Collège Jean-Baptiste Clément

Collège Jean-Baptiste Clément
5-7, rue Albert Chardavoine
93440 DUGNY
réalisés par M. LENZEN. Également disponibles en consultation sur son site internet
http://www.capes-de-maths.com/
01.43.11.11.40
Ce document est sous
contrat Creative Commons.
01.48.37.46.59
Afin de contribuer au respect de l’environnement,
merci de n’imprimer ce manuel que si nécessaire.
[email protected]
page 2
Le manuel utilisé dans ce cours est le Phare 5ème, programme 2006 (pas la dernière édition !), chez
Hachette Éducation :
Sommaire
SOMMAIRE ...................................................................................................................................................................... 3
CHAPITRE N° 1 : ENCHAÎNEMENT D’OPÉRATIONS ........................................................................................................... 5
I – DÉFINITIONS........................................................................................................................................................................ 5
II – CALCULS SANS PARENTHÈSES ................................................................................................................................................. 5
III – CALCULS AVEC PARENTHÈSES ................................................................................................................................................ 6
IV – CALCULS AVEC UN QUOTIENT................................................................................................................................................ 6
CHAPITRE N° 2 : TRIANGLES ............................................................................................................................................. 7
I – CONSTRUCTIONS D’UN TRIANGLE............................................................................................................................................. 7
II – SOMME DES ANGLES D’UN TRIANGLE ....................................................................................................................................... 7
CHAPITRE N° 3 : ÉCRITURE FRACTIONNAIRE (BASES) ....................................................................................................... 9
I – QUOTIENT .......................................................................................................................................................................... 9
II – COMPARAISON À 1 .............................................................................................................................................................. 9
III – DIVISEURS ET MULTIPLES...................................................................................................................................................... 9
IV – RÈGLE D’OR DES QUOTIENTS (À CONNAÎTRE PAR CŒUR !!!) .............................................................................................. 10
CHAPITRE N° 4 : EXPRESSION LITTÉRALE........................................................................................................................ 11
I – DÉFINITIONS...................................................................................................................................................................... 11
II – NOTATIONS ET SIMPLIFICATION D’ÉCRITURE ............................................................................................................................ 11
III – NOTION D’ÉGALITÉ ........................................................................................................................................................... 12
CHAPITRE N° 4B : DROITES REMARQUABLES ................................................................................................................. 13
I – INÉGALITÉ TRIANGULAIRE ..................................................................................................................................................... 13
II – ZOOM SUR LA MÉDIATRICE .................................................................................................................................................. 13
III – DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE ............................................................................................................................. 14
CHAPITRE N° 5 : NOMBRES RELATIFS (BASES) ................................................................................................................ 15
I – DÉFINITIONS...................................................................................................................................................................... 15
II – REPÉRAGE ET DROITE GRADUÉE ............................................................................................................................................ 15
III – REPÉRAGE DANS LE PLAN ................................................................................................................................................... 16
CHAPITRE N° 6 : NOTIONS D’AIRE .................................................................................................................................. 19
I – AIRES ............................................................................................................................................................................... 19
II – PRISME DROIT & CYLINDRE : AIRES ........................................................................................................................................ 19
CHAPITRE N° 7 : NOMBRES RELATIFS (CALCULS) ............................................................................................................ 21
I – SOMME ............................................................................................................................................................................ 21
II – DIFFÉRENCE ..................................................................................................................................................................... 21
III – CALCULS PLUS COMPLIQUÉS ............................................................................................................................................... 22
CHAPITRE N° 8 : PRISME & CYLINDRE ............................................................................................................................ 23
I – PRISME DROIT ................................................................................................................................................................... 23
II – CYLINDRE DE RÉVOLUTION................................................................................................................................................... 24
III – VOIR DANS L’ESPACE ......................................................................................................................................................... 24
IV – VOLUME D’UN SOLIDE ....................................................................................................................................................... 25
I – ADDITION & SOUSTRACTION................................................................................................................................................. 27
II – MULTIPLICATION & DIVISION ............................................................................................................................................... 27
III – ÉGALITÉS DE QUOTIENTS .................................................................................................................................................... 28
page 3
CHAPITRE N° 9 : ÉCRITURE FRACTIONNAIRE (CALCULS) ................................................................................................. 27
CHAPITRE N° 10 : CALCUL LITTÉRAL ............................................................................................................................... 31
I – DÉVELOPPEMENT ............................................................................................................................................................... 31
II – FACTORISATION (= METTRE EN FACTEUR) ............................................................................................................................... 31
CHAPITRE N° 11 : PROPORTIONNALITÉ .......................................................................................................................... 33
I – GRANDEURS PROPORTIONNELLES .......................................................................................................................................... 33
II – CALCUL D’UN POURCENTAGE ............................................................................................................................................... 34
III – REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES .......................................................................................................................................... 34
CHAPITRE N° 12 : REPRÉSENTATIONS DE DONNÉES ....................................................................................................... 37
I – VOCABULAIRE .................................................................................................................................................................... 37
II – REPRÉSENTATIONS............................................................................................................................................................. 37
III – RÉPARTITION EN CLASSES (QUAND LE CARACTÈRE CONTIENT TROP DE VALEURS) ............................................................................ 39
CHAPITRE N° 13 : DURÉES & CONVERSIONS .................................................................................................................. 41
I – DURÉES ............................................................................................................................................................................ 41
II – CONVERSIONS .................................................................................................................................................................. 41
CHAPITRE N° 14 : SYMÉTRIE CENTRALE (A-B) ................................................................................................................. 43
RAPPELS SUR LA SYMÉTRIE AXIALE .............................................................................................................................................. 43
I – DÉFINITIONS...................................................................................................................................................................... 43
II – SYMÉTRIQUES D’OBJETS MATHÉMATIQUES ............................................................................................................................. 44
III – CENTRE DE SYMÉTRIE ........................................................................................................................................................ 45
CHAPITRE N° 15 : FIGURES USUELLES (A-B) .................................................................................................................... 47
I – ÉLÉMENTS DE SYMÉTRIE ....................................................................................................................................................... 47
II – LE RECTANGLE .................................................................................................................................................................. 47
III – LE LOSANGE .................................................................................................................................................................... 48
IV – LE CARRÉ ET SYNTHÈSE ...................................................................................................................................................... 48
CHAPITRE N° 16 : PÉRIMÈTRE (A-B) ............................................................................................................................... 49
I - PÉRIMÈTRES ....................................................................................................................................................................... 49
II – TABLEAUX DE SYNTHÈSE ...................................................................................................................................................... 49
CHAPITRE N° 17 : PARALLÉLOGRAMME (A-B) ................................................................................................................ 51
I – DÉFINITION ....................................................................................................................................................................... 51
II – SYMÉTRIE ........................................................................................................................................................................ 51
III – PROPRIÉTÉS..................................................................................................................................................................... 51
CHAPITRE N° 18 : ANGLES (A-B) ..................................................................................................................................... 53
page 4
I – VOCABULAIRE IMPORTANT ................................................................................................................................................... 53
II – PROPRIÉTÉS (PLUS AU PROGRAMME)..................................................................................................................................... 54
Chapitre n° 1 :
Enchaînement d’opérations
I – Définitions
Définitions
 La somme de deux nombres se note par exemple 3 + 4 ou 4 + 3.
 La différence des deux nombres 8 et 2 se note uniquement 8 – 2 (pas 2 – 8 !).
 Les nombres utilisés dans une addition ou une soustraction s’appellent des termes.
Exemples : * 2 + 8 est la somme des nombres 2 et 8. Ces nombres 2 et 8 sont les termes de la somme.
* La différence des nombres 6,2 et 4,1 est 2,1. Les termes de cette différence sont 6,2 et 4,1.
Définitions
 Le produit de deux nombres se note par exemple 5  9 ou 9  5.
 Le quotient des deux nombres 3 et 2 se note 3  2 ou 3/2 (on ne peut pas diviser par 0).
 Les nombres utilisés dans une multiplication s’appellent des facteurs.
Exemples :
* 2  8 est le produit des nombres 2 et 8. Ces nombres sont les facteurs du produit.
* 7  4 est le quotient de 7 par 4. Son résultat est 1,75, qui se note aussi 7.
4
Interrogation orale :
23 p. 20
En classe :
47, 48, 49 p. 22
Exercices :
50, 51, 52 p. 22
II – Calculs sans parenthèses
1. Additions et soustractions
Propriété
On calcule de gauche à droite une expression où ne figurent que des « + » et des « – ».
Exemple : 3 – 2 + 4 – 1 = 1 + 4 – 1 = 5 – 1 = 4. On a effectué le calcul de gauche à droite.
Interrogation orale :
13, 14 p. 20
En classe :
25 p. 20
Exercices :
26 p. 20
2. Multiplications et divisions
Propriété
On calcule de gauche à droite une expression où ne figurent que des «  » et des «  ».
Interrogation orale :
15, 16 p. 20
En classe :
27 p. 20
Exercices :
28 p. 20
page 5
Exemple : 12  2  3  9 = 6  3  9 = 18  9 = 2. On a effectué le calcul de gauche à droite.
3. Priorités
Propriété
Dans des calculs avec les quatre opérations, les multiplications et divisions sont
PRIORITAIRES sur les additions et les soustractions. On les calcule donc AVANT.
Exemple : 3  4 + 6  2 = 12 + 3 = 15 et surtout pas 3  4 + 6  2 = 12 + 6  2 = 18  2 = 9.
Interrogation orale :
18, 24 p. 20
En classe :
39 p. 21
Exercices :
1, 2 p. 19
III – Calculs avec parenthèses
Propriétés


On calcule une expression avec parenthèses en calculant d’abord ce qui se trouve
entre les parenthèses. L’ordre des priorités est donc : parenthèses –
multiplication et division – additions et soustractions.
Lorsqu’il y a plusieurs paires de parenthèses, on commence par les plus
intérieures.
* 3  (4 + 5) = 3  9 = 27
* 18  [(1 + 2)  3] = 18  (3  3) = 18  9 = 2
Exemples :
Interrogation orale :
20, 21, 22 p. 20
En classe :
6, 9 p. 19 / 29 p. 20
* (8 – 5)  (1 + 3) = 3  4 = 12
Exercices :
31, 38, 39 p. 21
IV – Calculs avec un quotient
Propriété
Pour calculer un quotient (division), il faut mettre numérateur et dénominateur
entre parenthèses.
Exemples :
Remarque
* 12 + 3 : que calcule-t-on d’abord ?
