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TES Int´egration
Table des mati`eres
1 Int´egrale d’une fonction 1
1.1 D´efinition ................................................. 1
1.2 Propri´et´es................................................. 4
2 Notion de primitive d’une fonction 5
2.1 D´efinition ................................................. 5
2.2 Ensemble des primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Calcul de primitives 7
3.1 Existence de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Lien entre primitive et int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Propri´et´es 9
5 Valeur moyenne 9
6 Exemples 10
6.1 Calcul d’une primitive avec une fonction de la forme eu(x)...................... 10
6.2 Calcul de l’aire entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 Int´egrale d’une fonction
1.1 D´efinition
D´efinition : Int´egrale d’une fonction
Soit fcontinue et positive sur un intervalle [a;b] (a < b), et Csa courbe repr´esentative dans un rep`ere
orthogonal (axes orthogonaux), l’int´egrale de fsur [a;b]not´ee Rb
af(x)dx est l’aire du domaine
limit´e par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’´equations x=aet x=b, cette aire ´etant
exprim´ee en unit´es d’aire.
Une unit´e d’aire correspondant `a un rectangle dont les cˆot´es ont une longueur de une unit´e sur l’axe
des abscisses et de une unit´e sur l’axe des ordonn´ees.
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rExemple 1 : exemple d’int´egrale
fest la fonction affine d´efinie sur Rd´efinie par f(x) = x+ 2.
Tracer la repr´esentation graphique de fdans un rep`ere orthonorm´e (axes orthogonaux et mˆeme unit´e sur
chacun des axes).
En d´eduire R2
0f(x)dx
*Solution:
La repr´esentation graphique de fest une droite
passant par les points A(0; 2) et B(2; 4)
Graphiquement, R2
0f(x)dx est l’aire, en unit´es
d’aire, du trap`eze OABB0(zone rouge sur le gra-
phique).
Un unit´e d’aire est ´egale `a l’aire du carr´e bleu
sur le graphique.
On a donc R2
0f(x)dx = 6
rExemple 2 : Lecture graphique d’int´egrales
Dans chaque, la fonction fd´efinie sur Rest repr´esent´ee graphiquement.
D´eterminer graphiquement R4
0f(x)dx.
*Solution:
Dans chaque cas, sur [0; 4] la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses donc on a f(x)≥0
R4
0f(x)dx est l’aire en unit´es d’aire de la zone (en rouge sur le graphique) d´elimit´ee par la courbe, l’axe
des abscisses et les droites d’´equations x= 0 (axe des ordonn´ees) et x= 4
Une unit´e d’aire (zone bleue sur le graphique) est l’aire d’un rectangle (ou un carr´e si le rep`ere est ortho-
norm´e) de une unit´e selon l’axe des abscisses et une unit´e selon l’axe des ordonn´ees.
On a donc pour la figure 1 : la zone rouge contient 16 rectangles du quadrillage et une unit´e d’aire contient
deux rectangles du quadrillage.
donc R4
0f(x)dx = 16 ÷2 = 8 (unit´es d’aire)
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Pour la figure 2 : la zone rouge contient 4 ÷2 = 2 rectangles du quadrillage et une unit´e d’aire contient un
carr´e du quadrillage.
donc R4
0f(x)dx = 2 (unit´es d’aire)
rExemple 3 : Encadrement d’une int´egrale
On donne ci-contre la repr´esentation graphique de la fonc-
tion f.
En utilisant le maximum et le minimum de fsur [1; 3],
donner un encadrement de f(x) sur [1; 3]
En d´eduire alors un encadrement de R3
1f(x)dx
*Solution:
Le minimum de fsur [1; 3] est 1 et le maximum 4
donc pour tout r´eel x∈[1; 3], on a 1 ≤f(x)≤4
Sur [1; 3] la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses donc f(x)>0
R3
1f(x)dx est l’aire en unit´es d’aire de la zone (en rouge sur le graphique) d´elimit´ee par la courbe, l’axe
des abscisses et les droites d’´equations x= 1 et x= 3
Une unit´e d’aire est l’aire d’un rectangle du quadrillage.
cette aire est comprise entre l’aire du rectangle (en bleu) de largeur 2 unit´es et de hauteur 1 unit´e et celle
du rectangle (en vert) de largeur 3 unit´es et de hauteur 4 unit´es.
on a donc 2 <R3
1f(x)dx < 8
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rExemple 4 : Encadrement d’une int´egrale
La fonction fd´efinie sur Rest repr´esent´ee graphiquement c-dessous.
