ouvrir le document - maths

Intégration
TES
Table des matières
1 Intégrale d’une fonction
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
4
2 Notion de primitive d’une fonction
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ensemble des primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
3 Calcul de primitives
3.1 Existence de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Lien entre primitive et intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
8
4 Propriétés
9
5
9
Valeur moyenne
6 Exemples
10
6.1 Calcul d’une primitive avec une fonction de la forme eu(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.2 Calcul de l’aire entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
1.1
Intégrale d’une fonction
Définition
Définition : Intégrale d’une fonction
Soit f continue et positive sur un intervalle [a; b] (a < b), et C sa courbe représentative dans un repère
Rb
orthogonal (axes orthogonaux), l’intégrale de f sur [a; b] notée a f (x)dx est l’aire du domaine
limité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b, cette aire étant
exprimée en unités d’aire.
Une unité d’aire correspondant à un rectangle dont les côtés ont une longueur de une unité sur l’axe
des abscisses et de une unité sur l’axe des ordonnées.
1/12
Intégration
TES
r Exemple 1 : exemple d’intégrale
f est la fonction affine définie sur R définie par f (x) = x + 2.
Tracer la représentation graphique de f dans un repère orthonormé (axes orthogonaux et même unité sur
chacun des axes).
R2
En déduire 0 f (x)dx
* Solution:
La représentation graphique de f est une droite
passant par les points A(0; 2) et B(2; 4)
R2
Graphiquement, 0 f (x)dx est l’aire, en unités
d’aire, du trapèze OABB 0 (zone rouge sur le graphique).
Un unité d’aire est égale à l’aire du carré bleu
sur le graphique.
On a donc
R2
0
f (x)dx = 6
r Exemple 2 : Lecture graphique d’intégrales
Dans chaque, la fonction f définie
sur R est représentée graphiquement.
R4
Déterminer graphiquement 0 f (x)dx.
* Solution:
Dans chaque cas, sur [0; 4] la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses donc on a f (x) ≥ 0
R4
0 f (x)dx est l’aire en unités d’aire de la zone (en rouge sur le graphique) délimitée par la courbe, l’axe
des abscisses et les droites d’équations x = 0 (axe des ordonnées) et x = 4
Une unité d’aire (zone bleue sur le graphique) est l’aire d’un rectangle (ou un carré si le repère est orthonormé) de une unité selon l’axe des abscisses et une unité selon l’axe des ordonnées.
On a donc pour la figure 1 : la zone rouge contient 16 rectangles du quadrillage et une unité d’aire contient
deux rectangles du quadrillage.
donc
R4
0
f (x)dx = 16 ÷ 2 = 8 (unités d’aire)
2/12
Intégration
TES
Pour la figure 2 : la zone rouge contient 4 ÷ 2 = 2 rectangles du quadrillage et une unité d’aire contient un
carré du quadrillage.
donc
R4
0
f (x)dx = 2 (unités d’aire)
r Exemple 3 : Encadrement d’une intégrale
On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction f .
En utilisant le maximum et le minimum de f sur [1; 3],
donner un encadrement de f (x) sur [1;
R 33]
En déduire alors un encadrement de 1 f (x)dx
* Solution:
Le minimum de f sur [1; 3] est 1 et le maximum 4
donc pour tout réel x ∈ [1; 3], on a 1 ≤ f (x) ≤ 4
Sur [1; 3] la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses donc f (x) > 0
R3
1 f (x)dx est l’aire en unités d’aire de la zone (en rouge sur le graphique) délimitée par la courbe, l’axe
des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = 3
Une unité d’aire est l’aire d’un rectangle du quadrillage.
cette aire est comprise entre l’aire du rectangle (en bleu) de largeur 2 unités et de hauteur 1 unité et celle
du rectangle (en vert) de largeur 3 unités et de hauteur 4 unités.
on a donc 2 <
R3
1
f (x)dx < 8
3/12
Intégration
TES
r Exemple 4 : Encadrement d’une intégrale
La fonction f définie sur R est représentée graphiquement
c-dessous.
R5
Déterminer graphiquement un encadrement de 0 f (x)dx.
