Une introduction aux probabilités quantiques

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Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
Une introduction aux probabilités quantiques
et leur application aux chaîne de Markov quantiques
Dimitri Petritis
Institut de recherche mathématique
Université de Rennes 1 and CNRS (UMR 6625)
Novembre 2007
Novembre 2007
Probabilités quantiques
Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
Formulation de Kolmogorov
Décomposition spectrale
Théorie des probabilités et physique classique
Formulation de Kolmogorov
Espace de probabilité: (Ω, F, P)
Espace mesurable: (R, B(R))
Variable aléatoire réelle: X : Ω → R, measurable
Loi de X :
PX (B ) ≡ P({ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B }) = P(X ∈ B ), B ∈ B(R).
Quelle signication?
Kolmogorov: Ensemble de propositions expérimentalement
vériables = σ -algebra booléenne
Théorème de Loomis-Sikorski: toute σ -algebra booléenne est
image σ -homomorpe d'une tribu F des parties d'un Ω
non-vide.
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Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
Formulation de Kolmogorov
Décomposition spectrale
Dictionnaire probabilités-physique classique
Probabilités
Ω
ω∈Ω
X
P
PX
(ωt )t
X (ωt )
Dictionnaire
Univers
Physique
Espace des phases
réalisation
microétat
variable aléatoire
observable
probabilité
(macro) état
loi de
X
fonction d'état de
X
dans état
trajectoire
ot dynamique
processus stochastique
évolution temporelle de
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Probabilités quantiques
X
P
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Formulation de Kolmogorov
Décomposition spectrale
Approximation par des fonctions simples
M
Ij
m
!1
f (I j)
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Probabilités quantiques
Formulation de Kolmogorov
Décomposition spectrale
Une approche diérente
Continue, bornée
m = inf X (ω); M
X
: Ω → R;
= sup X (ω);
X ) = [m, M ].
Objets importants: F, B(R). (Convention: 1 F ≡ F .)
Mesure à valeurs indicatrices Π : B(R) 3 B → 1 X − (B ) (∈ F).
spec(
1
∀ω : |X (ω) −
lim
X
j
X
j
xj Π(Ij ) =
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xj Π(Ij )(ω)| < .
Z
x Π(dx ) = X .
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Formulation de Kolmogorov
Décomposition spectrale
Décomposition spectrale
EX
Z
=
=
X (ω)P(d ω)
Z Z M
Z
(
x Π(dx )(ω))P(d ω) =
x PX (dx ).
Ω m
spec X
Π2 = Π; Π(B ∩ C ) = Π(B )Π(C );
Π
est la mesure spectrale de
que
X.
X.
supp Π
= spec X = imX .
Contient la même information
En mécanique quantique de nouveau:
X
=
R
x Π(dx ) mais Π
projection à un sous-espace hilbertien.
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Postulats de la description hilbertienne
Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Échelles des grandeurs physiques
10 −31 1051 1027 " 10−15
!
10−23 1017
# %$ & $('() & ~ = 1.05457 × 10−34 * · $
.
/
'
0
2
+-,
,
1 c = 2.99792458 × 108 /
•
•
•
3 , 04 $ , 4 5'6 ! &
~→0
c→∞
7 $ ,98:, $.3 %$ , $.
c→∞
;<"=?>@BA.CEDGFH=JIKA.L.LMA
3
4 0
4
$ 4 & , & , ~→0
3
4 5
" . , 4 & , Novembre 2007
N
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
Évolution de la technologie informatique
25.0
F
GA
22.5
GHH
M
=OF
L
=
NK MFD
20.0
HF
I=
KH
H
J
IF
C
17.5
D
15.0
7 (
)
,-
5. 6
#"%$'&
4(
)
,-
) /. 3
!
#"%$'& (
)+* ,-
) /. 102
@ GH
G
EBF
=C
@BA
?
<>=
12.5
10.0
1970 1980
1990
2000
2010
2020
7.5
8 ':9;
PRQ (S*T &UVW
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Postulats de la description hilbertienne
Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Probabilités classiques
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Probabilités quantiques
Postulats de la mécanique quantique
. . . et leur interprétation
Postulat 1:
Espace des phases
séparable
rayons
H;
= espace hilbertien complexe
ψ ∈ H : kψk = 1 correspondend à des
états (purs).
H = C2 :
kψk2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = 1.
Exemple
Composants de
ψ
correspondend à
des amplitudes de probabilité.
Postulat 2:
Évolution temporelle d'un système quantique
isolé dérive d'un opérateur unitaire sur
φ
rayon;
φ=U
ψ = Uφ
H.
est encore un rayon i.e. un état pur.
∗ ψ : l'évolution temporelle est réversible.
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Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Probabilités classiques
Mécanique quantique
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Postulats de la mécanique quantique
. . . et leur interprétation
Postulat 1:
Espace des phases
séparable
rayons
H;
= espace hilbertien complexe
ψ ∈ H : kψk = 1 correspondend à des
états (purs).
H = C2 :
kψk2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = 1.
Exemple
Composants de
ψ
correspondend à
des amplitudes de probabilité.
Postulat 2:
Évolution temporelle d'un système quantique
isolé dérive d'un opérateur unitaire sur
φ
rayon;
φ=U
ψ = Uφ
H.
est encore un rayon i.e. un état pur.
∗ ψ : l'évolution temporelle est réversible.
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Logique quantique standard
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Postulats de la mécanique quantique
. . . et leur interprétation
Postulat 1:
Espace des phases
séparable
rayons
H;
= espace hilbertien complexe
ψ ∈ H : kψk = 1 correspondend à des
états (purs).
H = C2 :
kψk2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = 1.
Exemple
Composants de
ψ
correspondend à
des amplitudes de probabilité.
Postulat 2:
Évolution temporelle d'un système quantique
isolé dérive d'un opérateur unitaire sur
φ
rayon;
φ=U
ψ = Uφ
H.
est encore un rayon i.e. un état pur.
∗ ψ : l'évolution temporelle est réversible.
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Logique quantique standard
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Postulats de la mécanique quantique
. . . et leur interprétation
Postulat 1:
Espace des phases
séparable
rayons
H;
= espace hilbertien complexe
ψ ∈ H : kψk = 1 correspondend à des
états (purs).
H = C2 :
kψk2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = 1.
Exemple
Composants de
ψ
correspondend à
des amplitudes de probabilité.
Postulat 2:
Évolution temporelle d'un système quantique
isolé dérive d'un opérateur unitaire sur
φ
rayon;
φ=U
ψ = Uφ
H.
est encore un rayon i.e. un état pur.
∗ ψ : l'évolution temporelle est réversible.
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Logique quantique standard
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Postulats de la mécanique quantique
. . . et leur interprétation
