Cinématique

Cinématique
But :
La manipulation consiste à étudier le mouvement d’un solide à partir d’un film vidéo, en
relevant image par image la position de son centre d’inertie. On peut ainsi remonter à l’évolution
temporelle des coordonnées de ce point, calculer sa vitesse et son accélération instantanées et
comparer ces résultats expérimentaux à la théorie.
(Pour des raisons de temps, vous travaillerez directement sur des fichiers vidéo sans avoir à filmer
vous-même les mouvements à étudier).
I - PRESENTATION DE LA TECHNIQUE.
Les mouvements étudiés ont été filmés avec un caméscope numérique grand public ayant des
vitesses d’obturation assez élevées (temps d’enregistrement d’une image de quelques ms) pour limiter
les effets de flou. Sur ce type d’appareil, la fréquence d’enregistrement des images est fixe : 25 images
par seconde, soit 40 ms entre deux images. Comme le rappelle le schéma ci-dessous, l’objectif de la
caméra donne une image A’B’ d’un objet AB situé à une distance OA. La taille de l’image est
directement proportionnelle à celle de l’objet (définition du grandissement transversal, voir cours
d’optique). On pourra ainsi facilement remonter aux coordonnées cartésiennes d’un point objet B, en
déterminant les coordonnées de son point image conjugué B’ sur chaque image enregistrée.
B
Objectif
caméra
Grandissement transversal :
γ
y
A’
A
O
y’
B’
plan objet
(plan du mouvement)
plan image
(capteur CCD)
Mécanique TP2
= A’B’ / AB = y’/y = OA’ / OA
Coordonnée du point objet B :
y = y’ /
γ
Figure 1
1
On voit également que par cette méthode, on se limitera à des mouvements à 2 dimensions dans un
plan perpendiculaire à l’axe optique de la caméra (pour rester à grandissement constant).
a- Détermination du grandissement transversal γ et des coordonnées d’un point objet :
Chaque image est composée d’un réseau de 704x576 pixels. La position d’un point image B’ sera
donnée par ses coordonnées (x’,y’) dans un repère cartésien plan muni d’une origine et de deux axes
perpendiculaires Ox (horizontal) et Oy (vertical). x’ et y’ seront exprimées en nombre de pixels. Les
coordonnées cartésiennes du point objet B conjugué de B’ seront données par :
x = x’/ γ et y = y’ / γ
x et y seront directement exprimés en mètres, à condition d’exprimer le grandissement γ en nombre
de pixels par mètre.
Ce grandissement sera déterminé à partir d’une distance étalon (de dimension connue) dans l’une des
deux directions Ox ou Oy (même grandissement, en raison de la symétrie de révolution de l’objectif
de la caméra). Soit ∆Y’ét. = (Y’2 -Y’1) la dimension de cette distance étalon en nombre de pixels sur
l’image (dans la direction Oy par exemple) et ∆Yét. sa dimension réelle en mètres. Le grandissement
transversal est donc donné par le rapport,
γ = ∆Y’ét./∆Yét (en nombre de pixels par mètre).
b- Précautions à prendre pour filmer le mouvement étudié :
-
Le grandissement transversal dépend de la distance plan objet-objectif (voir figure 1).
L’objet étalon doit donc être placé dans le plan du mouvement.
Pour la même raison, le plan du mouvement doit être perpendiculaire à l’axe optique de la
caméra (sinon le grandissement dépendra de la position de l’objet).
II- TRAITEMENT INFORMATIQUE DES FICHIERS VIDEO :
Le traitement informatique des fichiers vidéo se fera à l’aide du logiciel LatisPro qui permet de lire un
fichier vidéo image par image. A la première image, on définit un repère cartésien et la dimension de
la distance étalon. Puis on repère sur chaque image la position de l’objet étudié à l’aide de la souris.
Après avoir lu toutes les images de la séquence vidéo, le logiciel fournit un tableau à 3
colonnes donnant directement les coordonnées cartésiennes calculées (x,y) du point objet suivi et le
temps écoulé pour chaque point (à raison de 40 ms entre 2 points).
Mécanique TP2
2
A partir de ce tableau, on pourra calculer les coordonnées (vx, vy) du vecteur vitesse. Et on comparera
ces résultats expérimentaux à la théorie en simulant l’évolution temporelle de chacune de ces
coordonnées à l’aide de fonctions linéaires ou polynomiales que vous aurez préalablement
redémontrées.
