MPSI Espaces vectoriels. Applications linéaires

MPSI
Espaces vectoriels. Applications
linéaires
Exercice 1:
Soit Eun K-ev, f∈ E, n ∈IN∗, λ1,...,λn∈Kdeux à deux distincts. On note
Ni= Ker(f−λiIdE)pour 1≤i≤n.
Démontrer que les Nisont linéairement indépendants, c’est-à-dire :
∀(x1,...,xn)∈N1× · · · × Nn, x1+···+xn= 0 ⇒x1=···=xn= 0
Exercice 2:
Soit E= IR[X]le IR-ev des polynômes à coefficients réels, f:E→E
P7→ P′−P
.
Montrer que fest un automorphisme et exprimer f−1.
Exercice 3:
Soient Eun Kev, (a, b)∈K2tel que a6=b, f ∈ L(E)tel que
(f−aId) ◦(f−bId) = 0.
1. Montrer qu’il existe (λ, µ)∈K2et des projecteurs p, q de Etels que :
p=λ(f−aId), q =µ(f−bId), f =bp +aq.
2. Pour tout k∈IN∗, calculer f◦ken fonction de p, q, k, a, b.
Exercice 4:
Soit E= IR[X]le IR-ev des applications polynômiales à coefficients réels.
On définit D:E→E
P7→ P′et I:E→E
P7→ Rx
0P(t)dt
.
1. Vérifier que Det Isont linéaires.
2. Exprimer D◦Iet I◦D.
3. Etudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de Det I.
Exercice 5:
Soient n∈IN \ {0; 1}.
1. Vérifier que Cnest un C-espace vectoriel pour les lois usuelles.
2. Soit E1le sev de Cnengendré par e= (
k fois
z}| {
1,...,1,0,...,0), et
H=n(x1,...,xn)∈Cn;
k
X
i=1
xi= 0o.
Vérifier que : E1⊕H=Cn.
1

Exercice 6:
Soit Eun K-ev, E6={0}, f ∈ L(E)nilpotent et pson indice de nilpotence, c’est-à-
dire :
p∈IN∗, f◦p= 0, f ◦(p−1) 6= 0.
On suppose p≥2.
1. Montrer que Ker(f)6={0}.
2. Montrer que la famille (IdE,f,...,f◦(p−1))est libre.
Exercice 7:
Soient Eun Kev, f∈ L(E). On suppose que, pour tout xde E, la famille (x, f(x))
est liée. Montrer que fest une homothétie. En déduire une description du commutant
de L(E), c’est-à-dire l’ensemble des éléments de L(E)qui commutent avec tous les
autres.
Exercice 8:
Soient Eun K-ev, pun projecteur de E,q= IdE−p,
L={f∈ L(E); ∃u∈ L(E), f =u◦p}
et
M={g∈ L(E); ∃v∈ L(E), g =v◦q}.
Montrer que Let Msont des sev supplémentaires dans L(E).
Exercice 9:
Soient E, F, G trois K-ev, f∈ L(E, F ), g, h ∈ L(F, G). Montrer :
Ker(g◦f) = Ker(h◦f)⇔Im(f)∩Ker(g) = Im(f)∩Ker(h).
Exercice 10:
Soient n∈IN \ {0; 1}.
1. Vérifier que Cnest un C-espace vectoriel pour les lois usuelles.
2. Soit E1le sev de Cnengendré par e= (1,...,1),
H=((x1,...,xn)∈Cn;
n
X
i=1
xi= 0).
Vérifier que : E1⊕H=Cn.
Exercice 11:
Soient E, F, G trois Kev, f∈ L(E, F ), g ∈ L(F, G). Montrer :
1. Ker(g◦f) = Ker(f)⇔Ker(g)∩Im(f) = {0}
2. Im(g◦f) = Im(g)⇔Ker(g) + Im(f) = F
Exercice 12:
Soient Eun Kev, F, G, F ′, G′des sev de Etels que :
Fet Gsont supplémentaires dans E
F′et G′sont supplémentaires dans E
F′⊂G
2

