Algèbre et géométrie

CV_AlgebreGeometrie:EP
31/07/14
16:58
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CAPES et Agrégation
L’ouvrage présente tout le nouveau programme d’algèbre et de géométrie
au CAPES externe et à l’Agrégation interne de mathématiques avec un cours
complet et plus de 200 démonstrations, exemples et exercices corrigés.
Il permet aux candidats de maîtriser le programme d’algèbre et de géométrie
commun aux deux concours et de s’entraîner aux épreuves.
Sommaire
1. Nombres complexes
2. Structures algébriques usuelles
3. Arithmétique dans l’ensemble
des entiers relatifs
4. Polynômes – Fractions rationnelles
5. Espace vectoriel : généralités
6. Espace vectoriel en dimension finie
Géométrie affine
7.
8.
9.
10.
Matrice
Déterminant
Réduction des endomorphismes
Formes bilinéaires symétriques
Géométrie euclidienne
Espace euclidien orienté
Index
Agrégé de mathématiques, professeur hors classe, Pierre Burg a été membre du jury du CAPES et
du CAPESA durant de nombreuses années. Colleur en classes préparatoires MP et MP*, il intervient
également au CNED dans la préparation du CAPES de mathématiques.
ISBN 978-2-311-00500-4
WWW.VUIBERT.FR
9 782311 005004
Cours & exercices corrigés
Algèbre et géométrie
Algèbre et géométrie
Pierre Burg
CAPES EXTERNE
AGRÉGATION INTERNE
MATHÉMATIQUES
Pierre Burg
CAPES EXTERNE
AGRÉGATION INTERNE
MATHÉMATIQUES
Algèbre et
géométrie
CAPES et Agrégation
• Conforme au nouveau programme
• Cours complet
• Plus de 200 exercices corrigés
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“Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page V — #3
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Table des matières
Avant-propos
1 Nombres complexes
1.1 Corps des nombres complexes . . . .
1.1.1
Représentation géométrique .
1.2 Interprétation géométrique . . . . . .
1.3 Racines carrées dans C . . . . . . . .
1.4 Équation de degré 2 . . . . . . . . . .
1.5 Factorisation des polynômes dans C .
1.6 Exponentielle d’un complexe . . . . .
1.6.1
Propriétés de l’argument . .
1.7 Racines n-ièmes . . . . . . . . . . . .
1.8 Géométrie et complexes . . . . . . . .
1.8.1
Similitude . . . . . . . . . .
1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Corrigé des exercices . . . . . . . . .
XIII
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2 Structures algébriques usuelles
2.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1
Sous-groupe d’un groupe fini . . . . . . . . .
2.3 Morphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1
Noyau et image d’un morphisme de groupes
2.4 Sous-groupe engendré par une partie . . . . . . . . .
2.4.1
Théorème fondamental . . . . . . . . . . . .
2.4.2
Groupe monogène . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3
Ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1
Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1
Propriétés de calcul dans un anneau . . . . .
2.6.2
Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3
Éléments inversibles . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4
Diviseurs de zéro . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5
Sous-anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Table des matières
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3 Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs
3.1 Anneau Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1
Sous-groupes additifs de Z . . . . . . . . . . . . .
3.2 Divisibilité dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1
Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2
Caractérisation des sous-groupes additifs . . . . .
3.3 Idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1
Divisibilité dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1
Compatibilité de la congruence avec les opérations
3.5.2
Groupe additif Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3
Produit dans Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1
Plus grand commun diviseur dans N . . . . . . . .
3.6.2
Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . .
3.6.3
Équation diophantienne ax + by = c . . . . . . . .
3.6.4
Plus petit commun multiple dans N . . . . . . . .
3.6.5
Plus grand commun diviseur de plusieurs entiers .
3.7 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1
Le corps (Z/pZ, +, ×) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2
Petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3
Théorème de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.4
Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Polynômes
4.1 Définitions et structures . . .
4.2 Degré d’un polynôme . . . .
4.3 Composition de polynômes .
4.4 Divisibilité dans Kn [X] . . .
4.4.1
Division euclidienne
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2.13
Morphisme d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Idéal d’un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1
Divisibilité dans un anneau commutatif intègre
2.8.2
Arithmétique de Z revisitée . . . . . . . . . . .
2.8.3
Relation de Bézout . . . . . . . . . . . . . . .
Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1
Sous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anneau (Z/nZ, +, ×) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Théorème d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2 Théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . .
Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Table des matières
4.5
4.6
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4.8
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4.10
4.11
4.12
4.13
4.4.2
Idéaux de K[X] . . . . . . . . . . . . . . .
Fonction polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . .
Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1
Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2
Racines multiples . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3
Relations entre les coefficients et les racines
Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1
Dérivation et opérations . . . . . . . . . . .
4.7.2
Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . .
4.7.3
Caractérisation de l’ordre d’une racine . . .
Arithmétique dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1
PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2
Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . .
4.8.3
Plus petit commun multiple . . . . . . . .
4.8.4
Polynômes premiers entre eux . . . . . . .
Lien PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.2 Décomposition en facteurs irréductibles . .
4.10.3 Application au PGCD et au PPCM . . . .
Factorisation dans C[X] . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.1 Théorème de d’Alembert . . . . . . . . . .
4.11.2 Polynôme conjugué . . . . . . . . . . . . .
Factorisation dans R[X] . . . . . . . . . . . . . . . .
Polynôme d’interpolation de Lagrange . . . . . . . .
VII
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Fractions rationnelles
4.14 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14.1 Structures de K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14.2 Représentant irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14.3 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14.4 Composition avec un polynôme . . . . . . . . . . . . . .
4.14.5 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15 Fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15.1 Fonction rationnelle définie par une fraction rationnelle
4.16 Décomposition d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . .
4.16.1 Degré d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . .
4.16.2 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17 Décomposition en éléments simples dans C(X) . . . . . . . . . .
4.17.1 Mise en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18 Décomposition en éléments simples dans R(X) . . . . . . . . . .
4.18.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P′
4.19 Décomposition de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P
4.20 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.21 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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VIII
5 Espace vectoriel : généralités
5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1
Sous-espace vectoriel . . . .
5.1.2
Sous-espace engendré . . . .
5.2 Application linéaire . . . . . . . . . .
5.2.1
Structure de L(E, F ) . . . .
5.3 Noyau et image . . . . . . . . . . . .
5.4 Somme directe . . . . . . . . . . . . .
5.4.1
Sous-espaces supplémentaires
5.5 Anneau des endomorphismes . . . . .
5.5.1
Itérés d’un endomorphisme .
5.6 Endomorphismes remarquables . . . .
5.6.1
Homothétie vectorielle . . . .
5.6.2
Projection vectorielle . . . .
5.6.3
Projecteur . . . . . . . . . .
5.6.4
Symétrie vectorielle . . . . .
5.6.5
Affinité vectorielle . . . . . .
5.6.6
Somme directe et projecteurs
5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Corrigé des exercices . . . . . . . . .
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Table des matières
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214
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222
6 Espace vectoriel en dimension finie
6.1 Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Sous-espace d’un espace de dimension finie . . .
6.6 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1
Théorème du rang . . . . . . . . . . . .
6.6.2
Théorème d’isomorphisme . . . . . . .
6.6.3
Application : interpolation de Lagrange
6.7 Formule de Grassmann . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Dimension de L(E, F ) . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.1
Hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.2
Équation cartésienne d’un hyperplan .
6.9.3
Dualité en dimension finie . . . . . . . .
6.9.4
Base duale . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9.5
Intersection d’hyperplans . . . . . . . .
6.9.6
Base antéduale . . . . . . . . . . . . . .
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Géométrie affine
6.10 Structure affine d’un espace vectoriel . . . .
6.10.1 Translation . . . . . . . . . . . . . .
6.11 Sous-espace affine d’un espace vectoriel . . .
6.11.1 Droites et plans affines de Rn , n = 2
6.11.2 Parallélisme . . . . . . . . . . . . .
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“Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page IX — #7
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Table des matières
IX
6.12 Barycentre . . . . . . . . . . . . . .
6.12.1 Associativité du barycentre
6.12.2 Convexité . . . . . . . . . .
6.13 Repère affine . . . . . . . . . . . . .
6.14 Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
6.15 Corrigé des exercices . . . . . . . .
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7 Matrice
7.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1
Matrice rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2
Somme de matrices et produit par un scalaire . .
7.1.3
Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4
Matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5
Matrices carrées symétriques et antisymétriques .
7.2 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1
Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1
Caractérisation de l’inversibilité . . . . . . . . . .
7.5 Matrices par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1
Matrice d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.2
Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . .
7.6.3
Application linéaire associée à une matrice . . . .
7.7 Matrice de changement de base . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1
Action du changement de base sur un vecteur . .
7.7.2
Action du changement de base sur une application
7.8 Matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10.1 Transvections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10.2 Dilatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10.3 Matrice de permutation . . . . . . . . . . . . . . .
7.11 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11.1 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11.2 Traduction matricielle . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11.3 Méthode pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11.4 Système de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Déterminant
8.1 Applications multilinéaires . . . .
8.2 Déterminant de n vecteurs . . . .
8.2.1
Relation de Chasles . . .
8.3 Déterminant d’un endomorphisme
8.4 Déterminant d’une matrice carrée
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“Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page X — #8
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X
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9 Réduction des endomorphismes
9.1 Sous-espaces vectoriels stables . . . . . . . . . . . .
9.1.1
Application aux matrices . . . . . . . . . .
9.2 Polynôme d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . .
9.2.1
Cas des sous-espaces stables . . . . . . . .
9.3 Polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Lemme de décomposition des noyaux . . . . . . . .
9.4.1
Application aux équations différentielles . .
9.5 Éléments propres d’un endomorphisme . . . . . . .
9.6 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.1
Polynôme caractéristique et valeurs propres
9.6.2
Ordre de multiplicité . . . . . . . . . . . .
9.7 Théorème de Hamilton-Cayley . . . . . . . . . . . .
9.8 Valeurs propres et polynôme minimal . . . . . . . .
9.9 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . .
9.9.1
Applications de la diagonalisation . . . . .
9.9.2
Projecteurs spectraux . . . . . . . . . . . .
9.9.3
Polynôme annulateur et diagonalisation . .
9.9.4
Diagonalisation simultanée . . . . . . . . .
9.10 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.10.1 Trigonalisation simultanée . . . . . . . . .
