Polycopié - Julian Tugaut

Bases indispensables des Mathématiques
Julian Tugaut 1
3 septembre 2014
1. Si vous avez des remarques ou des questions, envoyez-moi un message à tu-
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ii

Table des matières
Table des matières iii
Liste des figures xi
Avant-propos 1
Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
À qui s’adresse le polycopié ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
La présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ensembles et structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Trigonométrie et nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I Algèbre générale 7
1 Ensembles, parties d’un ensemble 9
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Vocabulaire, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Intersection de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Réunion de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Propriétés de distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Complémentaire d’un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Négation d’une proposition avec quantificateurs . . . . . . 16
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Structures algébriques 19
2.1 Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1.1 Commutativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1.2 Associativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1.3 Élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
iii

iv TABLE DES MATIÈRES
2.1.2 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II Trigonométrie et nombres complexes 31
3 Trigonométrie 33
3.1 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Droite réelle et cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Valeurs particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.4 Formules essentielles pour l’intégration . . . . . . . . . . . 39
3.2.5 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.6 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.7 Transformation de acos(x) + bsin(x). . . . . . . . . . . . 40
3.3 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Rappel : Étude d’une fonction de la variable réelle . . . . . 41
3.3.2 Études de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3 Fonctions sinus et arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.4 Fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.5 Fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Nombres complexes 49
4.1 Corps des nombres complexes, (C,+,×). . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Écriture algébrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . 49
4.1.2 Autres constructions de C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.2.1 C=R2avec une multiplication adéquate . . . . . 50
4.1.2.2 Cest un sous-espace vectoriel de M2(R). . . . . 50
4.1.2.3 Théorie de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

TABLE DES MATIÈRES v
4.2 Calculs de base dans C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.1 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Équations du second degré dans C. . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 Résolution de z2=Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1.1 Si Z∈R+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1.2 Si Z∈R∗
−. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1.3 Si Z /∈R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.2 Résolution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Nombres complexes de module 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.1 Groupe (U,×). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.2 Forme trigonométrique d’un complexe non nul . . . . . . . 56
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III Algèbre linéaire 59
5 Espaces vectoriels 61
5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Familles libres, génératrices et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Applications linéaires 67
6.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.1 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Application linéaire et sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . 71
6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Calcul matriciel 75
7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.1 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.2 Somme de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.4 Puissance d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.5 Inversion d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.6 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8 Pivot de Gauss 83
8.1 Résolution des systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . 83
8.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.1.2 Résolution par la méthode de la substitution . . . . . . . . 84