Annales Ades 2

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Association des Etudiants en Economie
de l’Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne
UFR 02 SCIENCES ECONOMIQUES
Annales de sujets d’examen
Licence 2 S4 (second semestre)
Table des matières :
Economie et Politiques Européennes (sujets, p. 5)
Microéconomie 2 (sujets + corrigé 2011, p. 12)
Statistiques 2 (sujets, p. 23)
Théories Economiques Comparées : Croissance et Crises (sujets, p. 30)
Relations Economiques Internationale [option] (sujet 2011, p. 32)
Règlement du contrôle des connaissances (p. 33)
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Université Paris I
ÉCONOMIE ET POLITIQUES EUROPÉENNES
(L2)
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2
Partiel
session 2011
(Durée 2 heures)
Aucun document autorisé
Vous traiterez, au choix, sous la forme d’une dissertation entièrement rédigée l’un des
deux sujets suivants :
Sujet n°1 :
Est-il opportun de mettre en place un fédéralisme budgétaire en Europe ?
Sujet n°2 :
L'intégration économique européenne a-t-elle atteint ses limites ?
N.B. : Il sera tenu compte dans la notation de la présentation de la copie, de la qualité de
la rédaction et de l’orthographe. Vous pouvez mettre un plan apparent si vous le
souhaitez. Ce n’est pas obligatoire. En revanche, la dissertation doit être entièrement
rédigée.
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Université Paris I
ÉCONOMIE ET POLITIQUES EUROPÉENNES (L2)
Partiel – 1ère session
11 mai 2011
(Durée 2 heures)
Aucun document autorisé
Vous traiterez, au choix, sous la forme d’une dissertation entièrement rédigée l’un des
deux sujets suivants :
Sujet n°1 :
Les fondements économiques de l'intégration européenne
Sujet n°2 :
La zone euro souffre-t-elle d'un déficit de coordination ?
Nota Bene : La dissertation doit être entièrement rédigée. Il n’est pas nécessaire de
mettre un plan apparent. Il sera tenu compte dans la notation de la présentation de la
copie, de la qualité de la rédaction, de l’orthographe et de la grammaire.
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Université Paris I
ÉCONOMIE ET POLITIQUES EUROPÉENNES
(L2-S2)
Partiel – Session de septembre 2010
(Durée 2 heures)
Aucun document autorisé
Vous traiterez, au choix, sous la forme d’une dissertation entièrement rédigée l’un des
deux sujets suivants :
Sujet n°1 :
Quels sont les coûts et les bénéfices de la monnaie unique dans la zone euro ?
Sujet n°2 :
Existe-t-il des limites économiques à l'élargissement de l'Union européenne ?
N.B. : Il sera tenu compte dans la notation de la présentation de la copie, de la qualité de
la rédaction et de l’orthographe.
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Université Paris I
ÉCONOMIE ET POLITIQUES EUROPÉENNES (L2-S2)
Partiel du 7 juin 2010
(Durée 2 heures)
Aucun document autorisé
Vous traiterez, au choix, sous la forme d’une dissertation entièrement rédigée l’un des
deux sujets suivants :
Sujet n°1 :
Existe-t-il une politique industrielle européenne ?
Sujet n°2 :
La coordination des politiques conjoncturelles dans l’UEM.
N.B. : Il sera tenu compte dans la notation de la présentation de la copie, de la qualité de
la rédaction et de l’orthographe.
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'&#)//5"$)/*R*>Q*#%(("//5"$)*2$"/).$*RI*/0+"1+2"3-45(-6+"<ee<I*2D`@?D**
\&2%'/)* 5$9.()'7&)* 0%"7* E5"$)* 5225$5j7$)*H* #%(2%$7)()'7* 0)/* 59)'7/* 2$"#)]
75g)$/*H* #3%";* .'"F.)()'7* )'* F.5'7"7&/* )7* #%'_)#7.$)/* #%'#.$$)'7")66)/* >59)'7/*
2)'/)'7*F.)*6).$/*0&#"/"%'/*)'*F.5'7"7&/*/%'7*/5'/*"'E6.)'#)*/.$*6)*2$";*)7*F.C"6/*')*
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>-%.$'%7]^)$7$5'0?D**
*
Page 22
M icroéconomie L2. Session de mai 2012
E xercices (9 pts)
NB : les exercices I et II sont indépendants. Les exercices III et IV utilisent
pour partie les données et résultats des exercices I et II.
On considère une économie composée de deux consommateurs A et B dont les
relations de préférence peut être respectivement représentées par les fonctions
d'utilité U A (!) et U B (!) définies par :
U A (q1, q2) = q11/2 q21/4 et
U B (q1, q2) = q1
I.
Consommateur A (3 pts)
- Calculez son taux marginal de substitution en un panier (q1, q2) quelconque
et au panier de ses dotations initiales : Q A° = (20,10).
- Déterminez son choix optimal pour des prix p1, p2, et un revenu R
quelconques (on pourra pour simplifier les calculs considérer le bien 1
comme numéraire).
I I.
Consommateur B (2 pts)
- Sans calcul et compte tenu de sa !"#$%&"#' ()*%&+&%,-' .*/' 0ouvez-vous dire
de ses goûts et de son choix optimal en bien 2 ?
- Ses dotations initiales étant données par le panier Q B° = (0,25), quelle est
sa demande nette concurrentielle de bien 2 ?
I I I.
E tats réalisables et optima de Pareto (2 pts)
12#3' +),$"#"4&/' $"40"3,/' (/3' $"#3"442%/*53' 6' /%' 7-' (,!&#&3' 025' +/3'
préférences et dotations énoncées précédemment, on considère une
nouvelle répartition des ressources (/'+),$"#"4&/'(2#3'+2.*/++/' A obtient
(15,5) et B obtient (5,30)
- Est-elle un état réalisable de cette économie ?
- Est-elle comparable à la répartition initiale selon le critère de Pareto ? Si
oui, est-elle préférée à la répartition initiale ?
- Est-elle un optimum de Pareto ? (justifiez votre réponse).
I V.
E quilibre de concur rence parfaite (2 pts)
- Calculez la demande nette concurrentielle globale du bien 2, à prix donnés.
- Déduisez-en +/3'05&8'(),.*&+&95/'(/'$/%%/',$"#"4&/:
Q uestions de réflexion (12 pts)
Vous traiterez au choix deux des cinq séries de questions suivantes, chacune
comprenant des questions de cours et des questions de réflexion.
N B : il est inutile de traiter plus de deux séries de questions. Seules les deux
premières de votre copie seront corrigées et notées.
1. !"#$%&'(#)*+'*,%-,'('%'(#)*$.()/%',
- En considérant un producteur qui produit un output (q) avec deux inputs
(q1 et q2;' 3*93%&%*29+/3-' ,#"#$/<' +),.*2%&"#' (*' 3/#%&/5' ()/802#3&"#' /#'
précisant ce que représentent les paniers ()&#0*%3'3&%*,3'3*5'+2'$"*59/'.*&'
représente cette équation dans le plan (q1, q2) et en indiquant quel calcul
,$"#"4&.*/'/3%'='+)"5&>&#/'(*'3/#%&/5'()/802#3&"#:
- Expliquez dans ces hypothèses les conséquences sur le choix du
05"(*$%/*5'()*#'2$$5"&33/4/#%'(* 05&8'(/'+)&#0*%'?-'0"*5'*#'05&8'$"#3%2#%'
(/' +)&#0*%' @, en prenant soin de mentionner /%' ()*%&+&3/5' dans votre
raisonnement les hypothèses concernant la productivité marginale des
inputs et leur substituabilité.
2. 0(12"133+*$.4$2+5#"'6, optimalité et justice
- 1,!&#&33/<'+2'$"*59/'(/3'$"#%52%3'(2#3'*#/',$"#"4&/'(),$A2#>/'$"40"3,/'
de deux agents, représentez-+2' (2#3' *#' (&2>5244/' ()B(>/C"5%A' /#'
précisant, pour un point quelconque de cette courbe (avec des paniers non
nuls pour les deux agents), la propriété que doit satisfaire la répartition des
5/33"*5$/3' 5/05,3/#%,/' 025' $/' 0"&#%' 3&' +/3' $"*59/3' ()&#(&!!,5/#$/' 3"#%' (/'
type hyperbolique.