9.11 Sous-espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . .
9.11.1 Décomposition de Dunford . . . . . . . . .
9.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.13 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
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406
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10 Formes bilinéaires symétriques – Géométrie euclidienne
10.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Norme issue d’un produit scalaire . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Égalités de polarisation . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Égalité du parallélogramme . . . . . . . . . . . . .
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8.10
8.11
8.12
8.13
8.14
Déterminant d’une matrice par blocs
Développement d’un déterminant . .
Vecteurs linéairement indépendants .
Rang d’une matrice . . . . . . . . . .
Systèmes linéaires . . . . . . . . . . .
8.9.1
Systèmes de Cramer . . . . .
8.9.2
Formules de Cramer . . . . .
8.9.3
Cas général . . . . . . . . . .
Orientation d’un espace vectoriel réel
Produit mixte . . . . . . . . . . . . .
Produit vectoriel . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
Corrigé des exercices . . . . . . . . .
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Table des matières
10.3 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Vecteur unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . .
10.5.2 Procédé d’orthonormalisation de Schmidt . . .
10.5.3 Partie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.4 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . .
10.6 Hyperplan d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . .
10.6.1 Équation d’un hyperplan . . . . . . . . . . . .
10.7 Représentation d’une forme linéaire . . . . . . . . . . .
10.8 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8.1 Projection orthogonale sur un hyperplan affine
10.8.2 Inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8.3 Égalité de Parseval-Bessel . . . . . . . . . . . .
10.9 Propriétés des projecteurs orthogonaux . . . . . . . . .
10.10 Symétrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.11 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . .
10.11.1 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . .
10.12 Endomorphisme symétrique . . . . . . . . . . . . . . .
10.13 Réduction des endomorphismes symétriques . . . . . .
10.14 Norme d’un endomorphisme symétrique . . . . . . . . .
10.15 Forme bilinéaire et endomorphisme symétrique . . . . .
10.15.1 Matrice d’une forme bilinéaire symétrique . . .
XI
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Espace euclidien orienté
10.16 Rappels : espace vectoriel orienté . . . . . . . . . . . . . . . .
10.16.1 Orientation d’un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . .
10.17 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.18 Angle dans E euclidien orienté de dimension 2, étude de O(E)
10.18.1 Angle orienté du plan orienté . . . . . . . . . . . . . .
10.18.2 Étude de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.19 Angle dans E euclidien orienté de dimension 3, étude de O(3)
10.19.1 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.19.2 Double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . .
10.19.3 Orientation dans E euclidien de dimension 3, angle .
10.19.4 Orientation associée à un plan P et à P ⊥ . . . . . . .
10.19.5 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . .
10.19.6 Produit mixte et volume . . . . . . . . . . . . . . . .
10.19.7 Étude de O(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.19.8 Étude pratique d’une rotation . . . . . . . . . . . . .
10.20 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.21 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Index
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CHAPITRE 5
Espace vectoriel : généralités
K désigne un corps commutatif R ou C. I désigne un ensemble non vide quelconque
et n un entier non nul.
5.1 Définition
Définition 5.1 Un ensemble E sur lequel on a défini une loi interne + et une loi
externe ·, produit par un scalaire de K, est un K-espace vectoriel si :
— (E, +) est un groupe abélien.
— Pour tout λ, µ dans K et pour tout x, y dans E,
(λ + µ)x = λx + µx, λ(x + y) = λx + λy, λ(µx) = (λµ)x, 1.x = x.
Les éléments de E sont appelés vecteurs, et l’élément neutre du groupe additif
est le vecteur nul noté 0.
Remarque : Il arrive qu’on surmonte les vecteurs d’une flèche, c’est le cas parfois
du vecteur nul pour le distinguer du scalaire nul.
Exemples 5.1
— L’ensemble des vecteurs de la géométrie de l’espace usuel est un espace vectoriel
sur R ; les opérations étant l’addition usuelle des vecteurs et le produit des
vecteurs par un réel.
— L’ensemble des n-uplets Kn , n > 1 muni de l’addition usuelle des n-uplets
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
et du produit d’un n-uplet par un scalaire
λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn )
est un espace vectoriel.
— L’ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K, ainsi que l’ensemble des
fonctions polynômes K[x], c’est-à-dire l’ensemble des fonctions P définies sur
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
K par P (x) =
n
X
k=0
ak xk pour tout x ∈ K, où les coefficients ak sont dans K,
sont des espaces vectoriels sur K.
— Soient n ∈ N∗ et (a0 , . . . , an ) ∈ Rn+1 avec an 6= 0.
L’ensemble des fonctions réelles définies sur un intervalle I, solutions de l’équation différentielle
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a0 y = 0
est un espace vectoriel sur R.
— L’ensemble des polynômes trigonométriques, c’est-à-dire l’ensemble des foncn
X
tions P définies par P (x) =
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) pour tout réel x où
k=0
—
—
—
—
les coefficients ak et bk sont réels, est un espace vectoriel réel.
L’ensemble Mn,p (K) des matrices à n > 1 lignes et p > 1 colonnes à coefficients
dans K.
L’ensemble F (I, K) = KI des applications d’une partie I non vide quelconque
vers K.
Si E est un K-espace vectoriel et L un sous-corps de K alors E est un L-espace
vectoriel.
Si E1 , . . . , En sont des K-espaces vectoriels, alors E1 ×. . .×En est un K-espace
vectoriel pour les lois :
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),
λ(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ).
Il est appelé espace vectoriel produit.
— Soit E un espace vectoriel sur R. Sur E × E, on définit l’addition usuelle :
(x, x′ ) + (y, y ′ ) = (x + x′ , y + y ′ )
et la multiplication par les scalaires de C :
(a + ib) · (x, y) = (ax − by, ay + bx) .
E × E muni de ces deux lois a une structure d’espace vectoriel sur C appelé le
complexifié de E.
5.1.1 Sous-espace vectoriel
Définition 5.2 Une partie F d’un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel
de E si :
— 0E ∈ F .
— Pour tout λ ∈ K et tout x, y dans E, x + y ∈ F et λx ∈ F .
La seconde propriété dit que F est stable par combinaison linéaire et on peut la
traduire par, pour tout λ et µ dans K et tout x, y dans E, λx + µy ∈ F .
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5.1 Définition
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201
Remarque :
La partie de R3 dont les éléments (x, y, z) vérifient ax + by + cz = 0, où a, b, c sont
des réels donnés, est un sous-espace de l’espace vectoriel réel R3 .
Géométriquement, dans l’espace affine usuel, muni d’un repère, les sous-espaces
vectoriels sont les droites et les plans passant par l’origine.
b
−
→
0
Théorème 5.3 Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel est un espace vectoriel.
∞
X
Exemples 5.2 Soit H l’ensemble des suites réelles (xn )n∈N vérifiant
x2k < +∞.
N
H est un sous-espace vectoriel de R .
k=0
Démonstration
— H est non vide, la suite nulle étant clairement dans H.
— Soit X ∈ H, ce qui signifie que X = (xn )n∈N et il existe A ∈ R
∞
X
tel que
x2k 6 A.
k=0
Soit Y ∈ H, ce qui signifie que Y = (yn )n∈N et il existe B ∈ R tel que
∞
X
yk2 6 B.
k=0
Sachant que :
∀a ∈ R, ∀b ∈ R,
(a + b)2 6 2 a2 + b2 .
La suite X + Y = (xn + yn )n∈N vérifie par addition d’inégalités, pour tout
n
n
X
X
entier n,
(xk + yk )2 6 2
(x2k + yk2 ) 6 2(A + B).
k=0
k=0
Par suite, la suite X + Y ∈ H.
— Soit X ∈ H, ce qui signifie que X = (xn )n∈N et il existe A ∈ R tel que
∞
X
x2k 6 A et λ ∈ R.
k=0
La suite λX = (λxn )n∈N vérifie, pour tout entier n,
n
X
k=0
(λxk )2 = λ2
n
X
x2k 6 λA.
k=0
Par suite λX ∈ H.
— H est ainsi un sous-espace vectoriel de RN , donc aussi un espace vectoriel réel.
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
Définition 5.4 K(I) désigne le sous-ensemble de KI formé des éléments (λi )i∈I à
support fini, c’est-à-dire, tels que {i ∈ I | λi 6= 0K } est fini.
Théorème 5.5 K(I) est un K-espace vectoriel.
Démonstration Il suffit de montrer que K(I) est un sous-espace de KI .
K(I) contient le vecteur nul de KI . On rappelle que le vecteur nul est la suite
(xi )i∈I telle que ∀i ∈ I, xi = 0. Cette suite est bien sûr à support fini.
Toute combinaison linéaire de deux familles à support fini est encore à support
fini ; en effet le support est contenu dans la réunion des supports des deux familles.
Proposition \
5.6 Soit (Fi )i∈I une famille de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E alors
Fi est un sous-espace vectoriel de E.
i∈I
Démonstration Notons F =
\
Fi .
i∈I
— Le vecteur 0 appartient à Fi pour tout i ∈ I, donc 0 ∈ F .
— Soient x ∈ F et y ∈ F , par suite ∀i ∈ I, x + y ∈ Fi , donc x + y ∈ F .
— Soient x ∈ F et λλ ∈ K, par suite ∀i ∈ I, λx ∈ Fi , donc λx ∈ F .
Exemples 5.3 n et p sont des entiers non nuls. Considérons le système linéaire homogène de n équations à p inconnues x1 , . . . , xp dans K, de coefficients ai,j ∈ K,
où 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 p :
p
X
aij xj = 0,
16i6n
(S)
j=1
p
L’ensemble des solutions de (S) est 
un sous-espace de l’espace vectoriel
K . En effet,
p


X
aij xj = 0 est un souspour tout entier i, l’ensemble Fi = (x1 , . . . , xp ) ∈ Kp 


j=1
espace de Kp et l’ensemble des solutions est
n
\
Fi .
i=1
Définition 5.7 Soient E un espace vectoriel et x, y des éléments de E.
y est colinéaire à x s’il existe un scalaire λ ∈ K tel que y = λx.
Soient n ∈ N∗ , y et x1 , . . . , xn des vecteurs de E.
y est combinaison linéaire de x1 , . . . , xn s’il existe n scalaires λ1 , . . ., λn tels que :
y=
n
X
λk xk .
k=1
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5.1 Définition
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Plus généralement : soient (ui )i∈I une X
famille de vecteurs de E et (λi )i∈I une famille
de scalaire à support fini, la somme
λi ui est appelée combinaison linéaire des
vecteurs ui à coefficients dans K.
i∈I
Remarque : Une partie non vide F d’un espace vectoriel E est un sous-espace
vectoriel de E si, et seulement si, F est stable par combinaison linéaire.
