ALGEBRE

Partie I
ALGEBRE
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Chapitre 1
L’ENSEMBLE DES NOMBRES
REELS
1.1 Notion de nombre
On parle de nombres r´eels et on effectue des op´erations avec ces nombres sans jamais avoir vraiment
d´efini ces nombres et ces op´erations. Le programme propose, cette ann´ee, de pr´esenter une d´efinition
des r´eels et des op´erations dans IR ainsi que d’´etoffer les propri´et´es de ces nombres.
Successivement on a ´et´e amen´e `a d´efinir des nombres : naturels, entiers, rationnels, irrationnels et r´eels.
Ensemble des nombres naturels
Au stade des math´ematiques ´el´ementaires, l’ensemble des nombres naturels
IN = {0,1,2,3,···}
peut ˆetre consid´er´e comme acquis par notre exp´erience. Ce sont ces nombres qui servent `a compter
les objets concrets ou abstraits que nous voyons, que nous manipulons ou que nous concevons: quatre
crayons de couleur dans un plumier, onze joueurs pour une ´equipe de football, un po`eme de douze vers,
vingt-six ´el`eves dans la classe, mille milliards de mille sabords, ... Ils nous viennent par l’apprentissage
du d´enombrement des ensembles qui nous entourent. C’est comme s’ils appartenaient `a la nature. Pour
d´esigner les nombres naturels, d’autres termes sont aussi utilis´es: naturels ou entiers naturels.
Les naturels servent `a d´enombrer les objets.
Le naturel 0
Dans IN, seul 0 a l’air moins “naturel´´ que les autres. De fait, quand une boˆıte est vide, dire
qu’elle contient z´ero objet, paraˆıtrait pour le moins loufoque. C’est sans doute ce qui explique que ce
nombre ne fut cr´e´e par les civilisations anciennes que tr`es longtemps apr`es les autres naturels. Pour-
tant, 0 nous est indispensable, non seulement dans nos calculs, mais aussi dans la vie courante. Ainsi,
lorsque le thermom`etre indique 0◦C, il est conseill´e d’emporter son ´echarpe; un 0 comme note d’une
interrogation n’est pas bon signe, cela indique une faiblesse; 10 euros en poche sont pr´ef´erables `a 1 seul
euro. Le rˆole initial du naturel 0est de marquer une absence. En math´ematique plus avanc´ee, 0 est le
nombre qui est associ´e `a l’ensemble vide.
Ensemble des nombres entiers
Au d´epart, notre connaissance des nombres se limite donc aux seuls naturels. Consid´erons alors les
´equations
x+ 5 = 8 et x+ 7 = 2
Dans IN, la premi`ere ´equation a pour solution le nombre 3. Par contre, la seconde n’a pas de solution
puisqu’il n’existe aucun naturel qui, ajout´e `a 7, donne 2 pour somme. Ainsi, certaines ´equations de la
3

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS 4
forme
x+a=b(1.1)
ont une solution dans IN et d’autres n’en n’ont pas. Pour pallier `a cela, l’homo mathematicus invente
un nouveau type de nombres: les entiers n´egatifs qui vont ˆetre les solutions des ´equations de la forme
(1.1) lorsque aest plus grand que b. De cette mani`ere, l’´equation x+ 7 = 2 admet aussi une solution:
un nombre entier n´egatif que l’on note −5 Un entier est donc soit un naturel, soit l’oppos´e d’un naturel.
ZZ = {··· − 3,−2,−1,0,1,2,3,···}
Ensemble des nombres rationnels
`
A pr´esent, notre r´eservoir de nombres est ZZ.
Consid´erons les ´equations:
3x=−12 et 5x= 8.
La premi`ere des deux a pour solution l’entier −4, mais la seconde n’a pas de solution car il n’y a aucun
entier qui, multipli´e par 5, donne 8 pour produit. Une nouvelle scission apparaˆıt donc: parmi les
´equations de la forme
ax =b(avec a, b ∈ZZ et anon nul), (1.2)
certaines ont une solution dans ZZ et d’autres en sont d´epourvues. Alors, de nouveau, l’homo
mathematicus fait preuve d’imagination et ´elargit la famille des nombres afin de donner une solution `a
toute ´equation de la forme (1.2); il cr´ee maintenant les nombres rationnels. Ainsi, il attribue comme
solution `a l’´equation
5x= 8,
un nombre qu’il note 8
5.
Un nombre rationnel est d´efini par une classe de fractions ´egales.
Exemple : 2
3,4 6,−6 −9,···
sont des fractions qui repr´esentent toutes le mˆeme nombre rationnel (Ils sont effectivement tous solution
de l’´equation 3x= 2). Parmi toutes ces fractions, une seule est irr´eductible :2
3, c’est-`a-dire une
fraction dont le num´erateur et le d´enominateur n’ont aucun facteur premier commun.
Un nombre rationnel peut s’´ecrire sous la forme :
•soit d’un entier,
•soit d’un d´eveloppement d´ecimal limit´e,
•soit d’un d´eveloppement d´ecimal illimit´e p´eriodique.
En voici quelques exemples:
1. 8
5=
2. 15
4=
3. 17
20 =
4. 2
3=
5. 16
11 =

