MPSI Espaces vectoriels. Applications linéaires

MPSI
Espaces vectoriels. Applications
linéaires
Exercice 1:
Soit E un K-ev, f ∈ E, n ∈ IN∗ , λ1 , . . . , λn ∈ K deux à deux distincts. On note
Ni = Ker(f − λi IdE ) pour 1 ≤ i ≤ n.
Démontrer que les Ni sont linéairement indépendants, c’est-à-dire :
∀(x1 , . . . , xn ) ∈ N1 × · · · × Nn , x1 + · · · + xn = 0 ⇒ x1 = · · · = xn = 0
Exercice 2:
Soit E = IR[X] le IR-ev des polynômes à coefficients réels, f : E
P
Montrer que f est un automorphisme et exprimer f −1 .
→
7
→
E
.
P′ − P
Exercice 3:
Soient E un Kev, (a, b) ∈ K 2 tel que a 6= b, f ∈ L(E) tel que
(f − aId) ◦ (f − bId) = 0.
1. Montrer qu’il existe (λ, µ) ∈ K 2 et des projecteurs p, q de E tels que :
p = λ(f − aId), q = µ(f − bId), f = bp + aq.
2. Pour tout k ∈ IN∗ , calculer f ◦k en fonction de p, q, k, a, b.
Exercice 4:
Soit E = IR[X] le IR-ev des applications polynômiales à coefficients réels.
On définit D : E → E et I : E → RE
.
x
P 7→ P ′
P 7→ 0 P (t) dt
1. Vérifier que D et I sont linéaires.
2. Exprimer D ◦ I et I ◦ D.
3. Etudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de D et I.
Exercice 5:
Soient n ∈ IN \ {0; 1}.
1. Vérifier que Cn est un C-espace vectoriel pour les lois usuelles.
k fois
z }| {
2. Soit E1 le sev de C engendré par e = (1, . . . , 1, 0, . . . , 0), et
n
k
n
o
X
H = (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn ;
xi = 0 .
i=1
Vérifier que : E1 ⊕ H = Cn .
1
Exercice 6:
Soit E un K-ev, E 6= {0} , f ∈ L(E) nilpotent et p son indice de nilpotence, c’est-àdire :
p ∈ IN∗ , f ◦p = 0, f ◦(p−1) 6= 0.
On suppose p ≥ 2.
1. Montrer que Ker(f ) 6= {0}.
2. Montrer que la famille (IdE , f, . . . , f ◦(p−1) ) est libre.
Exercice 7:
Soient E un Kev, f ∈ L(E). On suppose que, pour tout x de E, la famille (x, f (x))
est liée. Montrer que f est une homothétie. En déduire une description du commutant
de L(E), c’est-à-dire l’ensemble des éléments de L(E) qui commutent avec tous les
autres.
Exercice 8:
Soient E un K-ev, p un projecteur de E, q = IdE − p,
L = {f ∈ L(E); ∃u ∈ L(E), f = u ◦ p}
et
M = {g ∈ L(E); ∃v ∈ L(E), g = v ◦ q} .
Montrer que L et M sont des sev supplémentaires dans L(E).
Exercice 9:
Soient E, F, G trois K-ev, f ∈ L(E, F ), g, h ∈ L(F, G). Montrer :
Ker(g ◦ f ) = Ker(h ◦ f ) ⇔ Im(f ) ∩ Ker(g) = Im(f ) ∩ Ker(h).
Exercice 10:
Soient n ∈ IN \ {0; 1}.
1. Vérifier que Cn est un C-espace vectoriel pour les lois usuelles.
2. Soit E1 le sev de Cn engendré par e = (1, . . . , 1),
(
)
n
X
n
H = (x1 , . . . , xn ) ∈ C ;
xi = 0 .
i=1
Vérifier que : E1 ⊕ H = Cn .
Exercice 11:
Soient E, F, G trois Kev, f ∈ L(E, F ), g ∈ L(F, G). Montrer :
1. Ker(g ◦ f ) = Ker(f ) ⇔ Ker(g) ∩ Im(f ) = {0}
2. Im(g ◦ f ) = Im(g) ⇔ Ker(g) + Im(f ) = F
Exercice 12:
Soient E un Kev, F, G, F ′ , G′ des sev de E tels que :