Proposition 5.8 Soit E un espace vectoriel sur K et F une partie de E.
F est un sous-espace vectoriel de E si, et seulement si :
— F 6= ∅,
— ∀(u, v) ∈ E 2 , ∀(λ, µ) ∈ K2 , λu + µv ∈ E.
Exemples 5.4 La partie F = (un ) ∈ RN |un+2 = nun+1 + un est un sous-espace
vectoriel de RN .
En effet F est non vide car la suite nulle est bien dans F .
Pour tout (λ, µ) ∈ R2 et tout (un ) et (vn ) dans F , λ(un ) + µ(vn ) = (λun + µvn )
et pour tout n ∈ N on a :
λun+2 + µvn+2 = λ (nun+1 + un ) + µ (nvn+1 + vn )
= n (λun+1 + µvn+1 ) + (λun + µvn ) .
5.1.2 Sous-espace engendré
Proposition 5.9 Soit A une partie non vide d’un espace vectoriel sur K. L’ensemble,
noté Vect(A), des combinaisons linéaires de vecteurs ui ∈ A est un sous-espace vectoriel de E, appelé sous-espace engendré(par A.
)
n
X
Si A = {ui , 1 6 i 6 n}, Vect(A) =
λk uk , λk ∈ K .
k=1
Démonstration
— Vect(A) est non vide car A contient au moins un vecteur.
— Soient X et Y dans Vect(A) et λ et µ dans
K ; par définition,
Xil existe deux
X
µk vk , λk , µk
λk uk et Y =
parties finies JX , JY dans I telles que X =
k∈JX
k∈JY
étant dans K et uk ,X
vk dans A. X
µµk vk est bien une combinaison linéaire
λλk uk +
Alors λX + µY =
k∈JX
k∈JY
d’un nombre fini de vecteurs de A.
— Vect(A) est un sous-espace vectoriel de E et clairement A ⊂ Vect(A).
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
Remarque : On peut montrer que Vect(A) est le plus petit
\ sous-espace vectoriel
de E contenant A. Pour cela on démontre que Vect(A) =
F.
F sev deE
A⊂F
Théorème et définition 5.10 n est un entier au moins égal à 2 et F1 , . . . , Fn des
sous-espaces vectoriels de (
E.
)
n
n
X
X


L’ensemble
Fk =
uk (u1 , . . . , un ) ∈ F1 × · · · × Fn est un sous-espace
vectoriel de E.
k=1
k=1
Exemples 5.5 Soit n ∈ N∗ , on a
Ki+1 [X].
n
X
k=0
Kk [X] = Kn [X] car, pour tout entier i, Ki [X] ⊂
Proposition 5.11 A et B sont deux parties d’un K-espace vectoriel E. On a :
1. A ⊂ B =⇒ Vect(A) ⊂ Vect(B).
2. A est un sous-espace vectoriel de E si, et seulement si, Vect(A) = A.
3. Vect (Vect(A)) = Vect(A).
4. Vect(A ∪ B) = Vect(A) + Vect(B).
Remarque : Le point 4 s’étend à une réunion finie de parties et on a pour la fan
X
mille de sous-espaces vectoriels Fi , Vect (∪ni=1 Fi ) =
Fi . En particulier, pour tout
n
(u1 , . . . , un ) ∈ E , Vect(u1 , . . . , un ) =
n
X
i=1
Kui .
i=1
Démonstration Nous démontrons le point 4.
Comme A ⊂ A ∪ B et B ⊂ A ∪ B, on a Vect(A) ⊂ Vect(A ∪ B) et Vect(B) ⊂
Vect(A ∪ B) donc Vect(A) + Vect(B) ⊂ Vect(A ∪ B).
(I)
Réciproquement, si x ∈ Vect(A ∪ B), il existe
Xune famille λ ∈ K et une famille
ui , i ∈ I de vecteurs de A ∪ B telles que x =
λi ui . Cette somme étant finie, on
i∈I
regroupe les vecteurs selon leur appartenance à A et B et par suite x est somme d’un
vecteur de Vect(A) et Vect(B).
Exemples 5.6 Soient u et v deux vecteurs d’un espace vectoriel E sur K, alors
Vect{u} = Ku et Vect {u, v} = Ku + Kv.
Si u est colinéaire à v alors Vect {u, v} = Ku.
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5.2 Application linéaire
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5.2 Application linéaire
Définition 5.12 Soient E et F deux espaces vectoriels sur K.
Une application f de E vers F est linéaire si :
— ∀(u, v) ∈ E 2 , f (u + v) = f (u) + f (v),
— ∀u ∈ E, ∀λ ∈ K, f (λu) = λf (u).
Vocabulaire
— On note L(E, F ) l’ensemble des applications linéaires de E vers F .
— Un endomorphisme de E est une application linéaire de E vers E, on note
L(E) leur ensemble.
— Un isomorphisme est une application linéaire bijective, E et F sont dits isomorphes.
— Un automorphisme est un endomorphisme bijectif, on note GL(E) leur ensemble.
— Une forme linéaire est une application linéaire de E vers K, on note E ∗ leur
ensemble appelé le dual de E.
Exemples 5.7
— Soit E1 × · · · × Eq l’espace vectoriel produit de q sous-espaces vectoriels d’un
espace vectoriel E. L’application
ϕ : E1 × · · · × Eq → E, (x1 , . . . , xq ) 7→
q
X
xi
k=1
est linéaire.
— Soient a et b deux entiers positifs non nuls. L’application
(
Kn [X] → Kn [X]
f:
P 7→ X 2 P ′′ − (a + b − 1)XP ′ + abP
est un endomorphisme.
Conséquences immédiates
1. f (0E ) = 0F .
2. Pour toute famille (u1 , . . . , un ) de vecteurs de E et toute famille (λ1 , . . . , λn ) de
scalaires,
!
n
n
X
X
λi f (ui ) ,
λi ui =
f
i=1
i=1
ce qui donne une caractérisation des applications linéaires :
∀λ, µ ∈ K, ∀u, v ∈ E,
f (λu + µv) = λf (u) + µf (v).
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
Exemples 5.8
1. Soit α ∈ K. L’application de hα : E → E, u 7→ αu est un endomorphisme.
Si α 6= 0, hα est appelée homothétie vectorielle, h0 est l’application nulle et
h1 = IdE .
1 .
Pour tout α 6= 0, hα est un automorphisme et h−1
α = hα
Pour tous scalaires α, β, hα ◦ hβ = hαβ = hβ ◦ hα .
2. Soit F un sous-espace vectoriel de E. L’application iF : F → E, u 7→ u est
linéaire et appelée injection canonique.
3. Soit E = D(I, R) l’espace vectoriel réel des fonctions dérivables sur un intervalle
I ⊂ R et F = F (I, R) l’espace vectoriel réel des applications définies sur I.
est une application linéaire.
ϕ : E −→ F, f 7→ f ′
4. Soit E = C ([a, b], R) l’espace vectoriel des fonctions continues sur [a, b].
Z b
φ : E −→ R, f 7→
f (t)dt
a
est une forme linéaire sur E.
5. Soit E = E1 × · · · × En un espace vectoriel produit et k un entier entre 1 et n.
est linéaire.
pk : E −→ Ek , (u1 , . . . , un ) 7→ uk
5.2.1 Structure de L(E, F )
Théorème 5.13 Soient E et F deux espaces vectoriels sur K.
Soient f, g dans L(E, F ) et α, β dans K, alors αf + βg est une application linéaire de
E vers F et L(E, F ) est un espace vectoriel sur K.
5.3 Noyau et image
Proposition 5.14 Soient E et F deux espaces vectoriels sur K et f ∈ L(E, F ).
1. Si E1 est un sous-espace vectoriel de E alors f (E1 ) est un sous-espace vectoriel
de F .
2. Si F1 est un sous-espace vectoriel de F alors f −1 (F1 ) est un sous-espace vectoriel
de E.
Démonstration
— 0F = f (0E ), donc 0F ∈ f (E1 ).
Soient u′ , v ′ ∈ f (E1 ) et α, β ∈ K. Il existe alors u, v ∈ E1 tels que u′ = f (u) et
v ′ = f ′ (v). On a αu′ + βv ′ = αf (u) + βf (v) = f (αu + βv), donc αu′ + βv ′ ∈
f (E1 ).
— 0E ∈ f −1 (F1 ).
Soient u, v ∈ f −1 (F1 ) et α, β ∈ K. On a alors f (u), f (v) ∈ F1 , donc f (αu +
βv) = αf (u) + βf (v) ∈ F1 , par conséquent αu + βv ∈ f −1 (F1 ).
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5.3 Noyau et image
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207
Proposition 5.15 Si f ∈ L(E, F ) et A ⊂ E alors f (Vect(A)) = Vect (f (A)).
Démonstration On raisonne par double inclusion.
— A ⊂ Vect(A) donc f (A) ⊂ Vect (f (A)), or Vect (f (A)) est un sous-espace vectoriel de F contenant f (A), donc il contient le plus petit sous-espace contenant
f (A), soit Vect (f (A)) ⊂ f (Vect(A)).
— On a f (A) ⊂ Vectf (A), donc f −1 (f (A)) ⊂ f −1 (Vectf (A)). Or A ⊂ f −1 (f (A))
donc A ⊂ f −1 (Vectf (A)).
Comme f −1 (Vectf (A)) est un sous-espace vectoriel de E contenant A,
on a :
Vect(A) ⊂ f −1 (Vectf (A)), par suite f (Vect(A)) ⊂ f f −1 (Vectf (A)) .
On sait par ailleurs que pour toute partie B, f f −1 (B) ⊂ B donc :
f f −1 (Vectf (A)) ⊂ Vectf (A),
ce qui prouve la seconde inclusion :
f (Vect(A)) ⊂ Vectf (A).
Exemples 5.9 Si (u1 , . . . , un ) est une famille de n vecteurs de E, on a :
f (Vect(u1 , . . . , un )) = Vect (f (u1 ), . . . , f (un )) .
Ce qui signifie que l’image d’une combinaison linéaire de vecteurs est la combinaison
linéaire des images.
Théorème et définition 5.16
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K et f ∈ L(E, F ).
1. L’ensemble f (E) = {f (u), u ∈ E} est un sous-espace vectoriel de F appelé image
de f et noté Imf .
2. L’ensemble f −1 ({0F }) = {u ∈ E, f (u) = 0F } est un sous-espace vectoriel de E
appelé noyau de f et noté Ker f .