- Donnez deux exemples de répartition "0%&42+/'(/3'5/33"*5$/3-'+)*#/'injuste
3/+"#' *#/' $"#$/0%&"#' (/' +2' D*3%&$/' /#' %/54/3' ()égalité des ressources,
+)2*%5/'plus juste selon la même conception.
- B#'E"*3'200*F2#%'3*5'+/'3/$"#('%A,"5G4/'(/'+),$"#"4&/'(*'9&/#-être, vous
expliquerez si l/' 02332>/' ()*#/' 2++"$2%&"#' H&#D*3%/)' =' *#/' 2+location plus
HD*3%/)' &40+&.*/ de remettre en cause le fonctionnement concurrentiel du
marché.
3. Défauts de coordination
- Enoncez les hypothèses et les conclusions du premier théorème de
+),$"#"4&/' (*' 9&/#-être puis définissez une externalité, en précisant de
quelle manière la présence ()/8%/5#2+&%,3' $"#%5/(&%' +/3' AF0"%AG3/3' (/' $/'
théorème.
- B#' 05/#2#%' +)/8/40+/' ()*#/' /8%/5#2+&%,' #,>2%&E/' (/' 05"(*$%&"#' I0"++*%&"#
industrielle) .*&' 2!!/$%/' +)*%&+&%,' (/3' $"#3"442%/*53, expliquez pourquoi
+)/8%/5#2+&%,'&#E2+&(/'+2'$"#$+*3&"#'(*'05/4&/5'%A,"5ème, en précisant quel
/3%'+/'9&2&3'&#%5"(*&%'025'+)/8%/5#2+&%,'I05"(*$%&"#'/8$/33&E/'"*'&#3*!!&32#%/
au regard de la production optimale) et quel(s) serai(en)t les moyens de
5/3%2*5/5'+)"0%&42+&%,:
4. T héorie des jeux et coordination
- Exposez le jeu du dilemme du prisonnier en précisant ses hypothèses (sur
+/3'>2&#3'(/3'D"*/*53-'+/*5'52%&"#2+&%,'/%'+)&#!"542%&"#'("#%'&+3'(&30"3/#%), la
#2%*5/' (/' +),.*&+&95/' .*/' +)"#' (,%/54&#/' I,.*&+&95/' (/' J23A-' ,.*&+&95/' /#'
stratégies dominantes, équilibre par élimination des stratégies dominées) et
+/3'05"05&,%,3'(/'$/%',.*&+&95/'I/#'%/54/3'()"0%&42+&%,'025,%&/##/;:
- En discutant le rôle de la rationalité individuelle dans ce jeu, expliquez
pourquoi il est un exemple des conséquences paradoxales de la rationalité.
Citez un autre exemple illustrant ce même paradoxe.
5. Concur rence parfaite / concur rence imparfaite
- 1,!&#&33/<' +)AF0"%AG3/' ()2>/#%3' 05&$/-takers du modèle walrassien de
$"#$*55/#$/'025!2&%/:'1,!&#&33/<'+)AF0"%AG3/'()2>/#%3'05&$/-makers dans le
monopole de Cournot et les duopoles de Cournot et Bertrand.
- K)2%"4&$&%, est-elle, dans les approches de Cournot et Bertrand, une
condition définissant la concurrence ?
CORRECTION
!"#$%&%#'('
1) Le TMS se calcule comme le rapport des utilités marginales des biens.
On obtient TMS(q1,q2) = 2q2 /q1 et TMS (20, 10) = 1. (1 pt).
2) K/3' $"*59/3' ()&#(&!!,5/#$/' ,%2#%' (/' %F0/' AF0/59"+&.*/-' +/' 02#&/5'
optimal
(q1*,q2*)
vérifie
les
équations
suivantes :
TMS(q1*,q2*) = p1 /p2
et
p1q1* + p2q2* = R.
On obtient Q* = (q1*, q2*) = (2R/3, R /3p2). (2 pts)
!"#$%&%#'(('
1) K)*%&+&%,'(/'7'/3%'*#/'!"#$%&"#'$5"&332#%/'(/'+2'3/*+/'.*2#%&%,'(/'9&/#'
?:' 7' /3%'("#$'&#(&!!,5/#%'=' +2' .*2#%&%,' (/' 9&/#'@' .*)&+' $"#somme : il
#)2&4/'.*/'+/'9&/#'?:'Sa demande de bien 2 est donc, quels que soient
les prix, toujours nulle (1 pt).
2) Sa demande nette en bien 2 est donc égale à L 25 (1 pt).
!"#$%&%#'((('
1) K/3'5/33"*5$/3'%"%2+/3'(/'+),$"#"4&/'/#'9&/#'?'3"#%'(/'@M'*#&%,3-'/#'
bien 2 de 35 unités. La répartition proposée des ressources est un état
réalisable puisque la somme des quantités de biens attribuées à chaque
agent est bien égale aux re33"*5$/3'%"%2+/3'(/'+),$"#"4&/ (1 pt).
2) B++/' #)/3%' 023' $"402529+/' =' +2' 5,025%&%&"#' &#&%&2+/' 3/+"#' +/' $5&%G5/' (/'
Pareto puisque A préfère la répartition initiale (où il a davantage de
chacun des biens) alors que B préfère la répartition proposée (où il a
2*33&'(2E2#%2>/'(/'$A2$*#'(/3'9&/#3;:'N+'#)F'2'023'()*#2#&4&%,'/#%5/'
les agents (1 pt).
3) B++/'#)/3%'023'*#'"0%&4*4'(/'O25/%"'0*&3.*)&+'3*!!&%'(/'("##/5'='6'+/3'
30 unités de bien 2 détenues par B pour améliorer la situation de A
32#3'(,%,5&"5/5'$/++/'(/'7:'K/3'PO'3"#%'(/3',%2%3'5,2+&329+/3'%/+3'.*)&+'
#)/8&3%/'2*$*#'2*%5/',%2%'5,2+&329+/'.*&'+/*5'3"&%'05,!,5,'3/+"#'+/'$5&%G5/'
(/' O25/%"' I+)BQ' RI?S-TS; U' IS-M;' /3%' 05,!,5,' =' +),%2%' 05"0"3,' 3/+"#' +e
$5&%G5/'(/'O25/%"'0*&3.*)&+'/3%'3%5&$%/4/#%'05,!,5,'025'6'/%'05,!,5,'2*'
sens large par B}. Autre définition V'+)PO'/3%'*#'BQ'%/+'.*)"#'#/'0/*%'
24,+&"5/5'+2'3&%*2%&"#'()2*$*#'2>/#%'32#3'(,%,5&"5/5'$/++/'()2*'4"&#3'
un autre. (Ici, on peut améliorer la situation de A en lui donnant plus
(/'9&/#'@'32#3'(,%,5&"5/5'$/++/'(/'7'.*&'#)2&4/'023'+/'9&/#'@;:'6*%5/'
définition V'+)PO'/3%'*#'BQ'"W'&+'#)F'2'0+*3'(/'0"33&9&+&%,3'(),$A2#>/3'
mutuellement avantageux IM-S' 0%' 3)&+' F' 2' +)&(,/' /%' M-S' 3)&+' F' 2' +2'
preuve).
!"#$%&%#'()'
J/'023'$"40%/5'$"44/'/55/*5'+/3'5/0"5%3'()/55/*5'(/3'/8"3'N'/%'NN:
1) Les demandes des agents sont q2A = RA /3p2 et q2B = 0, la demande
globale de bien 2 est Q 2 = (20p1 + 10p2) / 3p2 et la demande nette
globale est E 2 = Q 2 L 35 = 20p1/3p2 L 95/3.
2) K/3' 05&8' (),.*&+&95/' 3"#%' %/+3' .*/' E 2 = 0. On obtient (p1/p2)* = 19/4
soit, avec p1 = 1, p2* = 12.