Postulat 1:
Espace des phases
séparable
rayons
H;
= espace hilbertien complexe
ψ ∈ H : kψk = 1 correspondend à des
états (purs).
H = C2 :
kψk2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = 1.
Exemple
Composants de
ψ
correspondend à
des amplitudes de probabilité.
Postulat 2:
Évolution temporelle d'un système quantique
isolé dérive d'un opérateur unitaire sur
φ
rayon;
φ=U
ψ = Uφ
H.
est encore un rayon i.e. un état pur.
∗ ψ : l'évolution temporelle est réversible.
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Logique quantique standard
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Probabilités quantiques
Postulat de la mécanique quantique
. . . et leur interprétation (suite)
Postulat 3:
Observables physiques associés à des opérateurs
auto-adjoints bornés sur
H.
spectrale de
X
„
=
1
−2
i
i
2
2
X.
Val. propres
x
«
−3
.
=
=
X
x ∈{−3,2}
„
1
(−3)
5
vec. propres
u (x ) «
„
−i
1
√
5 „ 2 «
i
1
√
2
X
X
Mesure (physique)de
signie de déterminer mesure (borélienne) dur
2
1
5
R
dans état
Projecteurs
„ Π({x })
«
1
−2i
1
5
2i
4
„
«
1
5
i
4
2
1
−2i
x Π({x })
1
2
i
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−2i
4
«
+2
1
5
„
4
−2i
ψ
induite par mesure
i
2
1
«
Probabilités quantiques
.
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Postulats de la description hilbertienne
Calcul propositionnel
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Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Postulats de la mécanique quantique
. . . et leur interprétation (suite)
ψ = α−3 u (−3) + α2 u (2).
X
hψ |Xψ i =
αx∗ αx 00 x 0 h u (x ) | Π({x 0 })u (x 00 ) i
x ,x 0 ,x 00
X
=
x |αx |2 ,
x ∈spec(X )
|αx |2 = h ψ | Π({x })ψ i. Eψ X = h ψ | X ψ i.
Observables élémentaires: Π questions oui-non.
Nouvel état après mesure Π({x }): u (x ).
où
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
Résumé de la mécanique quantique
La mécanique quantique peut être vue comme une extension non-commutative
des probabilités.
EX
n
X
=
k =1
xk pk
0
p1
`
=
...
x1 1
´ .C
pk B
@ .. A
xk
p1
00
=
n
X
=
k =1
√
.
pn
p k xk √ p k =
CB
[email protected]
n
X
x1
EX
B
= hψ| @
Novembre 2007
√
k =1
0
i.e. classiquement,
x1
10
..
BB
tr @@
11
..
.
xn
CC
AA
pk e −i θk xk √pk e i θk .
1
..
.
x
C
A ψ i, où ψ ∈ Cn with kψk = 1.
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Logique quantique standard
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Résumé de la mécanique quantique
La mécanique quantique peut être vue comme une extension non-commutative
des probabilités.
EX
n
X
=
k =1
xk pk
0
p1
`
=
...
x1 1
´ .C
pk B
@ .. A
xk
p1
00
=
n
X
=
k =1
√
.
pn
p k xk √ p k =
CB
[email protected]
n
X
x1
EX
B
= hψ| @
Novembre 2007
√
k =1
0
i.e. classiquement,
x1
10
..
BB
tr @@
11
..
.
xn
CC
AA
pk e −i θk xk √pk e i θk .
1
..
.
x
C
A ψ i, où ψ ∈ Cn with kψk = 1.
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Logique quantique standard
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Résumé de la mécanique quantique
La mécanique quantique peut être vue comme une extension non-commutative
des probabilités.
EX
n
X
=
k =1
xk pk
0
p1
`
=
...
x1 1
´ .C
pk B
@ .. A
xk
p1
00
=
n
X
=
k =1
√
.
pn
p k xk √ p k =
CB
[email protected]
n
X
x1
EX
B
= hψ| @
Novembre 2007
√
k =1
0
i.e. classiquement,
x1
10
..
BB
tr @@
11
..
.
xn
CC
AA
pk e −i θk xk √pk e i θk .
1
..
.
x
C
A ψ i, où ψ ∈ Cn with kψk = 1.
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Résumé de la mécanique quantique (suite)
En quantique,
variables aléatoires réelles
=
opérateurs auto-adjoints bornés
généraux sur espace de Hilbert approprié.
Plus précisément, espace de probabilité quantique:
A
une
C
∗ -algèbre et
auto-adjoint positif
σ un état provenant
σ(a) = tr(ρa).
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(A, σ),
d'un opérateur
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où
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Logique quantique standard
Résumé de la mécanique quantique (suite)
En quantique,
variables aléatoires réelles
=
opérateurs auto-adjoints bornés
généraux sur espace de Hilbert approprié.
Plus précisément, espace de probabilité quantique:
A
une
C
∗ -algèbre et
auto-adjoint positif
σ un état provenant
σ(a) = tr(ρa).
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(A, σ),
d'un opérateur
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où
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Postulats de la description hilbertienne
Calcul propositionnel
Logique quantique
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Logique quantique standard
Résumé de la mécanique quantique (suite)
En quantique,
variables aléatoires réelles
=
opérateurs auto-adjoints bornés
généraux sur espace de Hilbert approprié.
Plus précisément, espace de probabilité quantique:
A
une
C
∗ -algèbre et
auto-adjoint positif
σ un état provenant
σ(a) = tr(ρa).
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(A, σ),
d'un opérateur
Probabilités quantiques
où
Probabilités classiques
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Calcul propositionnel
Chercher description unifée pour systèmes classiques et
quantiques.
Il sut d'examiner seulement les mesures spectrales
Π.
Trouver carctéristiques communes entre ensembles mesurables
de
F
et sous-espaces fermés de
H.
Intérêt théorique: unication du formalisme
Intérêt pratique: l'extraction de l'information comme opération
géométrique à partir de logiques conditionnelles, oues,
quantiques.
⇒
treillis de propositions
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Calcul propositionnel
Chercher description unifée pour systèmes classiques et
quantiques.
Il sut d'examiner seulement les mesures spectrales
Π.
Trouver carctéristiques communes entre ensembles mesurables
de
F
et sous-espaces fermés de
H.
Intérêt théorique: unication du formalisme
Intérêt pratique: l'extraction de l'information comme opération
géométrique à partir de logiques conditionnelles, oues,
quantiques.
⇒
treillis de propositions
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Calcul propositionnel
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Logique quantique standard
Calcul propositionnel
Chercher description unifée pour systèmes classiques et
quantiques.
Il sut d'examiner seulement les mesures spectrales
Π.
Trouver carctéristiques communes entre ensembles mesurables
de
F
et sous-espaces fermés de
H.
Intérêt théorique: unication du formalisme
Intérêt pratique: l'extraction de l'information comme opération
géométrique à partir de logiques conditionnelles, oues,