Exemples 5.10
1. Soit φ : D(I, R) −→ F(I, R), f 7→ f ′ . Ker φ est l’ensemble des fonctions constantes
sur I.
2. Soit E = E1 × · · · × En un espace vectoriel produit et k un entier entre 2 et
n − 1.
pk : E −→ Ek , (u1 , . . . , un ) 7→ uk
On a Ker pk = E1 × · · · × Ek−1 × {0Ek } × Ek+1 × · · · × En et Im pk = Ek .
3. Soient E un espace vectoriel sur K, f ∈ L(E) et λ ∈ K. L’ensemble
Eλ = {u ∈ E, f (u) = λu}
est un sous-espace vectoriel de E. En effet, Eλ est le noyau de l’application
linéaire f − λIdE .
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208
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
Exercice Soient E et F deux espaces vectoriels sur K, f ∈ L(E, F ) et A, B deux sousespaces vectoriels de E tels que f (A) ⊂ f (B). Montrons que A + Ker f ⊂ B + Ker f .
Prenons x ∈ A + Ker f . Il existe a ∈ A et u ∈ Ker f tels que x = a + u. f (x) =
f (a) ∈ f (A) ⊂ f (B). Il existe donc b ∈ B tel que f (x) = f (b), soit f (x − b) = 0 et
x − b ∈ Ker f . On a montré que x = b + Ker f ∈ B + Ker f .
Proposition 5.17 Soient E et F deux espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ).
— f est injective si, et seulement si, Ker f = {0E }.
— f est surjective si, et seulement si, Im f = F .
Exemples 5.11
— L’application linéaire D : C 1 (I, R) −→ F(I, R), f 7→ D(f ) = f ′ n’est pas
injective car Ker D est l’ensemble des fonctions constantes sur I.
Elle n’est pas surjective, car Im D = C 0 (I, R) ; en effet, g ∈ F(I, R) appartient
à Im D s’il existe f ∈ C 1 (I, R) telle que f ′ = g, ainsi g est continue sur I et
g ∈ C 0 (I, R).
Réciproquement, si g est continue sur I alors elle admet au moins une primitive
f dont la dérivée est continue, donc f ∈ C 1 (I, R).
— Soit f l’endomorphisme de E = Rn [X] défini par f (P ) = P − P ′ .
f est injective : Ker f = {0}, en effet si P ∈ Ker P et si P 6= 0 alors degP ′ <
degP ; on en déduit que deg(P − P ′ ) = degP ce qui montre que P 6= 0. Par
conséquent Ker f = {0} et f est injective.
f est surjective : On n’utilise pas ici la théorie de la dimension qui serait
n
n
X
X
ak X k
bk X k ∈ E. On détermine P =
immédiate. On donne Q =
k=0
k=0
vérifiant :
n
X
k=0
ak X k −
n
X
kak X k−1 =
n
X
bk X k ,
k=0
k=1
ce qui revient à :
n−1
X
k=0
ak − (k + 1)ak+1 X
k
n
+ an X =
n
X
bk X k .
k=0
Par suite, nous avons un système échelonné d’inconnues (a0 , . . . , an ) :
(
an = b n
ak − (k + 1)ak+1 = bk ∀k ∈ J0, n − 1K
Ce système admet une unique solution obtenue de proche en proche en
allant de l’indice n à 0.
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5.4 Somme directe
209
5.4 Somme directe
Définition 5.18 Soit (Fi )16i6n une famille de sous-espaces vectoriels de E.
n
X
Fi est en somme directe si tout vecteur u ∈ F s’écrit de
Le sous-espace F =
n
X
i=1
ui où ui ∈ Fi .
manière unique sous la forme u =
i=1
La somme F est alors notée F =
n
M
Fi .
i=1
Le vecteur ui est appelé la composante de u selon Fi .
Remarque : Sachant que l’application ϕ : F1 × · · · × Fn → F, (u1 , . . . , un ) 7→
n
X
uk
k=1
est linéaire, la définition revient à dire que ϕ est un isomorphisme de K-espaces
vectoriels.
Théorème 5.19 Une famille (Fi )16i6n de sous-espaces vectoriels de E est en somme
directe si, et seulement si, l’une des propositions suivantes est vérifiée :
n
X
ui = 0 ⇒ u1 = · · · = un = 0 .
1.
∀(u1 , . . . , un ) ∈ F1 × · · · × Fn ,
i=1
2.
k
X
∀k ∈ J1, n − 1K,
Fi
i=1
!
∩ Fk+1 = {0E } .
Démonstration
n
X
Fi soit directe. Prenons (u1 , . . . , un ) ∈ F1 ×· · ·×Fn
1. Supposons que la somme
n
n
X
X
i=1
0Fi = 0, alors par unicité de la
ui = 0, on sait par ailleurs que
telle que
i=1
décomposition on a ∀i, ui = 0Fi = 0E = 0.
Réciproquement, supposons que :
∀(u1 , . . . , un ) ∈ F1 × · · · × Fn ,
et supposons qu’un vecteur de
On a alors :
n
X
i=1
n
X
i=1
n
X
i=1
n
X
ui = 0 ⇒ u1 = · · · = un = 0
vi ,
ui ∈ Fi , vi ∈ Fi
i=1
Fi se décompose de deux manières au moins.
i=1
ui =
n
X
i=1
(ui − vi ) = 0.
Par conséquent, pour tout i 6 n, ui = vi , ce qui prouve l’unicité de la décomposition.
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
2. Soit k ∈ J1, n−1K et u ∈
k + 1 tels que u =
k
X
k
X
i=1
!
Fi ∩Fk+1 , il existe alors des vecteurs ui ∈ Fi , i 6
ui = uk+1 , par suite
k
X
i=1
i=1
a ui = 0 pour tout i 6 k + 1 et u = 0.
Réciproquement, supposons ∀k ∈ J1, n − 1K,
prenons ui ∈ Fi , 1 6 i 6 n tel que
On a un =
n−1
X
i=1
(−ui ) ∈ Fn
n
X
\ n−1
X
i=1
k
X
i=1
Fi
!
\
Fk+1 = {0E }, et
ui = 0.
i=1!
Fi
ui − uk+1 = 0E et d’après 1, on
= {0E }, et donc un = 0, puis on réitère
cette démarche et on obtient de proche en proche ui = 0 pour tous les entiers i.
n
Exemples 5.12 Dans K , les sous-espaces F =
(
(x1 , . . . , xn ) ∈ Kn |
et G = Ku, où u = (1, . . . , 1), sont supplémentaires.
En effet si x ∈ F ∩ G, il existe (x1 , . . . , xn ) ∈ Kn et λ ∈ K tels que
∀i ∈ J1, nK, xi = λ. On trouve facilement que λ = 0 et donc x = 0.
n
X
i=1
n
X
xi = 0
)
xi = 0 et
i=1
5.4.1 Sous-espaces supplémentaires
Définition 5.20 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
On dit que F et G sont supplémentaires si E = F ⊕ G.
Remarque : F et G sont supplémentaires si, et seulement si, tout u ∈ E s’écrit de
façon unique u = u1 +u2 où (u1 , u2 ) ∈ F ×G ou encore, si, et seulement si, F ∩G = {0}
et E = F + G.
Exemples 5.13
— Soit P ∈ K[X] de degré n + 1 où n ∈ N. L’idéal (P ) engendré par P est un
sous-espace vectoriel de K[X]. On a K[X] = (P ) ⊕ Kn [X]. En effet, pour tout
polynôme A ∈ K[X] il existe, par la division euclidienne, un unique polynôme
Q ∈ K[X] et un unique polynôme R ∈ Kn [X] tels que A = QP + R.
— En particulier, dans l’espace vectoriel réel E = R[X]. E1 = (X 2 + 1)R[X] le
sous-espace des polynômes multiples du polynôme X 2 + 1 et E2 = R1 [X] le
sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 1.
On a R[X] = E1 ⊕ E1 .
— Soient E = F (R, R) l’espace vectoriel réel des applications de R vers R, E1
le sous-espace des applications paires et E2 le sous-espace des applications
impaires. E est somme directe de E1 et E2 .
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“Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page 211 — #223
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5.4 Somme directe
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211
En effet, pour toute application f , et tout x ∈ R, on a
f (x) =
1
1
(f (x) + f (−x)) + (f (x) − f (−x)) ,
2
2
1
1
où l’ application x 7→ (f (x) + f (−x)) est paire et x 7→ (f (x) − f (−x)) est
2
2
impaire.
En outre, si f ∈ E1 ∩ E2 , on a, pour tout x ∈ R, f (−x) = f (x) = −f (x), par
conséquent, ∀x ∈ R, f (x) = 0 et donc f est la fonction nulle sur R.
— On montre de façon similaire que l’espace vectoriel Mn (R) est somme directe
du sous-espace des matrices symétriques et du sous-espace des matrices antisymétriques.
On admettra le théorème suivant dont la démonstration nécessite l’axiome du choix.
Théorème 5.21 Pour tout sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel E il existe
au moins un sous-espace G tel que E = F ⊕ G. G est appelé sous-espace supplémentaire de F .
Remarque : En dehors des sous-espaces E et {0}, il n’y a jamais unicité du supplémentaire.
Exemples 5.14 Soit E = C ([0, 1], R) l’espace vectoriel réel des applications continues de [0, 1] vers R. Soit F le sous-espace vectoriel des fonctions f ∈ E vérifiant
Z 1
f (t)dt = 0, déterminons un supplémentaire G de F .
0
Soit ϕ ∈ E, s’il existe (f, g) ∈ F × G tel que ϕ = f + g alors :
Z
0
1
ϕ(t)dt =
Z
1
f (t)dt +
1
g(t)dt =
Z
0
1
ϕ(t)dt et g =
Z
1
g(t)dt.
0
0
0
Par suite si nous posons f = ϕ −
Z
Z
1
ϕ(t)dt, on a une solution. Par
0
suite, si nous prenons pour G les fonctions constantes sur [0, 1], on a E = F + G. On
vérifie facilement que F ∩ G = {0}.
Exercice Soient E un espace vectoriel sur K et f ∈ L(E). Ker f admet un supplémentaire G. Montrons que G et Im f sont isomorphes.
