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Cours de Bac 2 en mathématiques
Un premier contact avec la Théorie des Nombres
Souvenir 2009-2010
Anne-Marie Simon
Université libre de Bruxelles Faculté des Sciences
Département de mathématiques
première version : 9 mai 2009
deuxième version : 4 mai 2010
corrigée le 10 novembre 2010

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Table des matières
0 Introduction 1
0.1 Introduction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Conventions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Congruences, idéaux et anneaux quotients . . . . . . . . . . . 4
0.4 pgcd et ppcm dans un domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.5 Domaines principaux et domaines factoriels . . . . . . . . . . 12
0.6 Factorisation d’homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.7 Caractéristique d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.8 Modules.............................. 20
0.9 Verslesnombres ......................... 24
1 Premières promenades 27
1.1 Le nombre d’or ϕ......................... 27
1.2 Dépendance algébrique et intégrale . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3 Corps quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4 Le symbole de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.5 L’équation xn+yn=zn, n = 2,3,4............. 63
1.6 L’équation de Pell-Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2 Anneaux d’entiers algébriques 75
2.1 Anneaux et modules noethériens . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2 Modules de type fini sur un domaine principal . . . . . . . . . 78
2.3 Compléments sur les domaines factoriels . . . . . . . . . . . . 86
2.4 Normes, Traces et Ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 Extension de corps 99
3.1 Corps de déploiement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 Racines simples, Racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3 Normes, Traces et Extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . 112
3.4 Corpsfinis.............................117
3.5 Racines de l’unité, Indicateur d’Euler . . . . . . . . . . . . . . 122
3.6 Les corps cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.7 Les nombres pseudo-premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
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iv TABLE DES MATIÈRES
4 Les entiers d’un corps de nombres 133
4.1 Le premier langage des idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2 Domaines de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Chapitre 0
Introduction
0.1 Introduction générale
La théorie des nombres ou arithmétique a pour objet les nombres entiers
naturels ainsi que leurs généralisations, les nombres rationnels, les nombres
algébriques et plus particulièrement les entiers algébriques.
La théorie des nombres étudie aussi les équations diophantiennes, équa-
tions polynomiales à coefficients entiers ou rationnels, dont on recherche les
solutions entières ou rationnelles. La plus célèbre d’entre elle est l’équation
de Fermat xn+yn=zn, dont l’histoire est longue. Dans la marge d’un
livre, Fermat (XV IIième) avait annoncé sans preuve que cette équation ne
possède pas de solutions entières non triviales pour n>3, bien que par la
suite il ne fit plus allusion qu’au cas où n= 3. On a donné à cet énoncé de
Fermat le nom de « grand théorème de Fermat », bien qu’en l’absence de
preuve ce grand théorème n’était qu’une conjecture. Le cas n= 3 du grand
théorème de Fermat fut prouvé par Euler en 1753, d’autres encore furent
prouvés dans le courant du XIXième et du XXième siècle, amenèrent les
mathématiciens à étudier plusieurs anneaux de nombres, dont la plupart ne
sont ni principaux ni factoriels. Pour remédier à l’absence d’une factorisation
unique dans ces anneaux de nombres, Kummer et Dedekind ont développé
la théorie des idéaux. Au dernier quart du XXième siècle on a remarqué que
la « conjecture » de Fermat est équivalente à une conjecture très significative
concernant certaines courbes du plan réel, ce qui a ramené l’attention sur
cet énoncé de Fermat. Le cas général du grand théorème de Fermat, resté
très longtemps à l’état de conjecture, fut finalement démontré par Wiles à
la fin du XXième siècle (la preuve de Wiles dépasse largement le cadre de
ces notes).
L’équation x2+y2=n, où nest un nombre naturel donné, est plus
accessible ; gràce à la connaissance des propriétés de l’anneau des entiers
de Gauss Z[i], et aussi à celle des corps finis, nous pourrons montrer pour
quelles valeurs de ncette équation a des solutions entières (théorème des
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