Avec les dotations du III, on obtient : E 2 = 5p1/p2 L 100/3, soit
p2 = 3/20.
*+#,-&./,'
'
!"#$%"&'(&)*+,"!"#$%&'()"%(*+$,$-#&#".#$&%/0"-1$&*2$-&(%3.,$-#/$4&,5,$&162+&
-(*.)+")*"/0/-+*$,"
'
01'
!"#$%&'(#)*+'*,%-,'('%'(#)*$.()/%','
K),.*2%&"#' (*' 3/#%&/5' ()/802#3&"#' /3%' ("##,/' 025' +),>2+&%,' /#%5/' +/' XYZX'
(rapport des productivités marginales) et le rapport des prix des inputs (1 pt
0"*5' +),.*2%&"#-' .*)/++/' 3"&%' ,#"#$,/' 2E/$' "*' 32#3' 42%A3;. Les paniers
()&#0*%3' E,5&!&2#%' $/%%/' ,.*2%&"#' I&:/:' 3&%*,3' 3*5' $/%%/' $"*59/;' 3"#%' $/*8' .*&'
0/54/%%/#%'(/'05"(*&5/'*#'#&E/2*'()"*%0*%'2*'$"[%'+/'0+*3'!2&9+/-'$"40%/'%/#*'
des productivités marginales des inputs et de leurs prix respectifs. Cette
équation résulte donc de la minimisation du coût des inputs, qui est une partie
du programme du producteur I@' 0%3' 3/+"#' .*2+&%,' (/' +)/80+&$2%&"#-' 3$A,42'
possible).
Si p1 augmente pour p2 constant, le rapport p1/p2 2*>4/#%/-'/%'+),>2+&32%&"#'(*'
5200"5%'(/3'05&8'2*'XYZX'&40+&.*/'.*/'+/'XYZX'(*'02#&/5'()&#0*%'+/'4"&#3'
$"[%/*8'2*>4/#%/-'$/'.*&'0233/'025'*#/'92&33/'(/'+)*%&+&32%&"#'()&#0*%'?'I.*&'
2$$5"\%' +2' 05"(*$%&E&%,' 425>&#2+/' (/' +)&#0*%' ?-' /#' 3upposant décroissante la
05"(*$%&E&%,' 425>&#2+/' (/3' &#0*%3;-' /%' *#' 2$$5"&33/4/#%' (/' +)*%&+&32%&"#' (/'
+)&#0*%'@'I$/'.*&'5,(*&%'+2'05"(*$%&E&%,'425>&#2+/'(/'+)&#0*%'@;:'&:/:'3*93%&%*%&"#'
(/'+)&#0*%'.*&'(/E&/#%'5/+2%&E/4/#%'4"&#3'$"[%/*8'='$/+*&'("#%'+/'05&8'relatif
3)2$$5"\%:
Suppose productivités marginales décroissantes et possibilité de substitution :
si les inputs ne sont pas substituables, alors le producteur peut souhaiter les
substituer mais ne en avoir la possibilité.
2 pts pour raisonnement sur la substitution et 1 pt pour indiquer nécessité
substituabilité des inputs.
21 0(12"133+*$.4$2+5#"'67*#/'(318('9*+'*:%,'(&+'
'
Courbe des contrats = ens des états réalisables optimaux selon Pareto (1 pt),
$"*59/'$5"&332#%/'2++2#%'(/'+)"5&>&#/'(/'6'='$/++/'(/'7'I?'0%;-'E,5&!&2#%'+),>2+&%,'
des TMS des agents, i.e. tels que les CI des agents sont tangentes entre elles (1
0%'0"*5'+)*#/'(/3'(/*8'!"54*+2%&"#3;.
1 pt pour les deux exemples.
?'0%'0"*5'+),#"#$,'(*'3/$"#('%A,"5G4/'I%"*%'PO'0/*%']%5/'*#',.'$"#$*55/#%&/+'
pour des dotations convenablement choisies, si préf et ens de production
$"#E/8/3' /%' 3&' 3F3%G4/' $"40+/%' (/' 425$A,3;:' ?' 0%' 0"*5' (&5/' .*)&+' 3*!!&%' (/'
modifier les dotations.
'
31 4567+-,'8#'%..$8&/7-&./'
'
Z)&+'/8&3%/'*#'3F3%G4/'$"40+/%'(/'425$A,3'I?'05&8'*#&.*/'025'bien connu de
tous les agents), tout équilibre de concurrence parfaite est un optimum de
Pareto (1 pt).
N+'F'2'/8%/5#2+&%,'+"53.*/'+/3'(,$&3&"#3'/#'.*2#%&%,'()*#'2>/#%'I$"#3"442%&"#'
"*' 05"(*$%&"#;' "#%' *#' /!!/%' (&5/$%' 3*5' +2' 32%&3!2$%&"#' "*' +/' 05"!&%' ()*#' 2utre
(1 pt).
6+"53-'+)/8%/5#2+&%,'(,3&>#/'*#'9&/#'I$25'/++/'2!!/$%/'+)*%&+&%,'"*'+/'05"!&%'()*#'
2>/#%' 2*' 4"' 32#3' 05&8-' $25' +),4&33&"#' (/' +)/8%/5#2+&%,' #/' ("##/' +&/*' ='
2*$*#'02&/4/#%-'$/'.*&'$"#%5/(&%'+)AF0"%AG3/'(/'3F3%G4/'$"40+/%'(/'425$A,3
(1 pt).
D2#3'+/'$23'()*#/'/8%/5#2+&%,'(/'05"(*$%&"#'#,>2%&E/-'+/'05"(*$%/*5'.*&',4/%'
+)/8%/5#2+&%,'259&%5/'/#%5/'2E2#%2>/'/%'$"[%'(/'+2'05"(*$%&"#'#/'%&/#%'023'$"40%/'
(*' $"[%' I/#' %/54/3' (/' 92&33/' ()*%&+&%,;' .*)&40+&.*/' +2' 05"(*$%&"#:' K2'
production choisie est donc excessive au regard de celle qui serait choisie si
+)"#'%/#2&%'$"40%/'(/'$/'$"[%:'N+'!2*(52&%'que le producteur tienne compte de
cet effet négatif, ce qui peut se faire soit en taxant sa production (taxe
pigovienne) soit en distribuant des droits de propriété sur la qualité de
+)/#E&5"##/4/#%-' .*&' 0/*E/#%' ]%5/' 2%%5&9*,3' 2*8' $"#3"442%/*53' "*' 2*8'
producteurs, et échangés à un prix fixé sur le marché qui est ainsi créé. (3 pts)
91 :;5.$&#'8#,'<#+"'#-'%..$8&/7-&./"
- Exposé du jeu : 1 pt.
- Gains connus des joueurs, rationalité consiste en maximisation du gain,
joueurs connaissent toutes les issues, toutes les stratégies des autres et tous
les gains (1,5).
- B.*&+&95/' /#' 3%52%,>&/3' ("4&#2#%/3' I/%' $)/3%' 2*33&' *#' ,.*&+&95/' (/' J32A;-'
sous-optimal (1,5 pt).
- La rationalité individuelle, qui a pour objectif la maximisation du gain,
conduit à une issue collectivement irrationnelle. Ce résultat ne provient ni
()*#/'&#3*!!&32#$/'(/'52%&"#2+&%,'&#(&E&(*/++/'#&'()*#'09'()&#!"542%&"#'42&3'
()*#/'293/#$/'(/'$""5(&#2%&"#'ID/*'#"#'$""0,ratif) (1 pt). Même résultat si
externalités, biens publics, jeu du mille-pattes etc (1 pt).
