Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Une introduction aux probabilités quantiques et leur application aux chaîne de Markov quantiques Dimitri Petritis Institut de recherche mathématique Université de Rennes 1 and CNRS (UMR 6625) Novembre 2007 Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Formulation de Kolmogorov Décomposition spectrale Théorie des probabilités et physique classique Formulation de Kolmogorov Espace de probabilité: (Ω, F, P) Espace mesurable: (R, B(R)) Variable aléatoire réelle: X : Ω → R, measurable Loi de X : PX (B ) ≡ P({ω ∈ Ω : X (ω) ∈ B }) = P(X ∈ B ), B ∈ B(R). Quelle signication? Kolmogorov: Ensemble de propositions expérimentalement vériables = σ -algebra booléenne Théorème de Loomis-Sikorski: toute σ -algebra booléenne est image σ -homomorpe d'une tribu F des parties d'un Ω non-vide. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Formulation de Kolmogorov Décomposition spectrale Dictionnaire probabilités-physique classique Probabilités Ω ω∈Ω X P PX (ωt )t X (ωt ) Dictionnaire Univers Physique Espace des phases réalisation microétat variable aléatoire observable probabilité (macro) état loi de X fonction d'état de X dans état trajectoire ot dynamique processus stochastique évolution temporelle de Novembre 2007 Probabilités quantiques X P Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Formulation de Kolmogorov Décomposition spectrale Approximation par des fonctions simples M Ij m !1 f (I j) Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Formulation de Kolmogorov Décomposition spectrale Une approche diérente Continue, bornée m = inf X (ω); M X : Ω → R; = sup X (ω); X ) = [m, M ]. Objets importants: F, B(R). (Convention: 1 F ≡ F .) Mesure à valeurs indicatrices Π : B(R) 3 B → 1 X − (B ) (∈ F). spec( 1 ∀ω : |X (ω) − lim X j X j xj Π(Ij ) = Novembre 2007 xj Π(Ij )(ω)| < . Z x Π(dx ) = X . Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Formulation de Kolmogorov Décomposition spectrale Décomposition spectrale EX Z = = X (ω)P(d ω) Z Z M Z ( x Π(dx )(ω))P(d ω) = x PX (dx ). Ω m spec X Π2 = Π; Π(B ∩ C ) = Π(B )Π(C ); Π est la mesure spectrale de que X. X. supp Π = spec X = imX . Contient la même information En mécanique quantique de nouveau: X = R x Π(dx ) mais Π projection à un sous-espace hilbertien. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Échelles des grandeurs physiques 10 −31 1051 1027 " 10−15 ! 10−23 1017 # %$ & $('() & ~ = 1.05457 × 10−34 * · $ . / ' 0 2 +-, , 1 c = 2.99792458 × 108 / • • • 3 , 04 $ , 4 5'6 ! & ~→0 c→∞ 7 $ ,98:, $.3 %$ , $. c→∞ ;<"=?>@BA.CEDGFH=JIKA.L.LMA 3 4 0 4 $ 4 & , & , ~→0 3 4 5 " . , 4 & , Novembre 2007 N Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Évolution de la technologie informatique 25.0 F GA 22.5 GHH M =OF L = NK MFD 20.0 HF I= KH H J IF C 17.5 D 15.0 7 ( ) ,- 5. 6 #"%$'& 4( ) ,- ) /. 3 ! #"%$'& ( )+* ,- ) /. 102 @ GH G EBF =C @BA ? <>= 12.5 10.0 1970 1980 1990 2000 2010 2020 7.5 8 ':9; PRQ (S*T &UVW Novembre 2007 Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la mécanique quantique . . . et leur interprétation Postulat 1: Espace des phases séparable rayons H; = espace hilbertien complexe ψ ∈ H : kψk = 1 correspondend à des états (purs). H = C2 : kψk2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = 1. Exemple Composants de ψ correspondend à des amplitudes de probabilité. Postulat 2: Évolution temporelle d'un système quantique isolé dérive d'un opérateur unitaire sur φ rayon; φ=U ψ = Uφ H. est encore un rayon i.e. un état pur. ∗ ψ : l'évolution temporelle est réversible. Novembre 2007 Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la mécanique quantique . . . et leur interprétation Postulat 1: Espace des phases séparable rayons H; = espace hilbertien complexe ψ ∈ H : kψk = 1 correspondend à des états (purs). H = C2 : kψk2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = 1. Exemple Composants de ψ correspondend à des amplitudes de probabilité. Postulat 2: Évolution temporelle d'un système quantique isolé dérive d'un opérateur unitaire sur φ rayon; φ=U ψ = Uφ H. est encore un rayon i.e. un état pur. ∗ ψ : l'évolution temporelle est réversible. Novembre 2007 Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la mécanique quantique . . . et leur interprétation Postulat 1: Espace des phases séparable rayons H; = espace hilbertien complexe ψ ∈ H : kψk = 1 correspondend à des états (purs). H = C2 : kψk2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = 1. Exemple Composants de ψ correspondend à des amplitudes de probabilité. Postulat 2: Évolution temporelle d'un système quantique isolé dérive d'un opérateur unitaire sur φ rayon; φ=U ψ = Uφ H. est encore un rayon i.e. un état pur. ∗ ψ : l'évolution temporelle est réversible. Novembre 2007 Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la mécanique quantique . . . et leur interprétation Postulat 1: Espace des phases séparable rayons H; = espace hilbertien complexe ψ ∈ H : kψk = 1 correspondend à