quantiques.
⇒
treillis de propositions
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Calcul propositionnel
Logique quantique
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Logique quantique standard
Calcul propositionnel
Chercher description unifée pour systèmes classiques et
quantiques.
Il sut d'examiner seulement les mesures spectrales
Π.
Trouver carctéristiques communes entre ensembles mesurables
de
F
et sous-espaces fermés de
H.
Intérêt théorique: unication du formalisme
Intérêt pratique: l'extraction de l'information comme opération
géométrique à partir de logiques conditionnelles, oues,
quantiques.
⇒
treillis de propositions
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Calcul propositionnel
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Logique quantique standard
Calcul propositionnel
Chercher description unifée pour systèmes classiques et
quantiques.
Il sut d'examiner seulement les mesures spectrales
Π.
Trouver carctéristiques communes entre ensembles mesurables
de
F
et sous-espaces fermés de
H.
Intérêt théorique: unication du formalisme
Intérêt pratique: l'extraction de l'information comme opération
géométrique à partir de logiques conditionnelles, oues,
quantiques.
⇒
treillis de propositions
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Calcul propositionnel
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Logique quantique standard
Calcul propositionnel
Chercher description unifée pour systèmes classiques et
quantiques.
Il sut d'examiner seulement les mesures spectrales
Π.
Trouver carctéristiques communes entre ensembles mesurables
de
F
et sous-espaces fermés de
H.
Intérêt théorique: unication du formalisme
Intérêt pratique: l'extraction de l'information comme opération
géométrique à partir de logiques conditionnelles, oues,
quantiques.
⇒
treillis de propositions
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Logique quantique standard
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Probabilités quantiques
Treillis des propositions
Dénition: Λ est un treillis si 0 ∈ Λ et 1 ∈ Λ et
1
2
3
4
5
a ∧ a = a = a ∨ a,
commutativité: a ∧ b = b ∧ a and a ∨ b = v ∨ a,
associativité: a ∧ (b ∧ c ) = (a ∧ b ) ∧ c et
a ∨ (b ∨ c ) = (a ∨ b) ∨ c ,
identité: a ∧ 1 = a and a ∨ 0 = a,
absorption: a ∧ (a ∨ b ) = a = a ∨ (a ∧ b ).
idempotence:
a ≤ b ⇔ a ∧ b = a:
Treillis
=
ensemble partiellement ordonné
(poset).
a0 orhtocomplément de a si a ∧ a0 = 0 et a ∨ a0 = 1.
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Treillis de propositions
a ∨ (b ∧ c ) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c ) (et duale).
Modularité: a ≤ c : a ∨ (b ∧ c ) = (a ∨ b ) ∧ c
0
Orthomodularité: a ≤ c : a ∨ (a ∧ c ) = c
Dénition: Orthocomplémentation ⊥: Λ 3 a 7→ a⊥ ∈ Λ, vériant
pour a, b ∈ Λ:
Distributivité:
1
2
3
4
⊥
injective,
a ≤ b ⇒ b ⊥ ≤ a⊥ ,
(a⊥ )⊥ = a,
a ∧ a ⊥ = 0.
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Probabilités classiques
Mécanique quantique
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Logique
Dénition:
1
2
Une logique
Λ
est un treillis orthocomplémenté t.q.
(an )n∈N
dans Λ,
pour toute suite dénombrable
∨n∈N an et ∧n∈N existent
si a1 , a2 ∈ Λ et a1 ≤ a2 , alors
b ∨ a1 = a2 .
Spg orthomodularité avec
il existe
d'éléments de
b ∈ Λ, tel que b ≤ a1⊥ et
a0 = a⊥ .
Si distributivité vraie alors logique
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Λ,
= σ -algèbre
(tribu).
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Reformulation (système)
Postulat 1':
Dans tout système physique (classique ou quantique),
l'ensemble des propositions expérimentalement vériables forme une
logique (classique ou quantique standard).
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Reformulation (observables)
Dénition:
Soit
application
1
2
3
Λ
une logique. Une observable réelle est une
x : B(R) → Λ,
t.q.
x (∅) = 0; x (R) = 1,
B1 ∩ B2 = ∅ ⇒ x (B1 ) ⊥ x (B2 ).
Si (Bn )n mutuellement disjoints alors
x (∪n∈N Bn ) = ∨n∈N x (Bn ).
Ensemble des observables sur
Λ: O(Λ).
x ) = ∩C
spec(
Postulat 2':
fermé:
x (C )=1 C .
Ensemble des observables d'un système physique
(classique ou quantique), décrit par logique
Novembre 2007
Λ
est donné par
Probabilités quantiques
O(Λ).
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Calcul propositionnel
Logique quantique
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Logique quantique standard
Reformulation (états)
Dénition:
Un état sur la logique
Λ
est une application
p : Λ → [0, 1] t.q.
p(0) = 0; p(1) = 1,
si (an )n propositions mutuellement orthogonales et a = ∨n an
P
alors p (a) =
n p (an ).
1
2
Ensemble des états noté
S(Λ).
Une fonction d'état est une
application
σ : O(Λ) 3 x 7→ σ(x ) ∈ M+
1 (R, B(R)).
Novembre 2007
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Reformulation (états)
Théorème: S(Λ) est convexe (mais non nécessairement un
simplexe de Choquet.)
Théorème:
1
Si
Soit
p ∈ S(Λ).
σp : O(Λ) → M+
1 (R, B(R))
déni par
σp (x )(B ) = p (x (B )), ∀B ∈ B(R),
alors
2
σp
est une fonction d'état.
σ fonction
∀B ∈ B(R),
Si
d'état, alors
∃!p ∈ S(Λ),
t.q.
∀x ∈ O(Λ)
σ(x )(B ) = p (x (B )).
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Probabilités quantiques
et
Postulats de la description hilbertienne
Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
Reformulation (états)
Ep (x ) =
Z
spec(
x)
Z
=
spec(
Postulat 3':
x)
t σp (x )(dt )
tp(x (dt )).
Ensemble des états de tout système physique est
S(Λ).
Postulat 4':
Measurer physiquement une observable
déterminer sa fonction d'état
p(x (·)).
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Probabilités quantiques
x
signie de
Postulats de la description hilbertienne
Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
Reformulation (automorphismes et symmétries)
Lemme:
Soit Aut(Λ) l'ensemble d'automorphismes de
α ∈ Aut(Λ).
Application induite
α̃
sur
S(Λ)
Λ
et
par
α̃(p )(a) = p (α−1 (a)), a ∈ Λ, p ∈ S(Λ),
est un automorphisme convexe de
Dénition: G
L'application
1
2
S(Λ).
groupe topologique localement compact.
π : G → Aut(S(Λ))
π(g1 g2 ) = π(g1 )π(g2 )
est une représentation si
g1 , g2 ∈ G ,
∀a ∈ Λ, ∀p ∈ S(Λ), l'application g 7→ π(g )(p )(a) est
B(G )-mesurable.
pour tout
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Probabilités quantiques
Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
Postulats de la description hilbertienne
Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Reformulation (automorphismes et symmétries)
Postulat 5':
Évolution temporel de système isolé engendrée par
(R, +)
S(Λ).
