Introduction aux conjectures de Weil

Introduction aux conjectures de Weil
Cours de DEA
Bernard Le Stum1
Universit´e de Rennes 1
Version du 6 novembre 2001
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Table des mati`eres
1 Enonc´e des conjectures de Weil 5
1.1 Syst`emes d’´equations polynomiales modulo p......... 5
1.2 Points `a valeur dans un sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Points de sch´emas sur des corps finis . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Morphismes finis, projectifs, propres . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Morphismes lisses, d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Morphismes lisses, propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Quelques mots sur la platitude . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8 Approche na¨ıve des conjectures de Weil . . . . . . . . . . . . 34
2 Etude des conjectures de Weil 37
2.1 Fonctions z´etas arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Fonctions z´eta g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Analytique vs alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Sommes de gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Sommes de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Hypersurfaces diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
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4TABLE DES MATI ` ERES

Chapitre 1
Enonc´e des conjectures de
Weil
Comme son nom l’indique, ce chapitre va ˆetre consacr´e `a ´enoncer les
conjectures de Weil. On garde une approche na¨ıve et on introduit les notions
g´eom´etriques n´ecessaires au fur et `a mesure. On suppose connu l’essentiel
des cinq premi´eres sections du second chapitre du livre de Hartshorne. On
´etudiera de mani`ere d´etaill´ee les notions de propret´e et surtout de lissit´e pour
des sch´emas quelconques. Ce n’est bien sˆur pas n´ecessaire pour comprendre
les conjectures de Weil, mais cela doit faire partie du bagage d’un g´eom´etre
alg´ebrique.
1.1 Syst`emes d’´equations polynomiales modulo p
Un invariant important d’un syst`eme d’´equations est son nombre de
solutions. Malheureusement, celui ci est en general infini. On obtient alors
des invariants plus fins en recherchant le nombre de solutions modulo un
entier donn´e. On va ˆetre plus pr´ecis.
Consid´erons un syst`eme d’´equations polynomiales `a coefficients dans Z:
f1(x1, . . . , xn) = 0
.
.
.
fr(x1, . . . , xn) = 0
Etant donn´e un nombre premier p, on peut chercher le nombre Nde
solutions de ce syst`eme modulo p.
Exercice 1.1 Que vaut Npour le syst`eme vide d’´equations en nvariables ?
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