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS 5
Alors que, sous forme de fractions `a termes entiers, un rationnel admet une infinit´e de repr´esentants, il
ne poss`ede plus qu’une seule repr´esentation sous forme de nombre d´ecimal. Mais le processus qui r´ealise
la conversion n’est pas vraiment simple. Remettant son ouvrage sur le m´etier, l’homo mathematicus
met au point un algorithme 1qui donne rapidement cette forme d´ecimale; il proc`ede par analogie avec
la division dans IN : 15
4et 16 11
Inversement tout d´eveloppement d´ecimal limit´e ou illimit´e p´eriodique peut ˆetre engendr´e par une frac-
tion.
Exemple : si x= 1,2343434 ···, alors
1000x= 1234,34 ···
10x= 12,34 ···
990x= 1222
x=1222
990
L’ensemble des rationnels se note Q.
Ensemble des nombres irrationnels
Un nombre irrationnel est d´efini par un d´eveloppement d´ecimal illimit´e non p´eriodique.
Exemple : 
1,41421 ··· =√2
3,14159 ··· =π
2,71828 ··· =e
Un nombre ne peut donc ˆetre `a la fois rationnel et irrationnel : Q ∩I=φ.
Ensemble des nombres r´eels
La r´eunion de l’ensemble des nombres rationnels et de l’ensemble des nombres irrationnels est l’ensemble
des nombres r´eels : Q ∪II = IR.
On notera IR0l’ensemble des r´eels non nuls.
Exercices
Activit´e 1.1 ` A l’origine, les naturels!
1. Cite quelques naturels.
2. ´ Etant donn´e un naturel n, quel est son pr´ed´ecesseur (le plus grand naturel strictement inf´erieur
`a n) et quel est son successeur (le plus petit naturel strictement sup´erieur `a n) ?
3. La somme, la diff´erence, le produit et le quotient de deux naturels sont-ils toujours des naturels?
4. Donne des exemples illustrant les propositions suivantes, puis traduis-les sous forme de formules.
(a) L’addition des naturels est partout d´efinie et interne.
(b) L’addition des naturels est associative.
(c) L’addition des naturels est commutative.
(d) oest neutre pour l’addition des naturels.
1Un algorithme est une suite d’op´erations `a effectuer pour accomplir une certaine tˆache. Ce mot provient du nom d’un
math´ematicien arabe du I X e si`ecle : AL Khwarizmi

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS 6
(e) La multiplication des naturels est interne et partout d´efinie.
(f) La multiplication des naturels est associative.
(g) La multiplication des naturels est commutative.
(h) 1 est neutre pour la multiplication des naturels.
(i) oest absorbant pour la multiplication des naturels.
(j) Dans l’ensemble des naturels, la multiplication est distributive par rapport `a l’addition.
Activit´e 1.2 En route vers les entiers
1. Quel ensemble la soustraction de deux naturels quelconques engendre-t-elle ?
2. Comment appelles-tu les ´el´ements de cet ensemble et comment le notes-tu?
3. Dans ZZ, la somme et le produit ont-ils les mˆemes propri´et´es que dans IN?
4. Quel est l’oppos´e de l’entier n?
5. Que vaut la somme d’un entier et de son oppos´e?
Activit´e 1.3 Passage par les rationnels
1. Quel ensemble le quotient de deux entiers quelconques engendre-il?
2. Est-il possible de diviser par 0, par 1?
3. Comment appelles-tu les ´el´ements de cet ensemble et comment le notes-tu?
4. Dans Q, la somme et le produit ont-ils les mˆemes propri´et´es que dans ZZ. ?
5. Quel est l’inverse du rationnel non nul r?
6. Que vaut le produit d’un rationnel non nul par son inverse?
7. Dessine sur un mˆeme diagramme IN, IZ et IQ . Donne ensuite pour autant que ce soit possible,
3 exemples de nombres :