La restriction de f à G, notée fG est une application linéaire de G vers Im f .
fG est injective. En effet, pour tout x ∈ Ker fG , on a fG (x) = f (x) = 0 et x ∈ G. Par
suite x ∈ Ker f ∩ G = {0} donc Ker fG = {0}.
fG est surjective. Pour tout y ∈ Im f , il existe x ∈ E tel que y = f (x) ; or x = x′ + x′′
avec x′ ∈ Ker f et x′′ ∈ G, donc y = f (x′ + x′′ ) = f (x′′ ).
Par suite y ∈ f (G) = fG (G).
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
5.5 Anneau des endomorphismes
Théorème 5.22 Soit E un espace vectoriel sur K.
(L(E), +, ◦) est un anneau non commutatif d’unité l’application IdE . En outre cet
anneau n’est pas intègre.
L’ensemble des endomorphismes inversibles GL(E) est un groupe pour la loi ◦, non
commutatif en général.
Démonstration
— On sait que (L(E), +) est un groupe commutatif, car (L(E), +, ·) est un espace
vectoriel sur K.
— La loi ◦ est une loi interne, en effet, pour tout f, g dans L(E), pour tout u, v
dans E et tout α, β dans K, on a :
g ◦ f (αu + βv) = g (αf (u) + βf (v)) linéarité de f
= αg ◦ f (u) + βg ◦ f (v)) linéarité de g.
— La loi ◦ est toujours associative et IdE en est un élément neutre.
— La loi ◦ est distributive par rapport à la loi +. En effet, pour tout f, g, h dans
L(E) et tout u dans E, on a :
f ◦ (g + h)(u) = f (g(u) + h(u))
par définition de l’addition des fonctions
= f (g(u)) + f (h(u)) linéarité de f ,
donc
f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h.
On montre de façon analogue, mais la linéarité n’intervient pas, que :
(g + h) ◦ f = g ◦ h + h ◦ f.
— Soit f ∈ L(E). f est inversible s’il existe g ∈ L(E) telle que f ◦ g = g ◦ f = IdE
ce qui revient à dire que f est bijective d’application réciproque g.
On sait d’autre part que les éléments inversibles d’un anneau forment un
groupe, par suite (Gl(E), ◦) est un groupe.
— Pour voir que L(E) n’est pas intègre en général, il suffit de prendre E =
E1 × E2 le produit de deux espaces vectoriels sur K. Les endomorphismes
f : (u1 , u2 ) 7→ (u1 , 0) et g : (u1 , u2 ) 7→ (0, u2 ) vérifient f ◦ g = 0 où 0 désigne
l’endormorphisme nul.
5.5.1 Itérés d’un endomorphisme
Définition 5.23 Soit f ∈ L(E).
f 0 = IdE , f 1 = f,
∀n > 2, f n = f ◦ · · · ◦ f .
| {z }
n facteurs
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“Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page 213 — #225
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5.5 Anneau des endomorphismes
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213
Proposition 5.24 Soient f et g deux endomorphismes de E qui commutent.
Pour tout entier n ∈ N, on a :
1. Ker f n ⊂ Ker f n+1 et Im f n+1 ⊂ Im f n .
2. (f ◦ g)n = f n ◦ g n .
n X
n k
3. (f + g)n =
f ◦ g n−k , c’est la formule du binôme.
k
k=0
!
n−1
X
n
n
k
n−1−k
4. f − g = (f − g)
f ◦g
pour n > 1.
k=0
Démonstration Démontrons 1, les autres propriétés étant relativement triviales.
Soit u ∈ Ker f n , on a alors f n (u) = 0 d’où f n+1 (u) = f (f n (u)) = f (0) = 0 et
u ∈ Ker f n+1 .
Soit v ∈ Im f n+1 , il existe alors u ∈ E tel que v = f n+1 (u) = f n (f (u)), ainsi v est
l’image de f (u) ∈ E par l’endomorphisme f n donc Im f n+1 ⊂ Im f n .
Proposition 5.25 Soient f et g deux éléments de L(E). Les propositions suivantes
sont équivalentes :
— g ◦ f = 0.
— Im f ⊂ Ker g.
Démonstration Supposons que g ◦ f = 0.
Pour tout v ∈ Im f , il existe u ∈ E tel que v = f (u) alors g(v) = g (f (u)) = g◦f (u) = 0
et on en tire que v ∈ Ker g.
Supposons que Im f ⊂ Ker g.
Pour tout u ∈ E, f (u) ∈ Im f ⊂ Ker g, donc g (f (u)) = 0, par conséquent g ◦ f est
l’endomorphisme nul.
Définition 5.26 Soit f ∈ L(E).
— f est idempotente si f 2 = f .
— f est nilpotente s’il existe un entier n > 0 tel que f n = 0. Le plus petit entier
n vérifiant cette proposition est appelé indice de nilpotence de f .
Exemples 5.15
1. Soit f un endomorphisme nilpotent non nul. Il existe par conséquent un entier
n > 1 tel que f n = 0. Montrons que Id − f ∈ GL(E). Sachant que f et Id
commutent, on a :
!
n−1
X
n
k
Id = Id − f = (Id − f ) ◦
f
! k=0
n−1
X
=
f k ◦ (Id − f ) .
k=0
Par conséquent Id − f est inversible d’inverse
n−1
X
f k.
k=0
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“Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page 214 — #226
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
2. Montrons que l’endomorphisme f ∈ L (Kn [X]) , P 7→ f (P ) = P − P ′ est inversible.
Notons g l’endomorphisme P 7→ P ′ . On a alors f = Id − g. g est un endomorphisme nilpotent d’indice n + 1, donc f n+1 = 0. On montre comme ci-dessus
que :
−1
f −1 = (Id − g)
=
n
X
gk ,
k=0
soit ∀P ∈ Kn [X], f −1 (P ) =
n
X
P (k) ,
k=0
où P (k) désigne la k-ième dérivée du polynôme P .
3. Soit f ∈ L(E) vérifiant f 2 = f et f 6= 0. Montrons que E = Ker f ⊕ Ker(f − Id).
Ker f et Ker(f − Id) sont des sous-espaces vectoriels de E en tant que noyaux
d’applications linéaires.
Si u ∈ Ker f ∩ Ker(f − Id) alors f (u) = 0 et f (u) − u = 0 donc u = 0 par suite
Ker f ∩ Ker(f − Id) = {0}.
Pour tout u ∈ E, on a u = f (u) + (u − f (u)). Or f (u) ∈ Ker(f − Id) car
(f − Id) (f (u)) = f (u) − f 2 (u) = f (u) − f (u) = 0 et u − f (u) ∈ Ker f car
f (u − f (u)) = f (u)−f 2(u) = f (u)−f (u) = 0. Par suite E = Ker f +Ker(f −Id).
5.6 Endomorphismes remarquables
E désigne un espace vectoriel sur K.
5.6.1 Homothétie vectorielle
Définition 5.27 On appelle homothétie vectorielle de E de rapport λ ∈ K∗ , l’endomorphisme de E défini par h = λId.
Proposition 5.28
1. Pour tout λ et µ dans K, on a hλ ◦ hµ = hµ ◦ hλ = hλµ .
2. Une homothétie vectorielle commute avec tout endomorphisme de E.
3. Pour tout λ ∈ K∗ , hλ ∈ GL(E) et hλ−1 = h λ1 .
4. L’ensemble des homothéties de E, H(E) est un sous-groupe commutatif de
(GL(E), ◦).
5.6.2 Projection vectorielle
Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de l’espace vectoriel E sur K :
E = F ⊕ G.
Pour vecteur u ∈ E il existe un unique vecteur u′ ∈ F et un unique vecteur u′′ ∈ G
tel que u = u′ + u′′ .
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“Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page 215 — #227
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5.6 Endomorphismes remarquables
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215
Définition 5.29 On appelle projection vectorielle sur F parallèlement à G l’application :
p : E → E, u 7→ p(u) = u′ .
On définit de façon analogue la projection vectorielle q de E sur G.
G
q(u)
u
b
p(u)
F
Théorème 5.30
1. p est un endomorphisme de E vérifiant p2 = p.
En outre, Im p = Ker(p − Id) et Ker p = G.
2. q = Id − p, q 2 = q et q ◦ p = p ◦ q = 0.
5.6.3 Projecteur
Définition 5.31 On appelle projecteur de l’espace vectoriel E sur K tout endomorphisme vérifiant :
f 2 = f.
Exemples 5.16 Une projection vectorielle est un projecteur.
Théorème 5.32 Si f est un projecteur de E alors :
1. E = Ker f ⊕ Im f ,
2. f est la projection vectorielle sur Im f parallèlement à Ker f .
La démonstration a été vue plus haut.
5.6.4 Symétrie vectorielle
Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de l’espace vectoriel E sur K :
E = F ⊕ G.
Pour tout vecteur u ∈ E, il existe un unique vecteur u′ ∈ F et un unique vecteur
u′′ ∈ G tels que u = u′ + u′′ .
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
Définition 5.33 On appelle symétrie vectorielle par rapport à F parallèlement à G
l’application :
s : E → E, u 7→ s(u) = u′ − u′′ .
G
q(u) = u′′
b
b
u
b
b
F
p(u) = u′
−u′′
b
b
s(u)
Théorème 5.34 L’application s est un endomorphisme de E tel que s2 = Id.
En outre, F = Ker (s − Id) est le sous-espace des vecteurs invariants et G = Ker (s + Id).
Si p désigne la projection sur F parallèlement à G, on a :
s = 2p − Id.
Démonstration
— Soient u et v dans E, il existe alors u′ , v ′ dans F et u′′ , v ′′ dans G, tous uniques
tels que u = u′ + u′′ et v = v ′ + v ′′ . On a :
s(u + v) = s ((u′ + v ′ ) + (u′′ + v ′′ ))
= (u′ + v ′ ) − (u′′ + v ′′ )
= s(u) + s(v)
et de manière analogue, ∀λ ∈ K, s(λu) = λs(u).
Pour tout u ∈ E, on a : s2 (u) = s(u′ − u′′ ) = u′ + u′′ = u.
— Les vecteurs invariants : Dire que s(u) = u revient à dire u ∈ Ker (s − Id),
d’autre part s(u) = u revient à dire u′ − u′′ = u′ + u′′ soit u′′ = 0, par suite
les vecteurs invariants sont les vecteurs de F .
— Dire que u ∈ Ker (s + Id) revient à dire s(u) = −u, c’est-à-dire u′ − u′′ =
−u′ − u′′ soit u′ = 0. Par suite Ker (s + Id) = G.
— Pour tout u ∈ E, on a s(u) + u = (u′ − u′′ ) + (u′ + u′′ ) = 2u′ = 2p(u), ainsi
s = 2p − Id.