5. =./%+$$#/%#'>7$67&-#'?'&@>7$67&-#
Price-taking implique que chaque agent ne choisit que les quantités et non les
prix, en supposant (conjectures concurrentielles) que son choix est sans
&#!+*/#$/'3*5'+/3'05&8'/%'.*)&+'#/'3*9&%'2*$*#/'$"#%52&#%/'/#'.*2#%&%,'I?-S'0%;:
Price-42^&#>'3*00"3/'.*/'+)2>/#%'I05"(*$%/*5'>,#,52+/4/#%;'3"&%'$A"&3&%'3"#'
05&8' /#' 2#%&$&02#%' *#/' 5/+2%&"#' (,$5"&332#%/' /#%5/' +/' 05&8' .*)&+' 2!!&$A/' et la
.*2#%&%,' .*)&+' 0/*%' E/#(5/' I!"#$%&"#' (/' (/42#(/' (,$5"&332#%/ ; monop +
duopole Bertrand), soit choisit sa quantité en anticipant une relation
(,$5"&332#%/' I!$%' (/' ((/' &#E/53/;' /#%5/' +2' .*2#%&%,' .*)&+' "!!5/' /%' +/' 05&8' 428'
2*.*/+'&+'0/*%'+),$"*+/5'I4"#op + duopole Cournot).
Atomicité = (très) grand nombre (ou infinité) ()2>/#%3:' J,$/332&5/' $A/<'
_"*5#"%' I"W' +),.*&+&95/' %/#(' E/53' +),.*&+&95/' $"#$*55/#%&/+' 3&' +/' #"495/'
()"!!5/*53'%/#('E/53'+)&#!&#&;'42&3'023'$A/<'7/5%52#('I"W'+),.*&+&95/'/#'(*"0"+/'
/3%' +),.*&+&95/' $"#$*55/#%&/+;:' X"*%/' &#!"542%&"#' 3*5' +)"00"3&%&"#' /#%5/'
Cournot et Bertrand (opposition des deux modèles en termes de résultats,
()AF0"%AG3/3' I3%52%,>&/3' "*' $"#D/$%*5/3;, sur le rôle des demandeurs (pricetakers) sera apprécié.
Microéconomie L2. Session de juin 2012
E xercice I (1 pt par question)
Soit deux consommateurs A et B ayant la même relation de préférence, qui
!"#$%&$'"%'"!'()"*$("%!+'%,+%-.*/$0.*%12#$0,0$(%U (!) définie par :
U (q1,q2) = q11/2 q21/2.
Q uestions de cours (2 pts par question)
Vous répondrez, au choix, à trois des cinq questions ci-dessous.
N B : si vous répondez à plus de trois questions, seules les trois premières
réponses seront notées. Vous devez justifier vos réponses.
1.
D.')=#"% ,")% '"*1"6"*$)% 12(/9",,"% ).*$% 1(/'.0))+*$)F% ,"% !'.-0$% 1#%
producteur est-0,%*#,%<%,2(=#0,0;'" ?
2.
>#",,"%")$%,+%/.*10$0.*%12.!$06+,0$(%!+'($0"**"%"*%!'()"*/"%1"%;0"*)%*.*%
'0:+#CF%"$%!.#'=#.0%,2(=#0,0;'"%/.*/#''"*$0",%*2")$-il pas alors optimal ?
3.
>#2")$-/"%=#2#*%(=#0,0;'"%1"%G+)9 ?
4.
7*%=#.0%,2(=#0,0;'"%1"%6.*.!.,"%10--H'"-t-0,%1"%,2(=#0,0;'"%/.*/#''"*$0", ?
5.
>#2")$-ce que la courbe des contrats ?
Leurs dotations initiales sont respectivement :
Q°A = (20,10) et Q°B = (10,5).
1. Calculez le taux marginal de substitution de A en Q°A et de B en Q°B .
2. Avec ces dotations initiales, A et B ont-ils intérêt à faire des échanges ?
Justifiez votre réponse en employant un raisonnement économique.
3. 3"!'()"*$"4%,+%)0$#+$0.*%)#'%#*%10+5'+66"%12715"8.'$9
4. En supposant p1 = 1 et p2 quelconque, déterminez la demande du bien 1
du consommateur A, à ces prix.
5. Pour quelle valeur de p2 ,20*10:01#% A décide-t-0,%1"%*"%!+)%-+0'"%12(/9+*5"%
aux prix donnés ?
E xercice I I (1 pt par question)
Soit une entreprise qui produit une quantité q 12#*%;0"*%<%!+'$0'%1")%=#+*$0$()%
q1 et q2 120*!#$)%)",.*%,+%'",+$0.* :
q = f(q1, q2) = 6q11/3 q21/2.
1. >#",)%).*$%,")%'"*1"6"*$)%12(/9",,"%1"%/"$$"%"*$'"!'0)" ?
2. Donner les productivités marginales de chacun de ses inputs, au panier
(q1, q2), à éléments strictement positifs.
3. En déduire le taux marginal de substitution en ce panier.
4. On suppose que p1= 2 et que p2 ?% @A% B.**"'% ,2(=#+$0.*% 1#% )"*$0"'%
12"C!+*)0.*A
5. D"%!'0C%1#%;0"*%!'.1#0$%($+*$%(5+,%<%EF%1($"'60*"'%,+%1"6+*1"%120*!#$)%"$%
,2.--'"%1#%;0"*%+#C%!'0C%1.**()A
Q uestions de réflexion (4 pts)
1.
En définissant et discutant les hypothèses et les résultats du modèle de
concurrence parfaite, expliquez dans quelle mesure il est ou non possible
12+--0'6"'% =#"% /"% 6.1H,"% 1(6.*$'"% ,+% )#!('0.'0$(% 1#% 6+'/9(% 1+*)%
,2+,,./+$0.*%1")%'")).#'/")A
2.
En utilisant vos connaissances sur les modèles de concurrence parfaite et
imparfaite, vous exposerez ce que les modèles de monopole et duopole
apportent à la compréhension des comportements des producteurs.
Université de Paris I - Panthéon - Sorbonne
2
année de Licence de Sciences économiques
ème
Cours de Théories Economiques Comparées 2 (Croissance et crises)
(Cours de M. Assous et C. Ramaux)
Durée : 2 heures ; aucun document n’est autorisé (téléphone, calculatrice et ordinateur
éteints SVP)
Consignes : votre dissertation devra comporter un plan analytique clair, apparent dans le
corps de vos développements ou présenté séparément sur une feuille libre ; soignez votre
formulation économique (votre français aussi) et relisez-vous avant de rendre votre copie.
Vous traiterez l’un des deux sujets suivants au choix :
Juin 2011
Sujet n°1 : L’épargne est-elle vertueuse ?
Sujet n°2 : Augmenter les salaires peut-il favoriser l’emploi ?
Mai 2011
Sujet n°1 : Les évolutions de la répartition des revenus sont-elles à l’origine des crises ?
Sujet n°2 : Le progrès technique : source ou remède à la crise ?
Janvier 2010
Sujet n°1 : Dans un article récent, P. Artus (membre du Conseil d’analyse économique)
propose une « lecture marxiste de la crise » : « suraccumulation du capital (par “l’euphorie”
des entrepreneurs) d’où baisse tendancielle du taux de profit ; réaction des entreprises à cette
baisse du taux de profit par la compression des salaires […], d’où sous-consommation ;
réaction […] par le développement du crédit et des activités spéculatives, comme substituts
(palliatifs) à l’insuffisance de la production » (Flash, n°02, 6 janvier 2010).
En quoi cette lecture est-elle marxiste ? En quoi y trouve-t-on aussi des éléments keynésiens
(éventuellement post-keynésiens) ?
Page 30
Sujet n°2 : En quoi l’économie peut-elle se maintenir en situation de sous-emploi selon
Keynes et Kalecki ?
Septembre 2009
Sujet n°1 : En quoi les conflits de répartition entre salaire et profit permettent-elles
d’expliquer les crises ?
Sujet n°2 : Comment Keynes analyse-t-il le rôle des marchés financiers ? En quoi la crise
remet-elle au goût du jour ses analyses ?
Janvier 2009
Sujet n°1 : Le rôle de l’investissement dans la croissance et les crises.
Sujet n°2 : En quoi la crise actuelle remet-elle l’analyse keynésienne au goût du jour ?
