C*-algèbres et Théorie des Ensembles

C*-algèbres et Théorie des Ensembles
Brice Minaud
Paris 7, 14 mars 2011
1
Plan
1
Définition des C*-algèbres
Espace de Hilbert
Opérateurs bornés
Définition
Exemples
2
Propriétés de base
Quelques définitions
Théorème spectral
États
3
Filtres quantiques
États diagonalisés
Ultrafiltres quantiques
Hypothèses ensemblistes
4
Autres exemples
2
Définition des C*-algèbres
Définition des C*-algèbres
3
Définition des C*-algèbres
Espace de Hilbert
Espace de Hilbert
Espace de Hilbert
Un Espace de Hilbert est un espace vectoriel
réel ou complexe
muni d’un produit scalaire
complet (par rapport à la norme associée au produit
scalaire)
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Définition des C*-algèbres
Espace de Hilbert
Espace de Hilbert
Espace de Hilbert
Un Espace de Hilbert est un espace vectoriel
réel ou complexe
muni d’un produit scalaire
complet (par rapport à la norme associée au produit
scalaire)
En particulier un espace de Hilbert est entièrement déterminé
par la cardinalité d’une base (= sa “caractéristique”, cardinalité
minimale d’un sous-ensemble dense).
On dit souvent “un espace de Hilbert séparable” mais en fait il
n’y en a qu’un seul, `2 (N).
4
Définition des C*-algèbres
Opérateurs bornés
Opérateurs bornés sur un espace de Hilbert
Opérateur
Un opérateur sur un espace de Hilbert H est une fonction
linéaire H → H.
Les opérateurs sont munis de la norme :
||T || = sup{||T ξ|| : ξ ∈ H, ||ξ|| = 1}
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Définition des C*-algèbres
Opérateurs bornés
Opérateurs bornés sur un espace de Hilbert
Opérateur
Un opérateur sur un espace de Hilbert H est une fonction
linéaire H → H.
Les opérateurs sont munis de la norme :
||T || = sup{||T ξ|| : ξ ∈ H, ||ξ|| = 1}
Opérateur borné
Un opérateur T est dit borné ssi ||T || < ∞.
On note B(H) l’ensemble des opérateurs bornés sur H.
On s’intéresse aux opérateurs bornés parce qu’un opérateur
est borné ssi il est continu ssi il est définissable partout. C’est
la “bonne” généralisation du cas de dimension finie.
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Définition des C*-algèbres
Opérateurs bornés
Opérateurs bornés et matrices
Sur un espace de Hilbert, on peut prendre une base
orthnormale. Soit κ sa cardinalité. Si H est séparable κ = ω.
Les vecteurs de H sont les suites de `2 (κ).
B(H) est l’ensemble des matrices complexes de taille κ × κ de
norme bornée (en particulier, lignes et colonnes sont dans `2 ).
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Définition des C*-algèbres
Opérateurs bornés
L’opération ∗
L’opération ∗
Étant donné un opérateur T , l’opérateur T ∗ est l’opérateur tel
que :
∀ξ, ν ∈ H, hT ξ|νi = hξ|T ∗ νi
On appelle T ∗ l’adjoint de T .
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Définition des C*-algèbres
Opérateurs bornés
L’opération ∗
L’opération ∗
Étant donné un opérateur T , l’opérateur T ∗ est l’opérateur tel
que :
∀ξ, ν ∈ H, hT ξ|νi = hξ|T ∗ νi
On appelle T ∗ l’adjoint de T .
L’égalité ci-dessus définit entièrement T ∗ puisqu’un opérateur A
est entièrement déterminé par les valeurs hAe1 |e2 i pour e1 , e2
parcourant une base de H (i.e. sa matrice). On peut vérifier que
T ∗ est un opérateur linéaire et borné.
En fait, si on confond un opérateur avec sa matrice, T ∗ est la
transconjuguée de T , i.e. la matrice définie par Ti,j∗ = Tj,i .
