Leçon 4 : Décision statistique

L4 – 1 Gilles DUCHARME (2012)
Leçon 4 : Décision statistique
Partie 1 : Généralités
➧ La Théorie de l’estimation (Leçon 3) permet d’obtenir des estimations ponctuelles
ou par intervalle qui affinent l’information tirée de l’échantillon concernant la
valeur de la caractéristique d’intérêt de la population.
➧ La Théorie de la décision statistique aide à la prise de décision dans un contexte
aléatoire. Le cadre de travail suppose que cette décision dépend de la valeur d’une
caractéristique d’intérêt de la population. Or on ne dispose que de l’information
incertaine obtenue d’un échantillon.
➧ On va voir que cet échantillon peut être utilisé pour « tester » la valeur de la
caractéristique de la population. Le résultat de cette action indique la décision à
prendre, tout en contrôlant les risques d’une mauvaise décision.

L4 – 2 Gilles DUCHARME (2012)
Exemple : Décision basée sur une espérance
• Les 100 arbustes de la pépinière ont donné
x
= 67.42. Imaginez que cet échantillon
ait été prélevé pour répondre à un acheteur voulant acquérir le stock des 500
arbustes de la pépinière à la condition que leur taille ait une espérance µ supérieure
à 68. Si l’on pouvait mesurer ces 500 arbustes, on pourrait calculer µ et l’acheteur
serait fixé quant à la décision à prendre. Ceci demande trop de travail, d’où l’idée de
prélever l’échantillon. Maintenant, celui-ci peut avoir été prélevé
a) par l’acheteur qui veut savoir si sa condition µ supérieur à 68 sera respectée.
Puisque
x
= 67.42 < 68, est-ce une raison pour décider de refuser le stock?
b) par le pépiniériste avant livraison, pour s’assurer de la satisfaction du client.
Puisque
x
= 67.42 < 68, est-ce une raison pour décider de ne pas expédier le
stock ?
➧ Le problème de déterminer si oui ou non on peut considérer que µ est supérieur à 68
est complexe : les enjeux changent selon que l’on adopte le point de vue du client ou
du vendeur.

L4 – 3 Gilles DUCHARME (2012)
Partie 2 : Hypothèses statistiques
➧ Dans la vie courante, la prise de décisions se base sur des conjectures faites par un
décideur sur la réalité d’une situation qu’il ne connaît pas complètement.
➧ En Statistique, ces conjectures sont des hypothèses sur la loi de v.a {X1,…, Xn}
devant être mesurées sur les individus d’un échantillon issu d’une population. Au
départ, le décideur entretient une conjecture privilégiée concernant cette loi
➧ L’hypothèse nulle est cette conjecture privilégiée. C’est celle que le décideur ne
lâchera pas sans un sérieux doute sur sa validité. On la note H0.
➧ L’hypothèse nulle est confrontée à une conjecture qui la contredit, appelée
« contre-hypothèse ». On la note H1. Le décideur fera sienne l’hypothèse H1 s’il
réussit à sérieusement mettre en doute la validité de H0

L4 – 4 Gilles DUCHARME (2012)
Exemple : Pépinière
• Si l’acheteur craint de se faire arnaquer, il peut prendre H0 : µ ≤ 68 et H1 : µ > 68
• Le pépiniériste qui a confiance en la qualité de son stock est plutôt amené à poser :
H0 : µ ≥ 68 et H1 : µ < 68
• Si l’exactitude de l’espérance de la taille ( µ = 68) est en jeu pour une simple question
de calibrage (sans enjeu monétaire) on peut penser à H0 : µ = 68 et H1 : µ ≠ 68
➧ Dans la présente Leçon, les hypothèses considérées se rapportent aux
caractéristiques de la loi, comme l’espérance, la proportion théorique etc... Elles
sont dites de type paramétrique.

L4 – 5 Gilles DUCHARME (2012)
Partie 3 : Risques d’erreurs
➧ Un test d’hypothèses (ou simplement un test) est une procédure consistant, au vu
d’un échantillon, à rejeter ou non H0. On rejette H0 (au profit de H1) si les données
mettent en doute H0.
➧ Ce faisant, on peut se tromper de deux façons :
1) Rejeter H0 alors que H0 est vraie : c’est l’erreur de première espèce
2) Ne pas rejeter H0 alors que H0 est fausse : c’est l’erreur de seconde espèce
➧ La probabilité de commettre ces erreurs s’appelle le risque. Il y 2 risques :
• Le risque de première espèce = probabilité de commettre une erreur de 1ère espèce
• Le risque de seconde espèce = probabilité de commettre une erreur de 2ième espèce
➧ Un bon test d’hypothèses doit minimiser ces 2 risques