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5.6 Endomorphismes remarquables
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217
Théorème 5.35 Soit f un endomorphisme de E vérifiant f 2 = Id alors :
1. E = Ker (f − Id) ⊕ Ker (f + Id),
2. f est la symétrie vectorielle par rapport à F = Ker (f − Id) parallèlement à
G = Ker (f + Id).
Démonstration
— Soit u ∈ Ker (f − Id) ∩ Ker (f + Id), alors f (u) = u = −u donc u = 0 et
Ker (f − Id) ∩ Ker (f + Id) = {0}
— Par analyse et synthèse, mais on a le droit de connaître le résultat, on montre
que, pour tout u ∈ E, on a :
1
1
(u + f (u)) + (u − f (u)) .
2
2
1
1
1
f (u) + f 2 (u) = (f (u) + u), par suite,
On vérifie que f
(u + f (u)) =
2
2
2
1
(u + f (u)) ∈ Ker (f − Id) et de manière analogue on a :
2
u=
1
(u − f (u)) ∈ Ker (f + Id) .
2
— Pour tout u =
1
1
(u + f (u)) + (u − f (u)) ∈ F + G, on a alors :
2
2
1
1
f (u) + f 2 (u) +
f u) − f 2 (u)
2
2
1
1
= (f (u) + u) + (f u) − u)
2
2
1
1
= (u + f (u)) − (u − f u)) ,
2
2
f (u) =
ce qui prouve que f est la symétrie vectorielle par rapport à F parallèlement
à G.
5.6.5 Affinité vectorielle
Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de l’espace vectoriel E sur K :
E = F ⊕ G.
Pour tout vecteur u ∈ E, il existe un unique vecteur u′ ∈ F et un unique vecteur
u′′ ∈ G tels que u = u′ + u′′ .
Définition 5.36 Soit α ∈ K. L’application f : E → E, u 7→ u′ + αu′′ est appelée
affinité vectorielle par rapport à F parallèlement à G et de rapport α.
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218
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
f (u) = u′ + au′′
G
b
u
u′′ = q(u)
b
F
O
b
b
u′ = p(u)
Théorème 5.37 Toute affinité f de E est un endomorphisme et
f = p + αq
où p et q sont les projecteurs respectivement sur F et G parallèlement à respectivement
G et F .
Exemples 5.17 Soit f ∈ L(E) tel que f 2 − 4f + 3IdE = 0. Montrons que f est une
affinité.
On a E = Ker (f − 3IdE ) ⊕ Ker (f − IdE ). En effet :
— Pour tout x ∈ Ker (f − 3IdE ) ∩ Ker (f − IdE ), on a f (x) = 3x = x donc x = 0.
— Tout x ∈ E se décompose sous la forme :
x=
1
1
(3x − f (x)) + (f (x) − x)
2
2
avec 3x − f (x) ∈ Ker (f − IdE ) et f (x) − x ∈ Ker (f − 3IdE ).
Par suite tout x ∈ E s’écrit de manière unique x = u + v ∈ Ker (f − IdE ) ⊕
Ker (f − 3IdE ).
On a f (u) = u et f (v) = 3v. Ce qui prouve que f est une affinité de rapport 3 par
rapport à Ker (f − idE ) parallèlement à Ker (f − 3idE ).
Plus généralement, si α 6= 1 est un scalaire et f un endomorphisme vérifiant :
f 2 − (1 + α)f + αidE = 0,
alors f est une affinité de rapport α.
5.6.6 Somme directe et projecteurs
Le théorème suivant donne une méthode pour construire une application linéaire d’un
espace vectoriel E vers un espace vectoriel F .
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5.6 Endomorphismes remarquables
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219
Théorème 5.38 E et F sont des espaces vectoriels sur K. q est un entier au moins
égal à 2.
q
M
Ei , et si, pour tout i ∈ J1, qK, fi ∈ L(Ei , F ), alors il existe une unique
Si E =
i=1
application f ∈ L(E, F ) telle que la restriction de f à Ei , f|Ei = fi pour tout i ∈ J1, qK.
q
Démonstration
X
ui où (u1 , . . . , uq ) ∈ E1 × · · · × Eq .
— Si f existe alors pour tout u ∈ E, u =
i=1
Comme f est linéaire :
f (u) =
q
X
f (ui ) =
q
X
fi (ui ) car f|Ei = fi .
i=1
i=1
— Si u ∈ E et u =
q
X
ui , en posant f (u) =
q
X
fi (ui ), on définit bien une
i=1
i=1
application de E vers F , elle est unique car la décomposition de x est unique.
En outre f est linéaire :
q
q
X
X
vi où (u1 , . . . , uq ) et (v1 , . . . , vq ) sont
ui , v =
Soient u et v dans E. u =
dans E1 × · · · × Eq .
On a alors u + v =
q
X
i=1
pour tout λ ∈ K, λu =
f (u + v) =
=
f (λu) =
i=1
i=1
q
X
i=1
q
X
i=1
q
X
i=1
(ui + vi ) où (u1 + v1 , . . . , uq + vq ) ∈ E1 × · · · × Eq et
q
X
i=1
(λui ) où (λu1 , . . . , λuq ) ∈ E1 × · · · × Eq .
fi (ui + vi ) =
q
X
(fi (ui ) + fi (vi ))
i=1
fi (ui ) +
q
X
fi (vi )
i=1
q
X
= f (u) + f (v)
q
X
λfi (ui ) = λ
fi (λui ) =
fi (ui )
i=1
i=1
!
= λf (u).
Corollaire 5.39 Deux applications linéaires, égales sur chacun des espaces d’une
décomposition en somme directe, sont égales.
Exemples 5.18
1. On reprend les notations du théorème. E =
q
M
i=1
Ei , et pour tout i ∈ J1, qK, on
définit le projecteur associé à la décomposition pi ∈ L(E) par pi (u) = ui . On a :
p2i = pi , Im pi = Ei et Ker pi =
q
M
Ej .
j=1j6=i
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220
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
(a) Si i 6= j et k dans J1, qK, (pi ◦ pj )|Ek = 0, où 0 est l’application linéaire
nulle de Ek vers E, par conséquent, par le théorème, on a :
pi ◦ pj = 0.
q
X
!
pi (uj ) = uj donc la
(b) Pour tout j dans J1, qK, et tout uj ∈ Ej ,
i=1
!
q
X
pi à Ej est l’application identité de Ej vers E, par
restriction de
suite :
i=1
q
X
pi = IdE .
i=1
2. Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Considérons
l’endomorphisme f de E tel que ∀u ∈ F, f (u) = u et ∀u ∈ G, f (u) = −u. f est
alors parfaitement déterminé ; soit u = u′ + v ′ ∈ F ⊕ G, on a alors f (u) = u′ − v ′
et f est la symétrie vectorielle par rapport à F de direction G.
Les propriétés f 2 = Id et f = 2p − Id se vérifient facilement sur F et G donc
elles sont établies sur F ⊕ G = E.
5.7 Exercices
Exercice 5.1 :
Soit C l’ensemble des suites réelles convergentes.
a. Montrer que C est un espace vectoriel sur R.
b. Soit C0 le sous-espace des suites convergentes vers 0. Montrer que C = C0 ⊕ R.
Exercice 5.2 :
Soit E un espace vectoriel sur R et soit A l’ensemble des endomorphismes f de E
tels que f 2 − 7f + 12IdE = 0.
a. Montrer que A est non vide.
b. Montrer que tout élément de A est un automorphisme.
c. On suppose que f ∈ A.
(i) Vérifier que p = f − 3IdE est un projecteur de E.
(ii) Montrer qu’il existe a ∈ R∗ tel que q = a(f − 4IdE ) est un projecteur non
nul de E.
(iii) Que peut-on dire de p ◦ q, de q ◦ p, de p + q ?
(iv) En déduire que :
E = Ker(f − 3IdE ) ⊕ Ker(f − 4IdE ).
(v) Déterminer f n en fonction de p et de q (n ∈ N∗ ), puis en fonction de f .
(vi) Calculer f n lorsque n < 0.
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5.7 Exercices
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221
Exercice 5.3 :
Soit E un K-espace vectoriel et soit u un endomorphisme de E.
a. Montrer que :
E = Ker(u) + Im(u) ⇐⇒ Im(u) = Im(u2 ).
b. Montrer que :
Im(u) ∩ Ker(u) = {0} ⇐⇒ Ker(u) = Ker(u2 ).
c. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que :
E = Im(u) ⊕ Ker(u).
Exercice 5.4 :
Soient p et q deux projecteurs d’un espace vectoriel E tels que Im p ⊂ Ker q.
a. Montrer que r = p + q − p ◦ q est un projecteur.
b. Déterminer Ker r et Im r en fonction des noyaux et images de p, q.
Exercice 5.5 :
Soient E un espace vectoriel et L, M, N trois sous-espaces vectoriels de E.
a. Montrer que (L ∩ M ) + (L ∩ N ) ⊂ L ∩ (M + N ).
b. Montrer que l’inclusion est stricte.
Exercice 5.6 :
Soit E = K[X], l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K. Soient ϕ
et ψ les endomorphismes de E définies par ϕ(P ) = P ′ et ψ(P ) = XP .
a. Les applications ϕ et ψ sont-elles injectives ?
b. Les applications ϕ et ψ sont-elles surjectives ?
c. Les applications ϕ et ψ sont-elles bijectives ?
Exercice 5.7 :
Soient E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E tel que Ker u = Im u
et S un supplémentaire de Im u : E = S ⊕ Im u.
a. Montrer que pour tout x ∈ E, il existe un unique couple (y, z) ∈ S 2 tel que
x = y + u(z).
On pose alors z = v(x) et y = w(x).
b. Montrer que v est linéaire et calculer u ◦ v + v ◦ u.
c. Montrer que w est linéaire et calculer u ◦ w + w ◦ u.
u est un endomorphisme de E tel que u2 = 0 et on suppose qu’il existe v ∈ L(E) tel
que u ◦ v + v ◦ u = IdE .
d. A-t-on alors Ker u = Im u ?
e. Construire un endomorphisme non nul u de R3 tel que u2 = 0 vérifiant Im u
contenu strictement dans Ker u. Préciser un endomorphisme simple w tel que
u ◦ w + w ◦ u = u.
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222
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
Exercice 5.8 :
n est un entier naturel tel que n > 2.