représentation du groupe abelien
automorphismes convexes de
sur l'ensemble des
Toute symétrie physique correspondant à
G
localement compact,
induit une représentation sur les automorphismes convexes de
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Probabilités quantiques
S(Λ).
Postulats de la description hilbertienne
Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
Logique quantique standard
Logique:
Identier
Λ = {sous-espaces fermés du
Λ 3 M avec projection ΠM .
séparable
H}.
x . Identier
tx (dt ).
Observables: mesures spectrales, i.e. projections
opérateurs auto-adjoints
X
avec
x
via
États purs: correspondend aux rayons
X
=
R
ψ∈H
en dénissant
Λ 3 M 7→ pψ (M ) ≡ h ψ | ΠM ψ i = kΠM ψk2 .
Dénition:
Un opérateur
ρ
sur
H
est une matrice densité s'il
est borné, auto-adjoint, positif, de classe trace avec tr ρ
Ensemble des matrices densité noté
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D(H).
Probabilités quantiques
= 1.
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
Logique quantique standard
Logique:
Identier
Λ = {sous-espaces fermés du
Λ 3 M avec projection ΠM .
séparable
H}.
x . Identier
tx (dt ).
Observables: mesures spectrales, i.e. projections
opérateurs auto-adjoints
X
avec
x
via
États purs: correspondend aux rayons
X
=
R
ψ∈H
en dénissant
Λ 3 M 7→ pψ (M ) ≡ h ψ | ΠM ψ i = kΠM ψk2 .
Dénition:
Un opérateur
ρ
sur
H
est une matrice densité s'il
est borné, auto-adjoint, positif, de classe trace avec tr ρ
Ensemble des matrices densité noté
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D(H).
Probabilités quantiques
= 1.
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Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
Logique quantique standard
Logique:
Identier
Λ = {sous-espaces fermés du
Λ 3 M avec projection ΠM .
séparable
H}.
x . Identier
tx (dt ).
Observables: mesures spectrales, i.e. projections
opérateurs auto-adjoints
X
avec
x
via
États purs: correspondend aux rayons
X
=
R
ψ∈H
en dénissant
Λ 3 M 7→ pψ (M ) ≡ h ψ | ΠM ψ i = kΠM ψk2 .
Dénition:
Un opérateur
ρ
sur
H
est une matrice densité s'il
est borné, auto-adjoint, positif, de classe trace avec tr ρ
Ensemble des matrices densité noté
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D(H).
Probabilités quantiques
= 1.
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Probabilités quantiques
Logique quantique standard
Logique:
Identier
Λ = {sous-espaces fermés du
Λ 3 M avec projection ΠM .
séparable
H}.
x . Identier
tx (dt ).
Observables: mesures spectrales, i.e. projections
opérateurs auto-adjoints
X
avec
x
via
États purs: correspondend aux rayons
X
=
R
ψ∈H
en dénissant
Λ 3 M 7→ pψ (M ) ≡ h ψ | ΠM ψ i = kΠM ψk2 .
Dénition:
Un opérateur
ρ
sur
H
est une matrice densité s'il
est borné, auto-adjoint, positif, de classe trace avec tr ρ
Ensemble des matrices densité noté
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D(H).
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= 1.
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Probabilités quantiques
Logique quantique standard
Logique:
Identier
Λ = {sous-espaces fermés du
Λ 3 M avec projection ΠM .
séparable
H}.
x . Identier
tx (dt ).
Observables: mesures spectrales, i.e. projections
opérateurs auto-adjoints
X
avec
x
via
États purs: correspondend aux rayons
X
=
R
ψ∈H
en dénissant
Λ 3 M 7→ pψ (M ) ≡ h ψ | ΠM ψ i = kΠM ψk2 .
Dénition:
Un opérateur
ρ
sur
H
est une matrice densité s'il
est borné, auto-adjoint, positif, de classe trace avec tr ρ
Ensemble des matrices densité noté
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D(H).
Probabilités quantiques
= 1.
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Mécanique quantique
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Logique quantique standard
Exemple 1:
Soit
ψ ∈ H.
Alors
Πψ
projecteur sur
Cψ
est une
matrice densité.
Exemple 2:
P Soit (ψn )n
Alors
ρ=
densité.
Dénition:
n cn Πψn
Soit
suite arbitraire de rayons dans
avec
P
n cn = 1, cn ≥ 0
ρ ∈ D(H).
Alors
H.
est une matrice
p, déni par
Λ 3 M 7→ p (M ) = tr(ρΠM ),
est un état, appelé état tracial. Nous avons
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Ep (X ) = tr(ρX ).
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Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Logique quantique standard
Exemple 1:
Soit
ψ ∈ H.
Alors
Πψ
projecteur sur
Cψ
est une
matrice densité.
Exemple 2:
P Soit (ψn )n
Alors
ρ=
densité.
Dénition:
n cn Πψn
Soit
suite arbitraire de rayons dans
avec
P
n cn = 1, cn ≥ 0
ρ ∈ D(H).
Alors
H.
est une matrice
p, déni par
Λ 3 M 7→ p (M ) = tr(ρΠM ),
est un état, appelé état tracial. Nous avons
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Ep (X ) = tr(ρX ).
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Calcul propositionnel
Logique quantique
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Logique quantique standard
Logique quantique standard
Exemple 1:
Soit
ψ ∈ H.
Alors
Πψ
projecteur sur
Cψ
est une
matrice densité.
Exemple 2:
P Soit (ψn )n
Alors
ρ=
densité.
Dénition:
n cn Πψn
Soit
suite arbitraire de rayons dans
avec
P
n cn = 1, cn ≥ 0
ρ ∈ D(H).
Alors
H.
est une matrice
p, déni par
Λ 3 M 7→ p (M ) = tr(ρΠM ),
est un état, appelé état tracial. Nous avons
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Ep (X ) = tr(ρX ).
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Calcul propositionnel
Logique quantique
Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Logique quantique standard
Symétries:
h U φ | U ψ i = h φ | ψ i, ∀φ, ψ ⇒ UU ∗ = U ∗ U = 1
Automorphisme
α ∈ Aut(Λ): α(M ) = UM
Induit automorphisme convexe
α̃
sur états traciaux par:
α̃(p )(M ) = p (α−1 (M )) = tr(ρU ∗ ΠM U ) = tr(U ρU ∗ ΠM ).
Se traduit par la transformation réversible
ρ 7→ U ρU ∗
sur matrices densité.
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Logique quantique standard
Logique quantique standard
Symétries:
h U φ | U ψ i = h φ | ψ i, ∀φ, ψ ⇒ UU ∗ = U ∗ U = 1
Automorphisme
α ∈ Aut(Λ): α(M ) = UM
Induit automorphisme convexe
α̃
sur états traciaux par:
α̃(p )(M ) = p (α−1 (M )) = tr(ρU ∗ ΠM U ) = tr(U ρU ∗ ΠM ).
Se traduit par la transformation réversible
ρ 7→ U ρU ∗
sur matrices densité.
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Logique quantique standard
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Symétries:
h U φ | U ψ i = h φ | ψ i, ∀φ, ψ ⇒ UU ∗ = U ∗ U = 1
Automorphisme
α ∈ Aut(Λ): α(M ) = UM
Induit automorphisme convexe
α̃
sur états traciaux par:
α̃(p )(M ) = p (α−1 (M )) = tr(ρU ∗ ΠM U ) = tr(U ρU ∗ ΠM ).