5
15
*
: que calcule-t-on d’abord ??
10
5
La calculatrice ne sait que calculer en ligne : il est donc impératif de mettre des parenthèses. Par contre, elle
sait gérer les priorités : elle sait que l’ordre des priorités est : parenthèses – multiplications et divisions –
additions et soustractions.
Interrogation orale :
17, 19 p. 20
page 6
12 + 3 = (12 + 3) 5 = 15  5 = 3.
5
15 = 15  (10  5) = 15  2 = 7,5.
10
5
En classe :
4, 5 p. 19
Exercices :
33, 34, 35, 36 p. 21
Chapitre n° 2 :
Triangles
I – Constructions d’un triangle
Nous allons construire, à la règle graduée et au rapporteur, un triangle connaissant :
- les longueurs de trois segments ;
- les longueurs de deux segments et la mesure de l’angle qui se trouve entre les deux ;
- la longueur d’un segment, et la mesure des deux angles à ses extrémités.
Exemples :
1) Construire un triangle BUS tel que BU = 6 cm, BS = 3,5 cm et US = 5 cm.
2) Construire un triangle ABC tel que BC = 5 cm,
= 40° et AB = 4 cm ;
2) Construire un triangle EDF tel que ED = 6 cm,
= 40° et
= 30°.
RAPPEL : Méthode
Figure :
4
2
S
3,5 cm
3
5 cm
5
B
Programme de construction :
1 : Tracer le segment [BC] de longueur 6 cm.
2 : Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 3,5 cm
3 : Tracer un arc de cercle de centre C et de rayon 5 cm.
4 : Le point A se trouve à l’intersection des deux arcs.
5 : Tracer les segments [AB] et [AC].
U
6 cm
1
Commencer par faire une figure à main levée, puis rappeler les étapes des constructions :
Méthode
A
2
F
3
4 cm
3
2
1
40°
40°
B
5 cm
C D
1
6 cm
30°
E
II – Somme des angles d’un triangle
1. Formule
Propriété
Exemple : Dans le dernier triangle ci-dessus, on peut écrire que
= 180°.
Ce qui nous permet d’ailleurs de calculer l’angle dont on ne connaît pas la mesure :
= 180°  40° + 30° +
= 180°  70° +
= 180° 
= 80°.
page 7
Dans un triangle quelconque, la somme des angles est toujours égale à 180°.
2. Cas particuliers
Triangle rectangle : Puisque l’un des angles du triangle rectangle mesure 90°, la propriété est réduite :
Propriété
Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus est toujours égale à 90°.
Réciproquement, si deux angles d’un triangle (quelconque) mesurent ensemble 90°,
alors ce triangle est rectangle.
Triangle isocèle : On rappelle une propriété de l’année dernière :
Propriété
Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.
Exemple : Le triangle POU est isocèle en O avec
angles ?
= 32°. Quelles sont les mesures des deux autres
Triangle équilatéral : On rappelle une propriété de l’année dernière :
Propriété
Dans un triangle équilatéral, tous les angles sont égaux et mesurent 60°.
page 8
Interrogation orale :
25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 p. 178
En classe :
20, 21 p. 177 / 41, 42, 43 p. 179
Exercices :
11, 12, 13 p. 177 / 44, 45 p. 179 / 46, 47 p. 180
Chapitre n° 3 :
Écriture fractionnaire (bases)
I – Quotient
Définitions
Soient a et b deux nombres quelconques avec b ≠ 0.
Le quotient de a par b est le nombre qui donne a quand on le multiplie par b. Il se note a ÷ b, ou
a
encore en écriture fractionnaire. Dans cette écriture, a est le numérateur et b le dénominateur.
b
Exemples : 12 = 4 (en effet, 4  3 = 12)
3

Remarques

;
5 = 10 (plus difficile, mais on a toujours 10  0,5 = 5).
0,5
Dans une écriture fractionnaire, si le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers, alors on
appellera cette écriture une fraction.
Certains quotients n’admettent pas d’écriture décimale. 1/3 est un excellent exemple !
Définition
Supposons que deux cinquièmes des élèves du collège Didier Daurat soient des filles.
2
On appelle alors proportion de filles le quotient : sur 5 élèves du collège, 2 sont des filles.
5
Interrogation orale :
1, 5, 2, 3, 4 (16) p. 50
En classe :
24, 25, 26, 27 p. 52 + 37, 39, 36 (16) p. 53
Exercices :
28, 29, 31 p. 52 + 33, 34, 35 (16) p. 53
A – B : + autres comparaisons
II – Comparaison à 1
Propriété
Pour comparer une fraction à 1,
- si le numérateur est supérieur au dénominateur, alors la fraction est supérieure à 1 ;
- si le numérateur est inférieur au dénominateur, alors la fraction est inférieure à 1.
Exemple : Choisir des fractions et les comparer à 1. Que se passe-t-il si « numérateur = dénominateur » ?
Interrogation orale :
35 p. 54
En classe :
10, 11 p. 53
Exercices :
12, 13 p. 53 + 61, 62 p. 56
III – Diviseurs et multiples
Définition
a est un diviseur de b.
Exemple : Donner des exemples et rappeler les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 9 (pratique pour le III-3).
Interrogation orale :
6, 7, 8, 9 p. 50
En classe :
42, 44 p. 53
Exercices :
43, 45 p. 53
page 9
Soient a et b deux nombres entiers tels que b > a.
Si b est un nombre de la table de multiplication de a, alors on dit que :
- b est un multiple de a ;
- b est divisible par a ;
-
IV – Règle d’or des quotients (À CONNAÎTRE PAR CŒUR !!!)
Propriété
On ne change pas un quotient en multipliant (ou en divisant) son numérateur ET son
dénominateur par un même nombre non nul.
Autrement dit, si b et k ne sont pas nuls, on a a = a  k et a = a  k.
b bk b bk
Exemples :
Exemple du gâteau ;
3 3  4 12
12 12 ÷ 2 6
24 24 ÷ 3 8 4  2 4
=
=
;
=
= ;
=
=
=
= .
2 24 8
10 10 ÷ 2 5
30 30 ÷ 3 10 5  2 5
Applications :
* mise sur un même dénominateur afin de comparer deux fractions entre elles (quand elles ne peuvent être
comparées à 1) :
3 4
3 5
comparer et [comparaison à 1], puis et [mise sur le dénominateur 12 ou 24].
2 5
4 6
* additions/soustractions que nous verrons au chapitre n° 9.
Cette méthode n’est pas à retenir pour tous les calculs avec des fractions…
page 10
Interrogation orale :
13, 10, 11 (17) p. 50
En classe :
23, p. 51 + 58 (14) p. 54
Exercices :
14, 15 (17) p. 51 + 57 (14) p. 54
Chapitre n° 4 :
Expression littérale
I – Définitions
Définition
Une expression littérale est une expression où des nombres ont été remplacés par des lettres.
Exemples :
 Quelle est l’aire d’un carré de côté (en centimètres) 2 ? 3 ? 7 ? x ?? (4, 9, 49 et x  x cm2). La dernière aire
est une expression littérale.
 On a déjà vu que l’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur ℓ est donnée par a = L  ℓ. Cette formule
est une expression littérale.
 Quel est le périmètre d’un rectangle de longueur L et de largeur ℓ ?  2  L + 2  ℓ. Cette formule est une
expression littérale.
 On pense à un nombre que l’on note x. On lui ajoute 2 et on multiplie le tout par 3. Quelle est l’expression
littérale associée à cet exemple ? [(x + 2)  3].
Remarques


L’expression x  x contient deux fois la lettre x. Il s’agit en fait d’un même nombre !
Généralement, on remplace un nombre par une lettre quand on ne connaît pas ce nombre.
Interrogation orale :
1, 2, 3, 4, 7, 8 (5) p. 34
En classe :
50, 41 (5) p. 37
Exercices :
51, 52, 42 (5) p. 37
II – Notations et simplification d’écriture
Définition
L’expression « x  x » s’écrit x2 et se lit « x au carré ».
L’expression « x  x  x » s’écrit x3 et se lit « x au cube ».
Propriétés
On peut supprimer le symbole «  » devant une lettre ou une parenthèse.
Exemples : 2  L + 2  ℓ peut s’écrire plus simplement 2L + 2ℓ. Écrire plus simplement les expressions
suivantes :
* 5  x [= 5 x] ;
* 3  (x + 2) [= 3(x + 2)] ;
* 1  x [= 1 x = x (cas particulier)] ;
* a  b [= ab] et L  ℓ [= Lℓ].
Et 2  3 ?
Attention, on a supprimé le symbole «  » mais pas la multiplication : 5x est la multiplication de 5 par x !!
Interrogation orale :
5, 6, 16, 17 p. 34
En classe :
43, 45, 47 p. 37 + 64 p. 38
Exercices :
44, 46 p. 37 + 62, 63 p. 38
page 11
Remarque
III – Notion d’égalité
Définitions
Une égalité est une expression du genre « machin = truc ». « machin » s’appelle membre de
gauche de l’égalité et « truc » s’appelle membre de droite de l’égalité. Ils peuvent contenir à la
fois des nombres et des lettres.
Exemples : 12 – 4 = 4  2, puis 6x = 4x + 2x. Quels sont les membres de ces égalités ? Ces égalités sont-elles
vraies ou fausses ?
Propriétés
Pour tester si une égalité est vraie, on calcule séparément les deux membres de l’égalité
en remplaçant les lettres par les nombres demandés. Deux cas possibles :
- les deux membres sont égaux : alors l’égalité est vraie pour le nombre testé ;
- les deux membres ne sont pas égaux : alors l’égalité est fausse pour le nombre testé.
Exemples : Tester l’égalité 2x + 3 = 7 pour x = 1 et x = 2 :
pour x = 1 :
pour x = 2 :
Membre de gauche : 2x + 3 = 2  1 + 3 = 2 + 3 =
Membre de gauche : 2x + 3 = 2  2 + 3 = 4 + 3 =
5.
7.
Membre de droite : 7.
Membre de droite : 7.
On ne trouve pas le même résultat, on en déduit que
On trouve le même résultat, on en déduit que
l’égalité n’est pas vraie pour x = 1.
l’égalité est vraie pour x = 2.
page 12
Interrogation orale :
18, 19 p. 34
En classe :
32, 33, 36 p. 36 + 65 p. 38
Exercices :
34, 35, 37, 38 p. 36 + 66 p. 38
Chapitre n° 4b :
Droites remarquables
A–B
I – Inégalité triangulaire
Propriété : inégalité triangulaire
Dans un triangle, chaque côté doit avoir une longueur inférieure à la somme des deux
autres.
