Ds 4 - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1
DEVOIR SURVEILLÉ n°4 du samedi 12 décembre
Durée : 4 heures de 8h à 12h. Les calculatrices sont autorisées.
Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
1 Exercices d’arithmétique
Exercice 1 (L’auberge espagnole)
1. (a) Déterminer en détaillant les calculs, un couple d’entiers solution de l’équation 8x+ 5y= 1.
(b) En déduire un couple d’entiers (x0, y0) solution de l’équation 8x+ 5y= 100.
2. Démontrer que les solutions entières de l’équation 8x+ 5y= 100 sont les couples
(x0−5k, y0+ 8k), k ∈Z.
3. Application : un grand groupe d’amis réunis dans un bar à Barcelone a mangé au total 100
tapas 1. Les hommes en ont mangé 8 chacun et les femmes 5 chacun. Combien pouvait-il y avoir
d’hommes et de femmes dans le groupe ?
Exercice 2 (Points à coordonnées entières sur une hyperbole) On munit le plan de son re-
père orthonormé canonique. On considère la courbe Cdu plan d’équation
x2−y2= 401.
1. Le nombre 401 est-il premier ? Justifier
2. Soit (x, y)∈N2un couple tel que x2−y2= 401.
(a) Quelle(s) valeur(s) peut prendre l’entier x+y?
(b) En déduire la ou les valeurs possible(s) du couple (x, y).
3. En déduire tous les points à coordonnées entières (dans Z) de la courbe C.
Exercice 3 (Nombres premiers d’une progression arithmétique) Le but de l’exercice est de
démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6. Pour cela on raisonne
par l’absurde, et on suppose donc qu’il existe seulement un nombre fini de nombres premiers congrus
à 5 modulo 6 que l’on note p1,...,pk. On pose alors N= 6p1×p2× ··· × pk−1.
1. Soit pun diviseur premier de N.
(a) Justifier que Nn’est pas divisible par 3, en déduire que pn’est pas congru à 3 modulo 6.
(b) Justifier que pest congru soit à 1, soit à 5 modulo 6.
2. Démontrer que Npossède au moins un diviseur premier congru à 5 modulo 6.
3. Conclure.
2 Exercice : étude d’une suite
On note uet vles suites de terme général unet vndéfinies pour n∈Npar :
un=
n
X
k=0
1
k!et vn=un+1 n!.
1. Les tapas sont des amuse-gueules ainsi nommés en Espagne.

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2.1 Convergence rapide de la suite u
1. Déterminer la monotonie des suites uet v.
2. En déduire que les suites (un)n>1et (vn)n>1sont adjacentes et convergent vers une même limite
l.
3. Valeurs approchées de l:
(a) Justifier que pour n>1, on a |un−l|61
n!.
(b) En déduire un entier Nà partir duquel le nombre uNest une approximation de là 10−2
près.
(c) Calculer u3et v3, en déduire que le nombre ln’est pas un entier.
2.2 Qui est vraiment ce nombre l?
Pour n∈N, on pose In=Z1
0
(1 −t)netdt
n!.
4. On note e = exp(1). Démontrer par récurrence que
∀n∈N, In= e −un.
5. Démontrer que la suite (In) converge vers 0, en déduire la valeur de l.
3 Problème : Suites de rationnels et grands dénominateurs
Soit ula suite définie par
∀n∈N, un+1 =1
2(un+2 un
) et u0= 2.
1. Démontrer que pour tout n∈N, un>√2.
2. Démontrer que uest monotone.
3. En déduire que uest convergente, déterminer sa limite l.
Les nombres unsont des rationnels qui approximent le nombre lqui lui est irrationnel.
A l’aide d’un logiciel de calcul formel, on observe que les dénominateurs des rationnels u0, u1,...,u5
sont de plus en plus grands (ces rationnels étant écrits sous forme irréductible) :
u0= 2
u1=3
2
u2=17
12
u3=577
408
u4=665857
470832
u5=886731088897
627013566048
Nous allons démontrer le théorème suivant qui explique notre observation :
Théorème 1 Soit (pn)n∈Net (qn)n∈Ndeux suites d’entiers strictement positifs. Si la suite de ration-
nels pn
qnn∈N
converge vers un nombre irrationnel, alors la suite (qn)ndes dénominateurs tend vers
+∞.
Pour la preuve nous raisonnons par l’absurde et supposons que (qn) ne tend pas +∞.

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4. (a) Traduire avec des quantificateurs le fait que (qn) ne tende pas vers +∞.
(b) En déduire qu’il existe un réel Atel que pour tout n∈Nla propriété suivante notée HR(n)
est vraie :
HR(n) : «il existe des entiers φ(0) < φ(1) < . . . < φ(n) tels que pour tout k∈ {1,...,n},
qφ(k)6A». On pourra raisonner par récurrence.
Nous avons donc construit une suite extraite (qφ(n)) de (qn) qui est majorée.
5. (a) Justifier que la suite (pφ(n)) est bornée (on pourra écrire pφ(n)=qφ(n)
pφ(n)
qφ(n)
).
(b) En déduire que la suite pφ(n)
qφ(n)ne prend qu’un nombre fini de valeurs, puis conclure.