Septembre 2008
Sujet n°1 : La relation entre salaire et profit chez Ricardo et Marx
Sujet n°2 : « Le risque d'une prédominance de la spéculation tend à grandir à mesure que le
[développement] des marchés financiers progresse » (J.-M. Keynes, Théorie Générale de
l'emploi, de l'intérêt et de la monnaie, 1936, Chapitre XII).
Explicitez le sens de cette phrase pour Keynes. Dans quelle mesure vous semble-t-elle
pertinente pour éclairer les réalités contemporaines ?
Février 2008
Sujet n°1 : Deux lectures de la crise actuelle s’opposent : la première suggère qu’elle est le
produit d’une politique économique trop laxiste conduisant à un excès de liquidité et à un
excès de consommation (en particulier aux Etats-Unis) ; la seconde insiste, au contraire, sur
l’excès d’épargne (notamment en Asie). En quoi ces deux lectures renvoient-elles aux
controverses théoriques entre les classiques et Keynes ?
Sujet n°2 : « On attache trop peu d’importance au fait que le capital n’est pas une entité se
suffisant à elle-même et qu’il ne peut exister indépendamment de la consommation » (Keynes,
Théorie générale, Livre III, Chap. 8). Marx, de son côté, indique que la croissance du capital
constant par rapport au capital variable est source de crise. Confrontez ces thèses.
Page 31
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Page 32
L2 sciences économiques
Année universitaire 2011–2012
Université Paris 1
Examen de statistique
Mercredi 13 juin – Durée 2 heures
Sujet 1
Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans un ordre quelconque. Au sein d’un
exercice, il est conseillé de traiter les questions dans l’ordre. Le barème est indicatif. L’utilisation de
documents, calculatrices, téléphones portables ou tout autre appareil électronique, est interdite. Les
réponses devront être soigneusement argumentées et justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la
forme de fractions, sans évaluer les fonctions usuelles comme exp ou ln.
Exercice 1 (5 points)
On place dans une urne 8 billes numérotées de 1 à 8. Les quatre premières billes (numéro 1 à 4)
sont rouges, les billes de numéros 5, 6 et 7 sont vertes et la bille 8 est noire. On choisit au hasard
simultanément 2 billes dans l’urne.
Question 1 Définir avec précision l’univers Ω et la probabilité P associés à l’expérience aléatoire.
Question 2 Calculer la probabilité d’obtenir deux billes rouges.
Question 3 Calculer la probabilité d’obtenir une bille noire parmi les deux billes.
Question 4 Calculer la probabilité d’obtenir simultanément une bille de numéro pair et une bille de
numéro impair.
Question 5 Montrer que les évènements A = {obtenir exactement une bille verte} et B = {obtenir
exactement une bille de numéro pair} ne sont pas indépendants.
Exercice 2 (5 points)
On place dans une urne 3 billes rouges et 4 billes bleues. On effectue successivement deux tirages, et
on note T1 et T2 , la couleur de la bille obtenue dans ces tirages. Après chaque tirage, on remet dans
l’urne la bille tirée ainsi qu’une autre bille de la même couleur.
Question 1 Calculer P(T2 = rouge|T1 = rouge).
Question 2 Déduire de la question précédente P(T2 = rouge).
Question 3 Calculer P(T1 = bleue|T2 = rouge).
Question 4 On note R2 la variable aléatoire donnant le nombre de billes rouges dans l’urne après le
deuxième tirage (donc après la remise des billes). Donner les valeurs possibles pour R2 .
Question 5 Donner la loi de R2 .
Question 6 Calculer l’espérance de R2 .
Page 1 sur 4
Exercice 3 (5 points)
On considère un jeu basé sur une urne contenant 8 billes rouges, 8 billes noires et une bille verte. Le
joueur choisit la couleur rouge ou noire, puis prend une bille au hasard dans l’urne. S’il tombe sur la
couleur choisie, il gagne, sinon il perd (en particulier, il perd toujours s’il tombe sur une bille verte).
Après un tirage, la bille est remise dans l’urne.
Question 1 Calculer la probabilité de gain du joueur à un tirage.
Question 2 On suppose que le joueur paye 1 e pour participer à un tirage. Il reçoit 2 e en cas de
gain et rien du tout sinon. On note X la variable aléatoire du gain du joueur après un tirage (négatif
en cas de perte). Donner la loi de X.
Question 3 Calculer l’espérance de X.
Question 4 On considère que des tirages successifs sont indépendants. Le joueur joue 5 fois de suite.
Calculer la probabilité qu’il gagne au moins 3 fois.
Question 5 Le joueur décide de jouer jusqu’à son premier succès. Calculer la probabilité qu’il joue
exactement 3 fois.
Exercice 4 (5 points)
On considère un examen de note moyenne 8 et d’écart-type 4. On note X une variable aléatoire
distribuée selon une loi Normale utilisant comme moyenne et écart-type les valeurs observées sur les
notes d’examen.
Question 1 Calculer la probabilité d’être ajourné, c’est-à-dire que X ≤ 10.
Question 2 Calculer la probabilité que X soit plus grande que 20 et la probabilité que X soit négative.
Question 3 Est-ce que le choix d’une loi normale vous semble acceptable à la lumière des probabilités
calculées dans la question précédente ?
Question 4 D’après la loi de X, quelle note minimale faut-il obtenir pour être dans les 25 % les
meilleurs ?
Question 5 Un étudiant a obtenu la note de 4. Est-ce l’une des 20 % plus mauvaises notes (d’après
la loi de X) ?
Page 2 sur 4
Récapitulatif de lois classiques
Loi
Valeurs prises
Uniforme
X ∼ Un
Bernoulli
X ∼ B(1,p)
Binomiale
X ∼ B(n,p)
Géométrique
X ∼ G(p)
Poisson
X ∼ P(λ)
{1, . . . ,n}
Variance
n+1
2
n2 −1
12
p
p(1 − p)
np
np(1 − p)
1
n
{0, . . . ,n}
{1,2,3, . . . ,}
P (X = k) = p(1 − p)k−1
1
p
1−p
p2
N
P (X = k) = e−λ λk!
λ
λ
Valeurs prises
Uniforme
[a,b]
X ∼ U([a,b])
R+
X ∼ E(λ)
Normale
X ∼ N (m,σ 2 )
P (X = k) =
Espérance
P (X = 0) = 1 − p
P (X = 1) = p
P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k
{0,1}
Loi
Exponentielle
Loi
R
k
Densité/Fonction de répartition
!
1
b−a
si x ∈ [a,b]
0
sinon


si x < a
 0
x−a
si
x ∈ [a,b]
F (x) =
b−a

 1
si x ≥ b
!
λ exp(−λx) si x ≥ 0
f (x) =
0
sinon
!
1 − exp(−λx) si x ≥ 0
F (x) =
0
sinon
f (x) =
f (x) =
√1
σ 2π
&
exp − (x−m)
2σ 2
2
'
Espérance
Variance
a+b
2
(b−a)2
12
1
λ
1
λ2
m
σ2
Page 3 sur 4
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,01
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,02
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,03
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,04
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,05
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,06
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,07
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,08
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,09
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
Table 1 – Fonction de répartition de la loi normale N (0,1)
Page 4 sur 4
L2 sciences économiques
Année universitaire 2011–2012
Université Paris 1
Examen de statistique
Mercredi 13 juin – Durée 2 heures
Correction du sujet 1
Exercice 1
Question 1 On appelle U l’ensemble des 8 billes. L’univers est alors
Ω = {{b1 ,b2 } | b1 != b2 , bi ∈ U },
car le tirage est simultané : les billes sont donc différentes et le résultat n’est pas ordonné. En l’absence
d’hypothèse particulière, on suppose que la probabilité est uniforme sur Ω. Pour un évènement A dans
Ω, la probabilité de A est donc donnée par
P(A) =
Notons que C82 =
8×7
2
|A|
|A|
= 2.
|Ω|
C8
= 28.
Question 2 Obtenir deux billes rouges, c’est choisir les deux billes sans remise (et sans ordre) dans
l’ensemble des 4 billes rouges. On a ainsi C42 possibilités et la probabilité recherchée est donc
P(deux billes rouges) =
C42
6
3
=
=
# 0,21.
2
28
14
C8
Question 3 Obtenir une bille noire, c’est choisir une bille dans les 7 autres billes, soit 7 possibilités.