Exemple : Dans le triangle ci-contre, on a (mesurer si nécessaire) :
 AB < AC + BC ;
 AC < BC + AB ;
 BC < AB + AC.
A
B
C
Propriété
Soient a, b et c trois nombres quelconques avec a le plus grand des trois.
 Si a > b + c, alors on ne peut pas construire un triangle de longueurs a, b et c ;
 Si a < b + c, alors on peut construire un triangle de longueurs a, b et c.
Exemple : Construire un triangle DEF tel que DE = 5 cm,
DF = 2,5 cm et FE = 2 cm. Expliquer la démarche.
Pour vérifier si on peut le construire, on doit comparer 5
(la plus grande longueur) et 2,5 + 2 = 4,5 (la somme des
deux autres longueurs). Or 5 > 4,5, donc on ne peut pas
construire un tel triangle.
Interrogation orale :
22, 23, 24 p. 178
En classe :
1, 4, 8 p. 176
2,5 cm
D
E
2
cm
Exercices :
3, 6, 7, 9 p. 176
II – Zoom sur la médiatrice
Définition
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire passant par le milieu de ce segment.
Propriétés de la médiatrice
 Si un point se trouve sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant (= à la
même distance) des extrémités de ce segment.
 Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il se trouve sur la
médiatrice de ce segment.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Construis deux points libres A et B,
Trace le segment [AB],
Construis son milieu I,
Trace la perpendiculaire « d » au segment [AB] passant par le point I : que représente cette droite pour [AB] ?
Place un point libre « M » sur la droite « d » et fais afficher les longueurs AM et BM avec deux chiffres après la virgule.
Grâce à la souris, déplace le point M et regarde en même temps ce qui se passe. Que constate-t-on ?
En classe :
48 (1+2c), 49 (1+2b) p. 180
Exercices :
50 (1), 51 (1ac) p. 180
page 13
Activité informatique 1 : À partir de géoplan,
III – Droites remarquables d’un triangle
Définitions


Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite qui joint ce sommet au milieu
du côté opposé.
Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite perpendiculaire au côté opposé
passant par ce sommet.
A
Exemple : Dans le triangle suivant,
 quelle droite est la médiatrice ?
 quelle droite est la médiane ?
 quelle droite est la hauteur ?
Rajouter le codage pour chaque droite.
B
C
Propriété
Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes (= se coupent en un même
point). Leur point d’intersection commun est noté O et s’appelle centre du cercle
circonscrit au triangle (= il passe par les trois sommets du triangle).
Propriété
 Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes en un point G appelé centre
de gravité du triangle.
 Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point H appelé
orthocentre.
Activité informatique 2 : À partir de Géoplan et des définitions des médiatrices, hauteurs et médianes,
1. Construis trois points libres A, B et C, et déplace-les éventuellement pour qu’ils forment un joli triangle,
2. Trace les segments [AB], [BC] et [AC],
3. Construis en rouge les médiatrices « m1 », « m2 » et « m3 », en bleu les médianes « M1 », « M2 » et « M3 » et en vert
les hauteurs « h1 », « h2 » et « h3 »
4. Définis le point d’intersection G de « M1 » et « M2 » (on pourra vérifier au passage qu’il est aussi sur « M3 »), le point
d’intersection H de « h1 » et « h2 » et le point d’intersection O de « m1 » et « m2 »,
5. Grâce à la souris, déplace les points A, B et C et regarde en même temps ce qui se passe. Que constate-t-on ?
page 14
Interrogation orale :
32, 33 p. 178
En classe :
48, 49 p. 180 (triangles déjà tracés dans le II)
Exercices :
50, 51 p. 180 (triangles déjà tracés dans le II)
Chapitre n° 5 :
Nombres relatifs (bases)
I – Définitions
Jusqu’à aujourd’hui, les seuls nombres connus et utilisés sont des nombres positifs. Cependant, il existe aussi les
nombres négatifs (par exemple : « il fait – 2° dehors », perdre 2 € correspond au nombre – 2, …). Ils se
caractérisent tous par la présence du signe « – ».
Définition
L’ensemble des nombres positifs et négatifs constituent les nombres relatifs. Si ces nombres
relatifs sont entiers, on les appelle alors les entiers relatifs.
Remarque
Si un nombre est précédé du symbole « – », alors c’est un nombre négatif.
Si un nombre est précédé du symbole « + » ou d’aucun symbole, alors c’est un nombre positif.
Le seul nombre à la fois positif et négatif est 0.
-
Exemples : Donner des nombres relatifs, puis des entiers relatifs. Insister sur le fait que les entiers relatifs sont
aussi des nombres relatifs, mais pas forcément l’inverse, ainsi que sur la nécessité de les créer (1 – 2  ).
Interrogation orale :
18, 19 p. 88
Exercices :
33, 34 p. 89
II – Repérage et droite graduée
1. Définition
Définition
Une droite graduée est une droite qui possède
- un point appelé origine ;
- une unité de longueur, reportée régulièrement
à partir de l’origine ;
- un sens pour donner des valeurs
aux graduations.
B
–6
–5 –4
–3
–2
–1
Unité de longueur
Sens
C
0
1
2
A
3
4
5
Origine
Interrogation orale :
–
En classe :
33, 34 p. 89
Exercices :
–
2. Abscisse
Propriété
Sur une droite graduée :
-chaque point placé correspond à un nombre relatif unique, appelé abscisse du point ;
-pour chaque nombre relatif, il existe un unique point.
Exemple : Déterminer l’abscisse des points B et C. Placer ensuite les points D(–5) et E(+4,5).
Interrogation orale :
18, 19, 20, 21, 22 p. 88
En classe :
35, 36, 37 p. 89
Exercices :
38, 39, 40 p. 89
page 15
Notation : L’abscisse du point A est 4. On note cela de manière concise A(4).
3. Nombres opposés
Définition
Deux nombres relatifs opposés sont constitués des mêmes chiffres mais sont de signes
différents.
Exemples : (–4,8) et (+4,8) sont des nombres relatifs opposés. L’opposé de (+2,8) est (–2,8).
Remarque
-
L’opposé d’un nombre négatif est positif, l’opposé d’un nombre positif est négatif.
L’opposé de 0 est 0 (c’est le seul nombre).
Deux points d’abscisses opposées sont symétriques sur une droite graduée.
Interrogation orale :
25 p. 88
En classe :
43 p. 89
Exercices :
44 p. 90
4. Comparaison de nombres
Définition
Comparer deux nombres relatifs revient à dire s’ils sont égaux ou donner le plus grand : on
utilise donc les symboles <, > ou =. Le plus grand entre deux nombres relatifs et celui dont le
point sur la droite graduée est le plus à droite.
Exemples : Parmi les cinq nombres donnés par les points A, B, C, D et E ci-dessus, déterminer plusieurs
inégalités. Pour finir, ranger les nombres dans l’ordre croissant [(–5) < (–2,5) < (+2,5) < (+4) < (+4,5) ].
Remarque
-
L’opposé d’un nombre négatif est positif, l’opposé d’un nombre positif est négatif.
L’opposé de 0 est 0 (c’est le seul nombre).
Deux points d’abscisses opposées sont symétriques sur une droite graduée.
Interrogation orale :
23 p. 88
En classe :
8, 9, 10, 11, 12 p. 87
Exercices :
13, 14, 15, 16, 17 p. 87 / 48 p. 90
III – Repérage dans le plan
Définition
Deux droites graduées placées perpendiculairement à leur origine est appelé un repère
orthogonal. La droite horizontale est appelée axe des abscisses, la verticale est appelée axe des
ordonnées.
page 16
Remarque
Il n’est pas nécessaire que les deux axes aient la même unité de longueur. Par contre, il faut qu’ils aient la
même origine et soient perpendiculaires !
Propriété
Tout point du plan est repéré par deux nombres relatifs constituant les coordonnées
du point :
- l’abscisse, toujours donnée en 1er ;
- l’ordonnée, toujours donnée en 2ème.
Interrogation orale :
26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 p. 89
En classe :
1, 2, 3, 4 p. 86
3
A
2
D
1
B
–5
–4
–3
–2
–1 0
–1
1
2
3
4
5
–2
–3
C
Exercices :
5, 6, 7 p. 86
page 17
Exemple : Sur cette figure,
- A a pour abscisse 4 et pour ordonnée 2, on écrit alors
A(4 ; 2).
- B a pour abscisse … et pour ordonnée …, on écrit alors
B(… ; …).
- C a pour abscisse … et pour ordonnée …, on écrit
alors C(… ; …).
- D a pour abscisse … et pour ordonnée …, on écrit
alors D(… ; …).
- O (origine du repère) a pour abscisse … et pour
ordonnée …, on écrit alors O(… ; …).
page 18
Chapitre n° 6 :
Notions d’aire
I – Aires
1. Définition
Définition
L’aire d’une figure est la mesure de sa surface. Elle s’exprime en m 2 (un m2 correspond à
l’aire d’un carré d’un mètre de côté).
2. Parallélogramme
Définition
L’aire d’un parallélogramme est donnée par le produit d’un de ses
côtés par la hauteur associée :
a = c  h.
côté c
hauteur
associée h
Comment arrive-t-on à trouver cette formule ? Peut-on partir du côté penché pour calculer l’aire ?
3. Triangle
Définition
L’aire d’un triangle est donnée par le demi-produit d’un de ses côtés
par la hauteur associée :
ch
a = (c  h) ÷ 2 =
.
2
hauteur
associée
h
côté c
Comment arrive-t-on à trouver cette formule ? Peut-on partir de l’un des autres côtés pour calculer l’aire ?
4. Disque
Définition
L’aire d’un disque est donnée par le produit de π et du rayon au carré : a =   r2.
Interrogation orale :
34 (1), 35 (1), 36 (1), 37 (1), 38 (2), 39, 40, 41 p. 268
En classe :
13 à 19 p. 267 / 52 (aire), 54 (aire) p. 270
Exercices :
20 à 23 p. 267 / 58 (aire), 59 (aire) p. 270
Définition
L’aire totale d’un prisme droit ou d’un cylindre de révolution est égale à la somme des aires de
toutes les faces.
page 19
II – Prisme droit & cylindre : aires
Exemples :
On souhaite calculer l’aire totale de ce cylindre :
On souhaite calculer l’aire totale de ce prisme :
5 cm
3
cm
2 cm
5 cm
-
périmètre d’une base = 2  π  r = 2π  2 = 4π.
donc aire latérale = 4π  5 = 20π  62,8.
aire des deux bases : 2  (  r2) = 2  4
aire totale : 8 + 20 = 28
L’aire latérale de ce cylindre est d’environ 87,96 cm2.