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Définition des C*-algèbres
Définition
∗
C -algèbre : définition concrète
Définition
Une C ∗ -algèbre concrète est une sous-algèbre complète de
B(H) pour un certain espace de Hilbert H.
Dans le contexte des C ∗ -algèbres, quand on parle de
sous-algèbre, on sous-entend que l’opération ∗ est aussi
préservée.
Pour cette présentation on va aussi supposer que les
C ∗ -algèbre considérées possèdent une unité.
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Définition des C*-algèbres
Définition
∗
C -algèbre : définition abstraite
Définition
Une C ∗ -algèbre abstraite est un espace de Banach (espace
vectoriel normé complet) réel ou complexe
muni d’un produit compatible avec la norme :
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||
On parle d’algèbre ou C-algèbre de Banach ;
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Définition des C*-algèbres
Définition
∗
C -algèbre : définition abstraite
Définition
Une C ∗ -algèbre abstraite est un espace de Banach (espace
vectoriel normé complet) réel ou complexe
muni d’un produit compatible avec la norme :
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||
On parle d’algèbre ou C-algèbre de Banach ;
muni d’une fonction lineaire notée ∗ satisfaisant (A∗ )∗ = A,
(AB)∗ = B ∗ A∗ et ||A∗ || = ||A||
On parle alors d’algèbre ou C-algèbre de Banach avec
involution ;
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Définition des C*-algèbres
Définition
∗
C -algèbre : définition abstraite
Définition
Une C ∗ -algèbre abstraite est un espace de Banach (espace
vectoriel normé complet) réel ou complexe
muni d’un produit compatible avec la norme :
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||
On parle d’algèbre ou C-algèbre de Banach ;
muni d’une fonction lineaire notée ∗ satisfaisant (A∗ )∗ = A,
(AB)∗ = B ∗ A∗ et ||A∗ || = ||A||
On parle alors d’algèbre ou C-algèbre de Banach avec
involution ;
satisfaisant en plus ||A∗ A|| = ||A||2 , dite l’égalité C ∗ .
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Définition des C*-algèbres
Définition
∗
C -algèbre : équivalence des définitions
On remarque que les C ∗ -algèbres sont des C ∗ -algèbres
abstraites : elles satisfont chacun des axiomes requis.
Inversement :
Théorème (Gelfand, Naimark, Segal)
Toute C ∗ -algèbre abstraite est isomorphe à une C ∗ -algèbre
concrète.
Les deux définitions sont donc équivalentes.
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Définition des C*-algèbres
Exemples
∗
Exemples de C -algèbres
Matrices finies.
B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple `2 ou L2 ).
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Définition des C*-algèbres
Exemples
∗
Exemples de C -algèbres
Matrices finies.
B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple `2 ou L2 ).
`∞ avec le produit point par point et (xi )∗ = (xi ).
11
Définition des C*-algèbres
Exemples
∗
Exemples de C -algèbres
Matrices finies.
B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple `2 ou L2 ).
`∞ avec le produit point par point et (xi )∗ = (xi ).
L’idéal K(H) des opérateurs compacts, c’est-à-dire la
clôture des opérateurs dont l’image est de dimension finie.
Pour H séparable, A ∈ K(H) ssi les approximations “finies”
A · Projspan{ei ,i≤n} de A tendent vers A en norme.
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Définition des C*-algèbres
Exemples
∗
Exemples de C -algèbres
Matrices finies.
B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple `2 ou L2 ).
`∞ avec le produit point par point et (xi )∗ = (xi ).
L’idéal K(H) des opérateurs compacts, c’est-à-dire la
clôture des opérateurs dont l’image est de dimension finie.
Pour H séparable, A ∈ K(H) ssi les approximations “finies”
A · Projspan{ei ,i≤n} de A tendent vers A en norme.
L’algèbre de Calkin C(H) = B(H)/K(H) des opérateurs
modulo compact. Pour H séparable, analogue au quotient
P(ω)/FIN de P(ω) par les ensembles finis.