La probabilité recherchée est donc
P(une bille noire) =
7
1
= = 0,25.
2
4
C8
Question 4 Le plus simple est de raisonner sur le complémentaire de l’évènement pour éviter des
erreurs de comptage. Le complémentaire est ici avoir deux billes paires ou deux billes impaires. Dans
les deux cas, on choisit 2 billes parmi 4, soit C42 = 6 possibilités et donc au total 12 combinaisons. La
probabilité recherchée est donc
P(une paire une impaire) = 1 −
12
16
4
=
= # 0,57.
28
28
7
On peut aussi dire qu’on choisit la bille paire parmi 4, soit C41 = 4 possibilités et la bille impaire parmi 4
aussi, soit C41 = 4 possibilités aussi, puis qu’on considère toutes les paires ainsi formées, soit 4 × 4 = 16
possibilités et le même résultat final.
Question 5 L’évènement A correspond au choix d’une bille verte, soit 3 possibilités, combiné au choix
d’une autre bille, soit 5 possibilités, pour un total de 3 × 5 = 15 possibilités. On a donc
P(U ) =
15
# 0,54.
28
On a déjà calculé à la question précédente la probabilité de V qui est P(V ) = 47 . Considérons W = U ∩V ,
l’évènement consistant à obtenir exactement une bille verte et exactement une bille paire. On peut
décomposer W en deux évènements disjoints, Wp dans lequel la bille verte est paire et Wi dans lequel
1
elle est impaire. Dans Wp , on a la bille verte numéro 6, et on doit choisir pour la seconde bille une
bille impaire non verte (soit 2 possibilités, les billes 1 et 3). Donc |Wp | = 2. Dans Wi , on a deux choix
possibles pour la bille verte (5 et 7) et on doit choisir une bille paire non verte, soit 3 possibilités (2, 4
et 8). On a donc |Wi | = 6 et finalement |W | = 8. Donc
P(W ) =
8
15 4
!=
× .
28
28 7
Comme P(U ∩ V ) != P(U ) × P(V ), U et V ne sont pas indépendants.
Exercice 2
Question 1 D’après la description de l’expérience, T1 = rouge conduit à une urne contenant 4 billes
rouges et 4 billes bleues. Par symétrie, la probabilité dans cet univers est supposée uniforme et la
probabilité d’obtenir une bille rouge est donc de 0,5. Par définition, cette probabilité est P(T2 =
rouge|T1 = rouge).
Question 2 On souhaite appliquer la loi des probabilités totales, à savoir ici :
P(T2 = rouge) =
P(T2 = rouge|T1 = rouge) × P(T1 = rouge) + P(T2 = rouge|T1 = bleue) × P(T1 = bleue).
Par un raisonnement similaire à celui de la question précédente, on a
3
P(T2 = rouge|T1 = bleue) = ,
8
car on ajoute cette fois-ci une bille bleue dans l’urne. D’autre part, on a clairement P(T1 = rouge) =
et P(T1 = bleue) = 47 , ce qui donne
P(T2 = rouge) =
3
7
1 3 3 4
3
× + × = .
2 7 8 7
7
Question 3 On applique la règle de Bayes qui dit ici
P(T1 = bleue|T2 = rouge) =
P(T2 = rouge|T1 = bleue) × P(T1 = bleue)
.
P(T2 = rouge)
Toutes les grandeurs sont déjà connues et donc
P(T1 = bleue|T2 = rouge) =
3
8
×
3
7
4
7
1
= .
2
Question 4 On doit raisonner sur les quatre cas possibles pour T1 et T2 . Le tableau suivant donne le
nombre de billes rouges dans l’urne après le deuxième tirage :
(T1 = a, T2 = b) b = rouge b = bleue
a = rouge
5
4
a = bleue
4
3
Les valeurs possibles sont donc 3, 4 et 5.
2
Question 5 La loi de R2 s’obtient simplement à partir de la loi du couple (T1 ,T2 ). Or, on a en général,
par définition
P(T1 = a,T2 = b) = P(T2 = b|T1 = a)P(T1 = a),
ce qui conduit à la loi jointe suivante :
b = rouge
3
× 37 = 14
4
3
× 7 = 14
P(T1 = a, T2 = b)
a = rouge
a = bleue
b = bleue
3
× 37 = 14
5
5
× 7 = 14
1
2
3
8
1
2
5
8
Donc la loi de R2 est donnée par
r
P(R2 = r)
3
4
5
5
14
3
7
3
14
Question 6 On obtient donc pour l’espérance
E(R2 ) = 3 ×
5
3
3
27
+4× +5×
=
# 3,86.
14
7
14
7
Exercice 3
Question 1 Il est clair par symétrie que le choix du joueur n’est pas important. Pour gagner, il faut
simplement qu’il prenne une bille de la couleur choisie, c’est-à-dire une des 8 billes parmi 17. Sa
8
probabilité de gain est donc 17
(en supposant que les probabilités sont uniformes).
Question 2 Le gain est donc de 1 e en cas de réussite et de -1 e en cas de perte. La loi de X est donc
donnée par
x −1 1
9
8
P(X = x) 17
17
Question 3 On a clairement E(X) =
8
17
−
9
17
1
= − 17
.
Question 4 Comme les tirages sont indépendants, le nombre de tirages gagnés est une variable de loi
8
binomiale de paramètre 5 et p = 17
. On note Z ce nombre de tirages gagnés. On veut donc P(Z ≥ 3).
Or,
P(Z ≥ 3) = P(Z = 3) + P(Z = 4) + P(Z = 5),
donc
P(Z ≥ 3) = C53 p3 (1 − p)2 + C54 p4 (1 − p) + C55 p5 .
Question 5 Le nombre de tirages effectués dans cette configuration suit une loi géométrique de
8
paramètre p = 17
. La probabilité de jouer trois fois exactement est donc = (1 − p)2 p.
Exercice 4
On pose Y =
X−8
4
qui suit donc une loi normale N (0,1).
Question 1 X ≤ 10 est équivalent à Y ≤ 0,5. On cherche donc FY (0,5) qui est environ égal à 0,6915
d’après la table.
Question 2 X ≥ 20 est équivalent à Y ≥ 3. On cherche donc P(Y ≥ 3) = 1−P(Y ≤ 3) = 1−FY (3). Or
la table s’arrête à 2,99 donc on peut seulement dire que FY (3) ≥ 0,9986 et donc que P(X ≥ 20) ≤ 0,0014.
X ≤ 0 est équivalent à Y ≤ −2. On cherche donc P(Y ≤ −2) = FY (−2) = 1 − FY (2) par symétrie de
la loi normale. La lecture de la table donne FY (2) = 0,9772 et donc P(X ≤ 0) = 0,0228.
3
Question 3 La probabilité de sortie de l’intervalle [0,20] n’est pas trop élevée (moins de 3%) et l’erreur
de modélisation semble donc acceptable.
Question 4 On cherche a minimal tel que P(X ≥ a) = 0,25. Or X ≥ a est équivalent à Y ≥ b avec
b = a−8
4 . On cherche donc b tel que P(Y ≥ b) = 0,25, soit 1 − FY (b) = 0,25 et donc FY (b) = 0,75. La
table donne b # 0,67. On en déduit que a = 8 + 4 × 0,67 = 10,68.
Question 5 Il suffit ici de calculer P(X ≤ 4), soit P(Y ≤ −1). Par symétrie de la loi normale,
P(Y ≤ −1) = 1 − FY (1). La table donne FY (1) = 0,8413 et donc P(X ≤ 4) = 0,1586. La note est donc
dans les 20 % les plus faibles.
4
L2 sciences économiques
Année universitaire 2011–2012
Université Paris 1
Partiel de statistique
Samedi 5 mai – Durée 2 heures
Sujet 1
Les exercices sont indépendants. Au sein d’un exercice, il est conseillé de traiter les questions dans
l’ordre. Le barème est indicatif. L’utilisation de documents, calculatrices, téléphones portables ou tout
autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées et
justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la forme de fractions, sans évaluer les fonctions usuelles
comme exp ou ln.
