Chapitre 1 La science - Free Sciences Site sur les mathématiques

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Christophe Roland
26 février 2017

Table des matières
1 La science 7
1.1 Qu’est ce que la science ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Introduction .............................. 7
1.1.2 La science : l’aspect «ensemble de connaissances» . . . . . . . . . . 8
1.1.3 La science : aspect «ensemble de méthodes» . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 La notion de théorie scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Introduction .............................. 9
1.2.2 Remarque sur le terme «scientifique» . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 L’inductivisme ................................. 11
1.3.1 Idéegénérale .............................. 11
1.3.2 Critique de l’inductivisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Leréfutationnisme ............................... 13
1.4.1 Introduction : critique de l’inductivisme . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Laréfutabilité ............................. 14
1.4.3 Le critère de démarcation vue comme une définition . . . . . . . . 14
1.4.4 Notion de confiance dans une théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.5 Exemple : théories freudiennes et relativité . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.6 Exemple : la théorie de l’atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Lerasoird’Occam ............................... 16
1.5.1 Énoncé ................................. 16
1.5.2 Exemple célèbre : l’éther . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 La notion de «science exacte» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.1 Définition................................ 17
1.6.2 Scienceexacte?............................. 17
1.6.3 Leproblème............................... 17
1.7 La mathématisation des sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.1 L’attrait pour la rigueur mathématique . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Logique 19
2.1 Qu’est ce que la logique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Définition................................ 19
2.1.2 La notion de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Le paradoxe du menteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1

2.2 Notion naïve d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Introduction .............................. 21
2.2.2 Concepts et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Lelangageformel................................ 21
2.3.1 Langage formel et langage naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Définir la notion de langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3 Construisons un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Introduction au calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Introduction .............................. 23
2.4.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Langages propositionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.4 Valuation ................................ 28
2.5 Tautologies ................................... 29
2.5.1 Définition................................ 29
2.5.2 Tautologies remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Calculdesprédicats .............................. 31
2.6.1 Motivations............................... 31
2.6.2 Quantificateurs existentiels et universels . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.3 Alphabet et syntaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.4 Énoncés des langages prédicatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Introduction à la théorie des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7.1 Motivations............................... 34
2.7.2 Notiondemodèle............................ 35
3 Théorie des ensembles 38
3.1 Une branche fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.1 Introduction - paradoxe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 La crise des fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.3 Quelques remarques sur les axiomes ZFC . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Axiome d’extensionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 Idée générale de l’axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 Énoncé de l’axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3 Écritureformelle............................ 40
3.3 Axiomedelaréunion.............................. 41
3.3.1 Idée générale de l’axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.2 Énoncé de l’axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3 Écritureformelle............................ 41
3.4 Axiome de l’ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.1 Idée générale de l’axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.2 Notion de sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.3 Énoncé de l’axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.4 Écritureformelle............................ 44
3.5 Schéma d’axiomes de remplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2

3.5.1 Idée générale de l’axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.2 Les relations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.3 Énoncé de l’axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5.4 Écritureformelle............................ 45
3.5.5 Conséquences.............................. 46
3.6 Axiomedel’infini................................ 48
3.6.1 Idée générale de l’axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6.2 Union de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6.3 Ensemble ayant un élément quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6.4 Énoncé de l’axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6.5 Écritureformelle............................ 49
3.6.6 Conséquences.............................. 49
3.7 Axiomedefondation.............................. 49
3.7.1 Idée générale de l’axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7.2 Intersection............................... 50
3.7.3 Énoncé de l’axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.7.4 Écritureformelle............................ 50
3.8 Éléments, sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.8.1 Élément d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.8.2 Inclusion ................................ 50
3.8.3 Propriétés................................ 51
3.9 Définirunensemble .............................. 51
3.9.1 Définition en extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.9.2 Définition en compréhension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.10Unionetintersection.............................. 52
3.10.1Union .................................. 52
3.10.2Intersection............................... 53
3.10.3Distributivité.............................. 53
3.11Relationsbinaires................................ 54
3.11.1Notiondecouple............................ 54
3.11.2 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.11.3 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.12 Différents types de relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.12.1Fonction................................. 56
3.12.2Application............................... 56
3.12.3Injection................................. 56
3.12.4Surjection................................ 56
3.12.5Bijection ................................ 56
3.12.6 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3

4 Nombres 58
4.1 L’ensemble des naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1 Introduction .............................. 58
4.1.2 Définir l’ensemble des naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.3 Notion de successeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Relationd’ordre ................................ 60
4.2.1 Définition................................ 60
4.2.2 Ordre totale et partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.1 Idée générale du principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.2 Écriture formelle du principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.3 Démonstration ............................. 62
4.4 L’addition.................................... 62
4.4.1 Définition................................ 62
4.5 Lamultiplication................................ 64
4.5.1 Définition................................ 64
5 Algèbre linéaire 66
5.1 Espacesvectoriels................................ 66
5.1.1 Notion intuitive de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.2 Définition................................ 69
5.2 Bases et dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.3 Base................................... 72
5.3 Produit scalaire et espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.1 Introduction .............................. 74
5.3.2 Définition................................ 75
5.3.3 Espacedual............................... 76
6 Trigonométrie 79
6.1 Introduction................................... 79
6.1.1 Lesinusd’unangle........................... 79
6.1.2 Introduction au concept de radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.1 Fonctionsinus ............................. 81
6.2.2 Fonctioncosinus ............................ 83
6.2.3 Fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7 Analyse 86
7.1 Introduction................................... 86
7.1.1 Les paradoxes de Zénon d’Elée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.1.2 Qu’est ce que l’analyse ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 Intervalles dans l’ensemble des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4