Seconde Générale - cours et exercices corrigés sur les vecteurs

Cours et exercices de mathématiques - seconde générale - document disponible sur JGCUAZ.FR
VECTEURS
Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page perso JGCUAZ.FR
rubrique mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de seconde générale en mathématiques.
Il contient le cours (définitions, théorèmes, démonstrations) et des exercices tous corrigés.
La progression proposée est celle que je pratique dans mes classes.
Au fur et à mesure, j'ai inséré des remarques, conseils et points méthode, sur la
base de mon expérience d'enseignant en lycée.
Ce document n'a pas la prétention de se substituer à l'assiduité nécessaire au cours, mais pourra
permettre au lecteur de rattraper une absence, de réviser une notion et/ou de préparer une évaluation,
le temps de recherche des exercices (et non pas une lecture immédiate du corrigé, même si celuici est écrit "juste en dessous"!) étant une condition nécessaire à la réussite.
La navigation peut s'effectuer de manière interactive pour ceux qui utilisent la version PDF de ce
document.
Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page personnelle JGCUAZ.FR où vous trouverez
mon adresse électronique (qui est [email protected] à la date du 08/10/2016)
Montpellier, le 08/10/2016
Jean-Guillaume CUAZ,
professeur de mathématiques,
Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 2013
Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à 2013
Vecteurs
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VECTEURS
La notion de vecteur est à la base de la géométrie.
Dans ce chapitre, elle se définit de manière dynamique grâce aux translations, avant d'en étudier
l'aspect analytique (coordonnées)
1) Vecteurs et translation
Dans le langage courant, « être vecteur de quelque chose » signifie transporter quelque chose
Un synonyme du mot « translater » est déplacer (mais sans déformer !)
Définition :
Soit A et B deux points.

La translation de vecteur AB est la transformation qui, à tout point M associe le point N tel que
ABNM soit un parallélogramme.

Ce déplacement est caractérisé par son vecteur AB , qui comprend trois composantes :

La direction du vecteur AB qui est l'inclinaison de la droite (AB)

Le sens du vecteur AB


La longueur AB, qui est appelée aussi norme du vecteur AB , et notée AB
2) Composantes d'un vecteur
Propriété

Un vecteur AB est un condensé de trois données :
Une direction : Celle de la droite (AB)
Un sens : de A vers B

Une longueur AB appelée aussi norme du vecteur AB
Seconde - Vecteurs
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Propriété


Deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et
même longueur
Propriété :

Soit AB un vecteur.

 
L’image d’un point M par la translation de vecteur AB est un point N si et seulement si MN = AB
Propriété


Deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme.
Attention à l'ordre des lettres dans la dénomination du parallélogramme
Propriété - définition


Les vecteurs BA et AB ont :
- même direction
- même norme
-des sens opposés




On dit qu’ils sont opposés et on note BA = − AB (ou AB = − BA )
Propriété
Puisque l’on peut copier-coller un vecteur pour fabriquer d’autres vecteurs qui lui sont égaux, il est
possible de créer des vecteurs indépendants des points


On les appelle vecteurs libres. On peut les noter u ou v
Seconde - Vecteurs
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VECTEURS - EXERCICES
Exercice n°1. (correction)
On considère la figure ci-contre.
D
F
E

Dans la translation de vecteur AB , quelle est
G
l’image de G ?
Quel point a pour image E ?
H

Dans la translation de vecteur BC , quelle est
l’image de E ?
C
B
Quel point a pour image E ?
A
Exercice n°2. (correction)
On considère l'hexagone ACBFGD ci-dessous.
Compléter les cases vides du tableau ci-dessous
L'image du point...
A
.......
par la translation de vecteur....

DE

GH
est le point....
......
C
H
........
F
B
........
C
Seconde - Vecteurs
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Exercice n°3. (correction)
D
E
F
On considère la figure ci-dessous.
G

Citer tous les vecteurs égaux à BC
H
C
B
A
Exercice n°4. (correction)
On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O,
et I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [ED].
En utilisant les lettres de la figure citer :
1) Deux vecteurs égaux
2) Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et
de normes différentes
3) Deux vecteurs de même direction, de même sens et de
normes différentes
4) Deux vecteurs de direction différentes et de même
norme
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VECTEURS - CORRECTION
Correction de l'exercice n°1 (retour à l'énoncé)

1) Dans la translation de vecteur AB , quelle est l’image de G ? F

2) Dans la translation de vecteur BC , quelle est l’image de E ? D
Quel point a pour image E ? H
Quel point a pour image E ? F
Correction de l'exercice n°2 (retour à l'énoncé)
L'image du point...
A
I
H
B
par la translation de vecteur....

