fonction logarithme népérien

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
TS
Type BAC
1 (Centres Etrangers 2012)
On considère l’équation (E) d’inconnue x réelle : ex = 3 x2 + x3 .
Partie A : Conjecture graphique
Le graphique ci-dessous donne
la
courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction f
2
3
définie sur R par f (x) = 3 x + x telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
5
4
3
2
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
À l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur encadrement par
deux entiers consécutifs.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
1. a. Étudier selon les valeurs de x, le signe de x2 + x3 .
b. En déduire que l’équation (E)n’a pas de solution sur l’intervalle ] − ∞ ; −1].
c. Vérifier que 0 n’est pas solution de (E).
2. On considère la fonction h, définie pour tout nombre réel de ] − 1 ; 0[∪]0 ; +∞[ par :
h(x) = ln 3 + ln x2 + ln(1 + x) − x.
Montrer que, sur ] − 1 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[, l’équation (E) équivaut à h(x) = 0.
3. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à ] − 1 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[, on a :
h′ (x) =
−x2 + 2x + 2
.
x(x + 1)
b. Déterminer les variations de la fonction h.
c. Déterminer le nombre de solutions de l’équation h(x) = 0 et donner une valeur arrondie au centième de
chaque solution.
d. Conclure quant à la conjecture de la partie A.
2 (Antilles - Guyanne 2015)
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = ln x.
Pour tout réel a strictement positif, on définit sur ]0 ; +∞[ la fonction ga par ga (x) = ax2 .
On note C la courbe représentative de la fonction f et Γa celle de la fonction ga dans un repère du plan. Le but de
l’exercice est d’étudier l’intersection des courbes C et Γa suivant les valeurs du réel strictement positif a.
Partie A
On a construit les courbes C, Γ0,05, Γ0,1 , Γ0,19 et Γ0,4 .
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
−1
1. Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n’est demandée.
2. Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d’intersection de C et Γa suivant les
valeurs (à préciser) du réel a.
Partie B
Pour un réel a strictement positif, on considère la fonction ha définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
ha (x) = ln x − ax2 .
1. Justifier que x est l’abscisse d’un point M appartenant à l’intersection de C et Γa si et seulement si ha (x) = 0.
2. a. On admet que la fonction ha est dérivable sur ]0 ; +∞[, et on note h′a la dérivée de la fonction ha sur cet
intervalle.
Le tableau de variation de la fonction ha est donné ci-dessous.
Justifier, par le calcul, le signe de h′a (x) pour x appartenant à ]0 ; +∞[.
x 0
h′a (x)
√1
2a
+
0
+∞
−
−1−ln(2a)
2
ha (x)
−∞
b. Rappeler la limite de lnxx en +∞. En déduire la limite de la fonction ha en +∞.
On ne demande pas de justifier la limite de ha en 0.
3. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a = 0, 1.
a. Justifier que, dans l’intervalle 0 ;
√1
0,2
, l’équation h0,1 (x) = 0 admet une unique solution.
1
On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l’intervalle √0,2
; +∞ .
b. Quel est le nombre de points d’intersection de C et Γ0,1 ?
4. Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que a =
1
2e .
a. Déterminer la valeur du maximum de h 1 .
2e
b. En déduire le nombre de points d’intersection des courbes C et Γ 1 . Justifier.
2e
5. Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles C et Γa n’ont aucun point d’intersection ?
Justifier.
3 (Antilles - Guyanne 2014)
On considère l’équation (E1 ) :
ex − xn = 0
où x est un réel strictement positif et n un entier naturel non nul.
1. Montrer que l’équation (E1 ) est équivalente à l’équation (E2 ) :
ln(x) −
x
= 0.
n
2. Pour quelles valeurs de n l’équation (E1 ) admet-elle deux solutions ?