-
6
4
cm
périmètre d’une base =cm
6 + 4 + 5 = 15 cm.
aire latérale = 15  3 = 45 cm2.
aire d’une base = 6  4 = 12 = 6 cm2.
2
2
aire totale : 45 + 2  6 = 45 + 12 = 57.
L’aire totale de ce prisme droit est de 57 cm2.
Pour le calcul d’une aire, toutes les longueurs données doivent être exprimées dans la même unité.
De manière générale, il faut prendre cette habitude dès que l’on calcule avec des grandeurs.
Interrogation orale :
7, 8, 9, 10, 11 p. 284
En classe :
23, 24, 25 p. 285
Exercices :
26, 27, 28 p. 285
page 20
À la fin du chapitre n° 16 (page 49), nous verrons un tableau général comprenant les aires et périmètres des
figures usuelles, ainsi que les volumes des solides vus jusqu’à présent.
Chapitre n° 7 :
Nombres relatifs (calculs)
I – Somme
Afin de déterminer la somme de deux nombres relatifs, nous allons procéder à un jeu :
Nous avons toujours 100 € dans la poche, et de manière logique, un nombre négatif correspondra à une perte
d’argent, et un nombre positif à un gain.
On souhaite faire le calcul (– 6) + (+ 4,2). Recopier et compléter le tableau ci-dessous :
(– 6) + (+ 4,2)
Somme
initiale
100 €
(+ 12) + (+ 4,5)
100 €
(– 4,2) + (– 4,8)
100 €
(– 3) + (+ 6,3)
100 €
(+12) + (– 15)
100 €
(+ 4) + (+ 1) + (– 5)
100 €
(+ 4,6) + (– 4,6)
100 €
Calcul
1ère
opération
–6
2ème
opération
+ 4,2
Somme finale
Différence
= résultat du calcul
100 – 6 + 4,2 = 98,2 €
– 1,8
Avec le dernier exemple, on constate que la somme de nombre relatifs opposés est égale à 0.
De plus, avec l’habitude, on n’aura plus besoin de passer par le jeu pour calculer ces sommes.
Interrogation orale :
22, 23, 24 p. 106
En classe :
1, 2, 3 p. 104
Exercices :
–
II – Différence
Propriété
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé (et ça marche aussi dans
l’autre sens, mais ne sera utilisé qu’au paragraphe III-3).
Après une seule modification, cette propriété permet donc de calculer des sommes de nombres relatifs. Recopier
et compléter le tableau suivant :
Calcul modifié
(– 6) – (+ 4,2)
(– 6) + (– 4,2)
(+ 12) – (+ 4,5)
(+ 12) + (– 4,5)
Somme
1ère
2ème
initiale opération opération
100 €
–6
– 4,2
100 €
(– 4,2) – (– 4,8)
100 €
(– 3) – (+ 6,3)
100 €
(+12) – (– 15)
100 €
(+ 4) + (+ 1) – (– 5)
100 €
Interrogation orale :
26, 27, 28 p. 106
+ 12
En classe :
4, 5, 6 p. 104
– 4,5
Somme
finale
89,8 €
Différence =
résultat du calcul
107,5 €
+ 7,5
– 10,2
Exercices :
7, 8, 9, 10 p. 104 / 37, 38, 39, 40, 41 p. 107
page 21
Calcul
III – Calculs plus compliqués
1. Expression ne contenant que des additions
Propriété
Dans une expression ne contenant que des sommes, on peut changer l’ordre des
termes sans conséquence sur le résultat final.
Exemple et rédaction :
A = (– 12) + (+ 2,4) + (– 1,7) + (+ 10,8) + (+ 8,7)
A = (+ 2,4) + (+ 10,8) + (+ 8,7) + (– 12) + (– 1,7)
A =
A =
Remarque
(+ 21,9)
+
8,2.
(– 13,7)
Puisque la somme de deux nombres relatifs opposés est nulle, on peut essayer de regrouper astucieusement :
B = (– 5,6) + (– 4,2) + (+ 6,3) + (+ 5,6)
B = (+ 6,3) + (– 4,2) + (+ 5,6) + (– 5,6)
B = (+ 6,3) + (– 4,2)
B = 2,1.
Interrogation orale :
–
En classe :
34 p. 106
Exercices :
35 p. 106 / 36 p. 107
2. Expression contenant additions et soustractions
Comme pour les différence, il faut d’abord modifier l’expression de telle sorte à n’obtenir que des sommes.
Le calcul se poursuit alors comme dans le paragraphe précédent.
Exemple et rédaction :
A = (– 12) – (+ 2,4) – (– 1,7) + (+ 10,8) – (+ 8,7)
A = (– 12) + (– 2,4) + (+ 1,7) + (+ 10,8) + (– 8,7)
A = (+ 1,7) + (+ 10,8) + (– 12) + (– 2,4) + (– 8,7)
A =
A =
Interrogation orale :
29 p. 106
(+ 12,5)
+
– 10,6.
En classe :
11, 12, 13 p. 105
(– 23,1)
Exercices :
18, 20, 21 p. 105 / 54, 55, 59 p. 108
3. Simplification d’écriture
Comme vu en sixième, le symbole « + » n’est pas obligatoire devant un nombre. Il disparaîtra même
complètement avant la fin du collège. Par conséquent, les parenthèses qui entourent un nombre relatif positif
sont superflues.
Retenons qu’il est strictement interdit de se faire suivre deux signes, il faut les séparer avec des parenthèses !
Exemples : A = (+ 2,2) + (+ 4,8)
A = 2,2 + 4,8
B = (– 2,2) + (+ 4,8)
B = – 2,2 + 4,8
C = (+ 2,2) – (+ 4,8)
C = 2,2 – 4,8
D = (– 2,2) + (– 4,8)
D = (– 2,2) – (+ 4,8)
D = – 2,2 – 4,8.
page 22
Synthèse : Calculer le nombre E = 5,9 – 2,3 + 4,3 – 5,8 + 6,8 + 7 – 5,9.
Solution : E = 5,9 – 5,9 + 4,3 + 6,8 + 7 – 2,3 – 5,8
on regroupe les positifs et les négatifs
E = 18,1 – 8,1
on calcule les positifs, puis les négatifs
E = 10
on effectue le calcul qui reste.
Interrogation orale :
–
En classe :
14, 15 p. 105
Exercices :
16, 17 p. 105 / 65, 66, 67 p. 108
Chapitre n° 8 :
Prisme & cylindre
I – Prisme droit
1. Définition
Définitions
Un prisme droit est un solide qui vérifie les deux conditions suivantes :
- deux faces sont des polygones parallèles et de même forme, appelés bases ;
- toutes les autres faces sont des rectangles appelés faces latérales.
Une arête joignant les deux bases (= arête latérale) possède une longueur appelée hauteur du
prisme droit.
une arête
Exemple :
Ci-contre est dessiné un prisme droit dont une
base est un quadrilatère quelconque.
les bases
face
latérale
Remarque
hauteur
Combien de faces possède-t-il ?
Combien de bases ?
Combien de faces latérales ?
arête
latérale
Cas particulier : Si la base est
elle-même un rectangle, alors le
prisme
droit
sera
un
parallélépipède (= pavé droit) :
Interrogation orale :
19, 20 p. 250
En classe :
29 p. 250
Exercices :
30, 31 p. 250
2. Patron
Définition
Le patron d’un solide est la figure du plan qui permet, après découpage et pliage, de fabriquer
ce solide. Sur le patron, chaque face est en vraie grandeur.
Exemple :
°




°
page 23
Exemple :
Interrogation orale :
–
En classe :
1, 4, 7 p. 248 / 32, 33 p. 251
Exercices :
2, 5, 8 p. 248 / 34, 35, 36 p. 241
II – Cylindre de révolution
1. Définition
Définition
O
A
r
hauteur
Un cylindre de révolution est un solide obtenu en faisant
tourner un rectangle autour de l’un de ses côtés. Il a :
- deux faces parallèles (nécessairement des
disques) et de même taille, appelées bases ;
- une surface courbe appelée face latérale.
Exemple :
Ci-contre est dessiné un cylindre de révolution.
Combien de faces possède-t-il ?
Combien de bases ?
Combien de faces latérales ?
Interrogation orale :
21, 27 p. 250
r
O
’
En classe :
41, 42 p. 252
B
Exercices :
43, 44 p. 252
2. Patron
Périmètre d’un
disque (base)
Interrogation orale :
–
En classe :
45, 46 p. 252
Hauteur
Le patron d’un cylindre est constitué de deux disques
de même taille et d’un rectangle qui a pour largeur la
hauteur du cylindre et pour longueur le périmètre
d’un disque :
Exercices :
47, 48, 49 p. 252
III – Voir dans l’espace
page 24
Exemples :
Les deux bases sont parallèles.
Interrogation orale :
28, 29, 30, 31 p. 250
Sur une face latérale, les côtés
opposés ont la même mesure.
En classe :
–
Les faces latérales étant des
rectangles, tous les angles sont droits
(seuls 3 ont été dessinés ici).
Exercices :
–
IV – Volume d’un solide
Définition
Exemple :
Regardons la couche du fond de ce parallélépipède. On peut y placer 5 cubes en longueur
et 5 en largeur, donc 25 en tout. Mais cette couche apparaît 3 fois (en bas, au milieu et en
haut). On peut finalement placer 25  3 = 125 cubes. Le volume de ce parallélépipède est
donc de 125 cm3.
3m
Le volume d’un solide correspond à la mesure de l’espace contenu dans ce solide : c’est une
grandeur. L’unité de volume est le mètre cube, noté m3, et correspond au volume d’un (= à la
place que prend un) cube d’un mètre de côté.
5m
5m
On constate que ce volume est le produit de la longueur, de la largeur et de la hauteur. Autrement dit :
v = L  ℓ  h (= b  h).
Remarque
De manière générale, quel que soit le solide vu jusqu’en 5ème (parallélépipède rectangle, prisme droit ou
cylindre de révolution), son volume sera toujours donné par la formule :
v=bh .