* Solution:
Sur [0; 5] la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses donc
>0
Rf (x)
5
0 f (x)dx est l’aire en unités d’aire de la zone (hachurée sur
le graphique) délimitée par la courbe, l’axe des abscisses et
les droites d’équations x = 0 (axe des ordonnées) et x = 5
Une unité d’aire est l’aire d’un rectangle du quadrillage.
L’aire de la zone rouge est de 23 unités d’aire et celle de la
zone bleue de 40 unités d’aire
donc 23 <
1.2
R5
0
f (x)dx < 40
Propriétés
Propriété : relation de Chasles
Soit f continue et positive sur [a; b] (a < b), pour tout réel c de [a; b], on a :
Rb
Rc
Rb
a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx
Interprétation graphique :
Graphiquement,
si f est continue et f (x) ≥ 0 sur [a; b], on a :
Rc
a f (x)dx est l’aire du domaine limité par la courbe, l’axe des abscisses
et les droites d’équations x = a et x = c (zone rouge sur le graphique).
Rb
c f (x)dx est l’aire du domaine limité par la courbe, l’axe des abscisses
et les droites d’équations x = c et x = b (zone bleue sur le graphique).
Rb
a f (x)dx est l’aire du domaine limité par la courbe, l’axe des abscisses
et les droites d’équations x = a et x = b (zone rouge+zone bleue sur le
graphique).
Propriété : Ordre
Soit f et g continues et positives sur [a; b] (a < b), telles que f (x) < g(x) pour tout réel x de [a; b].
Rb
Rb
a f (x)dx < a g(x)dx
4/12
Intégration
TES
Interprétation graphique :
Graphiquement, si f et g sont continues et g(x) > f (x) ≥ 0 sur [a; b],
on
Rb a :
a f (x)dx est l’aire du domaine limité par la courbe, l’axe des abscisses
et les droites d’équations x = a et x = b (zone hachurée en rouge sur le
graphique).
Rb
a f (x)dx est l’aire du domaine limité par la courbe, l’axe des abscisses
et les droites d’équations x = a et x = b (zone bleue sur le graphique).
La courbe de représentative
de f R est en-dessous de la courbe
Rb
b
représentative de g donc a f (x)dx < a g(x)dx (l’aire de la zone rouge
est inférieure à l’aire de la zone bleue).
2
2.1
Notion de primitive d’une fonction
Définition
Définition : Primitive d’une fonction
Soit f définie sur un intervalle I.
La fonction F est une primitive de f sur I si pour tout réel x de I, F est dérivable sur I et F 0 (x) = f (x)
Remarque
On note en général une primitive d’une fonction avec la lettre majuscule correspondante
r Exemple 5 : Primitive d’une fonction affine
Soit f définie sur R par f (x) = 2x − 1
Déterminer une primitive F de f sur R
* Solution:
On a (x2 )0 = 2x et (x)0 = 1
donc F (x) = x2 − x est une primitive de f sur R
F (x) = x2 − x
En effet F 0 (x) = 2x − 1 = f (x)
Remarque
En prenant F (x) = x2 − x + 2, on a F 0 (x) = 2x − 1 + 0 = 2x − 1 = f (x)
donc F définie sur R par F (x) = x2 − x + 2 est aussi une primitive de f sur R
Plus généralement F (x) = x2 − x + C avec C ∈ R est une primitive de f sur R.
On a bien F 0 (x) = 2x − 1 + 0 = 2x − 1 = f (x) (la dérivée d’une fonction constante est nulle)
Remarque
Si la fonction F est donnée dans l’énoncé, vérifier que F est bien une primitive de f sur un intervalle I de R
revient à calculer F 0 (x) et vérifier que F 0 (x) = f (x) pour tout réel x ∈I
r Exemple 6 : Recherche de primitives
Déterminer une primitive de f sur Df
1. f (x) = 4x3 avec Df = R
2. f (x) = x2 − 2x + 1 avec Df = R
1
3. f (x) = avec Df =]0; +∞[
4. f (x) = ex avec Df = R
x
5/12
Intégration
TES
* Solution:
1.
f (x) = 4 ×
x4
= x4
4
F (x) = x4
2.
F (x) =
x3
x2
x3
−2×
+x=
− x2 + x
3
2
3
F (x) =
x3
− x2 + x
3
3.