DE

GH

HF

BC
est le point....
C
C
F
C
Correction de l'exercice n°3 (retour à l'énoncé)
   
ED
= FE
= GH
= BC
Correction de l'exercice n°4 (retour à l'énoncé)
(Pour chaque question, plusieurs réponses sont possibles)
 
1) Deux vecteurs égaux AB = ED


2) Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et de normes différentes AB et CF


3) Deux vecteurs de même direction, de même sens et de normes différentes AB et FC


4) Deux vecteurs de direction différentes et de même norme AD et BE
Seconde - Vecteurs
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VECTEURS - SOMME
3) Somme de vecteurs - relation de Chasles
Définition - Propriété dite « relation de Chasles »


Soit AB et BC deux vecteurs

 
On DEFINIT le vecteur AB + BC comme étant le vecteur AC
Ainsi, on obtient la fameuse « relation de Chasles » :



Quels que soient les points A,B et C, AB + BC = AC
ATTENTION ! Il s'agit d'une egalité entre vecteurs et non pas entre longueurs
En général, on n'a jamais AB+BC=AC, sauf si les points A,B et C sont alignés.
Définition :


Le vecteur AA pour lequel origine et extrémité sont confondues est appelé vecteur nul et noté 0
4) Construction de la somme de 2 vecteurs


Etant donnés les vecteurs u et v ci-dessous :


On copie-colle le vecteur v à la suite du vecteur u et on utilise la relation de Chasles
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Méthode n°2






Puisque u + v = v + u , on copie-colle le vecteur u à la suite du vecteur v et on utilise la relation de
Chasles
Propriété :
Soit A,B et C trois points.

 
Le vecteur AB + AC est égal au vecteur AD où D est le 4ème point du parallélogramme ABDC.
5) Soustraction de 2 vecteurs
METHODE
Pour soustraire deux vecteurs, on additionne le premier à l'opposé du second
Exemple :
  

    
AB − AC= AB + − AC = AB + CA= CA + AB= CB
(
)
Il n'est pas toujours possible de simplifier l'écriture d'une soustraction
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VECTEURS - SOMME - EXERCICES
D
E
F
Exercice n°5. (correction)
On considère la figure ci-contre :
G
En n'utilisant que les lettres représentées sur
cette figure, compléter :


AB + BC =


AB + AH =


BF + GF =

FG +

BA +

BC +

GE =

BC =

DE =
H
C
B
A
Exercice n°6. (correction)
On considère la figure ci-contre :
En utilisant uniquement les points de la figure, compéter chaque
pointillé par le nom d'un point :
  
  
1) AF + HC =
2) DB + AE =
D.
E.
  
  
3) EF + GC =
4) CA + FG =
.I
C.
   
5) EF + BF + CG =
C.
Exercice n°7. (correction)
Compléter les pointillés à l'aide de la relation de Chasles



IJ = IB + B.



H . = .. + IJ

.S



MN = .P + ..



    
.E = F . + G.
AB + BC + CD + DE = ..





 
.C
.D
..
CD
.A
+
+
=
+ A.
AB =



.. = JK + .M


XK = XL +

RS =

.K

R. +




.Y = XJ + .. + .R
Exercice n°8. (correction)
Compléter les égalités suivantes (s'il y a plusieurs possibilités, n'en donner qu'une)
  
  
1) IB
2) D... + C.. =
= ... A + A...
...B
  
  
3) HG + ...... =
4) E... + ...E =
HF
......
   
  
0
5) A... = A... + B... + CF
6) FE + ...... =
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Exercice n°9. (correction)
Ecrire le plus simplement possible :
 
 
1) BD + DA =
2) BD + AA =
 
  
3) BD + DB = 4) BD + AD + BA =
Exercice n°10. (correction)
Compléter les égalités suivantes à l'aide de la figure :


2) u1 + .... =
u5
 
1) u2 + u5 =
....
 