Se traduit par la transformation réversible
ρ 7→ U ρU ∗
sur matrices densité.
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Logique quantique standard
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Symétries:
h U φ | U ψ i = h φ | ψ i, ∀φ, ψ ⇒ UU ∗ = U ∗ U = 1
Automorphisme
α ∈ Aut(Λ): α(M ) = UM
Induit automorphisme convexe
α̃
sur états traciaux par:
α̃(p )(M ) = p (α−1 (M )) = tr(ρU ∗ ΠM U ) = tr(U ρU ∗ ΠM ).
Se traduit par la transformation réversible
ρ 7→ U ρU ∗
sur matrices densité.
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Reformulation des postulats
Logique quantique standard
Logique quantique standard
État après mesure de l'observable
Classiquement:
X
=
P
j λj Πj :
P(·) 7→ P(·|X = λj ), avec ltage
X
P(·) 7→
P(·|X = λj )P(X = λj ), sans ltrage.
j
Quantiquement:
ρ 7→
ρ 7→
Πj ρΠj
, avec ltrage
tr(ρΠj )
X Πj ρΠj
tr(ρΠj ), (irréversible) sans ltrage.
j tr(ρΠj )
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État après mesure de l'observable
Classiquement:
X
=
P
j λj Πj :
P(·) 7→ P(·|X = λj ), avec ltage
X
P(·) 7→
P(·|X = λj )P(X = λj ), sans ltrage.
j
Quantiquement:
ρ 7→
ρ 7→
Πj ρΠj
, avec ltrage
tr(ρΠj )
X Πj ρΠj
tr(ρΠj ), (irréversible) sans ltrage.
j tr(ρΠj )
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État après mesure de l'observable
Classiquement:
X
=
P
j λj Πj :
P(·) 7→ P(·|X = λj ), avec ltage
X
P(·) 7→
P(·|X = λj )P(X = λj ), sans ltrage.
j
Quantiquement:
ρ 7→
ρ 7→
Πj ρΠj
, avec ltrage
tr(ρΠj )
X Πj ρΠj
tr(ρΠj ), (irréversible) sans ltrage.
j tr(ρΠj )
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Logique quantique standard
Mesures à valeurs oprérateurs positifs
Transformation la plus générale MVOP:
P
Φ : D(H)P
3 ρ 7→ i ∈I Si ρSi∗ ,
∗
vériant
i ∈ I Si Si ≤ 1 .
Connexion avec
avec
(Si )i
isometries partielles
C ∗ -algèbre de Cuntz rencontrée en
Espaces de décalage non-commutatif
Chaînes de Markov topologiques
Graphes orientés
Ondelettes
Pavages
...
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C ∗ -algèbres
Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
∗-algèbres
Dénition:
Un
A×A→A
est appelé algèbre.
C-espace
vectoriel,
A,
muni d'une opération interne
ab = ba;
l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1
ae = ea = a.
l'algèbre est commuative si
Dénition:
∗:A→A
≡ 1A
Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération
vériant
(λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ ,
(ab)∗ = b∗ a∗
et
(a∗ )∗ = a,
est dite
tel que
∗-algèbre
ou involutive.
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Espérance conditionnelle
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∗-algèbres
Dénition:
Un
A×A→A
est appelé algèbre.
C-espace
vectoriel,
A,
muni d'une opération interne
ab = ba;
l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1
ae = ea = a.
l'algèbre est commuative si
Dénition:
∗:A→A
≡ 1A
Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération
vériant
(λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ ,
(ab)∗ = b∗ a∗
et
(a∗ )∗ = a,
est dite
tel que
∗-algèbre
ou involutive.
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Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
∗-algèbres
Dénition:
Un
A×A→A
est appelé algèbre.
C-espace
vectoriel,
A,
muni d'une opération interne
ab = ba;
l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1
ae = ea = a.
l'algèbre est commuative si
Dénition:
∗:A→A
≡ 1A
Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération
vériant
(λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ ,
(ab)∗ = b∗ a∗
et
(a∗ )∗ = a,
est dite
tel que
∗-algèbre
ou involutive.
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∗-algèbres
Dénition:
Un
A×A→A
est appelé algèbre.
C-espace
vectoriel,
A,
muni d'une opération interne
ab = ba;
l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1
ae = ea = a.
l'algèbre est commuative si
Dénition:
∗:A→A
≡ 1A
Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération
vériant
(λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ ,
(ab)∗ = b∗ a∗
et
(a∗ )∗ = a,
est dite
tel que
∗-algèbre
ou involutive.
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∗-algèbres
Dénition:
Un
A×A→A
est appelé algèbre.
C-espace
vectoriel,
A,
muni d'une opération interne
ab = ba;
l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1
ae = ea = a.
l'algèbre est commuative si
Dénition:
∗:A→A
≡ 1A
Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération
vériant
(λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ ,
(ab)∗ = b∗ a∗
et
(a∗ )∗ = a,
est dite
tel que
∗-algèbre
ou involutive.
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∗-algèbres
Dénition:
Un
A×A→A
est appelé algèbre.
C-espace
vectoriel,
A,
muni d'une opération interne
ab = ba;
l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1
ae = ea = a.
l'algèbre est commuative si
Dénition:
∗:A→A
≡ 1A
Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération
vériant
(λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ ,
(ab)∗ = b∗ a∗
et
(a∗ )∗ = a,
est dite
tel que
∗-algèbre
ou involutive.
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Dénition:
Un
A×A→A
est appelé algèbre.
C-espace
vectoriel,
A,
muni d'une opération interne
ab = ba;
l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1
ae = ea = a.
l'algèbre est commuative si
Dénition:
∗:A→A
≡ 1A
Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération
vériant
(λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ ,
(ab)∗ = b∗ a∗
et
(a∗ )∗ = a,
est dite
tel que
∗-algèbre
ou involutive.
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Dénition:
Un
A×A→A
est appelé algèbre.
C-espace
vectoriel,
A,
muni d'une opération interne
ab = ba;
l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1
ae = ea = a.
l'algèbre est commuative si
Dénition:
∗:A→A
≡ 1A
Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération
vériant
(λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ ,
(ab)∗ = b∗ a∗
et
(a∗ )∗ = a,
est dite
tel que
∗-algèbre
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Espérance conditionnelle
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C ∗-algèbres
Soit
a ∈ A est dit
∗
normal si aa = a a,
∗
isométrique si a a = 1 A ,
∗
∗
unitaire si a a = aa = 1 A ,
∗
auto-adjoint si a = a .
∗
positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b .
A
une
∗-algèbre.
∗
Dénition:
B
C
Une algèbre involutive, normée de Banach est dite
∗ -algèbre. Si en outre elle vérie
∗ -algèbre.
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ka∗ ak = kak2
elle est dite
