Chapitre 3.1 – La dérivée d`un polynôme

Chapitre 3.1 – La dérivée d’un polynôme
La dérivée
La dérivée f ' ( x ) d’une fonction f ( x ) est égale à la
variation de la fonction ∆f ( x ) divisée par la variation
du paramètre libre ∆x lorsque ce dernier tend vers une
valeur très près de zéro. Puisque cette définition fait
intervenir le rapport ∆f / ∆x , on peut affirmer que la
dérivée génère une fonction qui évalue la pente en tout
point x de la fonction primitive f ( x ) :
f ' ( x) =
où
pente ≡ f ' ( x )
y
f (x )
f ( x + ∆x )
∆x
x
x
x + ∆x
d f (x )
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= lim
dx
∆x
∆x → 0
f ' ( x) : Fonction qui donne la valeur de la pente en tout point de la fonction primitive f ( x ) .
f ( x) : Fonction primitive associé au paramètre libre x.
x : Paramètre libre de la fonction f ( x) et f ' ( x) .
∆x : Variation infinitésimale du paramètre x.
lim : Expression désignant que l’expression ∆x est près de zéro sans y être égale.
∆x →0
La dérivée du polynôme x2
La dérivée de la fonction f ( x ) = x 2 est égale à f ' ( x ) = 2 x :
( )
d f (x ) d x 2
f ' ( x) =
=
= 2x
dx
dx
Preuve :
Appliquons la définition de la dérivée sur la fonction f ( x ) = x 2 à partir de la limite :
Fonction en x :
f (x ) = x 2
Fonction en x + ∆x :
f ( x + ∆x ) = ( x + ∆x ) = x 2 + 2 x∆x + (∆x )
f ( x + ∆x ) − f ( x )
f ' ( x) = lim
∆x
∆x →0
2
⇒
f ' ( x) = lim
[x
2
∆x →0
⇒
⇒
] [ ]
+ 2 x∆x + (∆x ) − x 2
∆x
2 x∆x + (∆x )
∆x
∆x →0
f ' ( x) = lim 2 x + ∆x
f ' ( x) = lim
2
2
(Remplacer)
2
(Simplifier x 2 )
(Simplifier ∆x )
∆x →0
⇒
f ' ( x) = 2 x
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
■
( ∆x → 0 )
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Représentation graphique de la dérivée de la fonction x2
Voici la représentation de la fonction f ( x ) = x 2 et la dérivée f ' ( x ) = 2 x sous forme d’un
tableau et sous forme d’un graphique :
Coordonnée x
Valeur de
f (x ) = x 2
Valeur de la
pente de la
fonction
f (x ) = x 2
( f ' (x ) = 2 x )
-3
9
-6
-2
4
-4
9
-1
1
-2
4
0
0
0
1
1
2
2
4
4
3
9
6
Représentation graphique de la
fonction f ( x ) = x 2 et f ' ( x ) = 2 x
f (x ) = x
f (x )
2
1
1
f ' (x )
2
6
4
2
3
x
f ' (x ) = 2 x
1
2
3
x
Situations concrètes avec la dérivée
Puisque la dérivée correspond au taux de variation d’une fonction, voici quelques exemples
concret où le concept de dérivée peut être pertinent à utiliser :
Situation
Économie
Fonction de base
$(t ) en dollar
Argent dans un compte en
fonction du temps
Géographie
H ( x ) en m
La hauteur d’une montage
en fonction d’une distance
horizontale
Cinématique
x(t ) en m
La position d’un objet en
fonction du temps
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Dérivée de la fonction
d $(t )
en dollar/s
dt
Le taux d’accroissement ou
du compte
$' (t ) =
d H (x )
en %
dx
L’inclinaison de la
montagne.
H ' (x ) =
d x(t )
en m/s
dt
La vitesse de
l’objet
v x (t ) =
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La dérivée d’un polynôme
Lorsque la fonction f ( x ) est purement un polynôme, il existe des trucs de calcul pouvant
éviter l’utilisation de la longue formule. Voici les règles à suivre :
1)
2)
3)
Distributivité ( A( x + y ) = Ax + Ay )
Théorème :
La dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées .
Exemple :
Soit
f (x ) = 3x 4 + 2 x 6
Alors
f ' (x ) =
d
d
d
3x 4 + 2 x 6 =
3x 4 +
2x 6
dx
dx
dx
(
)
( )
( )
Multiplication par un scalaire ( Axy = A( xy ) )
Théorème :
La dérivée d’une fonction multipliée par un scalaire est égale à la
dérivée de la fonction que l’on multiplie par la suite par le scalaire.
Exemple :
Soit
f ( x ) = 7x 3
Alors
f ' (x ) =
f ( x ) = − 2 x −7
d
d 3
7x3 = 7
x
dx
dx
( )
( )
f ' (x ) =
d
d −7
− 2 x − 7 = −2
x
dx
dx
(
Théorème :
d n
x = nx n −1 )
dx
Le résultat de la dérivée d’un polynôme x n est égal à nx n −1 .
Exemple :
Soit
)
Règle du polynôme (
Alors
f ( x ) = x12
d 12
f ' (x ) =
x = 12 x11
dx
f ( x ) = x −2
d −2
f ' (x ) =
x = −2 x − 3
dx
( )
( )
Situation A : Mon premier polynôme à dériver. On désire effectuez la dérivée du
5
polynôme suivant : f ( x ) = 4 x 2 + 3 + 6 x + 8 .
x
Effectuons une reformulation du polynôme :
f ( x ) = 4 x 2 + 5 x −3 + 6 x 1 + 8 x 0
d
d
d
d
4x 2 +
5 x −3 +
6 x1 +
8x 0
dx
dx
dx
dx
( )
(
)
( )
Étape 1 :
f ' (x ) =
Étape 2 :
f ' (x ) = 4
Étape 3 :
f ' ( x ) = 4 2 x 1 + 5 − 3 x −4 + 6 1x 0 + 8 0 x −1
( )
d 2
d
d
d
x + 5 x −3 + 6 x 1 + 8 x 0
dx
dx
dx
dx
( ) (
) ( ) (
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
)
⇒
f ' ( x ) = 8 x − 15 x −4 + 6
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( )
Exercices
Exercice A : La dérivée de polynôme à une variable. Évaluez la dérivée par rapport à x
des fonctions suivantes :
a)
f ( x ) = 5x 4
b)
f (x ) = 4 x 2 + 7 x 6
Exercice B : La dérivée de polynôme à deux variables. Évaluez la dérivée suivante :
a)
P.S.
(
d 4x 2 y
dx
)
b)

d  6 8y2
 3 − 2 + 7 x 4 y 2 
dx  x
x

Lors d’une dérivée par rapport à x ( df / dx ), tous les paramètres sauf x sont des
constantes.
Solutions
Exercice A : La dérivée de polynôme à une variable.
a)
f ' ( x ) = 20 x 3
b)
f ' ( x ) = 8 x + 42 x 5
Exercice B : La dérivée de polynôme à deux variables.
a)
df
= 8 xy
dx
b)
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
df
18 16 y 2
= − 4 + 3 + 28 x 3 y 2
dx
x
x
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