3) ..... + u3 =
u4
 
4) u3 + u1 =
....
Exercice n°11. (correction)
Ecrivez chacune des expressions suivantes sous la forme d’un seul vecteur :
 
   
1) BD − BA
2) BD − BA + DA − DB
  
(
3) DC − BA + BD

(
 
 
) (
 
4) AB + CD − AB − BC
)
)
   
5) CD − FE − GH − EH − GF − DK + CK
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VECTEURS - SOMME - CORRECTION
Correction de l'exercice n°5 (retour à l'énoncé)



AB + BC = AC





AB + AH = AB + BE = AE


 

BF + GF = AG + GF = AF

 
FG + GE = FE





BA + BC = FG + GH = FH

   
BC + DE = BC + CB = BB
Correction de l'exercice n°6 (retour à l'énoncé)
  
  
1) AF + HC =
2) DB + AE =
EG
DG
  
  
3) EF + GC =
4) CA + FG =
EI
CI
   
5) EF + BF + CG =
CB
Correction de l'exercice n°7 (retour à l'énoncé)

    





AB + BC + CD + DE = AE
FE = FG + GE
IJ = IB + BJ
 


 




AB = AC + CD + DB
XK = XL + LK
HJ = HI + IJ
 







CD = CA + AD
RS = RA + AS (ou n’importe XY = .. + RY + JR (on change alors
l’ordre des vecteurs dans la somme)
quelle autre lettre que A)


 


MN = MP + PN JM = JK + KM
Correction de l'exercice n°8 (retour à l'énoncé)
  
  
1) IB
2) DC + CB =
= IA + AB
DB
  
  
3) HG + GF =
4) EB + AE =
AB (ou tout autre couple de lettres (A,B))
HF
  
   
5) AF = AB + BC + CF
6) FE + EF =
0
Correction de l'exercice n°9 (retour à l'énoncé)
  
  
1) BD + DA =
2) BD + AA =
BA
BD
       

4) BD + AD + BA = BD + BA + AD = BD + BD = 2 BD
Correction de l'exercice n°10 (retour à l'énoncé)
  
  
1) u2 + u5 =
2) u1 + u4 =
u1
u5
Seconde - Vecteurs
  
3) BD + DB =
0
  
3) u5 + u3 =
u4
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  
4) u3 + u1 =
0
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Correction de l'exercice n°11 (retour à l'énoncé)
 
 
 

1) BD − BA = BD + AB = AB + BD = AD
2)
       
BD − BA + DA − DB = BD + AB + DA + BD
   
= BD + DA + AB + BD
  
=
BD
+ DB

 + BD

=0
=
3)
4)
5)

BD
         
DC − BA + BD = DC + AB + BD = AB + BD + DC = AC
 
        
AB + CD − AB − BC = AB + CD − AB + BC = BC + CD = BD
             

CD − FE − GH − EH − GF − DK + CK = CD + EF + GH + HE + FG + KD + CK = 2CD
(
) (
(
)
)
Seconde - Vecteurs
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COLINEARITE
6) Produit d'un vecteur par un nombre - vecteurs colinéaires.
Définition :

Soit u un vecteur et k un nombre




Le vecteur v= k × u (ou plus simplement ku ) résultant de la multiplication de u par k, est défini
par :
 
 
Si k = 0 ou u = 0 , alors v = 0


Si k ≠ 0 et u ≠ 0 :



u et v= k × u ont même direction



u et v= k × u sont de même sens si et seulement si k > 0 et de sens opposés si et seulement si
On résume en
k <0
affirmant que la


La norme du vecteur v est égale à k fois celle de u si k > 0 ou -k fois si k < 0 ) norme du vecteur

v est égale à k

fois celle de u
Exemple

On considère le vecteur u ci-dessous.






On a construit les vecteurs v et w tels que v = 1,5u et w = −2u
Définition :


Soit u et v deux vecteurs.




S'il existe un nombre k tel que v= k × u , on dit que les vecteurs u et v sont colinéaires


En particuliers, deux vecteurs u et v non nuls colinéaires ont la même direction.
Seconde - Vecteurs
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COLINEARITE - EXERCICES
Exercice n°12. (correction)


Sur la figure suivante, on considère le point A et les vecteurs u et v .
Construire sur la figure :
  
1) Le point B tel que AB= u + v


3) Le point D tel que AD = −3u

 
5) Le point F tel que AF
= 3u − v
  
2) Le point C tel que AC= u − v


4) Le point E tel que AE = 1,5v



6) Le point G tel que AG =−u − 2v
Exercice n°13. Vrai ou Faux ? (correction)
Affirmation
Deux vecteurs égaux sont colinéaires
Deux vecteurs colinéaires sont égaux
Deux vecteurs opposés sont colinéaires
 
V ou F ?