des états (purs). H = C2 : kψk2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = 1. Exemple Composants de ψ correspondend à des amplitudes de probabilité. Postulat 2: Évolution temporelle d'un système quantique isolé dérive d'un opérateur unitaire sur φ rayon; φ=U ψ = Uφ H. est encore un rayon i.e. un état pur. ∗ ψ : l'évolution temporelle est réversible. Novembre 2007 Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la mécanique quantique . . . et leur interprétation Postulat 1: Espace des phases séparable rayons H; = espace hilbertien complexe ψ ∈ H : kψk = 1 correspondend à des états (purs). H = C2 : kψk2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 = 1. Exemple Composants de ψ correspondend à des amplitudes de probabilité. Postulat 2: Évolution temporelle d'un système quantique isolé dérive d'un opérateur unitaire sur φ rayon; φ=U ψ = Uφ H. est encore un rayon i.e. un état pur. ∗ ψ : l'évolution temporelle est réversible. Novembre 2007 Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulat de la mécanique quantique . . . et leur interprétation (suite) Postulat 3: Observables physiques associés à des opérateurs auto-adjoints bornés sur H. spectrale de X „ = 1 −2 i i 2 2 X. Val. propres x « −3 . = = X x ∈{−3,2} „ 1 (−3) 5 vec. propres u (x ) « „ −i 1 √ 5 „ 2 « i 1 √ 2 X X Mesure (physique)de signie de déterminer mesure (borélienne) dur 2 1 5 R dans état Projecteurs „ Π({x }) « 1 −2i 1 5 2i 4 „ « 1 5 i 4 2 1 −2i x Π({x }) 1 2 i Novembre 2007 −2i 4 « +2 1 5 „ 4 −2i ψ induite par mesure i 2 1 « Probabilités quantiques . Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Postulats de la mécanique quantique . . . et leur interprétation (suite) ψ = α−3 u (−3) + α2 u (2). X hψ |Xψ i = αx∗ αx 00 x 0 h u (x ) | Π({x 0 })u (x 00 ) i x ,x 0 ,x 00 X = x |αx |2 , x ∈spec(X ) |αx |2 = h ψ | Π({x })ψ i. Eψ X = h ψ | X ψ i. Observables élémentaires: Π questions oui-non. Nouvel état après mesure Π({x }): u (x ). où Novembre 2007 Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Résumé de la mécanique quantique La mécanique quantique peut être vue comme une extension non-commutative des probabilités. EX n X = k =1 xk pk 0 p1 ` = ... x1 1 ´ .C pk B @ .. A xk p1 00 = n X = k =1 √ . pn p k xk √ p k = CB A@ n X x1 EX B = hψ| @ Novembre 2007 √ k =1 0 i.e. classiquement, x1 10 .. BB tr @@ 11 .. . xn CC AA pk e −i θk xk √pk e i θk . 1 .. . x C A ψ i, où ψ ∈ Cn with kψk = 1. Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Résumé de la mécanique quantique La mécanique quantique peut être vue comme une extension non-commutative des probabilités. EX n X = k =1 xk pk 0 p1 ` = ... x1 1 ´ .C pk B @ .. A xk p1 00 = n X = k =1 √ . pn p k xk √ p k = CB A@ n X x1 EX B = hψ| @ Novembre 2007 √ k =1 0 i.e. classiquement, x1 10 .. BB tr @@ 11 .. . xn CC AA pk e −i θk xk √pk e i θk . 1 .. . x C A ψ i, où ψ ∈ Cn with kψk = 1. Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Résumé de la mécanique quantique La mécanique quantique peut être vue comme une extension non-commutative des probabilités. EX n X = k =1 xk pk 0 p1 ` = ... x1 1 ´ .C pk B @ .. A xk p1 00 = n X = k =1 √ . pn p k xk √ p k = CB A@ n X x1 EX B = hψ| @ Novembre 2007 √ k =1 0 i.e. classiquement, x1 10 .. BB tr @@ 11 .. . xn CC AA pk e −i θk xk √pk e i θk . 1 .. . x C A ψ i, où ψ ∈ Cn with kψk = 1. Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Résumé de la mécanique quantique (suite) En quantique, variables aléatoires réelles = opérateurs auto-adjoints bornés généraux sur espace de Hilbert approprié. Plus précisément, espace de probabilité quantique: A une C ∗ -algèbre et auto-adjoint positif σ un état provenant σ(a) = tr(ρa). Novembre 2007 (A, σ), d'un opérateur Probabilités quantiques où Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Résumé de la mécanique quantique (suite) En quantique, variables aléatoires réelles = opérateurs auto-adjoints bornés généraux sur espace de Hilbert approprié. Plus précisément, espace de probabilité quantique: A une C ∗ -algèbre et auto-adjoint positif σ un état provenant σ(a) = tr(ρa). Novembre 2007 (A, σ), d'un opérateur Probabilités quantiques où Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Résumé de la mécanique quantique (suite) En quantique, variables aléatoires réelles = opérateurs auto-adjoints bornés généraux sur espace de Hilbert approprié. Plus précisément, espace de probabilité quantique: A une C ∗ -algèbre et auto-adjoint positif σ un état provenant σ(a) = tr(ρa). Novembre 2007 (A, σ), d'un opérateur Probabilités quantiques où Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Calcul propositionnel Chercher description unifée pour systèmes classiques et quantiques. Il sut d'examiner seulement les mesures spectrales Π. Trouver carctéristiques communes entre ensembles mesurables de F et sous-espaces fermés de H. Intérêt théorique: unication du formalisme Intérêt pratique: l'extraction de l'information comme opération géométrique à partir de logiques