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Définition des C*-algèbres
Exemples
∗
Exemples de C -algèbres
Matrices finies.
B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple `2 ou L2 ).
`∞ avec le produit point par point et (xi )∗ = (xi ).
L’idéal K(H) des opérateurs compacts, c’est-à-dire la
clôture des opérateurs dont l’image est de dimension finie.
Pour H séparable, A ∈ K(H) ssi les approximations “finies”
A · Projspan{ei ,i≤n} de A tendent vers A en norme.
L’algèbre de Calkin C(H) = B(H)/K(H) des opérateurs
modulo compact. Pour H séparable, analogue au quotient
P(ω)/FIN de P(ω) par les ensembles finis.
C(X ) l’ensemble des fonctions continues sur un espace
compact X , avec le produit usuel et l’involution f ∗ = f .
Toute C ∗ -algèbre abélienne est de cette forme.
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Propriétés de base
Propriétés de base
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Propriétés de base
Quelques définitions
Quelques définitions
Soit A un opérateur.
A est normal ssi A∗ A = AA∗ .
A est auto-adjoint ssi A∗ = A.
A est positif ssi hAξ|ξi ≥ 0 pour tout ξ ∈ H, ssi A = B ∗ B
pour un certain B.
A est une projection ssi c’est une projection orthogonale
sur un sous-espace clos, ssi P 2 = P = P ∗ .
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Propriétés de base
Théorème spectral
Théorème spectral
Spectre
Le spectre d’un opérateur A est l’ensemble des λ ∈ C tels que
A − λId n’est pas inversible.
Le spectre d’un opérateur est un sous-ensemble compact de C.
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Propriétés de base
Théorème spectral
Théorème spectral
Spectre
Le spectre d’un opérateur A est l’ensemble des λ ∈ C tels que
A − λId n’est pas inversible.
Le spectre d’un opérateur est un sous-ensemble compact de C.
Théorème spectral (faible)
Si A est un opérateur normal, l’algèbre C ∗ (A, Id) engendrée
par A et l’identité est isomorphe à C(σ(A)).
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Propriétés de base
Théorème spectral
Théorème spectral
Spectre
Le spectre d’un opérateur A est l’ensemble des λ ∈ C tels que
A − λId n’est pas inversible.
Le spectre d’un opérateur est un sous-ensemble compact de C.
Théorème spectral (faible)
Si A est un opérateur normal, l’algèbre C ∗ (A, Id) engendrée
par A et l’identité est isomorphe à C(σ(A)).
Théorème spectral
Si A est une C ∗ -algèbre abélienne, A est isomorphe à
l’ensembles C(X ) des fonctions continues sur l’espace
compact X des homomorphismes A → C (munis de la
topologie weak∗ ).
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Propriétés de base
États
États
Définition
Un état d’une C ∗ -algèbre A est une forme linéaire continue
φ:A→C
positive, c’est-à-dire que l’image d’un opérateur positif est
dans R+ ;
de norme 1, pour la norme ||φ|| = sup{|φ(A)| : ||A|| = 1}.
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Propriétés de base
États
États
Définition
Un état d’une C ∗ -algèbre A est une forme linéaire continue
φ:A→C
positive, c’est-à-dire que l’image d’un opérateur positif est
dans R+ ;
de norme 1, pour la norme ||φ|| = sup{|φ(A)| : ||A|| = 1}.
Les états forment un ensemble convexe. Un état est dit pur ssi
c’est un point extrême de cet ensemble.
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Propriétés de base
États
États
Définition
Un état d’une C ∗ -algèbre A est une forme linéaire continue
φ:A→C
positive, c’est-à-dire que l’image d’un opérateur positif est
dans R+ ;
de norme 1, pour la norme ||φ|| = sup{|φ(A)| : ||A|| = 1}.
Les états forment un ensemble convexe. Un état est dit pur ssi
c’est un point extrême de cet ensemble.