Si I est le milieu de [AB], alors IA + IB =
0
 
Si I est le milieu de [AB], alors AI = IB


Si B est le milieu de [AC], alors AB et AC sont colinéaires


Si B est le milieu de [AC], alors AB et BC sont colinéaires
Seconde - Vecteurs
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Exercice n°14. (correction)
Les égalités vectorielles suivantes sont elles vraies ou fausses ?
EGALITE
VRAI ou FAUX ?
 

2 AB + BC =
2 AC
 

2 AB + BC =
3 AC
 

2 AB + 2 BC =
4 AC
 

2 AB + 3BC =
5 AC
  
AB − BC =
AC
  
AB − BC =
CA
Seconde - Vecteurs
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COLINEARITE - CORRECTION
Correction de l'exercice n°12 (retour à l'énoncé)
Correction de l'exercice n°13 (retour à l'énoncé)
Affirmation
Deux vecteurs égaux sont colinéaires
Deux vecteurs colinéaires sont égaux
Deux vecteurs opposés sont colinéaires
  
Si I est le milieu de [AB], alors IA + IB =
0
 
Si I est le milieu de [AB], alors AI = IB

Si B est le milieu de [AC], alors AB et
colinéaires

Si B est le milieu de [AC], alors AB et
colinéaires

AC sont
V ou F ?
Vrai (l'un est = à 1 fois l'autre)
Faux
Vrai (l'un est = à -1 fois l'autre)
Vrai (faire une figure!)
Vrai (faire une figure!)


Vrai car AC = 2 AB

BC sont


Vrai car BC = 1× AB
Correction de l'exercice n°14 (retour à l'énoncé)
EGALITE
 

2 AB + BC =
2 AC
 

2 AB + BC =
3 AC
 

2 AB + 2 BC =
4 AC
 

2 AB + 3BC =
5 AC
  
AB − BC =
AC
  
AB − BC =
CA
Seconde - Vecteurs
VRAI ou FAUX ?
FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
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COORDONNEES D'UN VECTEUR
7) Coordonnées d'un vecteur
Dans toute la suite, on suppose le plan muni d'un repère (O,I,J)

On considère les points A(2;1) et B(5;2) et on s'intéresse à la translation de vecteur AB .
Pour se rendre du point A au point B, on se déplace de 3 carreaux vers la droite et d'1 carreau vers le
haut.
Définition


On définit ainsi les coordonnées du vecteur AB comme étant AB ( 3;1)
Propriété
Soit (O,I,J) un repère du plan
On considère deux points A ( x A ; y A ) et B ( xB ; yB )


Les coordonnées du vecteur AB sont alors AB ( xB − x A ; yB − y A ) .
 x − x A
Par commodité, on les écrit en colonne AB B
, mais ce n'est pas une obligation !
yB − y A
Exemple :
Dans le plan muni d'un repère, si on considère les points A(-2;3) et B(1;5) alors les coordonnées de

 1 − ( −2 ) =3
AB sont AB
5−3=
2
Attention à la soustraction des nombres relatifs. On a bien xB − x A = 1 − ( −2 ) = 1 + 2 = 3
Seconde - Vecteurs
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Propriété :



Le plan étant muni d’un repère, soit u et v deux vecteurs de coordonnées respectives u ( x; y ) et

v ( x′; y′ ) . Alors :


u = v équivaut à x = x′ et y = y′
  x + x′
 
Le vecteur u + v a pour coordonnées u + v
y + y′

 kx
Si k est un nombre, le vecteur ku a pour coordonnées ku
ky
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COORDONNEES D'UN VECTEUR - EXERCICES
Exercice n°15. (correction)
On considère la figure ci-contre.

