Éléments tertiaires d`une (T)-algèbre

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
JACQUES G RAPPY
Éléments tertiaires d’une (T )-algèbre
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 17, no 2 (1963-1964), exp. no 24,
p. 1-7
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24-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des
année, 1963/64,
17e
nombres)
6 avril 1964
n° 24
(T)-ALGEBRE
ÉLÉMENTS TERTIAIRES D’UNE
par
L’objet
de cet
exposé
M
d’un module
[1].
Un idéal
nouvelle
unitaire, donnée
commutatif
est dit associé à
A
de
une
A,
sur un anneau
premier P
GRAPPY
présentation de la théorie des
(0)-algèbre, généralisant celle des sous-modules primai-
est de donner
éléments tertiaires d’une
res
Jacques
P
si
M
=
par BOURBAKI
Ann(x) , x ~ 0 ,
premiers associés à M ne sont autres que les
résiduels essentiels de 0, ce qui permet de définir les idéaux associés à un module sur un anneau non nécessairement commutatif et unitaire, et plus généralement
les éléments associés à une (0)-algèbre. Cela étant, il n’y a plus qu’à transcrire
dans le language des (0)-algèbres, les démonstrations de BOURBAKI.
x E
M . On remarque que les idéaux
(0)-algèbre,
Pour les définitions d’une
et R.
1.
reportera
on se
au
livre de L. IESIEUR
CROISOT [2].
Compléments
Soient
[N , M~ ,
L
sur
le s
(0)-algèbre,
une
et
deux éléments de
N ç M
L . Alors l’intervalle
si l’on pose
(5)-algèbre.
est muni d’une structure de
maintenant que L soit un treillis
deux éléments de L . On sait que les treillis
Supposons
isomorphes, l’isomorphisme (p
On vérifie immédiatement que 03C6
Dans toute la
suite,
nous
modulaire , et soient
[M n N , M] et ~N 9
et
M
M
+
N]
N
sont
étant défini par
est
un
isomorphisme
de
(0)-algèbres.
(0)-algèbre modulaire,
modulaire, faiblement n-continu (rappelons
supposerons que
L
est
une
c’est-à-dire que L est un treillis
que L est faiblement n-continu si la relation
a
lieu
loraque
les
Y,
1
forment
un
ensemble totalement
ordonné) .
Nons supposerons
de
L
plus que
~~~
vérifie la condition :
L’ensemble des résiduels à gauche, et l’ensemble des résiduels à droite de tout
élément X
2. Eléments
vérifient la condition de chai.ne ascendante.
premiers associés
à
(5)-algèbre.
une
Définition 1. - On appelle résiduel essentiel
pre 0 ’. X tel que
PROPOSITION 1. - Tout résiduel à gauche
En
si P
effet,
0’. X
=
est
un
propre
(de 0 ~ ~
un
maximal (de
résiduel propre maximal,
résiduel à gauche pro-
0)
est essentiel.
0
Y ~
c
X
implique
PROPOSITION 2. - Tout résiduel essentiel est premier.
Si ?
0 ’ . ~
=
et
0,
est
essentiel, et ~i. ~ c ~ ~
déduit, puisque
on en
Définition. - Soit
si
P
est
associés à
un
L
on
notera
Si
N ~M ,
on
notera
Remarque. - Si P
=
(0 °. X)
PROPOSITION 3. -Soit
Si
Un élément P ~ L
Ass(L)
c’est-à-dire
est dit associé à
l’ensemble des éléments de
0
=
L
S
L .
M
M =
(0)-algèbre.
résiduel essentiel. On note
Si
Si
une
a,vec ~ ~ ~
0,
on a
E
M E L .
évidemment
0 , soit P maximal
proposition 1 ~
Ass(M) .
on a
Cn
a
Ass(M) = ~ .
dans la famille
{0
°.
X ,
0
c
X c M} ~ d’après
la
PROPOSITION 4. -
La
première
Soient N
M
deux éléments de
L, alors :
inclusion est évidenteo
, n
PROPOSITION 5. - si
o
=
-
0
Q1
=
n
Q2 ,
PROPOSITION
Q1
,
1=1
Il suffit de démontrer la
Si
n
n Q. ,
1
proposition
soit P
e
Ass(M) .
M= L .
c
-
pour
M ,
n
alors
~
=
Ass(M)
c
-
U
i-i
Àss(F«/Q 1)
e
°
2 .
On sait que
et
Alors il existe
N~
est inductive. Soit
en
M
_t~
~ue
Soit
§
=
{N ,
une
Si @
= (0
°°
N ~ M, Ass N ~ Ass(M) - $} .
chaîne de § y
X) E".
on ne
peut avoir
alors
d’après
et
0 ’.
la
(X
propriété
=P
de faible
§
N l nX=0 ,
intercontinuité. Il existe donc
On
a
donc
P
e
i,
X
(AssM -$) .d’où
N
V
n
effet
1~°
car
Ni ~ 0
Soit
N
élément maximal de § . Soit @
un
p ~ ~ ° . F ,
Ass(M/N) .
