FIMFA, Mai 2006 Rachel Ollivier TD d’Analyse Spectrale -III- 1 Calcul fonctionnel continu Soient A une C ∗ -algèbre et a ∈ A. 1. Montrer que pour toute fonction f continue sur Sp a∗ a ∪ {0}, on a af (a∗ a) = f (aa∗ )a. 2. On suppose que a est hermitien. Montrer qu’il existe un unique élément hermitien b de A tel que b3 = a. 2 Spectre 1. Un élément d’une C ∗ -algèbre de spectre contenu dans R+ est-il toujours positif ? 2. Soit H un espace de Hilbert. Caractériser par leur spectre les éléments hermitiens de L(H) qui sont des projecteurs. 3. Soient H un espace de Hilbert, T ∈ L(H) un opérateur normal et λ un point isolé du spectre de T . Montrer que λ appartient au spectre ponctuel de T 3 Idempotent dans une C ∗ -algèbre Soit A une algèbre de Banach unifère complexe. On suppose qu’elle contient un idempotent p de norme 1. On lui associe les ensembles Cp = {a ∈ A, ap = pa}, Ap = {a ∈ A, ap = pa = a}. 1. Vérifier que Ap peut-être considérée comme une algèbre de Banach unitaire dont l’unité est p. 2. On pose q = 1 − p et l’on suppose que q est de norme 1. Soit a ∈ Cp , on définit ap = pa, aq = qa. Ce sont des éléments respectifs de Ap et Aq . Montrer que le spectre de a est la réunion du spectre de ap dans Ap et du spectre de aq dans Aq . 3. On suppose que A est une C ∗ -algèbre et que a ∈ A est un élément normal dont le spectre est égal à la réunion de deux compacts disjoints non-vides P et Q du plan complexe. On désigne par p = 1P (a) l’image de la fonction indicatrice 1P par le calcul fonctionnel continu associé à a. Montrer que le spectre de ap est P , celui de aq est Q. Montrer que le calcul fonctionnel associé à ap est donné par Φap (f ) = f˜(a)p, où f˜ est un prolongement de f ∈ C(Sp ap ) en une fonction continue sur le spectre de a. 1 4 Mesure spectrale d’un opérateur unitaire Soient H un espace hilbertien complexe, U ∈ L(H) une application linéaire continue inversible, et e ∈ H. Pour tout n ∈ Z, on pose en = U n (e). On suppose que (en )n∈Z est une base hilbertienne de H. 1. Déterminer le spectre résiduel et le spectre ponctuel de U . 2. Soit λ un nombre complexe de module 1. Soit Vλ l’opérateur unitaire défini par Vλ (en ) = λn en pour tout n ∈ Z. (a) Montrer que si µ ∈ Sp(U ) alors λµ ∈ Sp(U ). (b) Déterminer le spectre de U . (c) Déterminer la mesure spectrale de U . Morphismes de C ∗ -algèbres 5 Soient A et B des C ∗ -algèbres et π : A → B un morphisme involutif. On note respectivement A+ et B+ l’ensemble de leurs éléments positifs. 1. Montrer que π commute avec le calcul fonctionnel : pour x ∈ A normal, f continue sur Sp(x), on a π(f (x)) = f (π(x)). Montrer ensuite que pour tout x ∈ A, π(|x|) = |π(x)|. 2. Montrer que x est un élément positif de A si et seulement si x = |x|. 3. Montrer que l’on a π(A+ ) = π(A) ∩ B+ . 6 Monotonie du calcul fonctionnel Soit A une C ∗ -algèbre. Montrer que si a, b ∈ A+ et a ≤ b alors kak ≤ kbk. Soient a, b, x ∈ A tels que a ≤ b. Montrer que x∗ ax ≤ x∗ bx. Pour tout a, b ∈ A, montrer que a∗ b∗ ba ≤ kbk2 a∗ a. Soient a, b, x ∈ A. Si a∗ a ≤ b∗ b montrer que kaxk ≤ kbxk. Supposons A unifère. Soient a, b ∈ A et supposons b inversible. Alors les propriétés a∗ a ≤ b∗ b et kab−1 k ≤ 1 sont équivalentes. 6. Supposons A unifère. Soient a, b ∈ A+ deux éléments inversibles. Alors les propriétés a ≤ b et b−1 ≤ a−1 sont équivalentes. 1. 2. 3. 4. 5. 7 A propos du spectre de l’algèbre des fonctions continues sur un compact Cet exercice montre que les fonctions continues sur un compact séparent les points. Un espace topologique X est dit normal si pour toute paire A et B de fermés disjoints de X il existe des ouverts disjoints U et V de X tels que A ⊂ U et B ⊂ V . a) Montrer que tout espace métrique est normal. b) Démontrer que tout espace compact est normal. Soit X un espace topologique. 2 c) Montrer que X est normal si et seulement si, pour toute partie fermée F et toute partie ouverte V de X telles que F ⊂ V , il existe une partie ouverte U de X telle que F ⊂ U et U ⊂ V . Soit X un espace topologique normal F une partie fermée et V une partie ouverte de X telles que F ⊂ V . d) Montrer qu’il existe une famille Ur d’ouverts de X indexée par Q∩]0, 1[ telle que pour tout couple r, s d’éléments de Q∩]0, 1[ tels que r < s on ait F ⊂ Ur ⊂ Ur ⊂ Us ⊂ U s ⊂ V. e) En déduire qu’il existe une application continue f : X → [0, 1] nulle sur F et égale à 1 hors de V . 3