Quelques problèmes concernant la structure des C

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
C LAIRE D ELAROCHE
Quelques problèmes concernant la structure des C? -algèbres
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 6, no 2 (1966-1967), exp. no 17, p. 1-7.
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17-01
Séminaire CROQUET
(Initiation
6e
à
l’Analyse)
année, 1966/67,
18 mai 1967
n° 17
PROBLÈMES
QUELQUES
C*-ALGÈBRES
CONCERNANT LA STRUCTURE DES
par Claire DELAROCHE
A p rès avoir rappelé le théorème fondamental de structure des C*-algèbres commutatives, on se propose d’exposer ici une tentative en vue de déterminer la struc-
C*-algèbres
ture des
sible,
mais
non
tuer cette classe de
se
limitera ici à
classe
une
plus
acces-
C*-algèbres, et on montrera comment peut reconstiC*-algèbres à partir d’une classe de C*-algèbres beaucoup
vaste,
assez
commutatives. On
de
on
plus simples.
1.
Le corps de base
sera
toujours
DEFINITION 1. - On a elle
C~ ,
C~.-algèbre
volution telle que
pour tout
x E
une
algèbre
de Banach
A
munie d’une in-
,
A .
EXEMPLES.
1°
sur un
2°
munie
L’algèbre
des fonctions continues
espace localement
compact,
complexes,
tendant
munie de l’involution
L’algèbre E(H) des endomorphismes
de l’adjonction usuelle.
vers
0
à l’infini,
f ~-.-.~ f .
continus d’un espace hilbertien
H ,
2.
Rappelons certains résultats
([1], chap. I, § 3).
On
relatifs
appelle caractère d’une algèbre
nul de
A
dans C ,
L’ensemble des
espace
aux
algèbres
de Banach commutatives
de Banach commutative
A
Tout caractère est continu et de norme
un
morphisme non
1 .
caractères, muni de la topologie de la convergence simple, est un
topologique localement compact contenu dans la boule unité du dual de A ,
de
appelé spectre
A,
A
Les caractères de
par
l’application qui,
On
sont
à
A.
bijection
en
avec
fait
caractère,
un
correspondre
son
pour tout caractère
x
de
A . En
n’est ni injective, ni surjective, mais si
le théorème fondamental suivant :
THEOREME
C*-algèbre
1. - Soient
A
algèbre
Pour le
un
une
A
A
isomorphisme
de la
dans
l’algè-
A ,
tel que
sur
C -algèbre,
spectre,
son
complexes nulles à l’infini
des fonctions continues
transformation de Gel’fand est
plus
C-algèbre commutative,
une
A
cette transformation
général,
est de
A
de
noyau.
morphisme x ~ gx de
fonctions continues complexes nulles à l’infini, définies
x(~) = x(x)
réguliers
les idéaux maximaux
de Gel’fand le
appelle transformation
bre des
g
et noté
C*-algèbre
A
la
B
alors la
A ,
sur
on a
sur
C*-
la
B o
voir,
on
démontre d’abord que dans
une
C*-algèbre
tout caractère
x
satisfait à
c’est-à-dire que g *
x
"
=8 .
x
satisfait
résulte facilenent que 1’ensemble des fonctions
hypothèses du théorème de Stone-Weierstrass.
Il
en
On démontre ensuite que la transformation de Gel’fand est
(8 ) .
résulte que l’ensemble
chap. I, § 6, th.
est
fermée
donc est
égal
une
à
B
aux
d’où il
isométrie~
tout entier
1).
~
topologique de A
exemple~ les parties fermées
La structure
Par
donne des
renseignements
sur
la structure de
A.
~
de
A
sont
en
bijection
avec
les idéaux fermés de
A .
3.
généraliser aux C*-algèbres non commutatives
de spectre $ Le problème est dissocier à une C*-algèbre un
reflétera assez bien les propriétés de l’algèbre.
Nous allons
DÉFINITION
2. - Soient
représentation de A
l’algèbre involutive
sion de
H .
A
dans
L(H) ,
une
H
C*-algèbre,
H
tout morphisme de
et
on
un
la notion fondamentale
espace
topologique qui
espace hilbertien. On
l’algèbre
appelle dimension de
la
involutive
A
représentation
appelle
dans
la dimen-
DÉFINITION
il
3. - Soit
une
représentation
DEFINITION
4. - On dit que deux
sont équivalentes stil existe
H’
sur
Ht
qui transforme 11(x )
il
et
isomorphisme
U
de l’espace hilbertien
un
11’ (x)
en
Dans le
cas
A
semble
A
générale
des classes
appelés
commutative,
ces
peut
on
I(T)
démontre que toute
caractère.
donc penser à définir le
Prim(A)
Prim(A) .