1) Donner les coordonnées des vecteurs AG ,
 
CF , EB
2) Placer sur la figure le point H tel que les


coordonnées du vecteur FH soient FH ( 3; −1)
Exercice n°16. (correction)


Ci-dessous, on a placé trois points A,B et C. On considère, de plus, les vecteurs u ( −3;1) et v ( 4; −2 )


1) Placer le point M tel que AM = u

 
3) Placer le point P tel que CP= u + v
Seconde - Vecteurs

3
2
  
4) Placer le point Q tel que BQ= u − v
2) Placer le point N tel que BN = − v
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Exercice n°17. (correction)
On considère les points A(-8;-15) et B(7;-5)

1) Donner les coordonnées du vecteur AB

2) Donner les coordonnées du vecteur BA
Exercice n°18. (correction)
On considère les points A(-3;8), B(3;2) et C(-1;6).


1) Déterminer les coordonnées du vecteur AD tel que =
AD
coordonnées du point D.


1  
AB − 2 BC et en déduire les
3

0
2) Déterminer les coordonnées du point E tel que 4 EA − 2 EB =

3) Déterminer les coordonnées du point F image du point C par la translation de vecteur AB
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COORDONNEES D'UN VECTEUR - CORRECTION
Correction de l'exercice n°15 (retour
à
l'énoncé)



1) AG ( 0; −6 ) , CF ( −4;0 ) et EB ( 7;5 )
2) Voir figure ci-contre
Correction de l'exercice n°16 (retour à l'énoncé)
Correction de l'exercice n°17 (retour à l'énoncé)

1) AB ( xB − x A =7 − ( −8 ) =7 + 8 =15; yB − y A =−5 − ( −15 ) =−5 + 15 =10 )

2) BA ( x A − xB =
−8 − 7 =
−15; y A − yB =
−15 − ( −5 ) =
−15 + 5 =
−10 )
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Correction de l'exercice n°18 (retour à l'énoncé)
 xB − x A = 3 − ( −3) = 6

1) Les coordonnées de AB sont AB

 xC − xB =−1 − 3 =−4
Les coordonnées de BC sont BC

Les coordonnées de =
AD
yB − y A =2 − 8 =−6
yC − yB = 6 − 2 = 4
donc celles de
1  2
1 
.
AB sont AB
−2
3
3

 −8
.
8
donc celles de 2BC sont 2 BC
 1   2 − ( −8 ) =10
1  
AD
AB − 2 BC
.
AB − 2 BC sont donc =
3
3
−2 − 8 =−10
 xD − x A= xD − ( −3)= xD + 3

Notons D ( xD ; yD ) . Les coordonnées de AD sont AD
yD − y A = yD − 8
.

10
 xD + 3 =
x = 7
1  
d'où on conclut  D
AB − 2 BC entraîne 
3
 yD − 8 =−10
 yD = −2
 
2) Notons E ( xE ; yE ) . Les coordonnées de 4 EA − 2 EB sont :
L'égalité =
AD
  4 ( x A − xE ) − 2 ( xB − xE ) =
−18 − 2 xE
.
4 EA − 2 EB
4 ( y A − yE ) − 2 ( yB − yE ) =28 − 2 yE



0
−18 − 2 xE =
 x = −9
d'où on conclut  E
0
28 − 2 yE =
 yE = 14
L'égalité 4 EA − 2 EB =
0 entraîne 



3) Notons F ( xF ; yF ) . Puisque F est l'image de C par la translation de vecteur AB , on a CF = AB .

 xF − xC = xF + 1
Les coordonnées de CF sont CF


yF − yC = yF − 6

 6
. Les coordonnées de AB sont AB
−6
.
 xF + 1 =6
x = 5
, d'où on conclut  F
 yF − 6 =−6
 yF = 0
L'égalité CF = AB entraîne 
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VECTEURS - CRITERE DE COLINEARITE
8) Critère de colinéarité de deux vecteurs
Propriété :
 x′
x
Deux vecteurs u
et v
sont colinéaires si et seulement si les coordonnées de l'un sont
y′
y
proportionnelles aux coordonnées de l'autre, autrement dit si et seulement si le tableau
x
y
x′
est
y′
un tableau de proportionnalité. On obtient ainsi le critère :
 x′
x
Deux vecteurs u
et v
sont colinéaires si et seulement si x × y′ = x′ × y ou encore
y′
y
x × y ′ − x′ × y =
0 (produits en croix égaux)
Exemples :
2
3
u et v sont colinéaires car les produits en croix valent 3 × 4 et 6 × 2 .
4
6
 10
7
En revanche, les vecteurs u et v
ne sont pas colinéaires car les produits en croix valent
7
5
7×7 =
49 et 5 × 10 =
50 donc sont différents.
9) Applications de la colinéarité à l'étude des parallélismes et des alignements
Règle :


Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
On a l'équivalence :
 
AB
/
/
CD
⇔
( ) ( ) AB et CD sont colinéaires
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Pour étudier l'éventuel parallélisme de deux droites (AB) et (CD) il SUFFIT d'étudier la


colinéarité des vecteurs AB et CD .
Exemple :
On considère les points A(-5 ;1) , B(3 ;6), C(-3 ;-7) et D (13;3) .