Exercice 1 (6 points)
Le nouveau président de la République nomme un(e) Premier ministre chargé(e) de former un gouvernement. Pour les 4 ministères les plus importants, le Premier ministre cherche à représenter de façon
équitable les 3 grandes tendances du parti du président, notées A, B, et C. On compte 6 candidats pour
un ministère dans la tendance A, 4 dans la tendance B et 3 dans la tendance C. Le Premier ministre
place dans un chapeau les noms des candidats écrits sur des cartons strictement identiques, puis tire
successivement et sans remise 4 noms, dans l’ordre protocolaire du futur gouvernement 1 .
Question 1 Définir avec précision l’univers Ω et la probabilité P associés à l’expérience aléatoire.
Question 2 Calculer la probabilité de n’obtenir aucun membre de la tendance A dans les quatre
ministres.
Question 3 Calculer la probabilité d’obtenir uniquement des ministres de la tendance A.
Question 4 Montrer que les évènements U = {n’obtenir aucun membre de A} et V = {n’obtenir
aucun membre de B} ne sont pas indépendants en justifiant soigneusement la réponse.
Question 5 Calculer la probabilité que le deuxième ministre (dans l’ordre du tirage des 4 ministères)
appartienne à la tendance B.
Question 6 Calculer la probabilité d’obtenir au moins un ministre de chaque tendance.
Exercice 2 (5 points)
Une élection oppose trois candidats, A, B, et C dans un scrutin uninominal à un seul tour (on ne
considère pas le vote blanc). Un sondage donne les intentions de vote suivantes qu’on considère comme
la probabilité de l’emporter pour chacun des candidats :
Candidat
Intentions de vote
A
20 %
B
50 %
C
30 %
Un groupe de votants s’intéresse à une question de société pour laquelle trois mesures sont envisageables,
notées X, Y et Z. En analysant les discours des trois candidats, le groupe établit les probabilités de
choix de chacune des mesures en fonction du candidat élu :
Mesure
Candidat A
Candidat B
Candidat C
X
10 %
30 %
20 %
Y
50 %
60 %
20 %
Z
40 %
10 %
60 %
1. Il s’agit de l’ordre d’importance des ministres.
Page 1 sur 4
Dans les questions qui suivent, vous pouvez vous contenter de donner les formules complètes des calculs
sans mener ces calculs jusqu’au bout, à condition que les formules obtenues ne fassent plus intervenir
que des nombres (pas de grandeur inconnue).
Question 1 Calculer la probabilité que la mesure Z soit prise.
Question 2 Calculer la probabilité que le candidat B ait été élu sachant que la mesure Y a été prise.
Un chiffrage du coût des trois mesures en millions d’euros est donné dans le tableau suivant :
Mesure
Coût
X
1,5
Y
2
Z
1
On définit à partir de ce tableau la variable aléatoire D correspondant au coût de la mesure prise après
l’élection.
Question 3 Donner la loi de D.
Question 4 Calculer la probabilité que D soit supérieure ou égale à 1,5 sachant que C n’a pas été élu.
Question 5 Calculer l’espérance de D et sa variance.
Exercice 3 (2 points)
On suppose que la probabilité de réélection d’un président sortant est de 0,55 à chaque fois qu’il se
représente quel que soit son adversaire. On suppose qu’un mandat dure 5 ans et qu’il n’y a pas de
limite légale au nombre de mandats successifs. On suppose enfin que chaque élection est indépendante
des autres.
Question 1 Soit le candidat X qui n’a jamais été président. Donner sa probabilité d’être élu à la
prochaine élection si le président en exercice, Y , se représente.
Question 2 On considère maintenant X en poste. Donner la probabilité que X fasse exactement 2
mandats de plus que le mandat courant, en supposant qu’il se représente après chaque mandat. On ne
tiendra pas compte d’un éventuel décès du président.
Exercice 4 (3 points)
La taille moyenne des présidents de la cinquième République est d’environ 1,82 m. L’écart-type de
ces tailles est d’environ 0,10 m. Soit T une variable aléatoire distribuée selon la loi Normale utilisant
comme moyenne et écart-type les grandeurs mesurées sur nos présidents.
Question 1 Calculer la probabilité que T soit plus grand que 1,92.
Question 2 Calculer la probabilité que T soit plus petit que 1,68.
Question 3 Déterminer un intervalle symétrique autour de 1,82 (donc de la forme [1,82 − α, 1,82 + α])
contenant T dans 80 % des cas.
Exercice 5 (4 points)
Deux mesures importantes vont être votées au Parlement. La mesure A comporte trois choix u, v
et w. La mesure B comporte deux choix x et y. Un sondage donne les préférences suivantes dans la
population :
P(A = a, B = b) b = x b = y
a=u
20% 10%
a=v
10% 20%
a=w
30% 10%
On considère le résultat du vote comme un couple de variables aléatoires (A,B) dont la loi jointe est
donnée par le sondage.
Page 2 sur 4
Question 1 Calculer les lois marginales de A et B.
Question 2 Montrer que A et B ne sont pas indépendantes.
Un chiffrage des différentes options donne les coûts suivants en millions d’euros :
Option
Coût
u
1
v
2
w
1
x
3
y
2
Soit C la variable aléatoire correspondant au coût total des deux options choisies (celle pour A et celle
pour B).
Question 3 Déterminer C(Ω), l’ensemble des valeurs possibles pour C.
Question 4 Déterminer la loi de C puis son espérance.
Récapitulatif de lois classiques
Loi
Valeurs prises
Uniforme
X ∼ Un
Bernoulli
X ∼ B(1,p)
Binomiale
X ∼ B(n,p)
Géométrique
X ∼ G(p)
Poisson
X ∼ P(λ)
{1, . . . ,n}
{0,1}
{1,2,3, . . . ,}
P (X = k) = p(1 − p)k−1
N
P (X = k) = e−λ λk!
Uniforme
[a,b]
X ∼ U([a,b])
R+
X ∼ E(λ)
X ∼ N (m,σ 2 )
R
Espérance
Variance
n+1
2
n2 −1
12
p
p(1 − p)
np
np(1 − p)
1
p
1−p
p2
λ
λ
1
n
{0, . . . ,n}
Valeurs prises
Normale
P (X = k) =
P (X = 0) = 1 − p
P (X = 1) = p
P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k
Loi
Exponentielle
Loi
k
Densité/Fonction de répartition
! 1
b−a si x ∈ [a,b]
f (x) =
sinon
 0
0
si
x<a

x−a
si x ∈ [a,b]
F (x) =
 b−a
1
si x ≥ b
!
λ exp(−λx) si x ≥ 0
f (x) =
0
sinon
!
1 − exp(−λx) si x ≥ 0
F (x) =
0
%
&sinon
f (x) =
√1
σ 2π
exp − (x−m)
2σ 2
2
Espérance
Variance
a+b
2
(b−a)2
12
1
λ
1
λ2
m
σ2
Page 3 sur 4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
0
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
Table 1 – Fonction de répartition de la loi normale N (0,1)
Page 4 sur 4
L2 sciences économiques
Année universitaire 2011–2012
Université Paris 1
Partiel de statistique
Samedi 5 mai – Durée 2 heures
Correction du sujet 1
Exercice 1
Question 1 On note N = {N1 , . . . ,N13 } les treize noms. L’univers est alors
Ω = {(m1 , m2 , m3 , m4 ) ∈ N 4 | m1 "= m2 "= m3 "= m4 },
c’est-à-dire l’ensemble des quadruplets contenant des noms distincts choisis dans N . On a |Ω| = A413 et
on prend sur Ω la probabilité uniforme.
Question 2 On choisit donc les 4 ministres dans les tendances B et C, soit parmi 7 candidats. On a
donc A47 possibilités, soit une probabilité de
A47
7×6×5×4
840
7
=
=
=
$ 0.049.