Par exemple dans B(H), si on fixe un vecteur unitaire ξ, la
forme A 7→ hAξ|ξi est un état (d’ailleurs pur). Dans C(X ), un
état est l’intégration suivant une mesure de probabilité, et un
état est pur ssi c’est l’évaluation en un point.
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Filtres quantiques
Filtres quantiques
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Filtres quantiques
États diagonalisés
État diagonalisé
On se place maintenant dans B(H) pour H séparable.
On a déjà noté qu’à chaque vecteur unitaire ξ est associé un
état pur, dit état vectoriel, A 7→ hAξ|ξi.
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Filtres quantiques
États diagonalisés
État diagonalisé
On se place maintenant dans B(H) pour H séparable.
On a déjà noté qu’à chaque vecteur unitaire ξ est associé un
état pur, dit état vectoriel, A 7→ hAξ|ξi.
Définition
Soit (ei )i∈N une base orthonormale de H, et U un utrafiltre sur
N. L’état :
A 7→ limhAei |ei i
U
est dit diagonalisé par la base (ei )i∈N .
17
Filtres quantiques
États diagonalisés
État diagonalisé
On se place maintenant dans B(H) pour H séparable.
On a déjà noté qu’à chaque vecteur unitaire ξ est associé un
état pur, dit état vectoriel, A 7→ hAξ|ξi.
Définition
Soit (ei )i∈N une base orthonormale de H, et U un utrafiltre sur
N. L’état :
A 7→ limhAei |ei i
U
est dit diagonalisé par la base (ei )i∈N .
Théorème (Anderson)
Un état diagonalisé est pur.
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Filtres quantiques
États diagonalisés
État diagonalisé
On se place maintenant dans B(H) pour H séparable.
On a déjà noté qu’à chaque vecteur unitaire ξ est associé un
état pur, dit état vectoriel, A 7→ hAξ|ξi.
Définition
Soit (ei )i∈N une base orthonormale de H, et U un utrafiltre sur
N. L’état :
A 7→ limhAei |ei i
U
est dit diagonalisé par la base (ei )i∈N .
Théorème (Anderson)
Un état diagonalisé est pur.
Conjecture (Anderson)
Tout état pur de B(H) est diagonalisable.
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Filtres quantiques
Ultrafiltres quantiques
Filtres quantiques sur B(H)
Définition (Farah, Weaver)
Un filtre quantique F est un ensemble de projections de B(H)
tel que pour tout sous-ensemble fini P1 , . . . , Pn ∈ F,
||P1 · P2 · · · · · Pn || = 1
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Filtres quantiques
Ultrafiltres quantiques
Filtres quantiques sur B(H)
Définition (Farah, Weaver)
Un filtre quantique F est un ensemble de projections de B(H)
tel que pour tout sous-ensemble fini P1 , . . . , Pn ∈ F,
||P1 · P2 · · · · · Pn || = 1
Un ultrafiltre quantique est un filtre quantique maximal.
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Filtres quantiques
Ultrafiltres quantiques
Filtres quantiques sur B(H)
Définition (Farah, Weaver)
Un filtre quantique F est un ensemble de projections de B(H)
tel que pour tout sous-ensemble fini P1 , . . . , Pn ∈ F,
||P1 · P2 · · · · · Pn || = 1
Un ultrafiltre quantique est un filtre quantique maximal.
Comparer avec un filtre sur N : si on fixe une base
orthonormale (ei )i∈N et un filtre F sur N, les projections
(e )
PF i = Projspan{e :i∈F } pour F ∈ F génèrent un filtre quantique.
i
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Filtres quantiques
Ultrafiltres quantiques
Filtres quantiques sur B(H)
Définition (Farah, Weaver)
Un filtre quantique F est un ensemble de projections de B(H)
tel que pour tout sous-ensemble fini P1 , . . . , Pn ∈ F,
||P1 · P2 · · · · · Pn || = 1
Un ultrafiltre quantique est un filtre quantique maximal.
