Bac Blanc TL-TES : Mathématiques

Bac Blanc TL-TES : Math´ematiques
L’utilisation d’une calculatrice est autoris´ee
Le candidat doit traiter les quatre exercices
La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l’appr´eciation des copies
Exercice 1: 5 points
Commun `a tous les candidats
Pour chacune des question pos´ee, une seule des r´eponses propos´ees est exacte. Recopier le num´ero
de chaque question et pr´eciser la r´eponse choisie. Aucune justification n’est demand´ee. Une r´eponse juste
rapporte 1 points, une r´eponse fausse enl`eve 0,25 points. L’absence de r´eponse n’enl`eve pas de point.
1. En septembre 2009, la T.V.A dans la restauration est pass´ee de 19,6 % `a 5,5 %. En aoˆut 2009, une
brasserie proposait un menu `a 12,70 e(T.V.A incluse). Le responsable a appliqu´e le changement de
T.V.A. Quel ´etait en septembre 2009 le prix de ce menu apr`es le changement de T.V.A (arrondi au
centime) ?
a) 10,91 eb) 11,20 ec) 12,70 e
2. La fonction fest d´efinie et d´erivable sur l’ensemble des nombres r´eels Rpar : f(x) = e−2x+1. On
note f′sa fonction d´eriv´ee. Pour tout xde R,
a) f′(x) = e−2b) f′(x) = e−2x+1 c) f′(x) = −2e−2x+1
3. On donne le tableau de variation d’une fonction gd´efinie et continue sur l’intervalle [−5; 12] :
x
g(x)
−52 8 12
−3−3
−8−8
11
00
a) Pour tout x∈[−5; 12], g(x)>0.
b) L’´equation g(x) = 0 admet exactement deux solutions sur l’intervalle [−5; 12].
c) Pour tout x∈[−5; 8], g(x)<0.
4. La courbe Cdonn´ee ci-dessous est la repr´esentation graphique d’une fonction fd´efinie et d´erivable
sur l’intervalle ]0 ; +∞[. La droite (AB), trac´ee sur le graphique, est tangente `a la courbe Cau point
B d’abscisse 1.
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6−1O
C
B
A
x
y
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On note f′la fonction d´eriv´ee de la fonction fsur l’intervalle ]0 ; +∞[.
a) f′(1) = 0 b) f′(1) = 1,5c) f′(1) = −2
3
5. Une seule des trois courbes ci-apr`es est la repr´esentation graphique d’une fonction gtelle que g′=f
(la fonction d´eriv´ee de la fonction gest la fonction fintroduite `a la question 4.). Pr´eciser laquelle.
a)
1
2
3
−1
−2
−3
12345−1Ox
y
b)
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3 4 5−1Ox
y
c)
1
2
3
−1
−2
−3
12345−1Ox
y
Exercice 2: 4 points
Commun `a tous les candidats
Thomas Malthus (1766-1834) est un ´economiste britannique connu pour ses travaux concernant les
rapports entre population et production de denr´ees alimentaires. L’objectif de cet exercice est d’´etudier le
mod`ele ´etabli par cet ´economiste dans son ouvrage Essai sur le principe des populations publi´e en 1798.
PARTIE A : ´ Etude de l’´evolution d’une population
Un pays poss`ede, en 1800, une population de 20 millions d’habitants (soit 20 000 milliers).
Pour tout entier positif n, on note unla population, en milliers, de ce pays en l’ann´ee 1800 + n. On a
donc u0= 20 000.
Au regard des ann´ees pr´ec´edentes, Malthus ´emet l’hypoth`ese qu’`a partir de l’ann´ee 1800 la population
de ce pays va augmenter de 1 % par an.
1. Justifier que u1= 20 200. Que repr´esente cette valeur ?
2. Quelle est la nature de la suite (un) ? Exprimer unen fonction de n.
3. Calculer la population obtenue en 1900 selon ce mod`ele.
Arrondir ce r´esultat au million d’habitants.
4. Calculer u0+u1+u2+···+u30. Arrondir le r´esultat au centi`eme.
PARTIE B : ´ Etude de l’´evolution de la production de denr´ees alimentaires
Malthus constate qu’en 1800 ce pays peut nourrir une population de 25 millions d’habitants.
Pour tout entier positif n, on note vnle nombre de personnes en milliers que peut nourrir ce pays en
l’ann´ee 1800 + n.
On a donc v0= 25 000.
Il fait l’hypoth`ese que grˆace au progr`es technique, chaque ann´ee le pays peut nourrir 10 000 personnes
suppl´ementaires.
1. Justifier que v1= 25 010. Que repr´esente ce r´esultat ?
2. Quelle est la nature de la suite (vn) ? Exprimer vnen fonction de n.
3. Combien de personnes peuvent-ˆetre nourries en 1900 selon ce mod`ele ?
Que remarque-t-on ?