F (x) = ln(x)
4.
F (x) = ex
Remarque
On demande dans l’exemple une primitive de f mais il y a une infinité de primitives possibles.
Par exemple, pour le cas 4. F (x) = 3ex + C avec C ∈ R ets l’ensemble des primitives de f .
Par exemple, F (x) = 3ex + 1 est une autre primitive possible.
2.2
Ensemble des primitives d’une fonction
Propriété :Ensemble des primitives d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si F est une primitive de f sur I alors les primitives de f sur I sont de la forme G(x) = F (x) + C, C
étant une constante réelle quelconque.
Propriété :Primitive vérifiant une condition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si F est une primitive de f sur I alors il existe une unique primitive de f sur I telle que F (x0 ) = y0
où x0 et y0 sont deux réel donnés.
r Exemple 7 : Recherche des primitives
Soit f définie sur R par f (x) = 3x2 − x + 2
2.
1
Vérifier que F définie sur R par F (x) = x3 − x2 + 2x est une primitive de f sur R
2
Déterminer une expression de l’ensemble des primitives de f sur R
3.
En déduire la primitive F1 de f sur R telle que F1 (2) = 0
1.
* Solution:
1.
2.
1
F 0 (x) = 3x2 − 2x + 2 = 3x2 − x + 2 = f (x)
2
donc F est une primitive de f sur R
1
G(x) = F (x) + C = x3 − x2 + 2x + C avec C ∈ R est l’ensemble des primitives de f sur R.
2
6/12
Intégration
TES
3.
1
F1 (x) = x3 − x2 + 2x + C et F1 (2) = 0
2
1
F1 (2) = 23 − × 22 + 2 × 2 + C = 0
2
⇐⇒ 10 + C = 0
⇐⇒ C = −10
1
F1 (x) = x3 − x2 + 2x − 10 est l’unique primitive de f sur R telle que F1 (2) = 0
2
1
F1 (x) = x3 − x2 + 2x − 10
2
3
3.1
Calcul de primitives
Existence de primitives
Théorème : Existence de primitives (admis)
Toute fonction continue sur un intervalle I de R admet des primitives sur I
3.2
Primitives des fonctions usuelles
f (x) =
Primitive F (x) =
sur l’intervalle
a
ax
R
x
x2
2
R
x2
x3
3
R
x3
x4
4
R
xn+1
n+1
R
n ∈ N∗
xn
f (x) =
1
x
Primitive F (x) =
sur l’intervalle
ln(x)
]0; +∞[
1
x2
−1
x
R∗ (Tous les réels sauf 0)
1
x3
n≥2
1
xn
−1
2x2
R∗
−1
(n − 1)xn−1
R∗
ex
ex
R
r Exemple 8 : Utilisation des primitives des fonctions usuelles
1
La fonction f est définie sur ]0; +∞[ par f (x) = x2 + .
x
f est continue(somme de fonctions continues sur 0 : +∞[) sur ]0; +∞[ donc admet des primitives sur
]0; +∞[
1
En utilisant les primitives usuelles des fonctions x 7−→ x2 et x 7−→ données dans le tableau ci-dessus,
x
on a :
3
x
F (x) =
+ ln(x) est une primitive de f sur ]0; +∞[
3
x3
et l’ensemble des primitives de f sur ]0; +∞[ est de la forme G(x) =
+ ln(x) + C avec C constante
3
réelle.
7/12
Intégration
TES
r Exemple 9 : Application à la recherche de primitives
Déterminer une primitive F de f sur Df dans chaque cas :
2
1
1. f (x) = 2x2 − 5x + ex sur Df = R 2. f (x) = 2 avec Df = R∗ 3. f (x) = −2ex + avec Df =]0; +∞[
x
x
* Solution:
1.
F (x) = 2 ×
F (x) =
2.
3.
3.3
2x3 5x2
−
+ ex
3
2
F (x) = 2 ×
F (x) =
x2
2x3 5x2
x3
−5×
+ ex =
−
+ ex
3
2
3
2
−1
−2
=
x
x
−2
x
F (x) = −2ex + ln(x)
Lien entre primitive et intégrale
Théorème (admis)
Si f est continue et positive sur un intervalle I de R
Rx
alors pour tout réel x de I, la fonction F définie par F (x) = a f (x)dx est dérivable sur I et F 0 (x) =
f (x)
Remarque
F est alors la primitive de f s’annulant en x = a.
