Chapitre 3.1 – La dérivée d`un polynôme

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1
Chapitre 3.1 – La dérivée d’un polynôme
La dérivée
La dérivée
(
)
xf ' d’une fonction
(
)
xf est égale à la
variation de la fonction
(
)
xf∆ divisée par la variation
du paramètre libre x
∆
lorsque ce dernier tend vers une
valeur très près de zéro. Puisque cette définition fait
intervenir le rapport xf
∆
∆
/ , on peut affirmer que la
dérivée génère une fonction qui évalue la pente en tout
point x de la fonction primitive
(
)
xf :
y
x
(
)
xxf ∆+
(
)
xf
xx
∆
+
x
(
)
xfpente '≡
x
∆
(
)
(
)
(
)
x
xfxxf
x
xf
xf
x
∆
−
∆
+
==
→∆
lim
d
d
)('
0
où )(' xf : Fonction qui donne la valeur de la pente en tout point de la fonction primitive
(
)
xf .
)(xf : Fonction primitive associé au paramètre libre x.
x
: Paramètre libre de la fonction )(xf et )(' xf .
x
∆
: Variation infinitésimale du paramètre x.
0
lim
→∆x
: Expression désignant que l’expression x
∆
est près de zéro sans y être égale.
La dérivée du polynôme x2
La dérivée de la fonction
(
)
2
xxf = est égale à
(
)
xxf 2' = :
(
)
(
)
x
x
x
x
xf
xf 2
d
d
d
d
)('
2
===
Preuve :
Appliquons la définition de la dérivée sur la fonction
(
)
2
xxf = à partir de la limite :
Fonction en x :
(
)
2
xxf =
Fonction en x + ∆ x :
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2xxxxxxxxf ∆+∆+=∆+=∆+
(
)
(
)
x
xfxxf
xf
x
∆
−
∆
+
=
→∆
lim
)('
0
⇒
(
)
[
]
[
]
x
xxxxx
xf
x
∆
−∆+∆+
=
→∆
2
2
2
0
2
lim
)(' (Remplacer)
⇒
(
)
x
xxx
xf
x
∆
∆+∆
=
→∆
2
0
2
lim
)(' (Simplifier
2
x)
⇒
xxxf
x
∆+=
→∆
2
lim
)('
0
(Simplifier x
∆
)
⇒
xxf 2)('
=
■ ( 0
→
∆
x )

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 2
Représentation graphique de la dérivée de la fonction x2
Voici la représentation de la fonction
(
)
2
xxf = et la dérivée
(
)
xxf 2' = sous forme d’un
tableau et sous forme d’un graphique :
Coordonnée x Valeur de
(
)
2
xxf =
Valeur de la
pente de la
fonction
(
)
2
xxf =
(
(
)
xxf 2' = )
Représentation graphique de la
fonction
(
)
2
xxf = et
(
)
xxf 2' =
-3 9 -6
1
4
9
( ) xf
( ) xf '
2
4
6
1 2 3
1
2
3
x
x
(
)
2
xxf =
( ) xxf 2' =
-2 4 -4
-1 1 -2
0 0 0
1 1 2
2 4 4
3 9 6
Situations concrètes avec la dérivée
Puisque la dérivée correspond au taux de variation d’une fonction, voici quelques exemples
concret où le concept de dérivée peut être pertinent à utiliser :
Situation Fonction de base Dérivée de la fonction
Économie
(
)
t$ en dollar
Argent dans un compte en
fonction du temps
( )
(
)
t
t
t
d
$d
$' = en dollar/s
Le taux d’accroissement ou
du compte
Géographie
(
)
xH en m
La hauteur d’une montage
en fonction d’une distance
horizontale
( )
(
)
x
xH
xH
d
d
'= en %
L’inclinaison de la
montagne.
Cinématique
(
)
tx en m
La position d’un objet en
fonction du temps
( )
(
)
t
tx
tv
x
d
d
= en m/s
La vitesse de
l’objet

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 3
La dérivée d’un polynôme
Lorsque la fonction
(
)
xf est purement un polynôme, il existe des trucs de calcul pouvant
éviter l’utilisation de la longue formule. Voici les règles à suivre :
1) Distributivité (
(
)
AyAxyxA +=+ )
Théorème : La dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées .
Exemple : Soit
(
)
64 23 xxxf +=
Alors ( )
(
)
(
)
(
)
6464
2
d
d
3
d
d
23
d
d
'x
x
x
x
xx
x
xf +=+=
2) Multiplication par un scalaire (
(
)
xyAAxy = )
Théorème : La dérivée d’une fonction multipliée par un scalaire est égale à la
dérivée de la fonction que l’on multiplie par la suite par le scalaire.
Exemple : Soit
(
)
3
7xxf =
(
)
7
2− −= xxf
Alors ( )
(
)
(
)
33
d
d
77
d
d
'x
x
x
x
xf == ( )
(
)
(
)
77
d
d
22
d
d
'
−−
−=−= x
x
x
x
xf
3) Règle du polynôme (
1
d
d
−
=
nn
nxx
x
)
Théorème : Le résultat de la dérivée d’un polynôme
n
xest égal à
1−n
nx .
Exemple : Soit
(
)
12
xxf =
(
)
2−
=xxf
Alors ( )
(
)
1112
12
d
d
'xx
x
xf == ( )
(
)
32
2
d
d
'
−−
−== xx
x
xf
Situation A : Mon premier polynôme à dériver. On désire effectuez la dérivée du
polynôme suivant : ( ) 86
5
4
3
2
+++= x
x
xxf .
Effectuons une reformulation du polynôme :
(
)
0132
8654 xxxxxf +++=
−
Étape 1 : ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
0132
8
d
d
6
d
d
5
d
d
4
d
d
'x
x
x
x
x
x
x
x
xf +++=
−
Étape 2 : ( )
0132
d
d
8
d
d
6
d
d
5
d
d
4' x
x
x
x
x
x
x
x
xf +++=
−
Étape 3 :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1041
08163524'
−−
++−+= xxxxxf
⇒
(
)
6158'
4
+−=
−
xxxf

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 4
Exercices
Exercice A : La dérivée de polynôme à une variable. Évaluez la dérivée par rapport à x
des fonctions suivantes :
a)
(
)
4
5xxf = b)
(
)
62
74 xxxf +=
Exercice B : La dérivée de polynôme à deux variables. Évaluez la dérivée suivante :
a)
(
)
x
yx
d
4d
2
b)
+−
24
2
2
3
7
86
d
dyx
x
y
x
x
P.S. Lors d’une dérivée par rapport à x ( xf d/d ), tous les paramètres sauf x sont des
constantes.
Solutions
Exercice A : La dérivée de polynôme à une variable.
a)
(
)
3
20' xxf = b)
(
)
5
428' xxxf +=
Exercice B : La dérivée de polynôme à deux variables.
a) xy
x
f8
d
d= b)
23
3
2
4
28
1618
d
dyx
x
y
x
x
f++−=