conditionnelles, oues, quantiques. ⇒ treillis de propositions Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Calcul propositionnel Chercher description unifée pour systèmes classiques et quantiques. Il sut d'examiner seulement les mesures spectrales Π. Trouver carctéristiques communes entre ensembles mesurables de F et sous-espaces fermés de H. Intérêt théorique: unication du formalisme Intérêt pratique: l'extraction de l'information comme opération géométrique à partir de logiques conditionnelles, oues, quantiques. ⇒ treillis de propositions Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Calcul propositionnel Chercher description unifée pour systèmes classiques et quantiques. Il sut d'examiner seulement les mesures spectrales Π. Trouver carctéristiques communes entre ensembles mesurables de F et sous-espaces fermés de H. Intérêt théorique: unication du formalisme Intérêt pratique: l'extraction de l'information comme opération géométrique à partir de logiques conditionnelles, oues, quantiques. ⇒ treillis de propositions Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Calcul propositionnel Chercher description unifée pour systèmes classiques et quantiques. Il sut d'examiner seulement les mesures spectrales Π. Trouver carctéristiques communes entre ensembles mesurables de F et sous-espaces fermés de H. Intérêt théorique: unication du formalisme Intérêt pratique: l'extraction de l'information comme opération géométrique à partir de logiques conditionnelles, oues, quantiques. ⇒ treillis de propositions Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Calcul propositionnel Chercher description unifée pour systèmes classiques et quantiques. Il sut d'examiner seulement les mesures spectrales Π. Trouver carctéristiques communes entre ensembles mesurables de F et sous-espaces fermés de H. Intérêt théorique: unication du formalisme Intérêt pratique: l'extraction de l'information comme opération géométrique à partir de logiques conditionnelles, oues, quantiques. ⇒ treillis de propositions Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Calcul propositionnel Chercher description unifée pour systèmes classiques et quantiques. Il sut d'examiner seulement les mesures spectrales Π. Trouver carctéristiques communes entre ensembles mesurables de F et sous-espaces fermés de H. Intérêt théorique: unication du formalisme Intérêt pratique: l'extraction de l'information comme opération géométrique à partir de logiques conditionnelles, oues, quantiques. ⇒ treillis de propositions Novembre 2007 Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Treillis des propositions Dénition: Λ est un treillis si 0 ∈ Λ et 1 ∈ Λ et 1 2 3 4 5 a ∧ a = a = a ∨ a, commutativité: a ∧ b = b ∧ a and a ∨ b = v ∨ a, associativité: a ∧ (b ∧ c ) = (a ∧ b ) ∧ c et a ∨ (b ∨ c ) = (a ∨ b) ∨ c , identité: a ∧ 1 = a and a ∨ 0 = a, absorption: a ∧ (a ∨ b ) = a = a ∨ (a ∧ b ). idempotence: a ≤ b ⇔ a ∧ b = a: Treillis = ensemble partiellement ordonné (poset). a0 orhtocomplément de a si a ∧ a0 = 0 et a ∨ a0 = 1. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Treillis de propositions a ∨ (b ∧ c ) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c ) (et duale). Modularité: a ≤ c : a ∨ (b ∧ c ) = (a ∨ b ) ∧ c 0 Orthomodularité: a ≤ c : a ∨ (a ∧ c ) = c Dénition: Orthocomplémentation ⊥: Λ 3 a 7→ a⊥ ∈ Λ, vériant pour a, b ∈ Λ: Distributivité: 1 2 3 4 ⊥ injective, a ≤ b ⇒ b ⊥ ≤ a⊥ , (a⊥ )⊥ = a, a ∧ a ⊥ = 0. Novembre 2007 Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Logique Dénition: 1 2 Une logique Λ est un treillis orthocomplémenté t.q. (an )n∈N dans Λ, pour toute suite dénombrable ∨n∈N an et ∧n∈N existent si a1 , a2 ∈ Λ et a1 ≤ a2 , alors b ∨ a1 = a2 . Spg orthomodularité avec il existe d'éléments de b ∈ Λ, tel que b ≤ a1⊥ et a0 = a⊥ . Si distributivité vraie alors logique Novembre 2007 Λ, = σ -algèbre (tribu). Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Reformulation (système) Postulat 1': Dans tout système physique (classique ou quantique), l'ensemble des propositions expérimentalement vériables forme une logique (classique ou quantique standard). Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Reformulation (observables) Dénition: Soit application 1 2 3 Λ une logique. Une observable réelle est une x : B(R) → Λ, t.q. x (∅) = 0; x (R) = 1, B1 ∩ B2 = ∅ ⇒ x (B1 ) ⊥ x (B2 ). Si (Bn )n mutuellement disjoints alors x (∪n∈N Bn ) = ∨n∈N x (Bn ). Ensemble des observables sur Λ: O(Λ). x ) = ∩C spec( Postulat 2': fermé: x (C )=1 C . Ensemble des observables d'un système physique (classique ou quantique), décrit par logique Novembre 2007 Λ est donné par Probabilités quantiques O(Λ). Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Reformulation (états) Dénition: Un état sur la logique Λ est une application p : Λ → [0, 1] t.q. p(0) = 0; p(1) = 1, si (an )n propositions mutuellement orthogonales et a = ∨n an P alors p (a) = n p (an ). 1 2 Ensemble des états noté S(Λ). Une fonction d'état est une application σ : O(Λ) 3 x 7→ σ(x ) ∈ M+ 1 (R, B(R)). Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Reformulation (états) Théorème: S(Λ) est convexe (mais non nécessairement un simplexe de Choquet.) Théorème: 1 Si Soit p ∈ S(Λ). σp : O(Λ) → M+ 1 (R, B(R)) déni par σp (x )(B ) = p (x (B )), ∀B ∈ B(R), alors 2 σp est une fonction d'état. σ fonction ∀B ∈ B(R), Si d'état, alors ∃!p ∈ S(Λ), t.q. ∀x ∈ O(Λ) σ(x )(B ) = p (x (B )). Novembre 2007 Probabilités quantiques et Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Reformulation (états) Ep (x ) = Z spec( x) Z = spec( Postulat 3': x) t σp (x )(dt ) tp(x (dt )). Ensemble des états de tout système physique est S(Λ). Postulat 4': Measurer physiquement une observable déterminer sa fonction d'état p(x (·)). Novembre 2007 Probabilités quantiques x signie de Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Reformulation (automorphismes et symmétries) Lemme: Soit Aut(Λ) l'ensemble d'automorphismes de α ∈ Aut(Λ). Application induite α̃ sur S(Λ) Λ et par α̃(p )(a) = p (α−1 (a)), a ∈ Λ, p ∈ S(Λ), est un automorphisme convexe de Dénition: G L'application 1 2 S(Λ). groupe topologique localement compact. π : G → Aut(S(Λ)) π(g1 g2 ) = π(g1 )π(g2 ) est une représentation si g1 , g2 ∈ G , ∀a ∈ Λ, ∀p ∈ S(Λ), l'application g 7→ π(g )(p )(a) est B(G )-mesurable. pour tout Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Reformulation (automorphismes et symmétries) Postulat 5': Évolution temporel de système isolé engendrée par (R, +) S(Λ). représentation du groupe abelien automorphismes convexes de sur l'ensemble des Toute symétrie physique correspondant à G localement compact, induit une représentation sur les automorphismes convexes de Novembre 2007 Probabilités quantiques S(Λ). Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Logique quantique standard Logique: Identier Λ = {sous-espaces fermés du Λ 3 M avec projection ΠM . séparable H}. x . Identier tx (dt ). Observables: mesures spectrales, i.e. projections opérateurs auto-adjoints X avec x via États purs: correspondend aux rayons X = R ψ∈H en dénissant Λ 3 M 7→ pψ (M ) ≡ h ψ | ΠM ψ i = kΠM ψk2 . Dénition: Un opérateur ρ sur H est une matrice densité s'il est borné, auto-adjoint, positif, de classe trace avec tr ρ Ensemble des matrices densité noté Novembre 2007 D(H). Probabilités quantiques = 1. Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Logique quantique standard Logique: Identier Λ = {sous-espaces fermés du Λ 3 M avec projection ΠM . séparable H}. x . Identier tx (dt ). Observables: mesures spectrales, i.e. projections opérateurs auto-adjoints X avec x via États purs: correspondend aux rayons X = R ψ∈H en dénissant Λ 3 M 7→ pψ (M ) ≡ h ψ | ΠM ψ i = kΠM ψk2 . Dénition: Un opérateur ρ sur H est une matrice densité s'il est borné, auto-adjoint, positif, de classe trace avec tr ρ Ensemble des matrices densité noté Novembre 2007 D(H). Probabilités quantiques = 1. Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Logique quantique standard Logique: Identier Λ = {sous-espaces fermés du Λ 3 M avec projection ΠM . séparable H}. x . Identier tx (dt ). Observables: mesures spectrales, i.e. projections opérateurs auto-adjoints X avec x via États purs: correspondend aux rayons X = R ψ∈H en dénissant Λ 3 M 7→ pψ (M ) ≡ h ψ | ΠM ψ i = kΠM ψk2 . Dénition: Un opérateur ρ sur H est une matrice densité s'il est borné, auto-adjoint, positif, de classe trace avec tr ρ Ensemble des matrices densité noté Novembre 2007 D(H). Probabilités quantiques = 1. Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Logique quantique standard Logique: Identier Λ = {sous-espaces fermés du Λ 3 M avec projection ΠM . séparable H}. x . Identier tx (dt ). Observables: mesures spectrales, i.e. projections opérateurs auto-adjoints X avec x via États purs: correspondend aux rayons X = R ψ∈H en dénissant Λ 3 M 7→ pψ (M ) ≡ h ψ | ΠM ψ i = kΠM ψk2 . Dénition: Un opérateur ρ sur H est une matrice densité s'il est borné, auto-adjoint, positif, de classe trace avec tr ρ Ensemble des matrices densité noté Novembre 2007 D(H). Probabilités quantiques = 1. Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Logique quantique standard Logique: Identier Λ = {sous-espaces fermés du Λ 3 M avec projection ΠM . séparable H}. x . Identier tx (dt ). Observables: mesures spectrales, i.e. projections opérateurs auto-adjoints X avec x via États purs: correspondend aux rayons X = R ψ∈H en dénissant Λ 3 M 7→ pψ (M ) ≡ h ψ | ΠM ψ i = kΠM ψk2 . Dénition: Un opérateur ρ sur H est une matrice densité s'il est borné, auto-adjoint, positif, de classe trace avec tr ρ Ensemble des matrices densité noté Novembre 2007 D(H). Probabilités quantiques = 1. Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Logique quantique standard Exemple 1: Soit ψ ∈ H. Alors Πψ projecteur sur Cψ est une matrice densité. Exemple 2: P Soit (ψn )n Alors ρ= densité. Dénition: n cn Πψn Soit suite arbitraire de rayons dans avec P n cn = 1, cn ≥ 0 ρ ∈ D(H). Alors H. est une matrice p, déni par Λ 3 M 7→ p (M ) = tr(ρΠM ), est un état, appelé état tracial. Nous avons Novembre 2007 Ep (X ) = tr(ρX ). Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Logique quantique standard Exemple 1: Soit ψ ∈ H. Alors Πψ projecteur sur Cψ est une matrice densité. Exemple 2: P Soit (ψn )n Alors ρ= densité. Dénition: n cn Πψn Soit suite arbitraire de rayons dans avec P n cn = 1, cn ≥ 0 ρ ∈ D(H). Alors H. est une matrice p, déni par Λ 3 M 7→ p (M ) = tr(ρΠM ), est un état, appelé état tracial. Nous avons Novembre 2007 Ep (X ) = tr(ρX ). Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Logique quantique standard Exemple 1: Soit ψ ∈ H. Alors Πψ projecteur sur Cψ est une matrice densité. Exemple 2: P Soit (ψn )n Alors ρ= densité. Dénition: n cn Πψn Soit suite arbitraire de rayons dans avec P n cn = 1, cn ≥ 0 ρ ∈ D(H). Alors H. est une matrice p, déni par Λ 3 M 7→ p (M ) = tr(ρΠM ), est un état, appelé état tracial. Nous avons Novembre 2007 Ep (X ) = tr(ρX ). Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Logique quantique standard Symétries: h U φ | U ψ i = h φ | ψ i, ∀φ, ψ ⇒ UU ∗ = U ∗ U = 1 Automorphisme α ∈ Aut(Λ): α(M ) = UM Induit automorphisme convexe α̃ sur états traciaux par: α̃(p )(M ) = p (α−1 (M )) = tr(ρU ∗ ΠM U ) = tr(U ρU ∗ ΠM ). Se traduit par la transformation réversible ρ 7→ U ρU ∗ sur matrices densité. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Logique quantique standard Symétries: h U φ | U ψ i = h φ | ψ i, ∀φ, ψ ⇒ UU ∗ = U ∗ U = 1 Automorphisme α ∈ Aut(Λ): α(M ) = UM Induit automorphisme convexe α̃ sur états traciaux par: α̃(p )(M ) = p (α−1 (M )) = tr(ρU ∗ ΠM U ) = tr(U ρU ∗ ΠM ). Se traduit par la transformation réversible ρ 7→ U ρU ∗ sur matrices densité. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Logique quantique standard Symétries: h U φ | U ψ i = h φ | ψ i, ∀φ, ψ ⇒ UU ∗ = U ∗ U = 1 Automorphisme α ∈ Aut(Λ): α(M ) = UM Induit automorphisme convexe α̃ sur états traciaux par: α̃(p )(M ) = p (α−1 (M )) = tr(ρU ∗ ΠM U ) = tr(U ρU ∗ ΠM ). Se traduit par la transformation réversible ρ 7→ U ρU ∗ sur matrices densité. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Logique quantique standard Symétries: h U φ | U ψ i = h φ | ψ i, ∀φ, ψ ⇒ UU ∗ = U ∗ U = 1 Automorphisme α ∈ Aut(Λ): α(M ) = UM Induit automorphisme convexe α̃ sur états traciaux par: α̃(p )(M ) = p (α−1 (M )) = tr(ρU ∗ ΠM U ) = tr(U ρU ∗ ΠM ). Se traduit par la transformation réversible ρ 7→ U ρU ∗ sur matrices densité. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Logique quantique standard État après mesure de l'observable Classiquement: X = P j λj Πj : P(·) 7→ P(·|X = λj ), avec ltage X P(·) 7→ P(·|X = λj )P(X = λj ), sans ltrage. j Quantiquement: ρ 7→ ρ 7→ Πj ρΠj , avec ltrage tr(ρΠj ) X Πj ρΠj tr(ρΠj ), (irréversible) sans ltrage. j tr(ρΠj ) Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Logique quantique standard État après mesure de l'observable Classiquement: X = P j λj Πj : P(·) 7→ P(·|X = λj ), avec ltage X P(·) 7→ P(·|X = λj )P(X = λj ), sans ltrage. j Quantiquement: ρ 7→ ρ 7→ Πj ρΠj , avec ltrage tr(ρΠj ) X Πj ρΠj tr(ρΠj ), (irréversible) sans ltrage. j tr(ρΠj ) Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Logique quantique standard État après mesure de l'observable Classiquement: X = P j λj Πj : P(·) 7→ P(·|X = λj ), avec ltage X P(·) 7→ P(·|X = λj )P(X = λj ), sans ltrage. j Quantiquement: ρ 7→ ρ 7→ Πj ρΠj , avec ltrage tr(ρΠj ) X Πj ρΠj tr(ρΠj ), (irréversible) sans ltrage. j tr(ρΠj ) Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Postulats de la description hilbertienne Calcul propositionnel Logique quantique Reformulation des postulats Logique quantique standard Mesures à valeurs oprérateurs positifs Transformation la plus générale MVOP: P Φ : D(H)P 3 ρ 7→ i ∈I Si ρSi∗ , ∗ vériant i ∈ I Si Si ≤ 1 . Connexion avec avec (Si )i isometries partielles C ∗ -algèbre de Cuntz rencontrée en Espaces de décalage non-commutatif Chaînes de Markov topologiques Graphes orientés Ondelettes Pavages ... Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques ∗-algèbres Dénition: Un A×A→A est appelé algèbre. C-espace vectoriel, A, muni d'une opération interne ab = ba; l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1 ae = ea = a. l'algèbre est commuative si Dénition: ∗:A→A ≡ 1A Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération vériant (λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ , (ab)∗ = b∗ a∗ et (a∗ )∗ = a, est dite tel que ∗-algèbre ou involutive. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques ∗-algèbres Dénition: Un A×A→A est appelé algèbre. C-espace vectoriel, A, muni d'une opération interne ab = ba; l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1 ae = ea = a. l'algèbre est commuative si Dénition: ∗:A→A ≡ 1A Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération vériant (λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ , (ab)∗ = b∗ a∗ et (a∗ )∗ = a, est dite tel que ∗-algèbre ou involutive. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques ∗-algèbres Dénition: Un A×A→A est appelé algèbre. C-espace vectoriel, A, muni d'une opération interne ab = ba; l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1 ae = ea = a. l'algèbre est commuative si Dénition: ∗:A→A ≡ 1A Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération vériant (λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ , (ab)∗ = b∗ a∗ et (a∗ )∗ = a, est dite tel que ∗-algèbre ou involutive. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques ∗-algèbres Dénition: Un A×A→A est appelé algèbre. C-espace vectoriel, A, muni d'une opération interne ab = ba; l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1 ae = ea = a. l'algèbre est commuative si Dénition: ∗:A→A ≡ 1A Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération vériant (λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ , (ab)∗ = b∗ a∗ et (a∗ )∗ = a, est dite tel que ∗-algèbre ou involutive. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques ∗-algèbres Dénition: Un A×A→A est appelé algèbre. C-espace vectoriel, A, muni d'une opération interne ab = ba; l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1 ae = ea = a. l'algèbre est commuative si Dénition: ∗:A→A ≡ 1A Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération vériant (λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ , (ab)∗ = b∗ a∗ et (a∗ )∗ = a, est dite tel que ∗-algèbre ou involutive. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques ∗-algèbres Dénition: Un A×A→A est appelé algèbre. C-espace vectoriel, A, muni d'une opération interne ab = ba; l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1 ae = ea = a. l'algèbre est commuative si Dénition: ∗:A→A ≡ 1A Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération vériant (λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ , (ab)∗ = b∗ a∗ et (a∗ )∗ = a, est dite tel que ∗-algèbre ou involutive. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques ∗-algèbres Dénition: Un A×A→A est appelé algèbre. C-espace vectoriel, A, muni d'une opération interne ab = ba; l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1 ae = ea = a. l'algèbre est commuative si Dénition: ∗:A→A ≡ 1A Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération vériant (λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ , (ab)∗ = b∗ a∗ et (a∗ )∗ = a, est dite tel que ∗-algèbre ou involutive. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques ∗-algèbres Dénition: Un A×A→A est appelé algèbre. C-espace vectoriel, A, muni d'une opération interne ab = ba; l'algèbre est unifère s'il existe e ∈ A ≡ 1 ae = ea = a. l'algèbre est commuative si Dénition: ∗:A→A ≡ 1A Une algèbre munie d'une involution, i.e. une opération vériant (λa + µb)∗ = λa∗ + µb∗ , (ab)∗ = b∗ a∗ et (a∗ )∗ = a, est dite tel que ∗-algèbre ou involutive. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques C ∗-algèbres Soit a ∈ A est dit ∗ normal si aa = a a, ∗ isométrique si a a = 1 A , ∗ ∗ unitaire si a a = aa = 1 A , ∗ auto-adjoint si a = a . ∗ positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b . A une ∗-algèbre. ∗ Dénition: B C Une algèbre involutive, normée de Banach est dite ∗ -algèbre. Si en outre elle vérie ∗ -algèbre. Novembre 2007 ka∗ ak = kak2 elle est dite Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques C ∗-algèbres Soit a ∈ A est dit ∗ normal si aa = a a, ∗ isométrique si a a = 1 A , ∗ ∗ unitaire si a a = aa = 1 A , ∗ auto-adjoint si a = a . ∗ positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b . A une ∗-algèbre. ∗ Dénition: B C Une algèbre involutive, normée de Banach est dite ∗ -algèbre. Si en outre elle vérie ∗ -algèbre. Novembre 2007 ka∗ ak = kak2 elle est dite Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques C ∗-algèbres Soit a ∈ A est dit ∗ normal si aa = a a, ∗ isométrique si a a = 1 A , ∗ ∗ unitaire si a a = aa = 1 A , ∗ auto-adjoint si a = a . ∗ positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b . A une ∗-algèbre. ∗ Dénition: B C Une algèbre involutive, normée de Banach est dite ∗ -algèbre. Si en outre elle vérie ∗ -algèbre. Novembre 2007 ka∗ ak = kak2 elle est dite Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques C ∗-algèbres Soit a ∈ A est dit ∗ normal si aa = a a, ∗ isométrique si a a = 1 A , ∗ ∗ unitaire si a a = aa = 1 A , ∗ auto-adjoint si a = a . ∗ positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b . A une ∗-algèbre. ∗ Dénition: B C Une algèbre involutive, normée de Banach est dite ∗ -algèbre. Si en outre elle vérie ∗ -algèbre. Novembre 2007 ka∗ ak = kak2 elle est dite Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques C ∗-algèbres Soit a ∈ A est dit ∗ normal si aa = a a, ∗ isométrique si a a = 1 A , ∗ ∗ unitaire si a a = aa = 1 A , ∗ auto-adjoint si a = a . ∗ positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b . A une ∗-algèbre. ∗ Dénition: B C Une algèbre involutive, normée de Banach est dite ∗ -algèbre. Si en outre elle vérie ∗ -algèbre. Novembre 