4
13 × 12 × 11 × 10
17160
143
A13
Question 3 On choisit uniquement des ministres de la tendance A, ce qui donne A46 possibilités et
une probabilité de
A46
360
3
6×5×4×3
=
=
=
$ 0.021.
4
17160
17160
143
A13
Question 4 On a déjà calculé la probabilité de U (question 1). Pour l’évènement V , on procède de la
même façon : n’obtenir aucun élément de B, c’est choisir les 4 ministres dans les tendances A et C, soit
parmi 9 choix. On a donc A49 possibilités, ce qui donne
P(V ) =
A49
.
A413
Or l’évènement U ∩ V correspond à n’obtenir que des représentants de la tendance C. Mais ceci n’est
pas possible car il n’y a que trois membres dans cette tendance. De ce fait P(U ∩ V ) = 0 "= P(U ) × P(V )
et les évènements ne sont pas indépendants.
Attention, si on se contente d’écrire que P(U ∩ V ) = 0 la réponse est fausse car on pourrait très bien
avoir P(U ) = 0 ou P(V ) = 0.
Question 5 On considère les quadruplets dont le deuxième élément est fixé comme étant un élément
de B. Pour constituer un tel quadruplet il faut choisir un élément de B (4 possibilités) puis choisir un
triplet (ordonné donc) dans les 12 candidats restants (A312 possibilités). On a donc 4 × A312 possibilités
et une probabilité de
4 × A312
4 × 12 × 11 × 10
4
=
=
$ 0.31.
4
13 × 12 × 11 × 10
13
A13
Question 6 Le plus simple est de considérer le complémentaire de l’évènement étudié : obtenir au plus
deux tendances. On décompose l’évènement en six sous-évènements disjoints :
1. obtenir uniquement des A : A46 possibilités ;
2. obtenir uniquement des B : A44 = 4! possibilité ;
3. obtenir uniquement des C : évènement impossible ;
1
4. obtenir des A et des B : A49 − A46 possibilités (il faut enlever les quadruplets contenant seulement
des A) ;
5. obtenir des A et des C : A410 −A46 −4! possibilités (on enlève encore les cas avec une seule tendance) ;
6. obtenir des B et des C : A47 − 4! possibilités (toujours la même chose).
Donc le nombre de possibilités est
A46 + 4! + A49 − A46 + A410 − A46 − 4! + A47 − 4! = A410 + A49 + A47 − A46 − 4! = 8520,
et donc la probabilité recherchée est
1−
8520
71
72
=1−
=
$ 0.50
143
143
A413
Attention, les stratégies constructives ne fonctionnent en général pas car on compte plusieurs fois la
même chose...
Exercice 2
Question 1 On applique la loi des probabilités totales qui donne
P(Z) = P(Z|A)P(A) + P(Z|B)P(B) + P(Z|C)P(C),
= 0,4 × 0,2 + 0,1 × 0,5 + 0,6 × 0,3,
= 0,31.
Question 2 On applique la règle de Bayes qui donne
P(B|Y ) =
P(Y |B)P(B)
.
P(Y )
On calcule P(Y ) par la formule des probabilités totales :
P(Y ) = P(Y |A)P(A) + P(Y |B)P(B) + P(Y |A)P(B),
= 0,5 × 0,2 + 0,6 × 0,5 + 0,2 × 0,3,
= 0,46.
On a donc
P(B|Y ) =
0,6 × 0,5
$ 0,65.
0,46
Question 3 Il nous manque simplement la probabilité de X qui est obtenue par
P(X) = 1 − P(Y ) − P(Z) = 1 − 0,46 − 0,31 = 0,23.
La loi de D est alors donnée par le tableau suivant :
d
1
1,5
2
P(D = d) 0,31 0,23 0,46
2
Question 4 L’évènement {D ≥ 1,5} est égal à {X ou Y }. On cherche donc P(X ∪Y |C). Par définitions
et propriétés classiques :
P((X ∪ Y ) ∩ C)
,
P(C)
P(X ∩ C) + P(Y ∩ C)
=
,
P(A) + P(B)
P(X ∩ A) + P(X ∩ B) + P(Y ∩ A) + P(Y ∩ B)
=
,
0,7
P(X|A)P(A) + P(X|B)P(B) + P(Y |A)P(A) + P(Y |B)P(B)
=
,
0,7
0,1 × 0,2 + 0,3 × 0,5 + 0,5 × 0,2 + 0,6 × 0,5
=
,
0,7
0,57
=
,
0,7
$ 0,81.
P(X ∪ Y |C) =
Question 5 On a
E(D) = 1 × 0,31 + 1,5 × 0,23 + 2 × 0,46,
= 1,575,
ainsi que
E(D2 ) = 12 × 0,31 + (1,5)2 × 0,23 + 22 × 0,46,
= 2,6675,
soit donc, en utilisant V (D) = E(D2 ) − (E(D))2 , V (D) = 0,186875.
Exercice 3
Question 1 Comme X est le challenger, son élection est l’évènement contraire de la réélection du
sortant et la probabilité cherchée est donc de 1 − 0,55 = 0,45.
Question 2 X n’étant plus le challenger, sa réélection se fait avec une probabilité 0,55. Pour qu’il
fasse deux autres mandats, il faut qu’il soit réélu deux fois puis qu’il perde. Comme les élections sont
indépendantes, on se trouve en présence d’une loi géométrique de probabilité p = 0,45, puisqu’on
cherche le premier échec. La probabilité recherchée est alors la probabilité d’obtenir k = 3 avec la loi
géométrique considérée, soit donc 0,45 × (0,55)2 = 0,136.
Exercice 4
Question 1 On pose X =
Or
T −1,82
0,1
qui suit donc une loi normale N (0,1). T ≥ 1,92 est équivalent X ≥ 1.
P(X ≥ 1) = 1 − P(X ≤ 1) = 1 − FX (1).
D’après la table, FX (1) = 0,8413 et donc P(T ≥ 1,92) = 0,1587.
Question 2 T ≤ 1,68 est équivalent à X ≤ −1,4. Or, par symétrie de la loi normale FX (−1,4) =
1 − FX (1,4). La table donne FX (1,4) = 0,9192 donc P(T ≤ 1,68) = 0,0808.
3
α α
Question 3 T ∈ [1,82 − α, 1,82 + α] est équivalent à X ∈ [− 0,1
, 0,1 ]. On cherche donc un intervalle
symétrique autour de 0 sur X de probabilité 0,8, soit donc
0,8 = P(X ∈ [−λ,λ]),
= FX (λ) − FX (−λ),
= 2FX (λ) − 1,
0,9 = FX (λ).
La lecture de la table donne λ $ 1,28 (pour une probabilité de 0,8997). On en déduit α = 0,1 × 1,28 =
0,128 $ 0,13.
Exercice 5
Question 1 Il suffit de sommer sur les lignes ou les colonnes en fonction de la variable considérée. On
obtient
a u
v
w
P(A = a) 0,3 0,3 0,4
et
b x
y
P(B = b) 0,6 0,4
Question 2 On constate que P(A = u, B = x) = 0,2 alors que P(A = u)P(B = x) = 0,3 × 0,6 = 0,18.
Or, il faudrait que P(A = a, B = b) = P(A = a) × P(B = b) pour tout a et tout b pour que A et B
soient indépendantes.
Question 3 On reprend le tableau de la loi jointe pour déterminer les valeurs de C :
(A = a, B = b)
b=x
b=y
a=u
C =1+3=4 C =1+2=3
a=v
C =2+3=5 C =2+2=4
a=w
C =1+3=4 C =1+2=3
Ainsi, C(Ω) = {3, 4, 5}.
Question 4 La loi de C s’obtient à partir des deux tableaux, à savoir celui de la loi jointe et celui ci
dessus. On obtient
c 3
4
5
P(C = c) 0,2 0,7 0,1
L’espérance est alors donnée par
E(C) = 3 × 0,2 + 4 × 0,7 + 5 × 0,1
= 3,9.
4
PECES
Le
sp éc
ialiste
de l’enseignement su
péri
eur