Il existe évidemment d’autres unités de volume :
- dm3, cm3, … dans un tableau, chaque unité est divisé en 3 colonnes (et non 2 comme pour les aires) ;
1 L = 1 dm3 : 1 L est la contenance exacte d’un cube d’un mètre de côté.
Exemple : On souhaite calculer le volume du cylindre de révolution ci-contre.
v = π r2 h
v = π  52  8
v = π  25  8
v = π  200 = 200π (V.E.)
v  628,3 cm3 (V.A.)
Le volume de ce cylindre de révolution est de 200π, soit environ 628,3 cm3.
8 cm
-
5
cm
À la fin du chapitre n° 16 (page 49), nous verrons une synthèse générale comprenant les aires et périmètres des
figures usuelles, ainsi que les volumes des solides vus jusqu’à présent.
En classe :
29, 30, 31 p. 285
Exercices :
32, 33, 34, 35 p. 285
page 25
Interrogation orale :
13, 14, 15, 16 p. 284
page 26
Chapitre n° 9 :
Écriture fractionnaire (calculs)
I – Addition & soustraction
1. Mêmes dénominateurs
Propriété
Pour additionner (ou soustraire) deux quotients de mêmes dénominateurs, on
additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun :
a
D
Exemples : 2 + 4 = 2 + 4 = 6
5 5
5
5
+
;
b =a+b
D
D
et
a
–
D
4 + 0,3 = 4 + 0,3 = 4,3
0,7 0,7
0,7
0,7
Interrogation orale :
11, 12, 13, 14, 15 p. 70
b = a – b.
D
;
D
2 – 1,9 = 2 – 1,9.
8 8
8
En classe :
1 p. 69
Exercices :
2 p. 69
2. Dénominateurs différents
Propriété : rappel de la « règle d’or des quotients »
On ne change pas un quotient en multipliant (ou en divisant) son numérateur ET
son dénominateur par un même nombre non nul.
Propriété
Pour additionner (ou soustraire) deux quotients dont un dénominateur est multiple
de l’autre, il faut d’abord les mettre sur le même dénominateur, puis utiliser la
propriété du paragraphe 1.
Exemples : * 2 + 5 = 2  2 + 5 = 4 + 5 = 4 + 5 = 9 = 9 ÷ 3 = 3 (voir + loin pour simplification)
3 6 32 6 6 6
6
6  6 ÷ 3 2
4 1 4 13 4 3 4–3 1
* – = –
= – =
= .
9 3 9 33 9 9
9
9
Interrogation orale :
16, 17, 18, 19 p. 70
En classe :
3, 4, 5, 6 p. 69 / 27, 32 p. 71
Exercices :
7, 8, 9, 10 p. 69 / 28, 30, 31 p. 71
II – Multiplication & division
Propriété
Pour multiplier deux quotients, il suffit de multiplier leurs numérateurs entre eux et
leurs dénominateurs entre eux :
a c ac
 =
.
b d bd
Remarque
* 2  5 = 2  5 = 10 = 10 ÷ 2 =5.
3 6 3  6 18 18 ÷ 2 9
4
* 1=41= 4.
9 3 9  3 27
* 4  2 = 4  2 = 8 = 8 ÷ 2 = 4.
6
6
6 6÷2 3
2
4
2
* 4  =  = 4  2 = 8 = 4.
6 1 6 16 6 3
Les critères de divisibilité rappelés dans le chapitre 3 servent ici : en effet, sans faire le moindre calcul, on
arrive à déterminer si le numérateur et le dénominateur d’une fraction peuvent être divisés par un même
nombre !
Interrogation orale :
20, 21, 23, 25 p. 70
En classe :
33, 34, 35, 36 p. 71
Exercices :
37, 38 p. 71 / 39, 41, 43, 44 p. 72
page 27
Exemples :
Propriété
Diviser par un nombre non nul revient exactement à le multiplier par son inverse :
- si a et b sont deux nombres relatifs tels que b ≠ 0, alors a = a ÷ b = a  1 ;
-
b
si a, b, c et d sont des nombres relatifs tels que b ≠ 0 et d ≠ 0, alors :
a
b
=a÷c=ad.
b d b c
c
b
d
Exemples :
* – 13 ÷ 2 = – 13  1 = – 13  0,5 = 6,5 ;
2
* 6 ÷ (– 0,25) = 6  1 = 6  (– 4) = – 24 ;
– 0,25
6
–
5
*
=–6÷8=–61=–61=– 3 ;
8
5
5 8
58
20
3
4
* Calculer
.
7
–
8
* Calculer –
En classe :
6
.
5
8
Exercices :
III – Égalités de quotients
1. Simplifier une fraction
Définitions
Simplifier une fraction signifie trouver une autre fraction égale à la première, mais qui s’écrit
avec des nombres plus « simples » (plus petits) : on divise numérateur et dénominateur par
un même nombre. Lorsqu’on ne peut plus simplifier, la fraction est appelée fraction
irréductible. Pour simplifier, on utilise la règle d’or des quotients.
Exemple :
Dans les exemples de la multiplication, par quels nombres ont été simplifiées 10 et 8 ?
18 6
La fraction 8 est-elle irréductible ?
10
critères
de
divisibilité
rappelés
dans
le
Chapitre
n°
3:
Écriture fractionnaire (bases) servent ici : en effet, sans faire le moindre calcul, on arrive à déterminer si
Les
Remarque
le numérateur et le dénominateur d’une fraction peuvent être divisés par un même nombre !
page 28
Interrogation orale :
22, 24, 26 p. 70
En classe :
–
Exercices :
54, 55 p. 56
A–B
2. Produit en croix
Propriété « PEC »
Le produit en croix est donné par la formule suivante :
a=c
b d

ad = bc.
Il est utilisé pour vérifier que deux quotients sont égaux ou non, ou compléter le
nombre manquant quand on connaît les trois autres et que la règle d’or ne permet
pas de le faire.
Exemples : * Est-ce que 2591297280 = 3062442240 ?
6478243200 7656105600
D’une part, on a :
2591297280  7656105600 = 19839245616673000000
D’autre part, on a : 6478243200  3062442240 = 19839245616673000000
Les produits en croix sont égaux, on en déduit donc que les fractions initiales le sont aussi.
* Compléter : 2 = x
5 7
14
5  x = 2  7  5x = 14. Il reste à tester cette égalité : dans la pratique, on fait x =
= 2,8.
5
En classe :
Compléter les égalités 4 = 7 ; 28 = 60.
5 ? 18 ?
Exercices :
Compléter les égalités 21 = ? ; ? = 5,1.
9 6 9 3,4
page 29
Interrogation orale :
–
page 30
Chapitre n° 10 :
Calcul littéral
I – Développement
Formule 1
2
1
1
2
k(a+b)= ka + kb


Remarque
On a transformé un produit en une somme. On dit qu’on a développé l’expression k  (a + b).
Cette formule marche aussi si l’on remplace les « + » par des « – ».
Exemples : Faire l’illustration de cette formule avec le rectangle de largeur k coupé par deux longueurs a et b.
Commencer (socle commun) avec des développements ne contenant que des nombres.
Développer les expressions 2  (x + 5) et 3  (2 – y) (socle commun de 4ème)
Interrogation orale :
28, 29 p. 36
En classe :
1, 9 p. 35
Exercices :
2, 10 p. 35 / 47, 48 p. 38
II – Factorisation (= mettre en facteur)
Formule 2
ka + kb = k(a+b)
Remarque



On a transformé une somme en un produit. On dit qu’on a factorisé l’expression k  a + k  b.
On peut faire le lien avec l’illustration sur les rectangles.
Cette formule marche aussi si l’on remplace les « + » par des « – ».
Exemples : Factoriser d’abord des expressions ne contenant que des nombres (socle commun). Factoriser les
expressions 5  x + 5  y et 6 – 2  a. Parler de recherche de facteur commun.
En classe :
2, 4, 11 p. 35
Exercices :
3, 5, 8, 12 p. 35
page 31
Interrogation orale :
30 p. 36
page 32
Chapitre n° 11 :
Proportionnalité
I – Grandeurs proportionnelles
1. Définitions
Définition
Dans un tableau, si le quotient d’un nombre d’une ligne par le nombre correspondant de
l’autre ligne est toujours le même, alors on dit que les lignes sont proportionnelles entre elles.
Ce quotient commun s’appelle alors coefficient de proportionnalité.
Exemple : On donne les temps mis par un coureur selon la distance effectuée.
Temps (en min)
15
30
60
90
Distance (en km)
5
10
20
30
On calcule : 15 = 3 ; 30 = 3 ; 60 = 3 ; 90 = 3. Tous ces quotients sont égaux. On en déduit que :
5
10
20
3
- le temps mis par un coureur est proportionnel à la distance parcourue ;
- le coefficient de proportionnalité est 15  3 = 3.
Remarque
On a divisé des minutes par des kilomètres. On obtient un coefficient de 3 « minutes par kilomètre ». C’est
la durée qu’il faut au coureur pour parcourir un kilomètre.
Interrogation orale :
14, 15, 16, 17, 18, 19 p. 124
En classe :
35, 36 p. 125
Exercices :
37, 38 p. 125
A–B
Définition
Sur un plan à l’échelle, la distance mesurée sera proportionnelle à la distance réelle. On
appelle échelle le coefficient de proportionnalité : e = d/De, où e est l’échelle, d la dimension
sur le plan et D celle en réalité (ATTENTION : même unité pour d et D !!!).
Exemples :
* En traçant le plan de son appartement sur un papier, le professeur a représenté les 15 m de longueur
réelles de son appartement par un segment de 6 cm. Alors :
longueur sur le plan (en cm) =
6
= 6 = 2 = 1 .
longueur réelle (en cm)
15  100 1 500 500 250
On dit que ce plan est à l’échelle 1/250 (aussi noté 1:250e), ce qui signifie que « 1 cm sur le plan
représente 250 cm (soit 2,5 m) en réalité ».
* Sur ce même plan, on mesure que la largeur de l’appartement rectangulaire est de 3,5 cm. Quelle est
alors la largeur réelle ? [3,5  250 = 875 cm = 8,75 m]
* M. LENZEN souhaite ajouter une cloison d’un mètre. Quelle est la taille du segment à dessiner sur le
plan ? [puisque 1 m = 100 cm, on fait 100  1 = 100 = 10 = 2 = 0,4 cm = 4 mm]
250 250 25 5
En classe :
8, 9, 10, 11 p. 123
2. Comment compléter un tableau de proportionnalité ?
Exercices :
12, 13 p. 123 / 46, 48 p. 126
page 33
Interrogation orale :
23, 24 p. 124
Il faut au moins 3 valeurs dans un tableau de proportionnalité de quatre cases. Dans ce cas, on effectue le
« produit
en
croix »
(déjà
vu
au
Chapitre
n°
9:
Écriture fractionnaire (calculs), page 29) :
Temps (en min)
15
?
