulli généralisé, appliqué entre le réservoir et
l'écoulement sortant, l'équation différentielle à laquelle obéit v(t).
2) On appelle v0 la vitesse qui sera atteinte en régime permanent, au bout d'un temps
infini. Exprimer v0 en fonction de h et réécrire l'équation différentielle à l'aide de v0. Vérifier
qu'on peut par séparation des variables l'écrire:
3) Intégrer cette équation et en déduire la loi de variation v(t). Représenter
schématiquement la courbe v(t).
4) On suppose maintenant qu'on ouvre la vanne de façon progressive, laissant à
l'écoulement une section de sortie s(t). exprimer la relation entre la vitesse de l'écoulement
sortant, V(t) et la vitesse dans la conduite, v(t). Donner la nouvelle équation différentielle qui
gouverne v(t).
v(t)
S
hl
s

Exercices élémentaires
Cohard 02 5/11
5) On veut obtenir dans la conduite une vitesse v(t) variant linéairement avec le temps :
v(t) = a.t.
Quelle loi d'ouverture de la vanne s(t) faut il adopter ? A quelle condition sur a est-ce
possible ?
6) Au bout de quelle durée t1 l'ouverture de la vanne est elle totale (s=S) ? Quelle est alors
la vitesse v1 atteinte dans la conduite ?
7) Montrer qu'à partir de l'instant t1, l'équation différentielle qui gouverne v(t) est de
nouveau celle obtenue en 1) et 2). Montrer qu'on peut se ramener à la solution trouvée en 3) en
adoptant une nouvelle origine des temps (il est inutile de la calculer). Représenter
schématiquement les variations de la vitesse de t = 0 à t = ∝
∝∝
∝.
VI- Pompage par entraînement.
Ce procédé est employé pour vidanger
de l’eau sale qu’on ne veut pas faire passer
dans une pompe. Dans une chambre de
section S, de l’eau propre est injectée à
grande vitesse V0 par une conduite de
section α
αα
α.S. L’eau sale est entraînée, et
entre dans la chambre à la vitesse V1. Le
mélange sort de la chambre à la vitesse V2 .
Puis la conduite s’élargit progressivement
(pas de perte de charge) jusqu’à la section
S/β
ββ
β et le mélange est rejeté à l’atmosphère
à la vitesse V3. On note ρ
ρρ
ρ la masse
volumique de l’eau (propre ou sale).
1) Compte tenu de la discontinuité de
vitesse dans la section A de la chambre, il
faut employer le principe de la résultante
(ou théorème de la quantité de mouvement) pour le volume fluide compris entre les sections A
et B de la chambre. Etablir la relation entre la différence des pressions motrice (pgA – pgB), α
αα
α et
les vitesses V0, V1. V2.
2) Au moyen de la conservation des débits, exprimer V2 en fonction de V0, V1 et α
αα
α.
3) Au moyen du théorème de Bernoulli pour l’écoulement de l’eau sale entre la surface
libre et la section A, exprimer pgA.
4) Au moyen du théorème de Bernoulli pour l’écoulement du mélange entre la section B et
la sortie à l’atmosphère, exprimer pgB.
5) En reportant les résultats des questions 2), 3), 4) dans celui de la question 1) et en
posant V1 = x V0, établir la relation suivante:
(1/2 – α
αα
α).x2 – (1 + β
ββ
β2)/2 .[(1 – α
αα
α).x +
α αα
α]2 + α
αα
α = g.(h0 – h)/V02
S/
β
h
V3
h0
V0
V2
B
A
S
α.S