AL7MA01ANPA0013-Corriges-des-exercices

Mathématiques
Terminales ES et L
Corrigés des exercices
Rédaction :
Isabelle Tenaud
Jean-Yves Hély
Sébastien Kernivinen
Coordination :
Sébastien Kernivinen
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Corrigé Séquence 1 – MA01
C
orrigé Séquence 1
Corrigé des activités du chapitre 2
Le jeu télévisé
Le premier mois Vincent touche 1 000 €.
Le versement augmente, sur le modèle des intérêts composés, de 3 % chaque
mois. Ainsi le 2e mois Vincent touchera 1 030 € (on obtient ce résultat en
calculant 1 000 1 03 1 030,).×=
Pour le 3e mois on calcule 1 030 1 03 1 060 90,,.×=
Le 3e mois Vincent touchera 1 060,90 €.
Chaque mois on multiplie la somme versée le mois précédent par 1,03.
La suite
v est une suite géométrique de raison q = 1,03 et de premier terme
v
11 000=.
On a donc vvq
nn
=×−
11 d’où
vn =×− 1 000.1,03
n 1
La somme versée à Vincent le dernier mois est égale, en euros, à v
12.
La calculatrice nous donne
v
12 11
1 000 1 03 1 384 233=× =, , ...
Le 12e mois Vincent touchera 1 384,23 €.
La somme totale gagnée par Vincent durant les 12 mois est
Sv v v =++ +
12 12
...... .
Méthode 1
– Calculatrice
À l’aide de la touche rép sur TI 82 ou Ans sur Casio 25+ on obtient rapide-
ment les 12 premières valeurs.
La somme des 12 valeurs correspond à un
gain total de 14 192,02 €.
Durant ces 12 mois Vincent aura gagné la
somme de 14 192 €.
On a choisi de ne garder que deux décimales.
▶
Sur TI 82 à l’aide de la touche mode on fait ▾ ▸ ▸ ▸ entrer quitter
▶
Sur Casio 25+ on fait MENU (RUN) EXE SHIFT SET UP
Activité 1
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Corrigé Séquence 1 – MA01
À l’aide de la touche ▾ on
descend jusqu’à obtenir :
On fait alors F1 (Fix) 2 EXE
pour avoir comme écran :
Méthode 2
– Tableur « OpenOffice.org Calc »
Filon de minerai
Comme les quantités extraites diminuent chaque année de 1 % le coefficient
multiplicateur est égal à 0,99.
Ainsi TT
10
0 99 20 000 0 99 19 800=× = × =,,. On retrouve bien le résultat
donné dans l’énoncé.
De même
TT
21
0 99 19 800 0 99 19 602=× = × =,,.
TT
32
0 99 19 602 0 99 19 405 98=× = × =,,,
(soit 19 406 arrondi à la tonne).
D’où
T
1 = 19 800 ;
T
2 = 19 602 ;
T
3 = 19 406.
A B C
1Rang Gain du n- ième mois Gain au bout de n mois
2
n
vn
Somme
31 1 000 1 000
4 2 1 030 2 030
5 3 1 060,90 3 090,90
6 4 1 092,73 4 183,63
7 5 1 125,51 5 309,14
8 6 1 159,27 6 468,41
9 7 1 194,05 7 662,46
10 8 1 229,87 8 892,33
11 9 1 266,77 10 159,10
12 10 1 304,77 11 463,87
13 11 1 343,92 12 807,79
14 12 1 384,23 14 192,02
B3 →1 000
B4 →= B3*1,03
C3 →= B3
C4 →= arrondi(C3+B4 ;2)
On retrouve les mêmes
résultats.
Activité 2
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Corrigé Séquence 1 – MA01
Le coefficient multiplicateur étant 0,99 on a
TT
nn +1 = 0,99.×
La suite () Tn est une suite géométrique de raison q = 0,99 et de premier
terme T
0 = 20 000.
On a donc
TTq
nn
=×
0 soit
Tnn =×20 000 0 99,.
L’année 2012 correspond au rang n = 62. On calcule
T
62 62
20 000 0 99 10 725 36=×=, , ...
La quantité de minerai extraite en 2012 est environ égale à 10 725 tonnes.
Posons STT T
nn
=++ +
12
...... .
D’après le
Tableur « OpenOffice.org Calc » on trouve : S
67 990 218=
et S
68 1 000 316=.
A B C D
1Année Rang Quantité en tonnes Somme en tonnes
2 n
Tn Sn
31950 0 20 000 20 000
41951 1 19 800 39 800
51952 2 19 602 59 402
69 2016 66 10 303 980 018
70 2017 67 10 200 990 218
71 2018 68 10 098 1 000 316
C3 →20 000
C4 →=arrondi C3*0,99)(
D3 →=C3
D4 →=DC43+
En 2017 le filon n’est pas totalement épuisé.
C’est, en théorie, dans le courant de l’année
2018 que le filon devrait être épuisé.
Dans le tableur les valeurs sont toutes arrondies à l’unité.
En arrondissant à 2 ou 3 décimales les résultats seraient
légèrement différents. Le filon serait tout de même épuisé
en 2018.
Remarque
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Corrigé Séquence 1 – MA01
Corrigé des exercices
d’apprentissage du chapitre 2
À chaque rebond, la balle remonte aux 9
10 de la hauteur atteinte précédem-
ment.
Ainsi
hh
10
09 100 09=× = ×,, d’où
h
190=.
hh
21
09 90 09=× =×,, d’où
h
281=.
À l’issue du 1er rebond la balle remonte à 90 cm du sol et à
l’issue du 2e rebond elle remonte à 81 cm du sol.
À chaque rebond la hauteur précédente est multipliée par
0,9.
Ainsi
hh
nn +=× 109,.
La suite h est une suite géométrique de raison q = 0,9 et de
premier terme h
0100=.
On sait que
hhq
nn
=×
0 d’où
hnn =×100 0 9,.
 On a
hh
nn nn ++
−= × − ×
11
100 0 9 100 0 9,,
hh
nn n +−= × − 1100 0 9 0 9 1,(, )
hh
nn n +−=−× 110 0 9,.
On en déduit
hh
nn +−< 10 et la suite
h est décroissante.
La balle demeure à moins de 20 cm du sol dès que hn <20.
On cherche donc le plus petit entier
n tel que hn <20.
La suite
h étant décroissante il suffit de faire des essais à la calculatrice.
On trouve
h
15 20 58=,... et
h
16 18 53=, ...
Pour tout
n ≥ 16 on a donc hn <20.
À partir du 16e rebond la balle restera à moins de 20 cm du sol.
La balle rebondit 10 fois sur le sol.
Appelons
P
0 le point d’où la balle est lâchée et
S le point où elle touche le sol
avant de rebondir (voir figure).
Appelons
Pi le sommet atteint après le i- ème rebond (pour 1 ≤ i ≤ 9).
La distance
d parcourue par la balle depuis le lâcher jusqu’au moment où elle
touche le sol pour la dixième fois est donnée par
d = P
0
S + S P
1
+ P
1
S + S P
2
+ P
2
S + S P
3
+ P
3
S + ……+ S P
9
+ P
9
S .
S
1er 2e
P9
P2
P1
P0
h0h1h2
h9
3e
REBONDS
Les trajets en pointillé sont virtuels
9e10e
Exercice 1
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