Ra
En effet, F (a) = a f (x)dx = F (a) − F (a) = 0
r Exemple 10 : Primitive de la fonction exponentielle
Rx
La fonction F définie sur R par F (x) = 0 ex dx est la primitive de f définie sur R par f (x) = ex telle que
F (0) = 0.
Rx
On a F (x) = 0 ex dx = ex − e0 = ex − 1 (rappel :(ex )0 = ex )
Théorème (admis)
Si f est continue sur un intervalle I = [a; b] de R
Rb
et F est une primitive de f sur I alors a f (x)dx = F (b) − F (a)
r Exemple 11 : Calcul d’une aire
Soit f définie sur R par f (x) = x2 et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité 2cm.
Calculer l’aire du domaine limité par la courbe Cf , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite
d’équation x = 3 en cm2
Méthode :
• Vérifier que f est continue et positive sur [0; 3]
• Déterminer une primitive F de f sur R
8/12
Intégration
TES
• Faire le lien entre la question posée et le calcul de l’intégrale (voir exemples 1, 2 et 3)
R3
• Calculer A = 0 f (x)dx (en unités d’aire) et calculer ensuite l’aire en cm2 d’une unité d’aire puis de A en
cm2
* Solution:
• f (x) = x2 donc f est continue sur R et f (x) ≥ 0 sur R
x3
• F (x) =
est une primitive de f sur R
3
• f est continue sur R et f (x) ≥ 0 donc l’aire A en unités d’aire du domaine limité par la courbe Cf ,
R3
l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 3 est égale à 0 f (x)dx
R3
33 03
• A = 0 f (x)dx = F (3) − F (0) =
−
= 9 u.a (unités d’aire)
3
3
Une unité d’aire correspond à une aire de 2 × 2 = 4 cm2
donc A = 9 × 4 = 36 cm2
4
Propriétés
Propriétés : propriétés de l’intégrale
f et g sont deux fonctions continues sur [a; b] (a < b), k ∈ R et c ∈ R.
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
1. Linéarité : a f (x) + g(x)dx = a f (x)dx + a g(x)dx et a kf (x)dx = k a f (x)dx
Rb
Rc
Rb
2. Relation de Chasles : a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx
Rb
3. signe de a f (x)dx
Rb
Rb
Si f (x) < g(x) sur [a; b], a f (x)dx < a g(x)dx
4. comparaison
Rb
Si f (x) > 0 sur [a; b], a f (x)dx > 0
åDémonstration : propriété 3
Si on note F une primitive de f sur [a; b], on a alors F 0 (x) = f (x)
f (x) > 0 sur [a; b] donc F 0 (x) > 0
et F est donc strictement croissante sur [a; b] donc F (a) < F (b).
Rb
Rb
On a donc a f (x) = F (b) − F (a) et F (b) > F (a) donc a f (x) > 0
5
Valeur moyenne
Définition : Valeur moyenne de f sur [a; b]
La valeur moyenne d’une fonction f continue sur [a; b] est définie par m =
1 Rb
f (x)dx
b−a a
Interprétation graphique dans le cas où f est continue et positive sur [a; b] :
1 Rb
m=
f (x)dx
bR − a a
b
donc a f (x)dx = m(b − a)
m(b − a) est l’aire du rectangle dont les côtés ont pour longueur
b − a et m (voir graphique)
Rb
a f (x)dx est l’aire du domaine limité par la courbe représentative
de f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b
et est égale à l’aire du rectangle dont les côtés ont pour longueur
b − a et m (rectangle bleu sur le graphique).
9/12
Intégration
TES
6
Exemples
6.1
Calcul d’une primitive avec une fonction de la forme eu(x)
r Exemple 12 : primitive de x 7−→ eu(x)
Soit la fonction f définie sur R par f (x) = e2x+1 et on note CF sa courbe représentative dans un repère
orthonormé d’unité 2cm.
1.
Calculer la dérivée de la fonction définie sur R par x 7−→ e2x+1
2.