E
On
et
S ~ il en résulte
tion résulte immédiatement de la proposition 4.
THÉORÈME
1. - Soit
M E L . Il existe
La
d’où
suite
une
F 9
alors
a
étant maximal dans
N
Il existe donc
=
(0)
C
C
proposi-
M
C
...
vérifiant
Soit
un
P.
~ =0 BM~ ,
Il
en
même
B
et
supposé définie
si
Pi+1 = Mi Mi+1
La condition
3.
et
M.
effet,
Éléments
(D)
étant
avec
0 .’
On
(P, .
a
est maximal.
M y
en
considérant
vérifiée,
M
=
il existe donc
Ass(M)
M] y
tertiaires.
construit de
{Pi+1} ,
un
entier
n
tel que
M
=
M .
~
Lest
n
est fini.
Décomposition
U
le
en
éléments tertiaires.
plus grand élément
de la
(0)-algèbre
L.
Q
Ass(U/Q) ={P} .
tertiaire si
On dit aussi que
Q
est
(P-tertiaire.
PROPOSITION 7. - L’intersection d’un nombre fini d’éléments
@-tertiaire.
n
effet,
on
les notations du théorème 1
Définition. - Soit
En
=
M~=0 B X ,
tel que
COROLLAIRE. - Pour tout
En
0~
résulte
étant
M_
résiduel à gauche propre maximal de
si
Q= n
i=l Q.
~ ~,
@-tertiaires est
i
"
THEOREME 2..»
Alors il existe des éléments
Soit
P-tertiaires :
Q(6V)
tels ue
On peut supposer
pour tout 6~
d’après
la
E
~~
=
0,
Ass(L) ,
en
considérant
Alors, d’après
la
proposition 6,
vérifiant
il
proposition 3.
n
Définition. - Une
décomposition
est dite réduite si
N ~ . ni Q.
i=l l
en
éléments ~ .l , 6~.
1 -tertiaire s ~
’
,
n
,
THEOREME 3. -
Üne d écompo sition
-
-
-
.
-
’
réduite si et seulement si les
an
a.
a
Pi
~
est
Qi , en éléments Qi1 , @.-tertiaires
1
i_i l
sont distincts deux à deux, et appartiennent à
N =
alors ~
Conditions suffisantes. - Si l’ on avait
ç.,
{Pj }.
Or par
hypothèse
1T =
Pi ~ As (U/N) .
,, Qj ,
La
il
en
résulterait
décomposition
est donc
réduite.
b. Conditions
S1
fl
Q. = N ? d’où
nécessaires. - Considérons
S . ~
.. 1 G~ J ..
On
a
S , ~ I~1 ~
n
L’égalité (1)
résulte alors de
U {Pi} . De N = (Qj ~ Qi) , on
déduit
L’égalité (2) résulte
alors de
4. Radical tertiaire.
Définition. - Soit
On
appelle radiaal
PROPOSITION 8. - Soit 03B1 ~ L . On
On
peut supposer
N =
0,
N :
a :
peut exprimer
car on
tertiaire de
une
forme
équivalente
de la
con-
dition ~1
Condition nécessaire. - Soit
~’
=
(0
°.
Y)
On
E
a
X ~ 0,
Remarque. -
avec
Ass(L) ,
On
proposition 8. On
peut expliciter
a
de
d’où
aY ~ 0 9
6~=
~0°.~) E Ass(L),
soit
~çR ~0) .
façons équivalentes
la condition donnée à la
successivement :
PROPOSITION 9. - Un élément
l’une des
tel que
vérifiant la condition, et soit
~,,
il existe
Onadonc
0
alors
Condition suffisante. - Soit
Puisque
il existe
Q
E
conditions équivalentes :
L
est tertiaire si et seulement s’il vérifie
24-07
Soit
rant
Q
Q
On
a
+
X ).
(PX ç Q . Il
est
Q
(2)
Q,
Il existe alors
Q
X ~
Q . On peut supposer X D Q
X
tel
=
(en considéY~.
donc
Supposons
et
et
tertiaire,
Q
que
en
vérifie (1) ,
et soit
Q
E
Ass(U/Q) .
Il existe donc ~
Q,
résulte :
~-.tertiaire.
est trivialement
(3) équivaut
à
équivalente
(2) d’après
à
(1).
la caractérisation de
RJ(Q)
vue en
remarque.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
BOURBAKI
[2]
LESIEUR
(Nicolas). - Algèbre commutative, Chap.
(Act. scient. et ind., 1293 ; Bourbaki, 28).
4. -
Paris, Hermann, 1961
(L. ) et CROISOT (R. ) . - Algèbre noethérienne non commutative.
Gauthier-villars, 1963 (Mémorial des Sciences mathématiques, 154).
-
Paris,