D´eterminer graphiquement un encadrement de R5
0f(x)dx.
*Solution:
Sur [0; 5] la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses donc
f(x)>0
R5
0f(x)dx est l’aire en unit´es d’aire de la zone (hachur´ee sur
le graphique) d´elimit´ee par la courbe, l’axe des abscisses et
les droites d’´equations x= 0 (axe des ordonn´ees) et x= 5
Une unit´e d’aire est l’aire d’un rectangle du quadrillage.
L’aire de la zone rouge est de 23 unit´es d’aire et celle de la
zone bleue de 40 unit´es d’aire
donc 23 <R5
0f(x)dx < 40
1.2 Propri´et´es
Propri´et´e : relation de Chasles
Soit fcontinue et positive sur [a;b] (a < b), pour tout r´eel cde [a;b], on a :
Rb
af(x)dx =Rc af(x)dx +Rb cf(x)dx
Interpr´etation graphique :
Graphiquement, si fest continue et f(x)≥0 sur [a;b], on a :
Rc
af(x)dx est l’aire du domaine limit´e par la courbe, l’axe des abscisses
et les droites d’´equations x=aet x=c(zone rouge sur le graphique).
Rb
cf(x)dx est l’aire du domaine limit´e par la courbe, l’axe des abscisses
et les droites d’´equations x=cet x=b(zone bleue sur le graphique).
Rb
af(x)dx est l’aire du domaine limit´e par la courbe, l’axe des abscisses
et les droites d’´equations x=aet x=b(zone rouge+zone bleue sur le
graphique).
Propri´et´e : Ordre
Soit fet gcontinues et positives sur [a;b] (a < b), telles que f(x)< g(x) pour tout r´eel xde [a;b].
Rb
af(x)dx < Rb ag(x)dx
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Interpr´etation graphique :
Graphiquement, si fet gsont continues et g(x)> f (x)≥0 sur [a;b],
on a :
Rb
af(x)dx est l’aire du domaine limit´e par la courbe, l’axe des abscisses
et les droites d’´equations x=aet x=b(zone hachur´ee en rouge sur le
graphique).
Rb
af(x)dx est l’aire du domaine limit´e par la courbe, l’axe des abscisses
et les droites d’´equations x=aet x=b(zone bleue sur le graphique).
La courbe de repr´esentative de fest en-dessous de la courbe
repr´esentative de gdonc Rb
af(x)dx < Rb ag(x)dx (l’aire de la zone rouge
est inf´erieure `a l’aire de la zone bleue).
2 Notion de primitive d’une fonction
2.1 D´efinition
D´efinition : Primitive d’une fonction
Soit fd´efinie sur un intervalle I.
La fonction Fest une primitive de f sur I si pour tout r´eel x de I, Fest d´erivable sur I et F0(x) = f(x)
Remarque
On note en g´en´eral une primitive d’une fonction avec la lettre majuscule correspondante
rExemple 5 : Primitive d’une fonction affine
Soit fd´efinie sur Rpar f(x) = 2x−1
D´eterminer une primitive Fde fsur R
*Solution:
On a (x2)0= 2xet (x)0= 1
donc F(x) = x2−xest une primitive de fsur R
F(x) = x2−x
En effet F0(x) = 2x−1 = f(x)
Remarque
En prenant F(x) = x2−x+ 2, on a F0(x) = 2x−1 + 0 = 2x−1 = f(x)
donc Fd´efinie sur Rpar F(x) = x2−x+ 2 est aussi une primitive de fsur R
Plus g´en´eralement F(x) = x2−x+Cavec C∈Rest une primitive de fsur R.
On a bien F0(x) = 2x−1 + 0 = 2x−1 = f(x) (la d´eriv´ee d’une fonction constante est nulle)
Remarque
Si la fonction Fest donn´ee dans l’´enonc´e, v´erifier que Fest bien une primitive de fsur un intervalle I de R
revient `a calculer F0(x) et v´erifier que F0(x) = f(x) pour tout r´eel x∈I
rExemple 6 : Recherche de primitives
D´eterminer une primitive de fsur Df
1. f(x) = 4x3avec Df=R2. f(x) = x2−2x+ 1 avec Df=R
3. f(x) = 1
xavec Df=]0; +∞[ 4. f(x) = exavec Df=R
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