III- ETUDE DE DIFFERENTS TYPES DE MOUVEMENT :
Nous allons étudier le mouvement d’une boule de pétanque dans le champ de pesanteur, en utilisant
deux conditions initiales différentes :
• sans vitesse initiale (chute libre _ mouvement rectiligne accéléré)
• avec vitesse initiale (mouvement parabolique).
III-1 Mouvement rectiligne accéléré dans le champ de pesanteur.
a- Traitement du fichier vidéo.
•
Allumer votre PC et ouvrir le logiciel « LatisPro » par un double clic sur son icône visible
dans le bureau de Windows (pour l’utilisation de LatisPro, vous disposez d’une notice en
annexe à la fin de votre polycopié, et vous en trouverez également un exemplaire en salle de
TP, à laisser sur place).
•
Faire l’acquisition image par image du fichier : cinématique 1.avi.
La distance étalon sera prise entre les deux marques noires sur la porte jaune en arrière plan
(elle mesure 1.90 m).
( suivre les instructions de la notice LatisPro « §1) lecture d’un fichier vidéo» )
Les coordonnées relevées, sont automatiquement sauvegardées dans les variables Mouvement
X et Mouvement Y auxquelles LatisPro affecte une abscisse « Temps » (40ms entre 2 images).
Ces variables sont disponibles dans la Liste des Courbes en cliquant sur le bouton
correspondant en haut à gauche dans la fenêtre principale.
•
(notice §2)
Editer les coordonnées dans le tableur :
Editer les variables « mouvement X », « mouvement Y » et « Temps » dans trois colonnes
distinctes du tableur (voir notice LatisPro § 3).
Vous pouvez vérifier que la variable Temps a bien été incrémentée de 40ms entre deux images
(prise de vues à 25 images/seconde) et que l’altitude Y de la balle diminue au cours du temps.
En revanche, vous pouvez également remarquer une légère dérive de la variable X (environ
Mécanique TP2
3
1cm sur un trajet Y de 2m). Cet artéfact est simplement introduit par un léger désalignement de
l’axe vertical de la camera par rapport à la verticale du lieu (environ 0.3°).
•
Renommer les variables dans la liste des courbes et changer leur style d’affichage :
Dans la liste des courbes > double clic sur la variable « Mouvement Y » :
Dans le champ « nom de l’ordonnée », remplacer « Mouvement Y » par « Y ».
Cliquer sur « style » et choisir les croix non reliées (la ligne continue sera réservée aux courbes
de modélisation). Vous pouvez éventuellement changer la couleur des symboles.
Faire de même pour la variable « Mouvement X ».
•
Visualiser la courbe y=f(t) sur la fenêtre n° 1 :
(voir la notice §4).
b- Détermination des coordonnées du vecteur vitesse.
Dans le repère (O,x,y) qui a été défini lors de l’acquisition, le vecteur vitesse s’écrit :
dOM
v=
= vx u x + vy u y
dt
où M est un point fixe de l’objet suivi.
Le mouvement étant rectiligne le long de l’axe Oy, le vecteur vitesse a donc une seule composante :
dy
vx = 0 et vy =
où la composante vy à un instant t représente en fait la dérivée
dt
de la fonction y = f(t) à cet instant t.
• Observer la courbe y = f(t) et décrire qualitativement l’évolution temporelle de la vitesse le long de
l’axe Oy, vy = f(t).
Donner le signe de vy et sa signification.
Préciser comment varie la valeur absolue de vy au cours du temps
Mécanique TP2
4
Calcul de vy :
On peut calculer vy en faisant l’approximation suivante :
vy (t) =
y −y
dy
∆y
≈
= n +1 n −1
dt
∆t
t n +1 − t n −1
Où vy représente alors la vitesse moyenne (et non plus instantanée) du nième point sur l’intervalle de
temps ∆t = tn+1-tn-1. Pour que cette approximation soit raisonnable il faut donc que ∆t soit le plus petit
possible (dans notre cas ∆t = 2x40 = 80 ms).
• Calculer vy dans la feuille de calcul de LatisPro (voir notice §5) calcul de dérivée).
• Vérification des calculs dans le tableur :
Cliquer sur l’onglet « tableur » en bas d’écran. Dans la liste des courbes, pointer la variable Vy et
la glisser dans une colonne du tableur.
