Ds 4 - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016
DEVOIR SURVEILLÉ n°4 du samedi 12 décembre
Durée : 4 heures de 8h à 12h. Les calculatrices sont autorisées.
Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
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Exercices d’arithmétique
Exercice 1 (L’auberge espagnole)
1. (a) Déterminer en détaillant les calculs, un couple d’entiers solution de l’équation 8x + 5y = 1.
(b) En déduire un couple d’entiers (x0 , y0 ) solution de l’équation 8x + 5y = 100.
2. Démontrer que les solutions entières de l’équation 8x + 5y = 100 sont les couples
(x0 − 5k, y0 + 8k),
k ∈ Z.
3. Application : un grand groupe d’amis réunis dans un bar à Barcelone a mangé au total 100
tapas 1 . Les hommes en ont mangé 8 chacun et les femmes 5 chacun. Combien pouvait-il y avoir
d’hommes et de femmes dans le groupe ?
Exercice 2 (Points à coordonnées entières sur une hyperbole) On munit le plan de son repère orthonormé canonique. On considère la courbe C du plan d’équation
x2 − y 2 = 401.
1. Le nombre 401 est-il premier ? Justifier
2. Soit (x, y) ∈ N2 un couple tel que x2 − y 2 = 401.
(a) Quelle(s) valeur(s) peut prendre l’entier x + y ?
(b) En déduire la ou les valeurs possible(s) du couple (x, y).
3. En déduire tous les points à coordonnées entières (dans Z) de la courbe C.
Exercice 3 (Nombres premiers d’une progression arithmétique) Le but de l’exercice est de
démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6. Pour cela on raisonne
par l’absurde, et on suppose donc qu’il existe seulement un nombre fini de nombres premiers congrus
à 5 modulo 6 que l’on note p1 , . . . , pk . On pose alors N = 6p1 × p2 × · · · × pk − 1.
1. Soit p un diviseur premier de N .
(a) Justifier que N n’est pas divisible par 3, en déduire que p n’est pas congru à 3 modulo 6.
(b) Justifier que p est congru soit à 1, soit à 5 modulo 6.
2. Démontrer que N possède au moins un diviseur premier congru à 5 modulo 6.
3. Conclure.
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Exercice : étude d’une suite
On note u et v les suites de terme général un et vn définies pour n ∈ N par :
un =
n
X
1
k!
et vn = un +
k=0
1. Les tapas sont des amuse-gueules ainsi nommés en Espagne.
1
.
n!
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2.1
Convergence rapide de la suite u
1. Déterminer la monotonie des suites u et v.
2. En déduire que les suites (un )n>1 et (vn )n>1 sont adjacentes et convergent vers une même limite
l.
3. Valeurs approchées de l :
(a) Justifier que pour n > 1, on a |un − l| 6
1
n! .
(b) En déduire un entier N à partir duquel le nombre uN est une approximation de l à 10−2
près.
(c) Calculer u3 et v3 , en déduire que le nombre l n’est pas un entier.
2.2
Qui est vraiment ce nombre l ?
Pour n ∈ N, on pose In =
Z
0
1
(1 − t)n et dt
.
n!
4. On note e = exp(1). Démontrer par récurrence que
∀n ∈ N, In = e − un .
5. Démontrer que la suite (In ) converge vers 0, en déduire la valeur de l.
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Problème :
Suites de rationnels et grands dénominateurs
Soit u la suite définie par
∀n ∈ N, un+1 =
1. Démontrer que pour tout n ∈ N, un >
1
2
)
(un +
2
un
√
et u0 = 2.
2.
2. Démontrer que u est monotone.
3. En déduire que u est convergente, déterminer sa limite l.
Les nombres un sont des rationnels qui approximent le nombre l qui lui est irrationnel.
A l’aide d’un logiciel de calcul formel, on observe que les dénominateurs des rationnels u0 , u1 , . . . , u5
sont de plus en plus grands (ces rationnels étant écrits sous forme irréductible) :
u0 = 2
3
u1 =
2
17
u2 =
12
577
u3 =
408
665857
u4 =
470832
886731088897
u5 =
627013566048
Nous allons démontrer le théorème suivant qui explique notre observation :
Théorème
1 Soit (pn )n∈N et (qn )n∈N deux suites d’entiers strictement positifs. Si la suite de rationconverge vers un nombre irrationnel, alors la suite (qn )n des dénominateurs tend vers
nels pqnn
n∈N
+∞.
Pour la preuve nous raisonnons par l’absurde et supposons que (qn ) ne tend pas +∞.
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4. (a) Traduire avec des quantificateurs le fait que (qn ) ne tende pas vers +∞.
(b) En déduire qu’il existe un réel A tel que pour tout n ∈ N la propriété suivante notée HR(n)
est vraie :
HR(n) : «il existe des entiers φ(0) < φ(1) < . . . < φ(n) tels que pour tout k ∈ {1, . . . , n},
qφ(k) 6 A». On pourra raisonner par récurrence.
Nous avons donc construit une suite extraite (qφ(n) ) de (qn ) qui est majorée.
5. (a) Justifier que la suite (pφ(n) ) est bornée (on pourra écrire pφ(n) = qφ(n)
(b) En déduire que la suite
pφ(n)
qφ(n)
pφ(n)
).
qφ(n)
ne prend qu’un nombre fini de valeurs, puis conclure.