Fiche 2 - Université de Rouen

Université de Rouen
Licence 3 Mathématiques
2016–2017
Mesure & Intégration
TD 2 : Tribus
Exercice 1. Soit Xun ensemble.
a) Montrer que {;,X} est une tribu de X.
b) Montrer que P(X) est une tribu de X.
c) Montrer que, si ; Ú AÚX, alors {;,A,Ac,X} est une tribu de X.
d) Montrer que, si ; ⊂ A⊂X, alors
©B⊂X:B⊂Aou Ac⊂Bª
est une tribu de X.
Exercice 2. Soit Xet Ydeux ensembles, f:X→Yune application, et F,Gdes tribus
de Xet Yrespectivement.
a) Montrer que f−1(G)=©A∈P(X) : ∃B∈G,A=f−1(B)ªest une tribu de X. On l’ap-
pelle la tribu image réciproque de Gpar f.
b) Montrer que ©B∈P(Y) : f−1(B)∈Fªest une tribu de Y.
c) Est-ce que f(F)=©B∈P(Y) : ∃A∈F,B=f(A)ªest une tribu de Y?
Exercice 3. Si A⊂R, on note −A=©y∈R:−y∈Aª.
a) Montrer que F={A∈P(R) : A= −A} est une tribu de R.
b) Soit f:R→(R,P(R)) définie par f(x)=x2. Montrer que la tribu image réciproque
de P(R) par fest F.
Exercice 4. Soit (X,F) un espace mesurable et A⊂X.
a) Montrer que FA={C∈P(A) : ∃B∈F,C=A∩B} est une tribu de A. On l’appelle la
tribu trace de Fsur A.
b) Montrer que si A∈F, alors FA={B∈F:B⊂A}.
c) Si Gest une tribu de A, montrer que {B∈P(X) : A∩B∈G} est une tribu de X. On
l’appelle la tribu relèvement de GàX.
Exercice 5. Soit Xun ensemble non vide.
a) Si A⊂X, décrire la tribu engendrée par {A}.
b) Si A,B⊂X, décrire la tribu engendrée par {A,B}.
c) Si A=(Ai)i∈Iest une partition au plus dénombrable de X(I={1,2,...,n}ou I=N),
décrire la tribu engendrée par A.
Exercice 6. On rappelle qu’on a défini la tribu borélienne B(R) de Rcomme la tribu
engendrée par
I=©]a,b[: a,b∈R,a<bª.
a) Montrer que B(R) coincide avec la tribu de Rengendrée par chacune des familles
de sous-ensembles suivantes :
I1=©]a,b[: a,b∈Q,a<bª;
I2=©[a,b[: a,b∈R,a<bª;
I3=©[a,b[: a,b∈Q,a<bª;
I4=©[a,+∞[ : a∈Rª;
1

TRIBUS 2
I5=©[a,+∞[: a∈Qª.
b) Montrer que toute partie finie ou dénombrable de Rappartient à B(R).
Exercice 7. Soit Xun ensemble.
Définition 1. On dit que A⊂P(X) est une algèbre de Xsi :
(i) ; ∈ A;
(ii) si A∈A, alors Ac∈A;
(iii) si A,B∈A, alors A∪B∈A.
a) Montrer que A⊂P(X) est une algèbre de Xsi et seulement si Avérifie les trois
propriétés suivantes :
(i’) Aest non vide ;
(ii’) si A∈A, alors Ac∈A;
(iii’) si A,B⊂A, alors A∩B∈A.
b) Montrer que toute tribu de Xest une algèbre de X.
c) Soit X=Net A={A⊂X:Aou Acest fini}. Montrer que Aest une algèbre de N.
Est-ce une tribu ?
d) Soit X=Ret F={A⊂X:Aou X\Aest au plus dénombrable}. Montrer que Aest
une tribu de R.
e) Montrer qu’une algèbre finie est une tribu.
f) Montrer qu’une intersection arbitraire d’algèbres est une algèbre.
Exercice 8. Soit Xun ensemble et E=©{x}∈P(X) : x∈Xª. Déterminer la tribu σ(E)
de Xengendrée par E.
Exercice 9. Soit X=[0,1] et pour tout n∈N∗,Ik
n=hk
2n,k+1 2nh, 0 ≤k≤2n−1. On note Bn
la tribu sur [0,1] engendrée par les intervalles Ik
npour 0 ≤k≤2n−1.
a) Montrer que Bn⊂Bn+1.
b) Soit B= ∪∞
n=1Bn.Best-elle une algèbre sur [0,1] ? Une tribu sur [0,1] ?