On calcule les coordonnées des vecteurs AB ( xB − x A = 3 − ( −5 ) = 8; yB − y A = 6 − 1 = 5 ) et

CD ( xD − xC = 13 − ( −3) = 16; yD − yC = 3 − ( −7 ) = 10 )


On remarque que CD = 2 AB .


Puisque les vecteurs AB et CD sont colinéaires, on en conclut que les droites (AB) et (CD) sont
parallèles.
Règle :
Trois points A,B et C sont alignés, peu importe l'ordre d'alignement si et seulement si les vecteurs


AB et AC sont colinéaires.
On a l'équivalence :
 
A,B et C alignés ⇔ AB et AC sont colinéaires
Pour étudier l'éventuel alignement de trois points A,B et C il SUFFIT d'étudier la


colinéarité des vecteurs AB et AC
Exemple :
On donne : B(-4;-2), C(1;0) et E(6;2).

On calcule les coordonnées des vecteurs BC ( xC − xB = 1 − ( −4 ) = 5; yC − yB = 0 − ( −2 ) = 2 ) et

BE ( xE − xB = 6 − ( −4 ) = 10; yE − yB = 2 − ( −2 ) = 4 ) .


On remarque que BE = 2 BC .


Puisque les vecteurs BC et BE sont colinéaires, on en conclut que les points B,C et E sont alignés
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CRITERE DE COLINEARITE - EXERCICES
Exercice n°19. (correction)


On considère A(-2; 2) , B(1;-3) et C(3; 6). Les vecteurs AB et AC sont-ils colinéaires ?
Exercice n°20. (correction)
On considère les points A(-5 ;1) , B(3 ;6), C(-3 ;-7) et D ( x;3) où x est un nombre


Déterminer la valeur de x pour que les vecteurs AB et CD soient colinéaires.
Exercice n°21. (correction)
On donne : B(-4;-2), C(1;0) et E(6;2).


Les vecteurs BC et BE sont-ils colinéaires ?
Exercice n°22. (correction)


1) Pour chacun des cas, dire si les vecteurs u et v sont colinéaires et donner, dans l’affirmative, la


valeur du nombre k tel que v = ku

 1 1
a) u  ; −  et v ( −3; 4 )
4
3


b) u ( −3;6 ) et v (1; −2 )


2) Quelle doit-être la valeur de x pour que les vecteurs u ( 5; −2 ) et v ( x;5 ) soient colinéaires ?
Exercice n°23. (correction)
On considère les points A(1 ;-2), B(-2 ;-3), C(0 ;1) et D(3 ;2).
1) Calculer les coordonnées du point M tel que AMBD soit un parallélogramme.

1 
DB = 2 BN .
5
   
3) Déterminer les coordonnées du point G vérifiant GA + GB + GC =
0
2) Calculer les coordonnées du point N tel que
4) Soit E(-5 ;6). Montrer que (AC) et (EB) sont parallèles
5) Déterminer les coordonnées du point F d’abscisse 4 tel que A,B et F soient alignés.
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CRITERE DE COLINEARITE - CORRECTION
Correction de l'exercice n°19 (retour à l'énoncé)

On calcule les coordonnées des vecteurs AB ( xB − x A =1 − ( −2 ) =1; yB − y A =−3 − 2 =−5 ) et

AC ( xC − x A = 3 − ( −2 ) = 5; yC − y A = 6 − 2 = 4 )
4 et 5 × ( −5 ) =−25 .
On calcule séparément les produits en croix 1× 4 =


Comme ils diffèrent, on conclut que les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires.
Correction de l'exercice n°20 (retour à l'énoncé)

On calcule les coordonnées des vecteurs AB ( xB − x A = 3 − ( −5 ) = 8; yB − y A = 6 − 1 = 5 ) et

CD ( xD − xC = x − ( −3) = x + 3; yD − yC = 3 − ( −7 ) = 10 )