Vérifier que la valeur de Vy calculée à la 4ième ligne par exemple est bien en accord avec la relation
suivante :
Vitesse au nième point : Vy(n) = [ Y(n+1) - Y(n-1) ] / [ Temps(n+1) – Temps(n-1) ].
•
Ouvrir une nouvelle fenêtre graphique (fenêtre n°2) et visualiser la courbe vy = f(t).
(voir notice §4),
on utilisera les symboles « + » non reliés entre eux pour tracer la courbe
(notice §4-e) changer de style).
L’évolution de vy en fonction du temps est-elle en accord avec l’analyse que vous en avez faite au
paragraphe précédent ?
(si ce n’est pas le cas, demander des explications à un enseignant).
Décrire plus précisément cette courbe :
(type de fonction et vitesse initiale)
c- Détermination des coordonnées du vecteur accélération.
dv y
Le vecteur accélération est défini de la manière suivante : a = dv =
uy
dt
dt
L’accélération ay à un instant t le long de l’axe Oy représente donc la dérivée de la courbe vy = f(t) à
cet instant.
A partir de la courbe vy = f(t), décrire qualitativement l’évolution de l’accélération ay au cours du
temps.
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Calcul de ay :
On peut calculer ay en faisant l’approximation suivante :
v [n +1]− v y[n −1]
ay (t) = dvy ≈ ∆vy = y
dt
∆t
t n +1 − t n −1
Où ay représente l’accélération moyenne du nième point sur l’intervalle de temps ∆t = tn+1-tn-1.
• Calculer ay dans la feuille de calcul de LatisPro (notice §5).
Attention : Ne pas effacer l’expression Vy=deriv(Y), écrite précédemment, passer à la ligne en
tapant « entrée ».
Puis écrire, Ay=deriv(Vy) et taper F2 pour exécuter le calcul.
Dans la liste des courbes, pointer la variable Ay et la glisser dans le tableur pour contrôler les
valeurs.
Vous pouvez constater que l’accélération ay est bien quasi constante comme le suggérait la courbe
vy(t) mais la dispersion des points autour de la valeur moyenne est relativement importante.
En effet, la courbe ay(t) représente la dérivée de vy(t). Elle va donc mettre en évidence le moindre
changement de pente de la courbe vy(t). Si vy(t) présente déjà une petite dispersion de ses points, cette
dispersion sera alors amplifiée sur la courbe ay(t). Avec des algorithmes spécifiques, on peut atténuer
cet effet en lissant au préalable la courbe vy(t) avant d’en faire la dérivée. Mais nous n’aborderons pas
ces techniques en première année, et nous limiterons le dépouillement expérimental des vidéos à
l’évolution temporelle des coordonnées des vecteurs position et vitesse. Et la modélisation de ces
courbes nous permettra de valider le modèle d’accélération prévu par la théorie.
e- Etude théorique :
La boule de pétanque est lâchée depuis une hauteur yo. Et on repère son
centre de gravité par le point M.
Figure 3 :
y
- Bilan des forces : * on néglige les forces de frottement
* le poids P = m. g
M
yo
vo
( g : champ de pesanteur de module g = 9,81m.s-2 )
P
P = m. a
- Principe fondamental de la dynamique :
- Projection dans le repère (O,x,y,z) :
sur Ox :
0 = m.ax
sur Oy : -m.g = m.ay
sur Oz :
O
z
xo
x
0 = m.az
Mécanique TP2
6
L’ objet subit donc une accélération constante ayant pour vecteur : a (0, -g, 0).
- Détermination des coordonnées des vecteurs vitesse v et position OM :
On prendra les conditions initiales imposées par le fichier vidéo.
Comme les images sont enregistrées toutes les 40ms, l’instant initiale du mouvement étudié ne
correspondra jamais exactement à l’instant du lâché mais à un très court instant après.
A t=O , on prendra donc en compte une vitesse initiale de vecteur vo (0, voy, 0) (voir figure 3) et une
position initiale de vecteur OMo (xo,yo,0).
Par intégrations successives, déterminer les coordonnées des vecteurs vitesse v puis position OM :
(définir les constantes d’intégration)
vx (t) =
ax = 0
a
ay = -g
az = 0
v
vy (t) =
x (t) =
OM
vz (t) =
y (t) =
z (t) =
f- Comparaison expérience et théorie.