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Soit
a ∈ A est dit
∗
normal si aa = a a,
∗
isométrique si a a = 1 A ,
∗
∗
unitaire si a a = aa = 1 A ,
∗
auto-adjoint si a = a .
∗
positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b .
A
une
∗-algèbre.
∗
Dénition:
B
C
Une algèbre involutive, normée de Banach est dite
∗ -algèbre. Si en outre elle vérie
∗ -algèbre.
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ka∗ ak = kak2
elle est dite
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Soit
a ∈ A est dit
∗
normal si aa = a a,
∗
isométrique si a a = 1 A ,
∗
∗
unitaire si a a = aa = 1 A ,
∗
auto-adjoint si a = a .
∗
positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b .
A
une
∗-algèbre.
∗
Dénition:
B
C
Une algèbre involutive, normée de Banach est dite
∗ -algèbre. Si en outre elle vérie
∗ -algèbre.
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elle est dite
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Soit
a ∈ A est dit
∗
normal si aa = a a,
∗
isométrique si a a = 1 A ,
∗
∗
unitaire si a a = aa = 1 A ,
∗
auto-adjoint si a = a .
∗
positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b .
A
une
∗-algèbre.
∗
Dénition:
B
C
Une algèbre involutive, normée de Banach est dite
∗ -algèbre. Si en outre elle vérie
∗ -algèbre.
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elle est dite
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C ∗-algèbres
Soit
a ∈ A est dit
∗
normal si aa = a a,
∗
isométrique si a a = 1 A ,
∗
∗
unitaire si a a = aa = 1 A ,
∗
auto-adjoint si a = a .
∗
positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b .
A
une
∗-algèbre.
∗
Dénition:
B
C
Une algèbre involutive, normée de Banach est dite
∗ -algèbre. Si en outre elle vérie
∗ -algèbre.
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elle est dite
Probabilités quantiques
Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
C ∗ -algèbres
Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
C ∗-algèbres
Soit
a ∈ A est dit
∗
normal si aa = a a,
∗
isométrique si a a = 1 A ,
∗
∗
unitaire si a a = aa = 1 A ,
∗
auto-adjoint si a = a .
∗
positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b .
A
une
∗-algèbre.
∗
Dénition:
B
C
Une algèbre involutive, normée de Banach est dite
∗ -algèbre. Si en outre elle vérie
∗ -algèbre.
Novembre 2007
ka∗ ak = kak2
elle est dite
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Mécanique quantique
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C ∗ -algèbres
Chaînes de Markov classiques
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Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
C ∗-algèbres
Soit
a ∈ A est dit
∗
normal si aa = a a,
∗
isométrique si a a = 1 A ,
∗
∗
unitaire si a a = aa = 1 A ,
∗
auto-adjoint si a = a .
∗
positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b .
A
une
∗-algèbre.
∗
Dénition:
B
C
Une algèbre involutive, normée de Banach est dite
∗ -algèbre. Si en outre elle vérie
∗ -algèbre.
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ka∗ ak = kak2
elle est dite
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C ∗ -algèbres
Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Exemples
Exemple 1:
espace topologique compact de Hausdor,
X
C (X) = {f : X → C, continue},
C (X) est une C ∗ -algèbre commutative pour f ∗ = f
kf k = sup{|f (x )|, x ∈ X}.
et
Exemple 2:
H
espace de Hilbert,
B(H) = {T : H → H,
B(H)
est une
C
t.q.
kT k < ∞}
∗ -algèbre non-commutative dès que dim H
Novembre 2007
Probabilités quantiques
> 1.
Probabilités classiques
Mécanique quantique
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C ∗ -algèbres
Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Exemples
Exemple 1:
espace topologique compact de Hausdor,
X
C (X) = {f : X → C, continue},
C (X) est une C ∗ -algèbre commutative pour f ∗ = f
kf k = sup{|f (x )|, x ∈ X}.
et
Exemple 2:
H
espace de Hilbert,
B(H) = {T : H → H,
B(H)
est une
C
t.q.
kT k < ∞}
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C ∗ -algèbres
Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Exemples
Exemple 1:
espace topologique compact de Hausdor,
X
C (X) = {f : X → C, continue},
C (X) est une C ∗ -algèbre commutative pour f ∗ = f
kf k = sup{|f (x )|, x ∈ X}.
et
Exemple 2:
H
espace de Hilbert,
B(H) = {T : H → H,
B(H)
est une
C
t.q.
kT k < ∞}
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C ∗ -algèbres
Chaînes de Markov classiques
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Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Exemples
Exemple 1:
espace topologique compact de Hausdor,
X
C (X) = {f : X → C, continue},
C (X) est une C ∗ -algèbre commutative pour f ∗ = f
kf k = sup{|f (x )|, x ∈ X}.
et
Exemple 2:
H
espace de Hilbert,
B(H) = {T : H → H,
B(H)
est une
C
t.q.
kT k < ∞}
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Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Représentations d'une C ∗ -algèbre
Dénition:
A une C ∗ -algèbre,
H un espace de Hilbert,
1
Un ∗-homomorphisme π : A → B(H)
A, notée (π, Hπ ).
est appelé représentation de
Exemple: (X, X , µ) un espace de probabilité, où X espace
topologique compact de Hausdor et
A = C (X),
H = L2 (X, X , µ).
π : A → B(H) dénie par
X
sa tribu borélienne. Soient
π(f )ψ(x ) = f (x )ψ(x ), f ∈ A, ψ ∈ H, x ∈ X,
est une représentation.
1
π(ab ) = π(a)π(b ) et π(a∗ )
= π(a)∗ .
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C ∗ -algèbres
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Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
États sur une C ∗ -algèbre
Une fonctionnelle linéaire σ : A → C telle que ∀a ∈ A
σ(a∗ a) ≥ 0 est appelée état. Si l'algèbre est unifère et
σ(1 ) = 1 alors l'état est normalisé (probabilité).
Dénition:
on ait
∀a ∈ A, ∃b, b0 ∈ Ah
:
⇒
⇒
⇒
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a = b + ib0
a∗ = b − ib0
σ(a∗ ) = σ(a)
σ(a) ∈ R, ∀a ∈ Ah .
Probabilités quantiques
Probabilités classiques
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C ∗ -algèbres
Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Théorème de Gelfand-Neumark-Segal (GNS)
Proposition:
kψk = 1
Si
π : A → B(H)
une représentation et
ψ∈H
alors
A 3 a 7→ σ(a) ≡ h ψ | π(a)ψ i ∈ C
est un état sur
A.
Théorème (GNS): Tout état s'écrit sous cette forme.
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Probabilités quantiques
avec
Probabilités classiques
Mécanique quantique
Probabilités quantiques
C ∗ -algèbres
Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Foncteurs covariants et contravariants
MP
−−−−→
M+ (X0 )
x