Distance (en km)
5
25
La case manquante se complète en calculant le produit sur la diagonale complète (15  25), puis en divisant
le résultat par la valeur qui reste (5), ce qui donne :
15  25 = 15  25 = 15  5 = 75.
5
5
Le coureur a donc parcouru 25 kilomètres en 75 minutes, soit 1h15 min.
Remarque
Il peut y avoir plus de quatre cases dans un tableau de proportionnalité. Il faut alors sélectionner deux
colonnes et deux lignes qui donnent ainsi un « sous-tableau » de proportionnalité.
Interrogation orale :
25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34 p. 124
En classe :
39, 40 p. 125
Exercices :
41, 42 p. 125
II – Calcul d’un pourcentage
Propriété
L’expression française « p % de s » est mathématiquement traduite par un tableau de
proportionnalité.
Exemple : Sur l’ensemble des 25 élèves de cette classe, 40 % sont des garçons. Faire un tableau de
proportionnalité pour résoudre le problème.
Propriété
Inversement, pour calculer un pourcentage à partir d’une proportion, il suffit de
multiplier cette proportion par 100.
Exemple : Dans ce collège de 585 élèves, 234 élèves font de l’espagnol. Quel est le pourcentage d’élèves du
collège faisant de l’espagnol ?
234
23 400
 100 =
= 40 %.
585
585
Donc 40 % des élèves du collège font de l’espagnol.
Interrogation orale :
20, 21, 22 p. 124
En classe :
1, 2, 3, 4, 5 p. 122
Exercices :
6, 7 p. 122 / 43, 44 p. 126
III – Représentations graphiques
page 34
Exemple : Nous allons comparer l’aire et le périmètre d’un carré en fonction de son rayon.
1. Recopie et complète les tableaux ci-dessous (arrondir au dixième) :
Rayon (en cm)
1
2
3
4
5
Rayon (en cm)
Périmètre (en cm)
Aire (en cm2)
1
2
3
4
2. Est-ce que ces tableaux sont des tableaux de proportionnalité ? Justifie la réponse pour chaque tableau.
5
Tableau de gauche : 4 = 8 = 12 = 16 = 20 = …
1 2 3
4
5
1
4
Tableau de droite : = … et = … → … ≠ …
1
2
→ c’est un tableau de proportionnalité
→ ce n’est pas un tableau de proportionnalité
3. Représenter dans un même repère l’aire du carré en bleu et son périmètre en rouge (= graphiques).
y
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
x
4. Que constate-t-on ?
On constate que les points placés correspondant au premier tableau sont alignés avec l’origine, mais pas ceux
correspondant au deuxième tableau.
Propriété
Sur un graphique, on reconnaît une situation de proportionnalité lorsque les points
placés sont alignés avec l’origine.
Exercices :
63 p. 128
page 35
En classe :
62 p. 128
page 36
Chapitre n° 12 :
Représentations de données
I – Vocabulaire
On a demandé à 20 élèves leur mois de naissance sous forme de nombre. Voici les résultats obtenus :
5 – 5 – 6 – 1 – 11 – 4 – 3 – 7 – 6 – 10 – 1 – 6 – 11 – 2 – 7 – 7 – 8 – 1 – 1 – 6.
Définitions
Dans cet exemple,
- la population étudiée (sur qui ?) est un ensemble de 20 élèves de la classe ;
- le caractère étudié (sur quoi ?) est le numéro du mois de naissance ;
- les données du caractères sont les 20 nombres obtenus ci-dessus ;
- les valeurs du caractère sont les dix chiffres contenus dans le résultat : 1, 2, 3, …, 8, 10, 11.
L’effectif d’une valeur est le nombre de répétitions de cette valeur. L’effectif total est le nombre
total de valeurs (et c’est donc aussi la somme des effectifs de chaque valeur).
Exemple : On peut construire un « tableau d’effectifs » afin de regrouper les différentes valeurs :
Numéro du mois
1 2 3 4 5 6 7 8 10 11
Effectif
4 1 1 1 2 4 3 1 1 2
On vérifie l’effectif total : 4 + 1 + 1 + 1 +2 + 4 + 3 + 1 + 1 + 2 = 20 : ce sont bien les 20 élèves.
Définition
La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total. C’est un
nombre entre 0 et 1 (qui multiplié par 100 donne un pourcentage).
Exemple : On peut compléter le tableau d’effectifs ci-dessus :
Numéro du mois
Effectif
Fréquence
Fréquence (en %)
1
4
0,2
2
1
0,05
3
1
0,05
4
1
0,05
5
2
0,1
6
4
0,2
7
3
0,15
8
1
0,05
10
1
0,05
11
2
0,1
Total
20
1
20 %
5%
5%
5%
10 %
20 %
15 %
5%
10 %
30 %
100 %
1
Calcul de la fréquence de 2 (et de 3 ; 4 ; 8 et 10) avec le « produit en croix » (proportionnalité) : = 0,05 = 5 %.
20
Interrogation orale :
–
En classe :
1, 2 p. 140
Exercices :
3, 4 p. 140 / 12, 15 p. 143
II – Représentations
1. Diagramme en bâtons (quand le caractère représente des nombres)
Sur un diagramme en bâtons, on place le caractère étudié (ici un chiffre) sur l’axe des abscisses, et les
effectifs sur l’axe des ordonnées :
page 37
Effectifs
N° du
mois
2. Diagramme en tuyau d’orgue (quand le caractère ne représente pas des nombres)
On a demandé aux élèves d’une classe de choisir une nouvelle couleur pour les murs de la salle parmi cinq
proposées :
Couleur
Bleu
Vert
Rouge
Jaune
Orange
Total
Effectif
9
4
2
5
6
26
Quelle est la population étudiée ?
Quel est le caractère étudié ?
Quelles sont les valeurs du caractère ?
Effectifs
Ce diagramme ressemble fortement au
diagramme en bâtons :
3. Diagramme en bandes (quand le caractère ne représente pas des nombres)
Ce diagramme se construit sur une bande de longueur choisie (on va prendre par exemple 15 cm). La bande est
découpée en autant de rectangles que de valeurs différentes (donc 5) et chaque rectangle a une taille
proportionnelle à l’effectif de la valeur qu’elle représente (fréquence multipliée par effectif total).
9
Par exemple, pour calculer la longueur du « rectangle bleu », on fait  15  5,2 cm.
26
5,2 cm
Effectifs
9
4
2
5
6
Bleu
Vert
Rouge
Jaune
Orange
Interrogation orale :
3 (8) p. 131
En classe :
11, 12, 14 (11) p. 133
Exercices :
15, 16 (8) p. 134 + 22, 23, 24 (11) p. 135
4. Diagramme circulaire (quand le caractère ne représente pas des nombres)
Chaque valeur est représentée par une partie de disque dont l’angle est proportionnel à l’effectif de cette valeur.
Il faut utiliser un tableau de proportionnalité pour pouvoir calculer les angles à construire, puisqu’on sait qu’un
« camembert » complet fait 360° (tout le tour) (voir page 33) :
Couleur
Effectif
Angle (en °)
Bleu
9
124 °
Vert
4
56 °
Rouge
2
28 °
Jaune
5
68 °
Orange
6
84 °
TOTAL
26
360 °
page 38
Nouvelle couleur pour les murs de la salle
Interrogation orale :
–
En classe :
5 p. 141
Exercices :
13 p. 143
III – Répartition en classes (quand le caractère contient trop de valeurs)
Il a été demandé aux 50 professeurs du collège de donner leurs âges. Voici les résultats (ne correspondant
évidemment pas à la réalité…) :
26 – 29 – 30 – 35 – 27 – 49 – 45 – 34 – 25 – 36 – 40 – 53 – 41 – 47 – 45 – 40 – 45 – 33 – 34 – 25 –
37 – 32 – 52 – 31 – 47 – 53 – 26 – 45 – 31 – 53 – 50 – 41 – 30 – 47 – 43 – 51 – 40 – 53 – 35 – 42 –
32 – 35 – 53 – 50 – 47 – 35 – 40 – 50 – 30 – 51.
Quelle est la population étudiée ? le caractère ? les valeurs du caractère ??
Lorsqu’il y a trop de valeurs, les précédents diagrammes ne sont pas simples à réaliser. Dans ce cas, on regroupe
les valeurs par classes :
Âge compris
25 et 30
30 et 35
35 et 40
40 et 45
45 et 50
50 et 55
entre…
(30 exclus) (35 exclus) (40 exclus) (45 exclus) (50 exclus) (55 exclus)
Effectif
6
10
6
8
9
11
1. Représentation par un histogramme
Dans ce type de graphique, chaque classe est représentée par un rectangle. Lorsque toutes les classes ont la
même amplitude (= le même écart, ici 5 ans), la largeur des rectangles est la même partout et leur longueur est
simplement donnée par l’effectif de la classe concernée :
Effectifs
12
Âge des professeurs
11
10
10
9
8
8
6
6
6
4
2
25
30
35
40
Interrogation orale :
–
45
50
En classe :
7 p. 141
55 Âges
Exercices :
14 p. 143
2. Représentation par un diagramme circulaire
Chaque classe est représentée par une partie de disque dont l’angle est proportionnel à l’effectif de cette classe.
Il faut utiliser un tableau de proportionnalité (voir p. 27) pour pouvoir calculer les angles à construire :
25 et 30
(30 exclus)
6
43 °
30 et 35
(35 exclus)
10
72 °
35 et 40
(40 exclus)
6
43 °
40 et 45
(45 exclus)
8
58 °
45 et 50
(50 exclus)
9
65 °
50 et 55
(55 exclus)
11
79 °
TOTAL
50
360 °
page 39
Âge compris
entre…
Effectif
Angle (en °)
Interrogation orale :
8, 10 p. 142
En classe :
–
Exercices :
–
Salle informatique
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Recopie sans le compléter le tableau ci-dessus dans un tableur (Microsoft Excel ou OpenOffice.calc)
 textes et nombres possibles dans des « cellules » (= cases) : clique sur la cellule puis saisis ton texte ou
ton nombre au clavier
 pour agrandir une colonne (par exemple la A), place ton curseur sur le trait entre A et B : il se
transforme en , et sans lâcher le bouton de la souris, tu peux agrandir ou rétrécir la taille de ta
colonne
Une fois recopié, sauvegarde ce fichier dans ton répertoire personnel sous le nom « statistiques.xls »
Dans la case G2, calcule la somme de tous les nombres de B2 à F2.
 une somme s’obtient en effectuant un calcul ; un calcul commence toujours par le caractère « = » dans
un tableur ; ce calcul peut donc s’obtenir en cliquant sur la case G2, puis en saisissant
« =B2+C2+D2+E2+F2 » et en validant avec la touche entrée
)
Dans les cases B3 à F3, calcule les fréquences correspondantes (on rappelle que “fréquence = effectif 
effectif total”).