Montrer que F, F ′, G ∩G′sont en somme directe.
Exercice 13:
Soient Eun Kev, n∈IN∗, F1. . . Fndes sev de E.
1. Montrer que si, F1,...,Fnsont en somme directe et si, pour tout i∈ {1,...,n},
Liest une famille libre de Fialors Sn
i=1 Liest libre dans E.
2. Montrer que si, F1+···+Fn=Eet si, pour tout i∈ {1,...,n},Giest une
famille génératrice de Fi, alors Sn
i=1 Giest génératrice de E.
3. Montrer que si, F1,...,Fnsont en somme directe et de somme égale à Eet si,
pour tout i∈ {1,...,n},Biest une base de Fialors Sn
i=1 Biest une base de
E.
Exercice 14:
On considère le IR-ev IRIN formé des suites réelles. Soit r1∈IR, on pose
L=(un)n∈IRIN;∀n≥0, un+2 −2r1un+1 +r2
1un= 0
• Vérifier que Lest un sev de E.
• Montrer que Lest de dimension 2.
• On considère les suites u= (rn
1)net v= (nrn 1)n. Montrer que (u, v)est une
base de L.
Exercice 15:
1. Soient Eun K-ev de dimension finie, f∈L(E). Montrer qu’il existe un
automorphisme gde Eet un projecteur pde Etels que f=g◦p.
2. Soit Eun K-ev, pun projecteur de E, f ∈L(E). Montrer :
p◦f=f◦p⇔Ker(p)et Im(p)sont stables par f.
Exercice 16:
Soient n∈IN \ {0; 1},Ele IR-ev des polynômes de IR[X]de degré ≤n, et
f:E→E
P7→ P(X+ 1) + P(X−1) −2P(X)
.
1. Vérifier que fest linéaire. Déterminer Im(f),rg(f)et Ker(f).
2. Soit Q∈Im(f). Montrer qu’il existe P∈Eunique tel que f(P) = Qet P
soit divisible par X2.
Exercice 17:
1. Soient λ∈K\ {0; 1},Eun K-ev, pun projecteur de E. Montrer que p−λId
est un automorphisme de E.
2. Soit Eun K-ev de dimension 3, f ∈L(E)tel que f2= 0, f 6= 0. Montrer que
le rang de fvaut 1.
3

Exercice 18:
Soient Eun K-ev, f∈L(E), ϕf:L(E)→L(E)
g7→ f◦g−g◦f
.
1. Vérifier que ϕf∈L(L(E)).
2. Montrer que si fest nilpotent (il existe ntel que fn= 0) alors ϕfl’est aussi
Exercice 19:
Soit f∈L(IR3)tel que f2= 0. Montrer qu’il existe a∈IR3et une forme linéaire ϕ
sur IR3tels que :
∀x∈IR3, f(x) = ϕ(x)a.
Exercice 20:
Soit Eun K-ev, Fun sev de E.
• Montrer que si Fest de dimension finie alors : ∀f∈L(E), F ⊆f(F)⇒F=
f(F).
• Trouver un contre-exemple à ce qui précède si l’on ne suppose pas que Fest de
dimension finie.
Exercice 21:
Soient E, F, G trois K-ev de dimension finie, f∈L(E, F ), g ∈L(F, G).
•Ker(g|Im(f)) = Ker(g)∩Im(f)
• En déduire : rg(g◦f) = rf(f)−dim(Ker(g)∩Im(f)).
• Montrer : rg(g◦f)≥rf(f) + rg(g)−dim(F).
Exercice 22:
Soient Eun K-ev, F, G deux sev de E,f:F×G→F+G
(x, y)7→ x+y
.
1. Vérifier que fest linéaire surjective.
2. Montrer Ker(f)≃F∩G.
3. En déduire que si Fet Gsont de dimensions finies alors F+Gaussi et
dim(F+G) = dim(F) + dim(G)−dim(F∩G)
Exercice 23:
On considère le IR-ev IRIN formé des suites réelles. Soit r1, r2∈IR. On pose
L=(un)n∈IRIN;∀n≥0, un+2 −(r1+r2)un+1 +r1r2un= 0
• Vérifier que Lest un sev de E.
• Montrer que Lest de dimension 2.
• On considère les suites u= (rn
1)net v= (rn 2)n. Montrer que (u, v)est une
base de L.
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Exercice 24:
Soient Eun K-ev et ϕ, ψ ∈E∗\ {0}. Montrer :
Ker(ϕ) = Ker(ψ)⇔ ∃λ∈K\ {0}, ψ =λϕ
Exercice 25:
• Soient Eun K-ev et ϕ∈E∗telle que ϕ6= 0. Montrer que ϕest surjective.
• Soit Fun sev de E. Montrer :
Hest un hyperplan ⇔ ∃ϕ∈E∗, ϕ 6= 0, H = Kerϕ
• Soient Eun K-ev et ϕ, ψ ∈E∗\ {0}. Montrer :
Ker(ϕ) = Ker(ψ)⇔ ∃λ∈K\ {0}, ψ =λϕ
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