Pour valider une théorie ou plus simplement dans notre cas, pour déterminer une constante
fondamentale telle que g intervenant dans l’expression mathématique de y(t) ou vy(t), on est amené à
modéliser nos résultats expérimentaux. La procédure est la suivante :
On commence par préciser le type de fonction mathématique à laquelle obéit la grandeur à
modéliser (linéaire, polynomiale, exponentielle etc…). On introduit ensuite une valeur très
approximative pour chacune des constantes utilisées dans la fonction. Le logiciel simule la courbe
théorique (il la calcule avec les valeurs des constantes introduites) et la compare à la courbe
expérimentale en déterminant l'écart quadratique moyen (ou moyenne du carré des écarts entre points
calculés et expérimentaux). Un algorithme d’ajustement se charge alors de modifier la valeur des
constantes de manière à minimiser l'écart quadratique moyen, autrement dit de manière à ce que la
courbe calculée à partir du modèle mathématique passe au plus prés des points expérimentaux.
Modélisation de la courbe vy = f(t) :
•
Suivre la procédure de la notice §6) Modélisation, en entrant le modèle déterminé au paragraphe
précédent pour la fonction vy(t).
•
Imprimer la courbe expérimentale avec son modèle et les constantes optimisées (notice § 6-c et
§7).
Mécanique TP2
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•
Identifier les constantes apparaissant dans le modèle mathématique utilisé :
g = ……………
•
voy = ……………….
( ne pas oublier les unités )
La valeur de la constante g (champ de pesanteur) est-elle en accord avec sa valeur théorique.
Ecart relatif par rapport à la valeur théorique :
g − g théo
= ……….%
g théo
Modélisation de la courbe y = f(t) :
•
•
•
Suivre la procédure de la notice (§6) Modélisation).
Imprimer la courbe expérimentale avec son modèle et les constantes optimisées (notice § 6-c et
§7).
Identifier les constantes apparaissant dans le modèle mathématique utilisé :
g = ……………
voy = ………….
yo = …………
Vérifier que les valeurs de g et de voy sont en accord avec celles obtenues précédemment.
g- Enregistrer votre dépouillement.
Avant de traiter le second fichier vidéo, vous pouvez enregistrer votre fichier LatisPro puis
réinitialiser LatisPro.
Barre horizontale de menu en haut de l’écran :
Cliquer sur « Fichier > enregistrer sous » : entrer le nom de votre fichier dans le répertoire courant.
Puis : cliquer sur « Fichier > nouveau ».
III-2 Mouvement parabolique dans le champ de pesanteur
a- Traitement du fichier vidéo.
•
Faire l’acquisition image par image du fichier : cinématique 2.avi.
Prendre l’origine du repère en bas à droite de la fenêtre vidéo.
La distance étalon est la même que sur l’enregistrement précédent (1.90 m).
Mécanique TP2
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•
Pour simplifier, remplacer le nom des variables « Mouvement X » et « Mouvement Y » par
« X » et « Y » (dans la liste des courbes, double clic sur le nom de chaque variable).
•
Visualiser les courbes x=f(t) et y=f(t) sur une même fenêtre.
Décrire qualitativement l’évolution temporelle de x et y.
En déduire l’évolution temporelle de la vitesse le long de la direction Ox.
b- Détermination des coordonnées du vecteur vitesse.
Dans le repère (O,x,y) qui a été défini lors de l’acquisition : v =
d OM
= vx u x + v y u y
dt
dy
et vx= dx ≠ 0
dt
dt
Cette fois, le mouvement est à deux dimensions. La vitesse le long de l’axe Ox est non nulle.
avec
vy=
• Calculer vx et vy dans la feuille de calcul :
Vx=deriv(X)
Vy=deriv(Y)
(taper F2 pour exécuter ce calcul)
•
Visualiser les 2 courbes vx=f(t) et vy=f(t) sur une même fenêtre.
Décrire qualitativement l’évolution temporelle de ces 2 vitesses. (type de fonction)
En déduire l’évolution temporelle de l’accélération le long des directions Ox et Oy.
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y
vo
c- Etude théorique :
M
α
yo
Reprendre l’étude effectuée pour le mouvement précédent,
en considérant cette fois-ci une vitesse initiale de vecteur
P
vo (vox , voy, 0) présentant un angle α par rapport à
l’horizontal (figure ci-contre).
