Seconde Générale - cours et exercices corrigés sur les vecteurs

Cours et exercices de mathématiques - seconde générale - document disponible sur JGCUAZ.FR
VECTEURS
Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page perso JGCUAZ.FR
rubrique mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de seconde générale en mathématiques.
Il contient le cours (définitions, théorèmes, démonstrations) et des exercices tous corrigés.
La progression proposée est celle que je pratique dans mes classes.
Au fur et à mesure, j'ai inséré des remarques, conseils et points méthode, sur la
base de mon expérience d'enseignant en lycée.
Ce document n'a pas la prétention de se substituer à l'assiduité nécessaire au cours, mais pourra
permettre au lecteur de rattraper une absence, de réviser une notion et/ou de préparer une évaluation,
le temps de recherche des exercices (et non pas une lecture immédiate du corrigé, même si celui-
ci est écrit "juste en dessous"!) étant une condition nécessaire à la réussite.
La navigation peut s'effectuer de manière interactive pour ceux qui utilisent la version PDF de ce
document.
Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page personnelle JGCUAZ.FR où vous trouverez
mon adresse électronique (qui est JGCU[email protected] à la date du 08/10/2016)
Montpellier, le 08/10/2016
Jean-Guillaume CUAZ,
professeur de mathématiques,
Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 2013
Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à 2013
Vecteurs Page 1/27 Version du 08/10/2016

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VECTEURS
La notion de vecteur est à la base de la géométrie.
Dans ce chapitre, elle se définit de manière dynamique grâce aux translations, avant d'en étudier
l'aspect analytique (coordonnées)
1) Vecteurs et translation
Dans le langage courant, « être vecteur de quelque chose » signifie transporter quelque chose
Un synonyme du mot « translater » est déplacer (mais sans déformer !)
Définition :
Soit A et B deux points.
La translation de vecteur est la transformation qui, à tout point M associe le point N tel que
ABNM soit un parallélogramme.
Ce déplacement est caractérisé par son vecteur , qui comprend trois composantes :
La direction du vecteur qui est l'inclinaison de la droite (AB)
Le sens du vecteur
La longueur AB, qui est appelée aussi norme du vecteur , et notée
2) Composantes d'un vecteur
Propriété
Un vecteur est un condensé de trois données :
Une direction : Celle de la droite (AB)
Un sens : de A vers B
Une longueur AB appelée aussi norme du vecteur
AB
AB
AB
AB
AB
AB
AB
AB
Seconde - Vecteurs Page 2/27 Version du 08/10/2016

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Propriété
Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et
même longueur
Propriété :
Soit un vecteur.
L’image d’un point M par la translation de vecteur est un point N si et seulement si
Propriété
Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme.
Attention à l'ordre des lettres dans la dénomination du parallélogramme
Propriété - définition
Les vecteurs et ont :
- même direction - même norme -des sens opposés
On dit qu’ils sont opposés et on note (ou )
Propriété
Puisque l’on peut copier-coller un vecteur pour fabriquer d’autres vecteurs qui lui sont égaux, il est
possible de créer des vecteurs indépendants des points
On les appelle vecteurs libres. On peut les noter ou
AB
CD
AB
AB
MN AB
=
AB
CD
BA
AB
BA AB= −
AB BA= −
u
v
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VECTEURS - EXERCICES
Exercice n°1. (correction)
On considère la figure ci-contre.
Dans la translation de vecteur
, quelle est
l’image de G ?
Quel point a pour image E ?
Dans la translation de vecteur
, quelle est
l’image de E ?
Quel point a pour image E ?
Exercice n°2. (correction)
On considère l'hexagone ACBFGD ci-dessous.
Compléter les cases vides du tableau ci-dessous
L'image du point...
par la translation de vecteur....
est le point....
A
......
.......
C
H
........
F
B
........
C
AB
BC
CB
DEF
A
HG
DE
GH
Seconde - Vecteurs Page 4/27 Version du 08/10/2016

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Exercice n°3. (correction)
On considère la figure ci-dessous.
Citer tous les vecteurs égaux à
Exercice n°4. (correction)
On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O,
et I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [ED].
En utilisant les lettres de la figure citer :
1) Deux vecteurs égaux
2) Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et
de normes différentes
3) Deux vecteurs de même direction, de même sens et de
normes différentes
4)
Deux vecteurs de direction différentes et de même
norme
BC
CB
DEF
A
HG
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