Fiche 2 - Université de Rouen

Université de Rouen
Licence 3 Mathématiques
2016–2017
Mesure & Intégration
TD 2 : Tribus
Exercice 1. Soit X un ensemble.
a) Montrer que {;, X } est une tribu de X .
b) Montrer que P (X ) est une tribu de X .
c) Montrer que, si ; Ú A Ú X , alors {;, A, A c , X } est une tribu de X .
d) Montrer que, si ; ⊂ A ⊂ X , alors
©
ª
B ⊂ X : B ⊂ A ou A c ⊂ B
est une tribu de X .
Exercice 2. Soit X et Y deux ensembles, f : X → Y une application, et F , G des tribus
de X et Y respectivement.
©
ª
a) Montrer que f −1 (G ) = A ∈ P (X ) : ∃B ∈ G , A = f −1 (B ) est une tribu de X . On l’appelle la tribu image réciproque de G par f .
©
ª
b) Montrer que B ∈ P (Y ) : f −1 (B ) ∈ F est une tribu de Y .
©
ª
c) Est-ce que f (F ) = B ∈ P (Y ) : ∃A ∈ F , B = f (A) est une tribu de Y ?
©
ª
Exercice 3. Si A ⊂ R, on note −A = y ∈ R : −y ∈ A .
a) Montrer que F = {A ∈ P (R) : A = −A} est une tribu de R.
b) Soit f : R → (R, P (R)) définie par f (x) = x 2 . Montrer que la tribu image réciproque
de P (R) par f est F .
Exercice 4. Soit (X , F ) un espace mesurable et A ⊂ X .
a) Montrer que F A = {C ∈ P (A) : ∃B ∈ F ,C = A ∩ B } est une tribu de A. On l’appelle la
tribu trace de F sur A.
b) Montrer que si A ∈ F , alors F A = {B ∈ F : B ⊂ A}.
c) Si G est une tribu de A, montrer que {B ∈ P (X ) : A ∩ B ∈ G } est une tribu de X . On
l’appelle la tribu relèvement de G à X .
Exercice 5. Soit X un ensemble non vide.
a) Si A ⊂ X , décrire la tribu engendrée par {A}.
b) Si A, B ⊂ X , décrire la tribu engendrée par {A, B }.
c) Si A = (A i )i ∈I est une partition au plus dénombrable de X (I = {1, 2, . . . , n} ou I = N),
décrire la tribu engendrée par A .
Exercice 6. On rappelle qu’on a défini la tribu borélienne B(R) de R comme la tribu
engendrée par
©
ª
I = ]a, b[ : a, b ∈ R, a < b .
a) Montrer que B(R) coincide avec la tribu de R engendrée par chacune des familles
de sous-ensembles suivantes :
©
ª
I1 = ]a, b[ : a, b ∈ Q, a < b ;
©
ª
I2 = [a, b[ : a, b ∈ R, a < b ;
©
ª
I3 = [a, b[ : a, b ∈ Q, a < b ;
©
ª
I4 = [a, +∞[ : a ∈ R ;
1
T RIBUS
2
I5 = [a, +∞[ : a ∈ Q .
©
ª
b) Montrer que toute partie finie ou dénombrable de R appartient à B(R).
Exercice 7. Soit X un ensemble.
Définition 1. On dit que A ⊂ P (X ) est une algèbre de X si :
(i) ; ∈ A ;
(ii) si A ∈ A , alors A c ∈ A ;
(iii) si A, B ∈ A , alors A ∪ B ∈ A .
a) Montrer que A ⊂ P (X ) est une algèbre de X si et seulement si A vérifie les trois
propriétés suivantes :
(i’) A est non vide ;
(ii’) si A ∈ A , alors A c ∈ A ;
(iii’) si A, B ⊂ A , alors A ∩ B ∈ A .
b) Montrer que toute tribu de X est une algèbre de X .
c) Soit X = N et A = {A ⊂ X : A ou A c est fini}. Montrer que A est une algèbre de N.
Est-ce une tribu ?
d) Soit X = R et F = {A ⊂ X : A ou X \ A est au plus dénombrable}. Montrer que A est
une tribu de R.
e) Montrer qu’une algèbre finie est une tribu.
f ) Montrer qu’une intersection arbitraire d’algèbres est une algèbre.
©
ª
Exercice 8. Soit X un ensemble et E = {x} ∈ P (X ) : x ∈ X . Déterminer la tribu σ(E )
de X engendrée par E .
h
h
Exercice 9. Soit X = [0, 1] et pour tout n ∈ N∗ , I nk = 2kn , k+1
, 0 ≤ k ≤ 2n −1. On note Bn
2n
la tribu sur [0, 1] engendrée par les intervalles I nk pour 0 ≤ k ≤ 2n − 1.
a) Montrer que Bn ⊂ Bn+1 .
b) Soit B = ∪∞
n=1 Bn . B est-elle une algèbre sur [0, 1] ? Une tribu sur [0, 1] ?