Comparer avec un filtre sur N : si on fixe une base
orthonormale (ei )i∈N et un filtre F sur N, les projections
(e )
PF i = Projspan{e :i∈F } pour F ∈ F génèrent un filtre quantique.
i
La question : un ultrafiltre sur N génère-t-il un ultrafiltre
quantique ? est une reformulation de Kadison-Singer (i.e.
ouvert et difficile). Oui si l’ultrafiltre est un Q-point (Reid).
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Filtres quantiques
Ultrafiltres quantiques
Filtres quantiques et états
Théorème (Farah)
Si on fixe un état φ sur B(H), l’ensemble
F(φ) = {P : P projection, φ(P) = 1}
est un filtre quantique.
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Filtres quantiques
Ultrafiltres quantiques
Filtres quantiques et états
Théorème (Farah)
Si on fixe un état φ sur B(H), l’ensemble
F(φ) = {P : P projection, φ(P) = 1}
est un filtre quantique.
De plus, c’est un ultrafiltre quantique ssi φ est pur.
19
Filtres quantiques
Ultrafiltres quantiques
Filtres quantiques et états
Théorème (Farah)
Si on fixe un état φ sur B(H), l’ensemble
F(φ) = {P : P projection, φ(P) = 1}
est un filtre quantique.
De plus, c’est un ultrafiltre quantique ssi φ est pur.
Si φ est un état vectoriel φ(A) = hAξ|ξi, F(φ) est l’ensemble
des projections sur les sous-espaces contenant ξ.
Si φ est diagonalisé par φ(A) = limU hAei |ei i, F(φ) contient les
projections PUei , U ∈ U.
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Filtres quantiques
Ultrafiltres quantiques
Filtres quantiques et états
Théorème (Farah)
Si on fixe un état φ sur B(H), l’ensemble
F(φ) = {P : P projection, φ(P) = 1}
est un filtre quantique.
De plus, c’est un ultrafiltre quantique ssi φ est pur.
Si φ est un état vectoriel φ(A) = hAξ|ξi, F(φ) est l’ensemble
des projections sur les sous-espaces contenant ξ.
Si φ est diagonalisé par φ(A) = limU hAei |ei i, F(φ) contient les
projections PUei , U ∈ U.
Théorème (Farah)
Inversement, pour tout ultrafiltre quantique F il existe un unique
état φ tel que F(φ) = F.
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Filtres quantiques
Hypothèses ensemblistes
Réponses à conjecture d’Anderson
Théorème (Akemann, Weaver)
En supposant l’hypothèse du continu CH, il existe un état non
diagonalisable.
Idée de la preuve.
Théorème (Farah)
Si on ne peut pas recouvrir les réels par moins de 2ℵ0
ensembles maigres (ex. on ajoute 2ℵ0 réels de Cohen), il existe
un état non diagonalisable.
Idée de la preuve.
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Autres exemples
Autres exemples
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Autres exemples
Autres résultats
Théorème (Akemann, Weaver)
(CH) Tous les automorphismes de l’algèbre de Calkin sont
intérieurs (i.e. ils s’écrivent A 7→ U ∗ AU pour un opérateur
unitaire U, i.e. un automorphisme de H).
Théorème (Farah)
(TA/OCA) Il existe un automorphisme externe de l’algèbre de
Calkin.
Théorème (Akemann, Weaver)
implique une réponse négative à la conjecture de Naimark.
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Autres exemples
Lectures utiles
Les slides de cette présentation :
http://www.logique.jussieu.fr/~cubikova/
archives.html
“Set Theory and Operator Algebras” par Ilijas Farah et Eric
Wofsey :
http://www.math.yorku.ca/~ifarah/Ftp/
2010c31-appalachian.pdf
“Set Theory and C ∗ -algebras” par Nik Weaver (accès ASL
requis) :
http://projecteuclid.org/euclid.bsl/1174668215
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