Soient E un espace vectoriel sur K et (H1 , . . . , Hn ) une famille de sous-espaces
vectoriels telle que leur somme soit directe. Soient (F1 , . . . , Fn ) une autre famille de
sous-espaces vectoriels telle que, pour tout i ∈ J1, nK, on ait Fi ⊂ Hi .
a. Montrer que la somme des sous-espaces Fi est directe.
b. Montrer que, si H1 ⊕ · · · ⊕ Hn = F1 ⊕ · · · ⊕ Fn alors, pour tout i ∈ J1, nK, Fi = Hi .
Exercice 5.9 :
a. Soit E un espace vectoriel. Soient f et g deux endomorphismes de E qui commutent.
Montrer que le noyau et l’image de f sont stables par g.
b. Dans cette question, on suppose que g est une projection d’image F et de noyau G.
Montrer que, si F et G sont stables par f , alors f ◦ g = g ◦ f .
Exercice 5.10 :
Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E. Montrer que
si, et seulement si, f et g sont des projections de même noyau.
(
f ◦g =f
g◦f =g
Exercice 5.11 :
Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E. Pour tout x ∈ E, la famille
(x, f (x)) est liée.
Montrer que f est une homothétie.
Exercice 5.12 :
Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E tels que f 2 = f et
g ◦ f = 0.
Montrer que Im(f + g) = Im f + Im g.
5.8 Corrigé des exercices
Corrigé de l’exercice 5.1 :
a. F = C est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel RN . En effet, la suite nulle
est dans F et les propriétés de la limite de suites convergentes montre la stabilité
de F par combinaison linéaire.
b. Soit (un )n∈N une suite convergente vers un réel a, alors, pour tout entier n, en
posant vn = un − a, on obtient un = vn + a, où (vn ) ∈ C0 et bien sûr a ∈ R.
Enfin si (un ) ∈ C0 ∩ R alors (un ) est une suite constante de limite nulle donc (un )
est la suite nulle.
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“Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page 223 — #235
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5.8 Corrigé des exercices
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Corrigé de l’exercice 5.2 :
a. Les endomorphismes 3IdE et 4IdE sont des éléments de A.
−1
−1
(f − 7IdE =
(f − 7IdE ◦ f =
b. Si f vérifie f 2 − 7f + 12IdE = 0 alors f ◦
12
12
−1
−1
IdE ce qui prouve que f est bijective et f =
(f − 7IdE ).
12
c. On prend f ∈ A.
(i) On a :
2
p2 = (f − 3IdE ) = f 2 − 6f + 9IdE
= 7f − 12IdE + (−6f + 9IdE )
= f − 3IdE = p.
Donc p est un projecteur.
(ii) Pour que q 2 = a2 (−f + 4IdE ) = q = f − 4idE il suffit que −a2 = a soit
a = −1. Ainsi q = −f + 4IdE est un projecteur de E.
(iii) On a p ◦ q = q ◦ p = 0 et p + q = IdE .
(iv) — Pour tout x ∈ E, la dernière relation montre que x = p(x) + q(x).
— La relation p ◦ q = 0 est équivalente à Im q ⊂ Ker p et q ◦ p = 0 revient
à dire que Im p ⊂ Ker q. Par conséquent p(x) + q(x) ∈ Ker q + Ker p =
Ker p + Ker q. On a :
E ⊂ Ker p + Ker q.
L’inclusion réciproque est évidente et E = Ker p + Ker q.
— Soit x ∈ Ker p ∩ Ker q alors f (x) = 3x = 4x donc x = 0.
— On a démontré que E = Ker p ⊕ Ker q. On retrouve le lemme des noyaux.
(v) On a vu que p et q commutent. Sachant que f = 4p + 3q, par la formule du
binôme, on a :
n X
n k n−k k n−k
n
f =
4 3
p q
.
k
k=1
2
2
Or, p ◦ q = 0, p = p et q = q, donc, pour tout entier n ∈ N∗ ,
f n = 4n p + 3n q.
Par suite, avec les définitions de p et q, on a :
f n = 4n (f − 3IdE ) − 3n (f − 4IdE ) ,
qu’on peut écrire :
f n = (4n − 3n ) f + (4 × 3n − 3 × 4n ) IdE ,
relation vraie aussi pour n = 0.
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“Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page 224 — #236
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
(vi) Sachant que f est bijective, et que (f − 3IdE ) ◦ (f − 4IdE ) = 0, on obtient
en composant par f −1 à gauche puis à droite :
1
1
f −1 − IdE ◦ f −1 − IdE = 0,
3
4
de sorte que, en utilisant les démarches ci-dessus et en faisant quelques efforts
de calcul, avec les projecteurs p = 4IdE − 12f −1 et q = 12f −1 − 3IdE et n > 0,
on obtient :
1
1
f −1 = p + q
4
3
n
n
d’où :
1
1
p+
q.
f −n =
4
3
Corrigé de l’exercice 5.3 :
Pour tout endomorphisme u de E, on a Im u2 ⊂ Im u et Ker u ⊂ Ker u2 .
a. — Supposons E = Ker u + Im u. Soit x ∈ Im u. Il existe y ∈ E tel que x = u(y).
Par hypothèse, il existe y1 ∈ Im u et y2 ∈ Ker u tel que y = y1 + y2 et on a :
x = u(y1 + y2 ) = u(y1 ) + u(y2 ) = u(y1 ).
Or, comme y1 ∈ Im u, il existe z ∈ E tel que y1 = u(z) et on a x = u2 (z) ce
qui signifie que x ∈ Im u2 et donc Im u ⊂ Im u2 et sachant que Im u2 ⊂ Im u,
on a l’égalité.
— Réciproquement, supposons que Im u2 = Im u.
Soit x ∈ E, alors u(x) ∈ Im u = Im u2 . On en déduit qu’il existe y ∈ E tel
que u(x) = u2 (y). On a u (x − u(y)) = 0, donc x − u(y) ∈ Ker u. En posant
z = x − u(y), x = z + u(y) ∈ Ker u + Im u. Finalement :
E = Ker u + Im u.
b. — Supposons Im u∩Ker u = {0}. On sait que Ker u ⊂ Ker u2 . Soit x ∈ Ker u2 , on a
u2 (x) = 0 donc u(x) ∈ Ker u. Mais u(x) ∈ Im u. On a u(x) ∈ Im u∩Ker u = {0}
donc u(x) = 0 et x ∈ Ker u, ce qui prouve que Ker u2 ⊂ Ker u. On a montré
que Ker u = Ker u2 .
— Réciproquement, supposons que Ker u = Ker u2 . Soit x ∈ Im u ∩ Ker u. Il
existe y ∈ E tel que x = u(y) et u(x) = 0. Par suite u2 (y) = 0 et ainsi
y ∈ Ker u2 = Ker u. On a x = u(y) = 0. On a montré que Im u ∩ Ker u = {0}.
(
Im u2 = Im u
c. Finalement E = Ker u ⊕ Im u si, et seulement si,
.
Ker u2 = Ker u
Corrigé de l’exercice 5.4 :
a. Comme Im p ⊂ Ker q, on a q ◦ p = 0. Nous allons noter pq l’endomorphisme p ◦ q.
On a, sachant que p2 = p, q 2 = q, qp = 0 :
r2 = (p + q − pq) (p + q − pq)
= p2 + pq − p2 q + qp + q 2 − qpq − pqp − pq 2 + pqpq
= p + pq − pq + q − pq = r
et r est bien un projecteur.
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“Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page 225 — #237
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5.8 Corrigé des exercices
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225
b. — Si x ∈ Ker p ∩ Ker q, alors x ∈ Ker r, donc Ker p ∩ Ker q ⊂ Ker r. Montrons
l’inclusion inverse.
On remarque que pr = p2 = p et qr = q 2 = q, par conséquent Ker r ⊂ Ker p et
Ker r ⊂ Ker q, donc Ker r ⊂ Ker p ∩ Ker q ce qui montre que :
Ker r = Ker p ∩ Ker q.
— Comme r = p + q − pq, on a Im r ⊂ Im p + Im q. Réciproquement, soit x ∈
Im p + Im q, il existe x1 ∈ Im p et x2 ∈ Im q tel que x = x1 + x2 . On a alors,
p(x) = p(x1 ) + p(x2 ) = x1 + p(x2 ) car p2 = p, puis q(x) = q(x1 ) + q(x2 ) = x2
car q 2 = q et qp = 0, enfin pq(x) = pq(x1 ) + pq(x2 ) = p(x2 ). Finalement, on a,
pour tout x ∈ E :
r(x) = x1 + p(x2 ) + x2 − p(x2 ) = x.
Il en résulte que x ∈ Im r.
On a aussi Im p ∩ Im q = {0} car Im p ⊂ Ker q. En effet, si x ∈ Im p ∩ Im q alors
q(x) = 0, mais il existe x′ ∈ E tel que x = q(x′ ) donc q(x) = q 2 (x′ ) = q(x′ ) =
x = 0. On a montré que :
Im r = Im p ⊕ Im q.
Corrigé de l’exercice 5.5 :
a. Soit x ∈ (L ∩ M ) + (L ∩ N ). Il existe x1 ∈ L ∩ M et x2 ∈ L ∩ N tels que x = x1 + x2 .
Comme x1 et x2 sont dans L, sous-espace de E, on a x = x1 + x2 ∈ L. En outre,
comme x1 ∈ M et x2 ∈ N , on a x = x1 + x2 ∈ M + N , par suite x ∈ L ∩ (M + N ),
ce qui donne l’inclusion.
b. Prenons E = R2 , L = {(x, 0) | x ∈ R},
M = {(0, y) | y ∈ R} et N = {(x, x) | x ∈ R}. On a :
L ∩ M = {0} et L ∩ N = {0} donc (L ∩ M ) + (L ∩ N ) = {0} .
Puis M + N = R2 et L ∩ (M + N ) = L, ce qui prouve que l’inclusion peut ne pas
être une égalité.
Corrigé de l’exercice 5.6 :
— Ker ϕ est l’ensemble des polynômes constants, donc elle n’est pas injective et
par conséquent elle ne peut être bijective.
Par contre ϕ est surjective puisque tout polynôme admet une primitive polynômiale.
— Pour tout polynôme non nul P , on a deg (ψ(P )) = deg P + 1. On en déduit
que le polynôme 1 n’a pas d’antécédent et ψ n’est pas surjective. Si P ∈ Ker ψ
alors XP = 0, ce qui est impossible sauf si P = 0, donc ψ est injective.
— On remarque que le théorème sur les endomorphismes d’espace vectoriel de
dimension finie qui dit qu’une application injective ou surjective est aussi bijective est faux en dimension infinie.