 à nouveau, il s’agit d’un calcul, il va donc falloir commencer la saisie par « = » ; mais que peut-on
mettre ensuite, c'est-à-dire comment saisir une division au clavier dans un tableur ?
Calcule le total des effectifs dans la case G3 afin de vérifier qu’il est bien égal à 1.
Complète les cases B4 à G4 (on rappelle que “fréquence en % = 100  fréquence entre 0 et 1”)
En multipliant, comment passer de 100 à 360 ? Note la réponse ici :  ………
Complète la case B5 en saisissant « =[clic sur la case B3]*3,6 » et valide en appuyant sur
Clique sur la case que tu viens de compléter. Un petit carré noir apparaît en bas à droite de la case. Clique
dessus avec la souris, et sans lâcher le bouton de la souris, glisse ce carré jusqu’en bas à droite de la
cellule F5. Que s’est-il passé ?? ......................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
page 40
10. Il ne reste plus qu’à créer le graphique :
a) Sélectionne les cases A1 à F2 (le total ne doit jamais apparaître sur un graphique !)
b) Clique dans la barre d’outils sur l’icône « Assistant graphique » :
c) Sélectionne le diagramme circulaire, puis clique sur
d) À l’étape deux, on a un aperçu, clique alors sur
e) À l’étape trois, on peut modifier le titre, la légende, les étiquettes pour obtenir le diagramme souhaité,
puis on clique sur
Chapitre n° 13 :
Durées & conversions
I – Durées
1. Définition
Définition
La durée est la mesure du temps entre deux instants donnés. L’unité légale de durée est la
seconde, notée s.
Exemple : Il faut environ deux secondes pour lire cette phrase.
2. Calcul de durées
Exemple : Lors de l’épreuve d’histoire-géographie du brevet 2009, un élève a commencé à 9h37 et fini à
11h12. Pendant combien de temps a-t-il travaillé ?
Méthode par compléments
9h37 –––→ 10h –––→ 11h –––→ 11h12
Méthode par soustraction
On remarque que 11h12 = 10h12 + 60min =
23 min
1h
12 min
« 10h72 » 11 0
7 2
1 1 h 1 2
23 min + 1 h + 12 min = 1h35 min.
–
9 h 31 7
1 h 3 5
Il a donc travaillé pendant une heure et trente-cinq Il a donc travaillé pendant une heure et trente-cinq
minutes.
minutes.
Pour la méthode par soustraction, il faut calculer minutes et heures séparément, quitte à
enlever une heure au compteur des heures (– 1 h) pour la mettre au compteur des minutes
(+ 60 min) ! Sinon :
1
1
1
1 1 h 1 2
– 1 91 h 31 7
1 h 8 5
Interrogation orale :
24, 25, 26, 27, 28, 29 p. 268
= 2 h 25 min : ce n’est pas du tout le même résultat !!
En classe :
1, 2, 3, 4 p. 266 / 43 p. 269
Exercices :
3, 5, 6 p. 266 / 44 p. 269
II – Conversions
M. Harry Covert a mis 6 heures pour carreler sa salle de bains. Combien de temps aurait-il fallu s’il étaient 5 à
travailler ?
Solution : S’ils étaient 5, ils auraient mis 5 fois moins de temps, donc 6 ÷ 5 = 1,2 h. Ils auraient donc travaillé
1h, plus encore 0,2h. On utilise ensuite un tableau de proportionnalité pour convertir 0,2 h :
Durée (en h)
1
0,2
 60
Donc 1,2h = 1h + 0,2h = 1h + 12 min = 1h12 min.
Durée (en min)
60
0,2  60 = 12
Interrogation orale :
30, 31, 32, 33 p. 268
En classe :
7, 8, 9 p. 266 / 48, 49 p. 269
Exercices :
10, 11, 12 p. 266 / 50, 51 p. 269
page 41
Conclusion : Ils auraient travaillé pendant une heure et douze minutes.
page 42
Chapitre n° 14 :
Symétrie centrale (A-B)
Rappels sur la symétrie axiale
Méthode
A
Pour construire le symétrique d’un point A par rapport à une
droite (d), seulement deux étapes sont à respecter :
1. Tracer la perpendiculaire à (d) passant par A. Elle coupe (d)
en M.
2. Reporter sur cette perpendiculaire la longueur AM de l’autre
côté de la droite (d).
1
(d)
M
2
A’
Le codage fait complètement partie de la figure : ne pas le mettre est une erreur mathématique qui
coûtera des points aux contrôles et éventuellement plus tard au brevet.
Remarques



La droite (d) est la médiatrice du segment [AA’] (droite perpendiculaire passant par le milieu du segment)
Le point M est le milieu du segment [AA’]
Si un point appartient à la droite (d), alors son symétrique par rapport à (d) est lui-même.
Interrogation orale :
22 p. 160
En classe :
45 (1, 2) p. 162
Exercices :
46 (1, 2) p. 162
I – Définitions
Définitions
 Deux figures sont symétriques par rapport à un point si l’une peut se superposer sur l’autre
par demi-tour autour de ce point. Ce point est alors appelé centre de symétrie :
F
E
G
C
B
D
H
O
A
 Le symétrique d’un point A par rapport à un
point I est le point généralement noté A’ tel que
I soit le milieu du segment [AA’] :
A
I

Remarques

Désormais, la phrase « I est le milieu de [AA’] » aura la même signification que « A’ est le symétrique
de A par rapport au point I ».
Le point I (centre de la symétrie) est le symétrique de lui-même par rapport au point I…
Interrogation orale :
21, 22 p. 160
En classe :
30, 31, 32 p. 161
Exercices :
37, 38, 39 p. 161
page 43
A
’
II – Symétriques d’objets mathématiques
1. Un point
Pour construire le symétrique d’un point (par exemple A) par rapport à un autre point (par exemple I) :
A
I
A
Interrogation orale :
24, 25 p. 160
A
I
I
En classe :
33 p. 161
A'
Exercices :
34, 35 p. 161
2. Une figure
Propriété
Deux figures symétriques ont exactement la même forme et les mêmes mesures.
Exemple : Voir le dessin du premier paragraphe.
3. Une droite
Propriété


Le symétrique d’une droite (d) par rapport à un point O est une droite (d’)
parallèle à (d).
Si trois points A, B et C sont alignés, alors leurs symétriques A’, B’ et C’ sont
donc aussi alignés : la symétrie conserve l’alignement des points.
Exemples :
 les droites (d) et (d’) sont bien parallèles (on peut le
vérifier à la règle et à l’équerre).
 les points A’, B’ et C’ sont alignés : en effet, ils sont tous
les trois sur la droite (d’).
Pour construire le symétrique d’une droite, il suffit de choisir
deux points sur cette droite et d’en construire les symétriques.
A
(d)
(d’
)
C
B
O
C'
B'
A'
4. Un segment
Propriété
Le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même
longueur : la symétrie conserve les longueurs.
Exemple : On choisit [AB] sur le dessin ci-dessus. Mesurer [A’B’]. Que constate-t-on ? Effectuer la même
manipulation avec les segments [BC] et [AC].
Pour construire le symétrique d’un segment, on construit le symétrique de ses deux extrémités.
5. Un cercle
page 44
Propriété
Le symétrique d’un cercle par rapport à un point O est un cercle de même rayon. Les
centres de ces cercles sont symétriques par rapport au point O.
Exemples : Les cercles (c) et (c’) sont symétriques par rapport à O. On a
alors que :
 les rayons des deux cercles sont égaux (voir codage).
 les centres A et A’ sont symétriques par rapport au point O. En
particulier, OA = OA’ (ou encore, O est le milieu de [AA’]).
(c)
A
O
A'
(c’)
Pour construire le symétrique d’un cercle, il suffit de construire le
symétrique de son centre et de garder le même rayon.
Interrogation orale :
–
En classe :
44 p. 162
Exercices :
43 p. 162
6. Un polygone
Propriété
Le symétrique d’un polygone par rapport à un point est un polygone superposable :
la symétrie conserve donc les mesures d’angles, les périmètres et les aires.
Exemples : Les deux figures noire et orange sont
symétriques puisqu’elles sont superposables par demitour autour de O. Puisque ce sont les mêmes figures
(mais retournées),
 les deux angles marqués ont la même mesure,
 les périmètres de ces deux figures sont égales
(on peut mesurer pour vérifier…),
 les aires de ces deux figures sont égales.
Interrogation orale :
18, 24 p. 20
En classe :
1, 2, 3, 4, 5 p. 158
O
Exercices :
6, 7, 8, 9 p. 159 / 42 p. 162
III – Centre de symétrie
Définition
Si le symétrique d’une figure par rapport à un point O est elle-même, alors on dit que le
point O est le centre de symétrie de la figure.
Exemples : Une seule de ces figures n’admet pas de centre de symétrie. Laquelle ? Pourquoi ?
En classe :
63 p. 164
Exercices :
47, 48 p. 163
page 45
Interrogation orale :
–
page 46
Chapitre N° 15 :
Figures usuelles (A-B)
I – Éléments de symétrie
Recopier et compléter le tableau suivant :
Carré
Losange
Rectangle
Axes de symétrie
Centre de symétrie
Illustration
(d
ʺ)
D
Deux axes de symétrie :
les médiatrices des côtés du
rectangle
(dʹ
)
C
O
A
B
D (Δ2)
Deux axes de symétrie :
les diagonales du losange
Un seul centre de symétrie :
le point d’intersection des
deux diagonales
A
(Δ1)
C
O
B
(d D
2)
Quatre axes de symétrie :
les diagonales du carré, ainsi
que les médiatrices de ses
côtés
(d
1)
(d
3)
C
O
A
Remarque
(d
4)
B
Le rectangle, le losange et le carré vérifient tous les trois la définition du parallélogramme (côtés opposés
parallèles), ce sont donc des parallélogrammes particuliers. En tant que tel, ils admettent tous un centre de
symétrie qui est le point d’intersection des diagonales.