Figure 4 :
O
z
xo
x
Déterminer les coordonnées des vecteurs accélération a , vitesse v et position OM :
d- Comparaison expérience et théorie.
Modélisation des courbes vx=f(t) et vy = f(t) :
•
•
•
Reprendre la procédure de modélisation (notice §6) pour chacune des deux courbes.
Les 2 courbes et leur modèle seront tracés sur un même graphe.
Imprimer votre graphe avec les modèles utilisés et les constantes optimisées.
Donner les valeurs des constantes suivantes avec leur unité :
g = …………
vox = ………………
voy = ………………..
Mécanique TP2
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•
En déduire les caractéristiques du vecteur vitesse vo à l’instant initial (au moment du lâché).
vo = ………….
Inclinaison α de vo par rapport à l’horizontale (figure 4) :
Modélisation des courbes x= f(t) et y = f(t) :
•
•
•
Reprendre la procédure de modélisation (notice §6) pour chacune des deux courbes.
Les 2 courbes et leur modèle seront tracés sur un même graphe
Imprimer votre graphe avec les modèles utilisés et les paramètres optimisés.
Donner les valeurs des constantes suivantes :
g = …………
vox = ………………
voy = ………………..
xo = ………………
yo = ………………..
Vérifier que ces valeurs sont bien en accord avec les valeurs obtenues précédemment.
Remarque : sur ce deuxième fichier vidéo, vous obtenez une valeur de g systématiquement supérieure
à la valeur théorique (d’environ +5%). Cette erreur est introduite par une approximation sur la
détermination du grandissement transversal γ (voir pages 1 et 2). Réexaminer attentivement les 2
vidéos, en particulier le plan dans lequel se déroule le mouvement de la balle et le plan dans lequel se
trouve la distance étalon.
Sur la première vidéo, ces deux plans sont quasiment confondus (la main de l’opérateur est très
près de la porte). Le grandissement γcal calculé pour un objet E dans le plan de la distance étalon est
identique au grandissement réel γréel pour un objet A dans le plan du mouvement. Soient E’ et A’ leur
image respective dans le plan du capteur CCD de la caméra et O la position de l’objectif (voir figure 1
page1).
( γcal = OE’/OE ) = ( γréel = OA’/OA )
Sur la deuxième vidéo, le plan du mouvement n’est plus confondu avec celui de la distance
étalon. Il est plus près de la camera.
Le grandissement γcal est-il égal, supérieur ou inférieur à γréel ? justifier.
Quelle conséquence sur la valeur de l’accélération ay ?
Mécanique TP2
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Etude énergétique du mouvement.
On définit les grandeurs suivantes :
L’énergie cinétique de l’objet :
Ec(i) = ½ mVi2
m : masse de l’objet (203g),
Vi : module de sa vitesse de passage au point i.
L’énergie potentielle de l’objet :
Ep(i) = mghi + C
g : champ de pesanteur
hi : altitude à laquelle se trouve l’objet au point i
C : constante arbitraire (on prendra C = 0).
L’énergie mécanique totale de l’objet :
•
Em = Ec + Ep
Dans la feuille de calcul, calculer pour chaque point l’énergie cinétique Ec, l’énergie potentielle Ep
et l’énergie mécanique totale Em de la boule de pétanque.
A la suite des calculs précédents écrire :
m = 0.203
Ec = 0.5*m*(Vx^2 + Vy^2)
Ep = m*9.81*Y
Em = Ec + Ep
(puis taper F2 pour exécuter ces calculs)
•
Visualiser les 3 courbes Ec=f(t), Ep=f(t) et Em=f(t) sur une même fenêtre, et imprimer ce graphe.
Commenter ce graphe.
Que peut-on dire de l’évolution de l’énergie mécanique totale au cours du mouvement ?
Gardez en mémoire ce résultat expérimental qui vous sera démontré en cours (propriétés des forces
conservatives telles que le poids)
Remarque : à la fin de ce premier TP utilisant LatisPro pour dépouiller l’enregistrement vidéo d’un
mouvement, vous devez maîtriser les points suivants :
L’acquisition de la trajectoire d’un mobile, le calcul des coordonnées de son vecteur vitesse, le tracé
des courbes en fonction du temps et leur modélisation.
Tous ces outils vous seront utiles pour le TP sur les forces de frottement, utilisant également des
enregistrements vidéo.
Mécanique TP2
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