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“Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page 226 — #238
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226
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
Corrigé de l’exercice 5.7 :
a. Existence : On a E = S ⊕ Im u, par suite, pour tout x ∈ E, il existe y ∈ S et
t ∈ Im u tels que x = y + t. Comme t ∈ Im u, il existe a ∈ E tel que t = u(a).
Mais il existe z ∈ S et b ∈ Im u = Ker u tels que a = z + b, donc t = u(a) = u(z).
Finalement, pour tout x ∈ E,
x = y + u(z),
(y, z) ∈ S 2 .
Unicité : Si x = y ′ +u(z ′ ) avec (y ′ , z ′ ) ∈ S 2 , alors y−y ′ = u(z ′ −z) ∈ Im u∩S = {0}.
Il en résulte que y − y ′ = 0 et z ′ − z ∈ Ker u. Il s’ensuit que z ′ − z ∈ S ∩ Ker u =
S ∩ Im u = {0}. On a ainsi y ′ = y et z ′ = z.
b. — Montrons la linéarité de v. Soient x et x′ dans E qui s’écrivent x = y + u(z) et
x′ = y ′ + u(z ′ ) et soit λ ∈ K. On a :


x + λx′ = y + u(z) + λy ′ + λu(z ′ ) = (y + λy ′ ) +u |z +{zλz}′  .
| {z }
∈S
∈S
D’autre part, z = v(x), z ′ = v(x′ ) et z + λz ′ = v(x + λx′ ), par conséquent,
l’unicité de la décomposition entraîne que v(x) + λv(x′ ) = v(x + λx′ ) et v est
linéaire.
— Soit x = y + u(z). On sait que z = v(x) et Ker u = Im u donc u2 = 0. Par
conséquent :
(u ◦ v + v ◦ u) (x) = u(z) + v ◦ u(x) = u(z) + v ◦ u(y).
Comme y ∈ S et sachant que u(y) = 0 + u(y), on a par définition de v et w que
y = v (u(y)) et 0 = w (u(y)), on en déduit que :
u(z) + v ◦ u(y) = u(z) + y = x.
On a ainsi :
u ◦ v + v ◦ u = IdE .
c. — Pour la linéarité de w, on reprend les calculs vus dans b.


x + λx′ = (y + λy ′ ) +u z + λz ′  ,
| {z }
| {z }
∈S
∈S
or y + λy ′ = w(x) + λw(x′ ) et (y + λy ′ ) = w (x + λx′ ) et l’unicité de la décomposition nous donne la linéarité de w.
— Réduisons u ◦ w.
Par définition de v et w, on a :
IdE = w + u ◦ v,
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“Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page 227 — #239
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5.8 Corrigé des exercices
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227
donc u = u ◦ w + u2 ◦ v = u ◦ w car on a vu que u2 = 0.
Réduisons w ◦ u.
On a aussi 0 = u2 = u ◦ w ◦ u. Ainsi, Im(w ◦ u) ⊂ Ker u = Im u et Im(w ◦ u) ⊂
Im w ⊂. Par suite Im(w ◦ u) ⊂ Im u ∩ S = {0}. Il s’ensuit que w ◦ u = 0.
On en conclut que :
u ◦ w + w ◦ u = u.
d. On sait que u2 = 0, donc on a déjà Im u ⊂ Ker u.
Soit x ∈ Ker u, alors x = u ◦ v(x) + ◦v ◦ u(x) = u ◦ v(x) donc x ∈ Im u. On a ainsi :
Im u = Ker u.
e. Soit E = R3 . Soit (e1 , . . . , e3 ) la base canonique de R3 . On définit un endomorphisme en posant u(e1 ) = u(e2 ) = 0 et u(e3 ) = e1 . On a bien u2 = 0 et Im u = Re1
strictement contenu dans le sous-espace engendré par e1 et e2 . En définissant w
par w(e1 ) = w(e2 ) = 0 et w(e3 ) = e3 , on vérifie que u ◦ w + w ◦ u = u.
Corrigé de l’exercice 5.8 :
a. Soit (x1 , . . . , xn ) ∈ F1 × · · · × Fn tel que
n
X
i=1
xi = 0. Comme pour tout i ∈ J1, nJ,
on a Fi ⊂ Hi , on a (x1 , . . . , xn ) ∈ H1 × · · · × Hn et comme la somme des Hi est
directe, il en découle que, pour tout i ∈ J1, nJ, xi = 0.
b. Montrons, pour tout i ∈ J1, nJ, que Hi ⊂ Fi . Soit yi ∈ Hi . On a yi ∈ H1 ⊕· · ·⊕Hn =
F1 ⊕· · ·⊕Fn . Par suite, il existe (x1 , . . . , xn ) ∈ F1 ×· · ·×Fn tel que yi = x1 +· · ·+xn .
On obtient alors, en posant zk = yk si k 6= i et zi = xi − yi :
n
X
zk = 0.
k=1
Comme la somme des Fi est directe, on a zk = yk = 0 si k 6= i et zi = xi − yi = 0
donc yi = xi ∈ Fi . Ce qui montre que Hi ⊂ Fi pour tout i.
Corrigé de l’exercice 5.9 :
a. On sait que f ◦ g = g ◦ f .
— Montrons que Ker f est stable par g. Soit x ∈ Ker f . On a f (x) = 0, donc
g (f (x)) = 0 ; or f ◦ g(x) = g ◦ f (x) = 0, donc g(x) ∈ Ker f .
— Montrons que Im f est stable par g. Soit y ∈ Im f , il existe x ∈ E tel que
y = f (x). On a alors g(y) = g ◦ f (x) = f ◦ g(x) par conséquent g(y) ∈ Im f .
— Il est clair que le noyau et l’image de g sont stables par f .
b. On suppose que F = Im g et G = Ker g sont stables par f .
— Soit x ∈ G. On a f ◦g(x) = f (g(x)) = 0 car g(x) = 0, puis g ◦f (x) = g (f (x)) =
0 car f (x) ∈ G puisque G est stable par f . On a :
f ◦ g|G = g ◦ f|G .
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Chapitre 5. Espace vectoriel : généralités
— Soit x ∈ F . On a f ◦ g(x) = f (g(x)) = f (x) car F = Im g = Ker(g − IdE ) et
g ◦ f (x) = g (f (x)) = f (x) car F étant stable par f ,f (x) ∈ F . On a :
f ◦ g|F = g ◦ f|F .
Comme E = F ⊕ G, on a f ◦ g = g ◦ f .
Corrigé de l’exercice
( 5.10 :
f ◦g =f
— Supposons que
.
g◦f =g
On a f ◦ f = (f ◦ g) ◦ f = f ◦ (g ◦ f ) = f ◦ g = f , et on montre de même pour g.
Donc f et g sont des projections.
Soit x ∈ Ker f , alors g(x) = g ◦ f (x) = g(0) = 0, donc x ∈ Ker g. On obtient
de même Ker g ⊂ Ker f d’où Ker f = Ker g.
— Réciproquement, notons F = Ker f = Ker g.
Si x ∈ F , on a f ◦ g(x) = g ◦ f (x) = 0.
Si x ∈ Im f , on a g ◦ f (x) = g(x) car f est un projecteur donc f (x) = x pour
x ∈ Im f ; on a aussi f ◦ g(x) = f (x) pour la même raison.
Sachant que E = F ⊕ Im f , on a les égalités du système.
Corrigé de l’exercice 5.11 :
— Soit x 6= 0, alors il existe un unique λx ∈ K tel que f (x) = λx x.
— Soit (x, y) une famille liée de vecteurs non nuls. On a y = αx avec α ∈ K∗ . On
a alors f (y) = λy y et aussi f (y) = f (αx) = αf (x) = αλx x = λx y. Par suite :
(λx − λy ) y = 0.
Comme y 6= 0, on en déduit que λx = λy .
— Soit (x, y) une famille libre. On a alors f (x + y) = λx+y (x + y) et f (x + y) =
f (x) + f (y) = λx x + λy y. Par conséquent :
(λx − λx+y ) x + (λy − λx+y ) y = 0.
Comme la famille (x, y) est libre, on a λx = λy = λx+y .
— Finalement, pour tout x 6= 0, x 7→ λx est une application constante que nous
notons λ. On a donc, pour tout x ∈ E, f (x) = λx, relation vraie aussi pour
x = 0. f est une homothétie ou l’application nulle.
Corrigé de l’exercice 5.12 :
— On a toujours Im(f + g) ⊂ Im f + Im g.
— Soit x ∈ Im f , comme f 2 = f , f est une projection par suite f (x) = x. Comme
g ◦ f = 0, on a g ◦ f (x) = 0. Par conséquent x = (f + g)(x) ∈ Im(f + g) et
Im f ⊂ Im(f + g).
— Soit y ∈ Im g. Il existe x ∈ E tel que y = g(x). On sait que f (x − f (x)) = 0
et g (x − f (x)) = g(x), par conséquent g(x) = f (x − f (x)) + g (x − f (x)) et
Im g ⊂ Im f + Im g.
— Comme Im f ⊂ Im(f +g) et Im g ⊂ Im f +Im g, il en découle que Im f +Im g ⊂
Im(f + g) et l’égalité en découle avec le premier point.
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CV_AlgebreGeometrie:EP
31/07/14
16:58
Page 1
CAPES et Agrégation
L’ouvrage présente tout le nouveau programme d’algèbre et de géométrie
au CAPES externe et à l’Agrégation interne de mathématiques avec un cours
complet et plus de 200 démonstrations, exemples et exercices corrigés.
Il permet aux candidats de maîtriser le programme d’algèbre et de géométrie
commun aux deux concours et de s’entraîner aux épreuves.
Sommaire
1. Nombres complexes
2. Structures algébriques usuelles
3. Arithmétique dans l’ensemble
des entiers relatifs
4. Polynômes – Fractions rationnelles
5. Espace vectoriel : généralités
6. Espace vectoriel en dimension finie
Géométrie affine
7.
8.
9.
10.
Matrice
Déterminant
Réduction des endomorphismes
Formes bilinéaires symétriques
Géométrie euclidienne
Espace euclidien orienté
Index
Agrégé de mathématiques, professeur hors classe, Pierre Burg a été membre du jury du CAPES et
du CAPESA durant de nombreuses années. Colleur en classes préparatoires MP et MP*, il intervient
également au CNED dans la préparation du CAPES de mathématiques.
ISBN 978-2-311-00500-4
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Algèbre et géométrie
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