Pour toute
spectre à l’aide
~-.~
DEFINITION 5. - On appelle spectre
primitif
T
topologie de Jacobson, et spectre de A l’ensemble A
icage réciproque par l’application canonique A ~ Prim(A)
satisfait
topologie
*
topologiques
sont localement
quasi-compacts
aux
A ,
ou
on
soit
des
axiomes de
de Jacobson
Prim(A)
muni de la
muni de
topologie
’
’
~
~
Ces espaces
de
Prim(A) ,
de
l’ ensemble
la
-
de l’en-
T l’ensemble
et
dite
A
de
T
partie
l(T) . L’application T
une topologie sur
Prim(A)
idéaux primitifs contenant
et définit
représentations
représentation irréducti-
rappelé que,dans le cas où A est
canoniquement en bijection, mais en général
T,
fermeture,
([2], § 3).
H
a
l’idéal bilatère intersection des éléments de
la
et
de leurs noyaux. Ces noyaux sont des idéaux bila-
deux ensembles sont
A -~
H
dans
représentations irréductibles
des
idéaux primitifs. On
seulement la surjection
a
un
A
commutative sont des
on
d’équivalence
à l’aide de l’ensemble
tères fermés
est
de
xeA .
pour tout
C*-algèbre
irréductibles de dimension 1 , et
C*-algèbre
n’
est
H
représentations
EXEMPLE. - Les caractères diune
ble d’une telle
ri
H . On dit que
dans
sous-espaces vectoriels fermés de
seuls
topo logiquement irréductible si les
stables par 11(A) sont 0 et H ca
A
de
>.
.
mais
non
séparés
en
géné-
ral.
EXEMPLE. - Considérons l’ensemble
A
des suites
matrices à 2 lignes et 2 colonnes qui tendent
tend vers l’infini :
Pour les
opérations évidentes
et la
nome
a
vers une
Hall
=
sup
n
=
(a ,
... ,
an ’ ...)
de
matrice diagonale lorsque
c’est
une
n
Pour tout a
A ,
a
bijection
A
irréductibles de
de
1 et
din
2 ,
et
de
A
on
vérifie
pas d’autres
les classes
Ici,
posons :
représentations
Ce sont des
qu’il n’y en
E
d’équivalence
de
représentations irréductibles
sont
en
leurs noyaux.
avec
représentation irréductible Il de A et pour tout
est un opérateur compact. Les C-algèbres qui possèdent cette dernière propriété forment une classe de C*-algèbres plus accessibles appelées C*algèbres liminaires. Les plus simples d’entre elles sont les C*-algèbres commutaPar
ailleurs,
pour toute
tives.
Les idéaux
primitifs de A sont maximaux, donc tous les points de
nés. Chaque point
p est ouvert, car si un idéal primitif contient
il est nécessairement distinct de
forment
système
un
bles sont ouverts
D’autre
part,
pour des
donc
Qf
n
(car
si
ils sont de
V
est
un
Les ensembles
(p
nl
~2
est
dans
complémentaire fini,
03B1
ni , % ,
dans
... ,
A ,
... ,
A. En
effet,
ces ensem-
donc
fermé).
on ne
peut
J
quasi compacta
dans
avoir
03C1n ~
V
car
et les
forment
un
points
a
système
et 03B2
fondamental de
Prim(A) :
sont pas sé-
ne
de la transformation de Gel’fand est la transformation
telle que, pour tout
03B1}
p 1 ’
, ...) .
... , 03B2}
ensembles
A
, p
a
sont fer-
,
n
voisinage de
arbitrairement grands
voisinages
pares.
L’analogue
.
fondamental de voisinages de
est adhérent à
De même les
Ker p
n
A
x
~ gx
ë
J
est ici
une
fonction définie
Prim(A)
sur
x
~
telle
que § x (J)
A/J
e
pour tout
Prim(A) .
On
de continuité pour de telles fonctions.
peut plus parler
ne
4. Champ continu de C-algèbres.
T
Soient
un
espace
et
topologique,
une
famille de
C -algèbres.
!t A(t) .