2007 ka∗ ak = kak2 elle est dite Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques C ∗-algèbres Soit a ∈ A est dit ∗ normal si aa = a a, ∗ isométrique si a a = 1 A , ∗ ∗ unitaire si a a = aa = 1 A , ∗ auto-adjoint si a = a . ∗ positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b . A une ∗-algèbre. ∗ Dénition: B C Une algèbre involutive, normée de Banach est dite ∗ -algèbre. Si en outre elle vérie ∗ -algèbre. Novembre 2007 ka∗ ak = kak2 elle est dite Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques C ∗-algèbres Soit a ∈ A est dit ∗ normal si aa = a a, ∗ isométrique si a a = 1 A , ∗ ∗ unitaire si a a = aa = 1 A , ∗ auto-adjoint si a = a . ∗ positif s'il existe un b ∈ A tel que a = b b . A une ∗-algèbre. ∗ Dénition: B C Une algèbre involutive, normée de Banach est dite ∗ -algèbre. Si en outre elle vérie ∗ -algèbre. Novembre 2007 ka∗ ak = kak2 elle est dite Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Exemples Exemple 1: espace topologique compact de Hausdor, X C (X) = {f : X → C, continue}, C (X) est une C ∗ -algèbre commutative pour f ∗ = f kf k = sup{|f (x )|, x ∈ X}. et Exemple 2: H espace de Hilbert, B(H) = {T : H → H, B(H) est une C t.q. kT k < ∞} ∗ -algèbre non-commutative dès que dim H Novembre 2007 Probabilités quantiques > 1. Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Exemples Exemple 1: espace topologique compact de Hausdor, X C (X) = {f : X → C, continue}, C (X) est une C ∗ -algèbre commutative pour f ∗ = f kf k = sup{|f (x )|, x ∈ X}. et Exemple 2: H espace de Hilbert, B(H) = {T : H → H, B(H) est une C t.q. kT k < ∞} ∗ -algèbre non-commutative dès que dim H Novembre 2007 Probabilités quantiques > 1. Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Exemples Exemple 1: espace topologique compact de Hausdor, X C (X) = {f : X → C, continue}, C (X) est une C ∗ -algèbre commutative pour f ∗ = f kf k = sup{|f (x )|, x ∈ X}. et Exemple 2: H espace de Hilbert, B(H) = {T : H → H, B(H) est une C t.q. kT k < ∞} ∗ -algèbre non-commutative dès que dim H Novembre 2007 Probabilités quantiques > 1. Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Exemples Exemple 1: espace topologique compact de Hausdor, X C (X) = {f : X → C, continue}, C (X) est une C ∗ -algèbre commutative pour f ∗ = f kf k = sup{|f (x )|, x ∈ X}. et Exemple 2: H espace de Hilbert, B(H) = {T : H → H, B(H) est une C t.q. kT k < ∞} ∗ -algèbre non-commutative dès que dim H Novembre 2007 Probabilités quantiques > 1. Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Représentations d'une C ∗ -algèbre Dénition: A une C ∗ -algèbre, H un espace de Hilbert, 1 Un ∗-homomorphisme π : A → B(H) A, notée (π, Hπ ). est appelé représentation de Exemple: (X, X , µ) un espace de probabilité, où X espace topologique compact de Hausdor et A = C (X), H = L2 (X, X , µ). π : A → B(H) dénie par X sa tribu borélienne. Soient π(f )ψ(x ) = f (x )ψ(x ), f ∈ A, ψ ∈ H, x ∈ X, est une représentation. 1 π(ab ) = π(a)π(b ) et π(a∗ ) = π(a)∗ . Novembre 2007 Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques États sur une C ∗ -algèbre Une fonctionnelle linéaire σ : A → C telle que ∀a ∈ A σ(a∗ a) ≥ 0 est appelée état. Si l'algèbre est unifère et σ(1 ) = 1 alors l'état est normalisé (probabilité). Dénition: on ait ∀a ∈ A, ∃b, b0 ∈ Ah : ⇒ ⇒ ⇒ Novembre 2007 a = b + ib0 a∗ = b − ib0 σ(a∗ ) = σ(a) σ(a) ∈ R, ∀a ∈ Ah . Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Théorème de Gelfand-Neumark-Segal (GNS) Proposition: kψk = 1 Si π : A → B(H) une représentation et ψ∈H alors A 3 a 7→ σ(a) ≡ h ψ | π(a)ψ i ∈ C est un état sur A. Théorème (GNS): Tout état s'écrit sous cette forme. Novembre 2007 Probabilités quantiques avec Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Foncteurs covariants et contravariants MP −−−−→ M+ (X0 ) x M P −−−−→ (X0 , X0 ) Cy C (X0 ) ∼ = A0 CP ←−−−− X0 y B(H0 ) M+ (X1 ) x M −−−−→ . . . (X1 , X1 ) Cy −−−−→ . . . C (X1 ) ∼ = A1 ←−−−− . . . X1 y ←−−−− Novembre 2007 B(H1 ) ←−−−− . . . Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Foncteurs covariants et contravariants MP −−−−→ M+ (X0 ) x M P −−−−→ (X0 , X0 ) Cy C (X0 ) ∼ = A0 CP ←−−−− X0 y B(H0 ) M+ (X1 ) x M −−−−→ . . . (X1 , X1 ) Cy −−−−→ . . . C (X1 ) ∼ = A1 ←−−−− . . . X1 y ←−−−− Novembre 2007 B(H1 ) ←−−−− . . . Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Foncteurs covariants et contravariants MP −−−−→ M+ (X0 ) x M P −−−−→ (X0 , X0 ) Cy C (X0 ) ∼ = A0 CP ←−−−− X0 y B(H0 ) M+ (X1 ) x M −−−−→ . . . (X1 , X1 ) Cy −−−−→ . . . C (X1 ) ∼ = A1 ←−−−− . . . X1 y ←−−−− Novembre 2007 B(H1 ) ←−−−− . . . Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Foncteurs covariants et contravariants MP −−−−→ M+ (X0 ) x M P −−−−→ (X0 , X0 ) Cy C (X0 ) ∼ = A0 CP ←−−−− X0 y B(H0 ) M+ (X1 ) x M −−−−→ . . . (X1 , X1 ) Cy −−−−→ . . . C (X1 ) ∼ = A1 ←−−−− . . . X1 y ←−−−− Novembre 2007 B(H1 ) ←−−−− . . . Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Chaîne de Markov classique Hi = L2 (Xi , Xi , µi ), i = 0, 1. ∀a0 ∈ A0 , considérer la représentation X0 : A0 → B(H0 ) R décomposition spectrale X0 = x0 ΠX0 (dx0 ). ∃ψ ∈ H0 , tel que l'état µ sur A0 vérie: µ(a0 ) = h ψ | a0 ◦ X0 ψ i = h ψ | a0 (X0 )ψ i Z = a0 (x0 )h ψ | ΠX0 (dx0 )ψ i. Novembre 2007 Probabilités quantiques et sa Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Chaîne de Markov classique Hi = L2 (Xi , Xi , µi ), i = 0, 1. ∀a0 ∈ A0 , considérer la représentation X0 : A0 → B(H0 ) R décomposition spectrale X0 = x0 ΠX0 (dx0 ). ∃ψ ∈ H0 , tel que l'état µ sur A0 vérie: µ(a0 ) = h ψ | a0 ◦ X0 ψ i = h ψ | a0 (X0 )ψ i Z = a0 (x0 )h ψ | ΠX0 (dx0 )ψ i. Novembre 2007 Probabilités quantiques et sa Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Chaîne de Markov classique Hi = L2 (Xi , Xi , µi ), i = 0, 1. ∀a0 ∈ A0 , considérer la représentation X0 : A0 → B(H0 ) R décomposition spectrale X0 = x0 ΠX0 (dx0 ). ∃ψ ∈ H0 , tel que l'état µ sur A0 vérie: µ(a0 ) = h ψ | a0 ◦ X0 ψ i = h ψ | a0 (X0 )ψ i Z = a0 (x0 )h ψ | ΠX0 (dx0 )ψ i. Novembre 2007 Probabilités quantiques et sa Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Chaîne de Markov classique (suite) H = L2 (X0 × X1 , X0 ⊗ X1 , P). E(a0 ⊗ a1 ) = Z µ(dx0 )a0 (x0 )Pa1 (x0 ) = h ψ | a 1 ◦ X1 a 0 ◦ X0 ψ i = h ψ | (Pa1 )a0 ◦ X0 ψ i Z = Pa1 (x0 )a0 (x0 )h ψ | ΠX0 (dx0 )ψ i. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Chaîne de Markov classique (suite) H = L2 (X0 × X1 , X0 ⊗ X1 , P). E(a0 ⊗ a1 ) = Z µ(dx0 )a0 (x0 )Pa1 (x0 ) = h ψ | a 1 ◦ X1 a 0 ◦ X0 ψ i = h ψ | (Pa1 )a0 ◦ X0 ψ i Z = Pa1 (x0 )a0 (x0 )h ψ | ΠX0 (dx0 )ψ i. Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Produit tensoriel Dénition: Soient V et V0 deux espaces vectoriels. Leur produit tensoriel est un espace vectoriel, noté V ⊗ V0 , et une application bilinéaire notée tels que pour tout espace vectoriel V0 W ⊗ : V × V0 → V ⊗ V0 et toute application bilinéaire β : V × → W, il existe une unique application f : V ⊗ V0 → W vériant: β(v , v 0 ) = f (v ⊗ v 0 ). linéaire (ei ,j , j = 1, 2, . . .) base orthonormale de Hi , i = 1, . . . , n, (e1,j1 ⊗ · · · ⊗ en,jn , j1 = 1, 2, . . . , . . . , jn = 1, 2, . . .) base n orthonormale de ⊗i =1 Hi . Si Novembre 2007 Probabilités quantiques alors Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Opérateurs sur le produit tensoriel Proposition: T ∈ B(H), Ti ∈ B(Hi ) pour i = 1, . . . , n, H = ⊗ni=0 Hi , tel que Si où T ⊗ni=0 ψi On écrit T = ⊗ni=0 Ti ψi , ∀ψi ∈ Hi , Soit T T1 ∈ T(H1 ) tel que ∈ T(H1 ⊗ H2 ). Il existe un unique opérateur T1 X ) = tr(TX ⊗ 1 2 ), ∀X tr( T i = 1, . . . , n . = ⊗ni=0 Ti . Proposition: Si il existe un unique est une matrice densité, alors Novembre 2007 ∈ B(H1 ). T1 l'est aussi. Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Espérance conditionnelle Hi , i = 1, 2 et H = H1 ⊗ H2 . Pour tout opérateur ρ ∈ T(H2 ), il existe une unique application linéaire Eρ : B(H) → B(H1 ), ériant: h ψ | Eρ (X )ψ 0 i = tr X (| ψ 0 ih ψ | ⊗ ρ) , ∀ψ, ψ 0 ∈ H1 , X ∈ B(H), Proposition: 1 Soient kEρ (X )k ≤ kρk1 kX k. ρ est un état, alors Eρ est l'espérance conditionnelle de B(H) sur B(H1 ). Elle vérie: Eρ (1 ) = 1 , Eρ (X ∗ ) = (Eρ (X ))∗ , kEρ (X )k ≤ kX k. Eρ ((A ⊗ 1 2 )X (B ⊗ 1 2 )) = AEρ (X )B , ∀ A, B ∈ B(H1 ), X ∈ B(H). P ∗ ∗ 1≤i ,j ≤k Yi Eρ (Xi Xj )Yj ≥ 0, ∀Xi ∈ B(H), Yi ∈ B(H1 ). Propriété de complète positivité. En particulier: X ≥ 0 ⇒ Eρ (X ) ≥ 0. où 2 Si Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Filtrations quantiques Proposition: Soit (Hn )n≥0 une famille d'espaces de Hilbert. Noter: Hn] = H0 ⊗ · · · ⊗ Hn , n = 1, 2, . . . et H[n+1 = Hn+1 ⊗ Hn+2 ⊗ · · · , n = 1, 2, . . . . On dénit la ltration du passé: la suite croissante de ∗-algèbres Bn] = {X ⊗ 1 [n+1 , X ∈ B(Hn] )} et la tribu du présent: Bn = B(Hn] ) et B∞ = limn→∞ Bn . Il existe une unique famille d'applications linéaires En] : B∞ → Bn] vériant pour X ∈ B∞ : Novembre 2007 Probabilités quantiques Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Filtrations quantiques (suite) En] 1 [0 = 1 n] , En] (AXB ) = AEn] (X )B , si pour A, B ∈ Bn] , m ≤ n alors, Em] En] = En] Em] = Em] . Xn ∈ B∞ est adaptée à la ltration (Bn] )n si Xn ∈ Bn] pour tout n . une martingale si En−1] (Xn ) = Xn−1 pour tout n ≥ 1. Dénition: Une suite (Xn )n avec Novembre 2007 Probabilités quantiques C ∗ -algèbres Probabilités classiques Mécanique quantique Probabilités quantiques Chaînes de Markov classiques Lien avec formalisme hilbertien Espérance conditionnelle Chaînes de Markov quantiques Chaînes de Markov quantiques Soient H et B = B(H) introduit, pour tout la tribu des observables bornées sur n, la famille de ∗-homomorphismes H. On jn : B → 1 n−1] ⊗ B ⊗ 1 [n+1 Une application bilinéaire E :B⊗B→B est une espérance conditionnelle si elle est complètement positive et préserve σ sur ⊗n∈N B B tel que: l'identité. Un état état initial µ sur est dit markovien s'il existe un σ(j0 (a0 ) · · · jn (an )) = µ(E(a0 ⊗E(a1 ⊗· · ·⊗E(an−1 ⊗E(an ⊗ 1 )) · · · ). La famille d'homomorphismes (jn ) est appelée chaîne de Markov quantique. Novembre 2007 Probabilités quantiques