En classe :
38, 39 p. 233
Exercices :
40, 41 p. 233
II – Le rectangle
Propriété (rappel de 6ème)
Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont la même longueur.
Toutes les autres propriétés découlent du fait qu’un rectangle est un parallélogramme particulier.
Propriété R2
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un
rectangle.
Ces propriétés nous serviront à démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle.
Interrogation orale :
–
En classe :
1, 3, 5 p. 230 / 54 p. 234
Exercices :
12, 15, 18 p. 231 / 56 p. 234
page 47
Propriété R1
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
III – Le losange
Propriété (rappel de 6ème)
Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.
Toutes les autres propriétés découlent du fait qu’un losange est un parallélogramme particulier.
Propriété L1
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un
losange.
Propriété L2
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
Ces propriétés nous serviront à démontrer qu’un quadrilatère est un losange.
Interrogation orale :
–
En classe :
2, 4, 7 p. 231 / 53 p. 234
Exercices :
13, 16 p. 231 / 51, 52 p. 234
IV – Le carré et synthèse
On a déjà vu en 6ème qu’un carré était à la fois un losange et un rectangle. Il possède donc toutes les propriétés
de ces deux figures, y compris celles que nous venons de voir.
Nous pouvons synthétiser toutes les informations de ce chapitre dans un « organigramme » :
parallélogramme
+ un angle droit
+ diagonales de même
longueur
+ deux côtés consécutifs
de
même longueur
+ diagonales
perpendiculaires
page 48
Interrogation orale :
21 à 37 p. 233
Rectangle
+ deux côtés consécutifs
de
même longueur
+ diagonales
perpendiculaires
+ diagonales de même
longueur
Losange
+ un angle droit
En classe :
9 p. 230 / 14 p. 231
Exercices :
17, 18, 19 p. 231 / 50 p. 234
Carré
Chapitre n° 16 :
Périmètre (A-B)
À la fin du chapitre, nous verrons une synthèse générale sous forme de tableaux : périmètres/aires des
figures usuelles, ainsi que volumes des solides vus jusqu’à présent.
I - Périmètres
Définition
Le périmètre d’une figure est la mesure de son contour (et uniquement du contour).
Propriétés
-
Le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de ses côtés.
Le périmètre d’un cercle (ou disque) de rayon R est donné par : 2    R = 2R.
Le périmètre d’un cercle (ou disque) de diamètre D est donné par :   D = D.
Dans ces formules, on a supprimé les symboles de multiplication (voir paragraphe II – Notations et
simplification
d’écriture
du
Chapitre
n°
4:
Expression littérale, page 11) : faire quand même une petite explication !!
Exemple : Quel est le périmètre d’un cercle de 3 cm de rayon ? → p = 2    3 = 6  18,85 cm.
Interrogation orale :
34 (1), 35 (1), 36(1), 37 (1) p. 268
En classe :
52, 53, 54 (uniquement périmètre) p. 270
Exercices :
56, 57 (uniquement périmètre) p. 270
Pour le calcul d’un périmètre, toutes les longueurs données doivent être exprimées dans la
même unité. De manière générale, il faut prendre cette habitude dès que l’on calcule avec
des grandeurs.
Exemple : Un terrain vide a une surface de 5 a. On construire une maison d’une surface de
120 m2 et une terrasse de 300 dm2. Quelle surface du terrain reste inoccupée ?
→ 5 a – 120 m2 – 300 dm2 = 500 m2 – 120 m2 – 3 m2 = 377 m2.
II – Tableaux de synthèse
Figure
Triangle
Cerf-volant
Losange
B
B
Périmètre
Aire
hauteur
associé
eh A
C
A
côté
c
--ch
2
C
b
b
c
D
a
--ab
2
a
4  c = 4c
ab
2
page 49
Dessin
Figure
Dessin
Parallélogramme
côté
c
---
Aire
ch
Carré
 r
c
L
2  (L + ℓ)
= 2(L + ℓ)
Lℓ
Cylindre de
révolution
Prisme droit
h
4  c = 4c
2  π  r = 2πr
c2
π  r2 = πr2
Cube
Parallélépipède rectangle
c
h
r
page 50
v=bh
v = π  r2  h = π r2 h
ℓ
c
c
v=bh
Disque
ℓ
hauteur
associée
h
Périmètre
h
Rectangle
v=bh
v = c  c  c = c3
L
v=bh
v=Lℓh=Lℓh
Chapitre n° 17 :
Parallélogramme (A-B)
I – Définition
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
Exemple : Puisque les deux côtés d’une règle sont parallèles, on a :
D
A
C
B
Propriétés
-
Si un quadrilatère ABCD est un
, alors ses côtés opposés sont parallèles ;
Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles, alors c’est un
.
Interrogation orale :
19, 20, 21 p. 214
En classe :
1, 2, 3, 4 p. 212
Exercices :
5, 7, 9, 11 p. 213 / 34, 35 p. 215
II – Symétrie
Propriété S
Si un quadrilatère est un
, alors il a un centre de symétrie qui est le point
d’intersection des deux diagonales.
Exemple : Tracer le point O d’intersection des diagonales du
ABCD ci-dessus, et vérifier que O est bien le
centre de symétrie du
(autrement dit, vérifier que O est bien le milieu des segments [AC] et [BD]).
Définition
On dit alors plus précisément que le
Interrogation orale :
22 p. 214
ABCD est un
de centre O.
En classe :
–
Exercices :
–
III – Propriétés
1. Côtés
Si un quadrilatère est un
même longueur.
, alors ses côtés opposés ont la
page 51
Propriété C1
Exemple : Nommer le quadrilatère ci-dessus et écrire les deux égalités de longueurs.
Interrogation orale :
–
En classe :
–
Exercices :
43, 44 p. 215
2. Diagonales
Propriété D
Si un quadrilatère est un
en leur milieu.
, alors ses diagonales se coupent
Exemple : Nommer le quadrilatère ci-dessus, ainsi que son centre O, et écrire les deux égalités de longueurs.
Remarque
Ces deux propriétés fonctionnent en sens inverse avec un quadrilatère non croisé :
- Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un
;
- Si un quadrilatère non croisé a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un
Interrogation orale :
–
En classe :
57 p. 216
.
Exercices :
45 p. 215
3. Angles
Propriété A1
Si un quadrilatère est un
même mesure.
, alors ses angles opposés sont de
Exemple : Nommer le quadrilatère ci-dessus, ainsi que son centre O, et écrire les deux égalités de mesures
d’angles.
Propriété A2
Si un quadrilatère est un
, alors deux de ses
angles consécutifs (= deux angles qui se suivent) sont
supplémentaires.
Exemple : Nommer le quadrilatère ci-dessus et écrire les quatre sommes d’angles qui sont supplémentaires.
Interrogation orale :
–
En classe :
–
Exercices :
46, 47 p. 215
4. Longueur et parallélisme
Propriété C2
D
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés de même
longueur ET parallèles, alors c’est un
.
A
C
B
Exemple : Dans le quadrilatère ABCD, on sait que (AB) // (CD) et que AB = CD. D’après cette propriété,
ABCD est donc un
.
page 52
Interrogation orale :
–
En classe (bilan) :
12, 13, 14, 15, 16 p. 213
Exercices (bilan) :
17, 18 p. 213 / 55 p. 216
Chapitre n° 18 :
Angles (A-B)
I – Vocabulaire important
1. Angles complémentaires et supplémentaires
Définitions
-
Deux angles sont dits complémentaires s’ils forment
un angle droit (90°) (voir illustration ci-contre).
Deux angles sont dits supplémentaires s’ils forment
un angle plat (180°).
Exemple : Sur la figure, les angles
et
x
30
°
60
°
O
P
30
°
z
v
u
sont complémentaires. Faire construire de tels angles.
2. Angles adjacents
Définition
Deux angles sont dits adjacents s’ils vérifient les trois conditions
suivantes :
- ils ont le même sommet ;
- ils ont un côté commun ;
- ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
Exemple : Sur cette figure, les angles vert et rouges sont adjacents. Faire construire de tels angles.
Remarque
Ces trois conditions sont importantes : sur chaque figure, les angles violet et orange ne sont pas
adjacents car…
les angles ne sont pas situés de
.le sommet n’est pas le même
il n’y a pas de côté commun
part et d’autre du côté commun
3. Angles opposés par le sommet
Définition
Exemple : Sur cette figure, les angles rouges sont opposés par le sommet, ainsi que les angles verts.
page 53
Deux angles sont dits opposés par le sommet s’ils sont non adjacents et
formés par deux droites sécantes.
Deux droites sécantes forment deux paires d’angles opposés par le
sommet.
4. Angles alternes-internes
Définition
Soient (d), (d’) deux droites. Une troisième droite (Δ) qui
coupe (d) et (d’) forme deux paires d’angles alternesinternes.
(d)
(Δ)
(d’)
Exemple : Sur cette figure, les angles rouges sont alternes-internes, ainsi que les angles verts. Faire
construire de tels angles.
Remarque
« Alternes » signifie qu’ils sont situés de part et d’autre de la droite (Δ) (alternance) et « internes » signifie
qu’ils se trouvent entre les deux droites (d) et (d’) (à l’intérieur). Il existe aussi les angles alternes-externes,
mais ils ne sont plus au programme du collège…
5. Angles correspondants
Définition
Soient (d), (d’) deux droites. Une troisième droite (Δ) qui
coupe (d) et (d’) forme quatre paires d’angles
correspondants (qui regardent dans la même direction).
(d)
(Δ)
(d’)
Exemple : Sur cette figure, les angles rouges sont correspondants, ainsi que les angles verts, violets et
orange. Faire construire de tels angles. Passer le diaporama sur ce type d’angles et interroger les élèves.
Interrogation orale :
13, 14, 15, 16 p. 196
En classe :
1, 2 p. 194
Exercices :
3, 4 p. 194 / 19, 20, 22, 23, 24, 25 p. 197
II – Propriétés (plus au programme)
Propriété
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Propriété
Si deux droites sont parallèles, alors toute troisième droite qui coupe les deux
parallèles forme des angles alternes-internes (et correspondants) de même mesure.
Propriété
page 54
Si deux angles alternes-internes (ou correspondants) ont la même mesure, alors les
droites sur lesquelles ils reposent sont parallèles.
Interrogation orale :
17, 18 p. 197
En classe :
5, 6, 7, 8 p. 195 / 29, 30 p. 198
Exercices :
9, 10, 11, 12 p. 195 / 32, 33, 34 p. 198