M
P
−−−−→
(X0 , X0 )


Cy
C (X0 ) ∼
= A0
CP
←−−−−

X0 
y
B(H0 )
M+ (X1 )
x

M
−−−−→ . . .
(X1 , X1 )


Cy
−−−−→ . . .
C (X1 ) ∼
= A1
←−−−− . . .

X1 
y
←−−−−
Novembre 2007
B(H1 )
←−−−− . . .
Probabilités quantiques
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Mécanique quantique
Probabilités quantiques
C ∗ -algèbres
Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Foncteurs covariants et contravariants
MP
−−−−→
M+ (X0 )
x

M
P
−−−−→
(X0 , X0 )


Cy
C (X0 ) ∼
= A0
CP
←−−−−

X0 
y
B(H0 )
M+ (X1 )
x

M
−−−−→ . . .
(X1 , X1 )


Cy
−−−−→ . . .
C (X1 ) ∼
= A1
←−−−− . . .

X1 
y
←−−−−
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B(H1 )
←−−−− . . .
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Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Foncteurs covariants et contravariants
MP
−−−−→
M+ (X0 )
x

M
P
−−−−→
(X0 , X0 )


Cy
C (X0 ) ∼
= A0
CP
←−−−−

X0 
y
B(H0 )
M+ (X1 )
x

M
−−−−→ . . .
(X1 , X1 )


Cy
−−−−→ . . .
C (X1 ) ∼
= A1
←−−−− . . .

X1 
y
←−−−−
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B(H1 )
←−−−− . . .
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Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Foncteurs covariants et contravariants
MP
−−−−→
M+ (X0 )
x

M
P
−−−−→
(X0 , X0 )


Cy
C (X0 ) ∼
= A0
CP
←−−−−

X0 
y
B(H0 )
M+ (X1 )
x

M
−−−−→ . . .
(X1 , X1 )


Cy
−−−−→ . . .
C (X1 ) ∼
= A1
←−−−− . . .