On appelle champ de vecteurs tout élément de
201420142014201420142014201420142014201420142014
~
DEFINITION 6. - Soit
T
sur
est
T
topo logique. Un champ continu de C -algèbres
de C-algèbres nunie d’un ensemble r de
un
espace
famille
une
vecteurs tel que
champs de
(i)
F
est
sous-algèbre
une
involutive de
2014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
D A(t) ;
teT
(ii) Pour
dans A(t) ;
tout
t
l’ensemble des
(iii)
Pour tout
x
la fonction
(iv)
Soit
)i A(t)
fonction
Un tel
t
x e
2014~
champ
sera
noté
applications continues
5.
de
est
continue,
est
T
est
jjx(t)))
est
alors
x
partout
dense
continue ;
x’
~
r,
la
e F .
r) .
=
A(t) = A
EXEI4PLE. - Si
continu de
û
2014~
où
champ de vecteurs : Si, pour tout
un
)jx(t) - x’(t))j
t
x(t) ,
de
t
e T ,
A . Alors
ÛL
=
indépendant
dans
soit
F
l’ensemble des
F)
est
un
champ
C-algèbres.
Structure des C-algèbres liminaires à spectre séparé.
En
nu
générale
si
x e
"
(e
D
A/J) n’appartient
un
avec
a
champ conti-
de
= (a. ,
On
pas à
... y a ~
...)
~) *
a
Donc le
champ
de vecteurs
satisfait pas à la condition
Mais
on
démontre ([4],
th.
Ker fl
(iii)
4.3. )
~ a(mod
Ker
H) ,
de la définition 6.
le théorème suivant :
pour
Ker 03A0 ~ Prim(A) ,
ne
THÉORÈME
2. - Pour toute
A,
équiva-
les conditions suivantes sont
lentes :
(i) Prim(A)
(ii)
sépare ;
est
Pour tout
j)a(modJ)j) est continue sur
maintenant aux C* -algèbres à spectre
la fonction.
aeA ,
restreindre à
partir de
sépare. On vérifie alors sans peine que le champ de
muni de l’ensemble 6 de champs de vecteurs défini
On
va se
si,
pour tout
est
continue,
x ~
est
à
pace
algèbre A’t des
pour opérations,
Donc,
à
une
continu de
un
e
x E
les
tels
§ 10 ~, liais
th. 10.5.4)
C~-algèbre
C*-algèbres
THEOREME
par
si
A
1 ° espace
sur
qui généralise
champ continu
de
QL . Pour tout
A
Gx
e
A ,
et
et seulement
si,
le
une
et pour norme, la
localement
associer
8~ ,
à l’infini
0
vers
une
n’est pas
séparé,
on
C~-algèbre
isomorphe à
peut
=x(nodJ)
est
x
liminaire à
pour tout
un
la
C*-
sur
T,
associer
A ,
et à
ce
champ
champ
un
la
C -algèbre A (E~~
( ~2 ~~
§ 10,
spectre séparé. Soit
A’
C-algèbre
la
défini par
définie
x
Prim A ) .
Je
isomorphisme
avec
A’ .
liminaire, on a le théorème suivant
théorème d’isomorphisme de Gel’fand.
C-algèbre
sur un es-
norme
Prim
compact
C-algèbres défini par A . Soit
soit 8 l’élément de 6
(gx(J)
Alors
tende
à spectre primitif
A
est de plus
3. - Soit
~/~~prim(A) ~
6
e
correspondre canoniquement
faire
opérations évidentes,
C*-algèbres, on peut
général, la C~-algèbre A’
En
x’1
par :
C*-algèbres.
de C~-algèbres,
~A(t~~
que
continu de
le
de
champ continu
champ continu
localement compact T, on peut
Réciproquement,
C*-algèbres,
primitif
la fonction
A ,
un
PrimA .
J~--~
de
A
sur
A .
REMARQUES
1° Les
une
C*-algèbres A/J
ont
représentation irréductible
une
structure très
de noyau
J ,
A/J
simple. En effet,
est isomorphe à la
si
03A0J
est
C-algèbre
17-07
qui est
la
C*-algèbre
est liminaire
tation, car A
2 ° Dans le théorème
s’agit,
Cor.
car
Prim(A)
opérateurs compacts
( ~2 ~, § 4,
Cor.
de
l’espace
préciser
sont homéomorphes lorsque A est
A
de la
représen-
4.1.10).
il n’est pas nécessaire de
3,
et
des
de
quel spectre
liminaire
il
([2], § 4,
4.1.10).
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