 F et G sont supplémentaires dans E
F ′ et G′ sont supplémentaires dans E

F′ ⊂ G
2
Montrer que F, F ′ , G ∩ G′ sont en somme directe.
Exercice 13:
Soient E un Kev, n ∈ IN∗ , F1 . . . Fn des sev de E.
1. Montrer que si, F1 , . . . , Fn sont en somme
directe et si, pour tout i ∈ {1, . . . , n},
Sn
Li est une famille libre de Fi alors i=1 Li est libre dans E.
2. Montrer que si, F1 + · · · + Fn S
= E et si, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, Gi est une
n
famille génératrice de Fi , alors i=1 Gi est génératrice de E.
3. Montrer que si, F1 , . . . , Fn sont en somme directe et deSsomme égale à E et si,
n
pour tout i ∈ {1, . . . , n}, Bi est une base de Fi alors i=1 Bi est une base de
E.
Exercice 14:
On considère le IR-ev IRIN formé des suites réelles. Soit r1 ∈ IR, on pose
L = (un )n ∈ IRIN ; ∀n ≥ 0, un+2 − 2r1 un+1 + r12 un = 0
• Vérifier que L est un sev de E.
• Montrer que L est de dimension 2.
• On considère les suites u = (r1n )n et v = (nr1n )n . Montrer que (u, v) est une
base de L.
Exercice 15:
1. Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E). Montrer qu’il existe un
automorphisme g de E et un projecteur p de E tels que f = g ◦ p.
2. Soit E un K-ev, p un projecteur de E, f ∈ L(E). Montrer :
p ◦ f = f ◦ p ⇔ Ker(p) et Im(p) sont stables par f.
Exercice 16:
Soient n ∈ IN \ {0; 1}, E le IR-ev des polynômes de IR[X] de degré ≤ n, et
f: E → E
.
P 7→ P (X + 1) + P (X − 1) − 2P (X)
1. Vérifier que f est linéaire. Déterminer Im(f ), rg(f ) et Ker(f ).
2. Soit Q ∈ Im(f ). Montrer qu’il existe P ∈ E unique tel que f (P ) = Q et P
soit divisible par X 2 .
Exercice 17:
1. Soient λ ∈ K \ {0; 1}, E un K-ev, p un projecteur de E. Montrer que p − λId
est un automorphisme de E.
2. Soit E un K-ev de dimension 3, f ∈ L(E) tel que f 2 = 0, f 6= 0. Montrer que
le rang de f vaut 1.
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Exercice 18:
Soient E un K-ev, f ∈ L(E), ϕf : L(E)
g
→
7
→
L(E)
.
f ◦g−g◦f
1. Vérifier que ϕf ∈ L(L(E)).
2. Montrer que si f est nilpotent (il existe n tel que f n = 0) alors ϕf l’est aussi
Exercice 19:
Soit f ∈ L(IR3 ) tel que f 2 = 0. Montrer qu’il existe a ∈ IR3 et une forme linéaire ϕ
sur IR3 tels que :
∀x ∈ IR3 , f (x) = ϕ(x)a.
Exercice 20:
Soit E un K-ev, F un sev de E.
• Montrer que si F est de dimension finie alors : ∀f ∈ L(E), F ⊆ f (F ) ⇒ F =
f (F ).
• Trouver un contre-exemple à ce qui précède si l’on ne suppose pas que F est de
dimension finie.
Exercice 21:
Soient E, F, G trois K-ev de dimension finie, f ∈ L(E, F ), g ∈ L(F, G).
• Ker(g|Im(f ) ) = Ker(g) ∩ Im(f )
• En déduire : rg(g ◦ f ) = rf (f ) − dim(Ker(g) ∩ Im(f )).
• Montrer : rg(g ◦ f ) ≥ rf (f ) + rg(g) − dim(F ).
Exercice 22:
Soient E un K-ev, F, G deux sev de E, f : F × G →
(x, y) 7→
F +G .
x+y
1. Vérifier que f est linéaire surjective.
2. Montrer Ker(f ) ≃ F ∩ G.
3. En déduire que si F et G sont de dimensions finies alors F + G aussi et
dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G)
Exercice 23:
On considère le IR-ev IRIN formé des suites réelles. Soit r1 , r2 ∈ IR. On pose
L = (un )n ∈ IRIN ; ∀n ≥ 0, un+2 − (r1 + r2 )un+1 + r1 r2 un = 0
• Vérifier que L est un sev de E.
• Montrer que L est de dimension 2.
• On considère les suites u = (r1n )n et v = (r2n )n . Montrer que (u, v) est une
base de L.
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Exercice 24:
Soient E un K-ev et ϕ, ψ ∈ E ∗ \ {0}. Montrer :
Ker(ϕ) = Ker(ψ) ⇔ ∃λ ∈ K \ {0} , ψ = λϕ
Exercice 25:
• Soient E un K-ev et ϕ ∈ E ∗ telle que ϕ 6= 0. Montrer que ϕ est surjective.
• Soit F un sev de E. Montrer :
H est un hyperplan ⇔ ∃ϕ ∈ E ∗ , ϕ 6= 0, H = Kerϕ
• Soient E un K-ev et ϕ, ψ ∈ E ∗ \ {0}. Montrer :
Ker(ϕ) = Ker(ψ) ⇔ ∃λ ∈ K \ {0} , ψ = λϕ
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