En déduire une primitive F de f sur R.
3.
Calculer l’aire du domaine limité par la courbe Cf , l’axe de abscisses, l’axe des ordonnées et la droite
d’équation x = 3 en unités d’aire puis donner la valeur de cette aire en cm2 arrondie au mm2 près.
* Solution:
1.
2.
(e2x+1 )0 = 2e2x+1 (rappel : (eu(x) )0 = u0 (x)eu(x) )
F (x) =
e2x+1
2
2e2x+1
= e2x+1 = f (x)
2
>0
En effet, on a a alors : F 0 (x) =
3.
Pour tout réel x, on a e2x+1
donc f est continue et f (x) > 0 sur R donc sur [0; 3]
L’aire A du domaine limité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 (axe des
R3
ordonnées) et x = 3 est don égale à A = 0 f (x)dx
R3
A = 0 f (x)dx = F (3) − F (0)
e0+1
e1
e
F (0) =
=
=
2
2
2
e6+1
e7
et F (3) =
=
2
2
e7
e
e7 − e
donc A =
− =
2
2
2
A=
e7 − e
unités d’aire
2
Le repère est orthonormé d’unité 2cm donc une unité d’aire correspond à une aire de 2 × 2 = 4 cm2 .
e7 − e
A=4×
= 2(e7 − e) ≈ 2187, 83 cm2
2
A =≈ 2187, 83 cm2
Remarque
Les mm2 correspondent au chiffre des centièmes
10/12
Intégration
TES
6.2
Calcul de l’aire entre deux courbes
r Exemple 13 : Calcul de l’aire du domaine délimité par deux courbes
1
On donne les fonctions f et g définies sur ]0; +∞[ par f (x) = et g(x) = x et on donne ci-dessous Cf et
x
Cg les représentations graphiques de f et g dans un repère orthogonal.
On note A l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par Cf , Cg et les droites d’équations x = 1 et x = 4
1.
Par lecture graphique, donner une encadrement de A
2.
3.
Etudier le signe de f (x) − g(x) et en déduire que Cf est en-dessous de Cg sur [1; +∞[
R4
R4
Calculer 0 f (x)dx puis 1 g(x)dx
4.
En déduire l’aire du domaine limité par Cf , Cg et les droites d’équations x = 1 et x = 4
* Solution:
1.
Une unité d’aire correspond à un carreau du quadrillage.
A est comprise entre l’aire du polygone vert et du triangle bleu (voir figure)
11/12
Intégration
TES
donc 4, 5 < A < 7, 5
2.
1
1 − x2
−x+1=
x
x
x > 0 donc f (x) − g(x) est du signe de 1 − x2 Polynôme du second degré)
f (x) − g(x) =
1 − x2 = 0 ⇐⇒ x2 = 1 ⇐⇒ x = 1 ou x = −1(on peut aussi calculer ∆ = 4)
Signe de 1 − x2 sur R
donc sur [1; +∞[, f (x) − g(x) ≤ 0
soit f (x) ≤ g(x)
donc Cf est en-dessous de Cg sur [1; +?inf ty[
3.
1
donc F (x) = ln(x) est une primitive de f sur ]0; +∞[
x
x2
est une primitive de g sur ]0; +∞[
g(x) = x donc G(x) =
2
f (x) =
F (x) = ln(x) et G(x) =
4.
x2
sur ]0; +∞[
2
Sur [1; 4], on a f et g continues et f (x) > 0 et g(x) > 0
donc l’aire A1 , en unités d’aire, du domaine limité par Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équations
x = 1 et x = 4 est :
R4
A1 = 1 f (x)dx) = F (4) − F (1) = ln(4) − ln(1) = ln(4)u.a (rappel ln(1) = 0)
De même, l’aire A2 , en unités d’aire, du domaine limité par Cg , l’axe des abscisses et les droites d’équations
x = 1 et x = 4 est :
R4
42 12
17
A2 = 1 g(x)dx) = G(4) − G(1) =
−
=
u.a
2
2
2
Sur [1; 4], on a f (x) < g(x)
17
− ln(4) ≈ 7, 1 u.a
donc A = A2 − A1 =
2
A=
17
− ln(4) u.a
2
12/12