Puisque les vecteurs AB et CD sont colinéaires, les produits en croix sont égaux, ce qui nous
permet d'écrire 8 × 10 = 5 ( x + 3) , équation qui se résout : 5 x + 15 = 80 ⇔ 5 x = 65 ⇔ x = 13
On a donc x = 13
Correction de l'exercice n°21 (retour à l'énoncé)

On calcule les coordonnées des vecteurs BC ( xC − xB = 1 − ( −4 ) = 5; yC − yB = 0 − ( −2 ) = 2 ) et

BE ( xE − xB = 6 − ( −4 ) = 10; yE − yB = 2 − ( −2 ) = 4 ) .
On calcule séparément les produits en croix 5 × 4 =
20 et 10 × 2 =
20 .


Les produits en croix étant égaux, on en déduit que les vecteurs BC et BE sont colinéaires.


On pouvait aussi remarquer, à la lecture de leurs coordonnées, que BE = 2 BC
Correction de l'exercice n°22 (retour à l'énoncé)
 1

1) a) u  ; −  et v ( −3; 4 ) . Les produits en croix valent × 4 =
1 et − × ( −3) =1 . Puisqu'ils sont
4
3
 4 3
1
1

1

égaux, les vecteurs sont colinéaires et on a v = −12u donc k = −12


b) u ( −3;6 ) et v (1; −2 ) . Les produits en croix valent −3 × ( −2 ) =6 et 6 ×1 =6 . Puisqu'ils sont égaux,

1
3
les vecteurs sont colinéaires et on a v = − u donc k = −

1
3

2) u ( 5; −2 ) et v ( x;5 ) seront colinéaires ssi 5 × 5 =−2 × x . On résout l'équation et on trouve x = −
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Correction de l'exercice n°23 (retour à l'énoncé)


1) Notons M ( x; y ) . AMBD est un parallélogramme si et seulement si AM = DB .
Les
coordonnées
de

DB ( −2 − 3 =−5; −3 − 2 =−5 ) .
ces
vecteurs
L’égalité
sont

AM ( x − 1; y + 2 )
respectivement
 
AM = DB
se
traduit
donc
par
le
et
système
 x − 1 =−5
 x =−4
. M est donc M(-4;-7)
⇔ 

 y + 2 =−5
 y =−7
2) Notons N ( x; y ) .


Les coordonnées de DB sont DB ( −5; −5 ) donc celles de


Les coordonnées de 2BN sont 2 BN ( 2 ( x + 2 ) ; 2 ( y + 3) )
1 
1 
DB seront DB ( −1; −1) .
5
5

c’est-à-dire 2 BN ( 2 x + 4; 2 y + 6 ) . L’égalité

2 x + 4 =−1
 x =−2,5
1 
. N est donc N(-2,5;-3,5)
⇔ 
DB = 2 BN se traduit donc par le système 
5
2 y + 6 =−1
 y =−3,5



3) Notons G ( x; y ) . Les coordonnées des vecteurs GA , GB et GC sont respectivement
  



GA (1 − x; −2 − y ) GB ( −2 − x; −3 − y ) et GC ( 0 − x;1 − y ) , donc celles de GA + GB + GC sont
   
  
GA + GB + GC =
0 se traduit par le système
GA + GB + GC ( −1 − 3 x; −4 − 3 y ) . L’égalité
−1 − 3 x =0
⇔

−4 − 3 y =0
4)
On
1

 x = − 3
1 4
. G est donc G  − ; − 

 3 3
y = − 4

3
calcule
les
coordonnées
des
vecteurs



EB ( −2 − ( −5 ) =3; −3 − 6 =−9 ) . On constate que EB = −3 AC .

AC ( 0 − 1 =−1;1 − ( −2 ) =3)
et
Ces vecteurs étant colinéaires, les droites (AC) et (EB) sont parallèles.
5) Notons F ( 4; y ) .


Les points A,B et F sont alignés si et seulement les vecteurs AB et AF sont colinéaires.




Les coordonnées de AB sont AB ( −3; −1) . Les coordonnées de AF sont AF ( 4 − 1= 3; y + 2 ) .


La colinéarité des vecteurs AB et AF se traduit par l'égalité −3 ( y + 2 ) =−1× 3 , équation dont la
résolution fournit y = −1 . Le point F est donc F ( 4; −1)
Seconde - Vecteurs
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