4. D´eterminer le premier entier ntel que vn>25 500.
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Exercice 3: 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de sp´ecialit´e
Un fournisseur d’acc`es internet effectue une enquˆete de satisfaction sur un panel de 2 000 clients, dont
l’abonnement a plus de 12 mois d’anciennet´e.
Parmi eux :
•900 n’ont jamais subi de coupure prolong´ee de connexion.
•500 clients ont connu leur derni`ere coupure prolong´ee de connexion dans les 12 derniers mois.
•les autres clients ont connu leur derni`ere coupure prolong´ee de connexion il y a plus d’un an.
L’enquˆete r´ev`ele que :
•95 % des clients n’ayant jamais subi de coupure prolong´ee se d´eclarent satisfaits du service fourni.
•50 % des clients ayant subi une coupure prolong´ee de connexion dans les douze derniers mois se
d´eclarent satisfaits du service fourni.
•70 % des clients ayant subi une coupure prolong´ee de connexion il y a plus d’un an se d´eclarent
satisfaits du service fourni.
On choisit au hasard un client parmi ceux qui ont ´et´e interrog´es. On consid`ere les ´ev`enements suivants :
J:≪le client n’a jamais subi de coupure prolong´ee de connexion ≫
R:≪la derni`ere coupure prolong´ee de connexion du client est survenue au cours des douze derniers
mois ≫(elle est ≪r´ecente ≫)
A:≪la derni`ere coupure prolong´ee de connexion du client date d’il y a plus d’un an ≫(elle est ≪an-
cienne ≫)
S:≪le client se d´eclare satisfait ≫
Sd´esigne l’´ev`enement contraire de S.
1. a) Calculer les probabilit´es des ´ev`enements J, R et A.
b) Construire un arbre pond´er´e d´ecrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilit´e
correspondante.
2. Calculer la valeur exacte de la probabilit´e que le client soit satisfait et n’ait jamais subi de coupure
prolong´ee de connexion.
3. D´emontrer que la probabilit´e que le client choisi se d´eclare satisfait est ´egale `a 0,7625.
4. Le client choisi se d´eclare satisfait du service fourni. Quelle est la probabilit´e qu’il ait subi une
coupure prolong´ee de connexion au cours des douze derniers mois (on donnera le r´esultat sous forme
d´ecimale arrondie au centi`eme) ?
5. On choisit au hasard trois clients parmi ceux du panel interrog´e durant l’enquˆete. On admet que ce
panel est suffisamment important pour assimiler ces choix `a des tirages successifs ind´ependants avec
remise.
D´eterminer la probabilit´e qu’exactement un des clients choisis se d´eclare non satisfait du service
fourni (on donnera le r´esultat sous forme d´ecimale arrondie au centi`eme).
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Exercice 4: 6 points
Commun `a tous les candidats
Une entreprise fabrique chaque mois xtonnes d’un certain produit, avec xappartenant `a l’intervalle ]0; 6].
Le coˆut moyen de fabrication, exprim´e en milliers d’euros, pour une production mensuelle de xtonnes est
donn´e par C(x), o`u Cest la fonction d´efinie par :
C(x) = 0,01ex+ 2
x
1. A l’aide de la calculatrice :
a) Conjecturer en terme de variations l’´evolution du coˆut moyen de fabrication sur l’intervalle ]0; 6].
b) Estimer le minimum du coˆut moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante.
c) Dire s’il est possible d’atteindre un coˆut moyen de fabrication de 4 000 euros. On pr´ecisera la
m´ethode utilis´ee.
2. On d´esigne par C′la fonction d´eriv´ee de la fonction C. Montrer que, pour tout nombre r´eel x
appartenant `a l’intervalle ]0; 6] :
C′(x) = 0,01xex−0,01ex−2
x2
3. On consid`ere la fonction fd´efinie sur l’intervalle ]0; 6] par :
f(x) = 0,01xex−0,01ex−2
On d´esigne par f′la fonction d´eriv´ee de la fonction f.
a) V´erifier que pour tout nombre r´eel xappartenant `a l’intervalle ]0; 6] :
f′(x) = 0,01xex
b) Justifier que la fonction fest strictement croissante sur l’intervalle ]0; 6].
c) Justifier que l’´equation f(x) = 0 admet une seule solution αappartenant `a l’intervalle [4; 5].
Donner la valeur arrondie au dixi`eme du nombre r´eel α.
d) D´eduire des r´esultats pr´ec´edents le signe de f(x) sur l’intervalle ]0; 6].
4. A l’aide des questions pr´ec´edentes, justifier que le minimum du coˆut moyen de fabrication est obtenu
pour une production mensuelle de αtonnes du produit.
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