X1 
y
←−−−−
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B(H1 )
←−−−− . . .
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Probabilités quantiques
C ∗ -algèbres
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Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Chaîne de Markov classique
Hi = L2 (Xi , Xi , µi ), i = 0, 1.
∀a0 ∈ A0 , considérer la représentation
X0 : A0 → B(H0 )
R
décomposition spectrale X0 =
x0 ΠX0 (dx0 ).
∃ψ ∈ H0 , tel que l'état µ sur A0 vérie:
µ(a0 ) = h ψ | a0 ◦ X0 ψ i
= h ψ | a0 (X0 )ψ i
Z
=
a0 (x0 )h ψ | ΠX0 (dx0 )ψ i.
Novembre 2007
Probabilités quantiques
et sa
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Mécanique quantique
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C ∗ -algèbres
Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Chaîne de Markov classique
Hi = L2 (Xi , Xi , µi ), i = 0, 1.
∀a0 ∈ A0 , considérer la représentation
X0 : A0 → B(H0 )
R
décomposition spectrale X0 =
x0 ΠX0 (dx0 ).
∃ψ ∈ H0 , tel que l'état µ sur A0 vérie:
µ(a0 ) = h ψ | a0 ◦ X0 ψ i
= h ψ | a0 (X0 )ψ i
Z
=
a0 (x0 )h ψ | ΠX0 (dx0 )ψ i.
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et sa
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Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Chaîne de Markov classique
Hi = L2 (Xi , Xi , µi ), i = 0, 1.
∀a0 ∈ A0 , considérer la représentation
X0 : A0 → B(H0 )
R
décomposition spectrale X0 =
x0 ΠX0 (dx0 ).
∃ψ ∈ H0 , tel que l'état µ sur A0 vérie:
µ(a0 ) = h ψ | a0 ◦ X0 ψ i
= h ψ | a0 (X0 )ψ i
Z
=
a0 (x0 )h ψ | ΠX0 (dx0 )ψ i.
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et sa
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C ∗ -algèbres
Chaînes de Markov classiques
Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Chaîne de Markov classique (suite)
H = L2 (X0 × X1 , X0 ⊗ X1 , P).
E(a0 ⊗ a1 ) =
Z
µ(dx0 )a0 (x0 )Pa1 (x0 )
= h ψ | a 1 ◦ X1 a 0 ◦ X0 ψ i
= h ψ | (Pa1 )a0 ◦ X0 ψ i
Z
=
Pa1 (x0 )a0 (x0 )h ψ | ΠX0 (dx0 )ψ i.
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Espérance conditionnelle
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Chaîne de Markov classique (suite)
H = L2 (X0 × X1 , X0 ⊗ X1 , P).
E(a0 ⊗ a1 ) =
Z
µ(dx0 )a0 (x0 )Pa1 (x0 )
= h ψ | a 1 ◦ X1 a 0 ◦ X0 ψ i
= h ψ | (Pa1 )a0 ◦ X0 ψ i
Z
=
Pa1 (x0 )a0 (x0 )h ψ | ΠX0 (dx0 )ψ i.
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Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Produit tensoriel
Dénition:
Soient
V
et
V0
deux espaces vectoriels. Leur produit
tensoriel est
un espace vectoriel, noté
V ⊗ V0 ,
et une application bilinéaire notée
tels que pour tout espace vectoriel
V0
W
⊗ : V × V0 → V ⊗ V0
et toute application bilinéaire
β : V × → W, il existe une unique application
f : V ⊗ V0 → W vériant: β(v , v 0 ) = f (v ⊗ v 0 ).
linéaire
(ei ,j , j = 1, 2, . . .) base orthonormale de Hi , i = 1, . . . , n,
(e1,j1 ⊗ · · · ⊗ en,jn , j1 = 1, 2, . . . , . . . , jn = 1, 2, . . .) base
n
orthonormale de ⊗i =1 Hi .
Si
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alors
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Espérance conditionnelle
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Opérateurs sur le produit tensoriel
Proposition:
T
∈ B(H),
Ti ∈ B(Hi ) pour i = 1, . . . , n,
H = ⊗ni=0 Hi , tel que
Si
où
T ⊗ni=0 ψi
On écrit
T
= ⊗ni=0 Ti ψi , ∀ψi ∈ Hi ,
Soit T
T1 ∈ T(H1 ) tel que
∈ T(H1 ⊗ H2 ).
Il existe un unique opérateur
T1 X ) = tr(TX ⊗ 1 2 ), ∀X
tr(
T
i = 1, . . . , n .
= ⊗ni=0 Ti .
Proposition:
Si
il existe un unique
est une matrice densité, alors
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∈ B(H1 ).
T1 l'est aussi.
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Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Espérance conditionnelle
Hi , i = 1, 2 et H = H1 ⊗ H2 .
Pour tout opérateur ρ ∈ T(H2 ), il existe une unique
application linéaire Eρ : B(H) → B(H1 ), ériant:
h ψ | Eρ (X )ψ 0 i = tr X (| ψ 0 ih ψ | ⊗ ρ) , ∀ψ, ψ 0 ∈ H1 , X ∈ B(H),
Proposition:
1
Soient
kEρ (X )k ≤ kρk1 kX k.
ρ est un état, alors Eρ est l'espérance conditionnelle de
B(H) sur B(H1 ). Elle vérie:
Eρ (1 ) = 1 , Eρ (X ∗ ) = (Eρ (X ))∗ , kEρ (X )k ≤ kX k.
Eρ ((A ⊗ 1 2 )X (B ⊗ 1 2 )) = AEρ (X )B ,
∀
A, B ∈ B(H1 ), X ∈ B(H).
P
∗
∗
1≤i ,j ≤k Yi Eρ (Xi Xj )Yj ≥ 0, ∀Xi ∈ B(H), Yi ∈ B(H1 ).
Propriété de complète positivité. En particulier:
X ≥ 0 ⇒ Eρ (X ) ≥ 0.
où
2
Si
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Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Filtrations quantiques
Proposition:
Soit
(Hn )n≥0
une famille d'espaces de Hilbert. Noter:
Hn] = H0 ⊗ · · · ⊗ Hn , n = 1, 2, . . .
et
H[n+1 = Hn+1 ⊗ Hn+2 ⊗ · · · , n = 1, 2, . . . .
On dénit
la ltration du passé: la suite croissante de ∗-algèbres
Bn] = {X ⊗ 1 [n+1 , X ∈ B(Hn] )} et
la tribu du présent: Bn = B(Hn] ) et B∞ = limn→∞ Bn .
Il existe une unique famille d'applications linéaires En] : B∞ → Bn]
vériant pour X ∈ B∞ :
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C ∗ -algèbres
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Espérance conditionnelle
Chaînes de Markov quantiques
Filtrations quantiques (suite)
En] 1 [0 = 1 n] ,
En] (AXB ) = AEn] (X )B ,
si
pour
A, B ∈ Bn] ,
m ≤ n alors, Em] En] = En] Em] = Em] .
Xn ∈ B∞ est
adaptée à la ltration (Bn] )n si Xn ∈ Bn] pour tout n .
une martingale si En−1] (Xn ) = Xn−1 pour tout n ≥ 1.
Dénition:
Une suite
(Xn )n
avec
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C ∗ -algèbres
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Lien avec formalisme hilbertien
Espérance conditionnelle
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Chaînes de Markov quantiques
Soient
H
et
B = B(H)
introduit, pour tout
la tribu des observables bornées sur
n, la famille de ∗-homomorphismes
H.
On
jn : B → 1 n−1] ⊗ B ⊗ 1 [n+1
Une application bilinéaire
E :B⊗B→B
est une espérance
conditionnelle si elle est complètement positive et préserve
σ sur ⊗n∈N B
B tel que:
l'identité. Un état
état initial
µ
sur
est dit markovien s'il existe un
σ(j0 (a0 ) · · · jn (an )) = µ(E(a0 ⊗E(a1 ⊗· · ·⊗E(an−1 ⊗E(an ⊗ 1 )) · · · ).
La famille d'homomorphismes
(jn )
est appelée chaîne de Markov
quantique.
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