ALGEBRE

Partie I
ALGEBRE
2
Chapitre 1
L’ENSEMBLE DES NOMBRES
REELS
1.1
Notion de nombre
On parle de nombres réels et on effectue des opérations avec ces nombres sans jamais avoir vraiment
défini ces nombres et ces opérations. Le programme propose, cette année, de présenter une définition
des réels et des opérations dans IR ainsi que d’étoffer les propriétés de ces nombres.
Successivement on a été amené à définir des nombres : naturels, entiers, rationnels, irrationnels et réels.
Ensemble des nombres naturels
Au stade des mathématiques élémentaires, l’ensemble des nombres naturels
IN = {0, 1, 2, 3, · · ·}
peut être considéré comme acquis par notre expérience. Ce sont ces nombres qui servent à compter
les objets concrets ou abstraits que nous voyons, que nous manipulons ou que nous concevons: quatre
crayons de couleur dans un plumier, onze joueurs pour une équipe de football, un poème de douze vers,
vingt-six élèves dans la classe, mille milliards de mille sabords, ... Ils nous viennent par l’apprentissage
du dénombrement des ensembles qui nous entourent. C’est comme s’ils appartenaient à la nature. Pour
désigner les nombres naturels, d’autres termes sont aussi utilisés: naturels ou entiers naturels.
Les naturels servent à dénombrer les objets.
Le naturel 0
Dans IN, seul 0 a l’air moins “naturel´´ que les autres. De fait, quand une boı̂te est vide, dire
qu’elle contient zéro objet, paraı̂trait pour le moins loufoque. C’est sans doute ce qui explique que ce
nombre ne fut créé par les civilisations anciennes que très longtemps après les autres naturels. Pourtant, 0 nous est indispensable, non seulement dans nos calculs, mais aussi dans la vie courante. Ainsi,
lorsque le thermomètre indique 0◦ C, il est conseillé d’emporter son écharpe; un 0 comme note d’une
interrogation n’est pas bon signe, cela indique une faiblesse; 10 euros en poche sont préférables à 1 seul
euro. Le rôle initial du naturel 0 est de marquer une absence. En mathématique plus avancée, 0 est le
nombre qui est associé à l’ensemble vide.
Ensemble des nombres entiers
Au départ, notre connaissance des nombres se limite donc aux seuls naturels. Considérons alors les
équations
x + 5 = 8 et x + 7 = 2
Dans IN, la première équation a pour solution le nombre 3. Par contre, la seconde n’a pas de solution
puisqu’il n’existe aucun naturel qui, ajouté à 7, donne 2 pour somme. Ainsi, certaines équations de la
3
CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
4
forme
x+a=b
(1.1)
ont une solution dans IN et d’autres n’en n’ont pas. Pour pallier à cela, l’homo mathematicus invente
un nouveau type de nombres: les entiers négatifs qui vont être les solutions des équations de la forme
(1.1) lorsque a est plus grand que b. De cette manière, l’équation x + 7 = 2 admet aussi une solution:
un nombre entier négatif que l’on note −5 Un entier est donc soit un naturel, soit l’opposé d’un naturel.
ZZ = {· · · − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · ·}
Ensemble des nombres rationnels
À présent, notre réservoir de nombres est ZZ.
Considérons les équations:
3x = −12 et 5x = 8.
La première des deux a pour solution l’entier −4 , mais la seconde n’a pas de solution car il n’y a aucun
entier qui, multiplié par 5 , donne 8 pour produit. Une nouvelle scission apparaı̂t donc: parmi les
équations de la forme
ax = b (avec a, b ∈ ZZ et a non nul),
(1.2)
certaines ont une solution dans ZZ et d’autres en sont dépourvues. Alors, de nouveau, l’homo
mathematicus fait preuve d’imagination et élargit la famille des nombres afin de donner une solution à
toute équation de la forme (1.2); il crée maintenant les nombres rationnels. Ainsi, il attribue comme
solution à l’équation
5x = 8,
un nombre qu’il note
8
.
5
Un nombre rationnel est défini par une classe de fractions égales.
Exemple :
2 4 −6
, ,
,···
3 6 −9
sont des fractions qui représentent toutes le même nombre rationnel (Ils sont effectivement tous solution
de l’équation 3x = 2 ). Parmi toutes ces fractions, une seule est irréductible : 23 , c’est-à-dire une
fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun facteur premier commun.
Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme :
• soit d’un entier,
• soit d’un développement décimal limité,
• soit d’un développement décimal illimité périodique.
En voici quelques exemples:
1.
8
5
2.
15
4
=
3.
17
20
=
4.
2
3
5.
16
11
=
=
=
CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
5
Alors que, sous forme de fractions à termes entiers, un rationnel admet une infinité de représentants, il
ne possède plus qu’une seule représentation sous forme de nombre décimal. Mais le processus qui réalise
la conversion n’est pas vraiment simple. Remettant son ouvrage sur le métier, l’homo mathematicus
met au point un algorithme 1 qui donne rapidement cette forme décimale; il procède par analogie avec
la division dans IN :
16
15
et
4
11
Inversement tout développement décimal limité ou illimité périodique peut être engendré par une fraction.
Exemple : si x = 1, 2343434 · · · , alors
1000x
10x
990x
x
= 1234, 34 · · ·
=
12, 34 · · ·
=
1222
1222
=
990
L’ensemble des rationnels se note Q .
Ensemble des nombres irrationnels
Un nombre
irrationnel est défini
√ par un développement décimal illimité non périodique.
 1, 41421 · · · = 2
Exemple :
3, 14159 · · · = π

2, 71828 · · · = e
Un nombre ne peut donc être à la fois rationnel et irrationnel : Q ∩ I = φ.
Ensemble des nombres réels
La réunion de l’ensemble des nombres rationnels et de l’ensemble des nombres irrationnels est l’ensemble
des nombres réels : Q ∪ II = IR.
On notera IR0 l’ensemble des réels non nuls.
Exercices
Activité 1.1 À l’origine, les naturels!
1. Cite quelques naturels.
2. Étant donné un naturel n, quel est son prédécesseur (le plus grand naturel strictement inférieur
à n) et quel est son successeur (le plus petit naturel strictement supérieur à n) ?
3. La somme, la différence, le produit et le quotient de deux naturels sont-ils toujours des naturels?
4. Donne des exemples illustrant les propositions suivantes, puis traduis-les sous forme de formules.
(a) L’addition des naturels est partout définie et interne.
(b) L’addition des naturels est associative.
(c) L’addition des naturels est commutative.
(d) o est neutre pour l’addition des naturels.
1 Un
algorithme est une suite d’opérations à effectuer pour accomplir une certaine tâche. Ce mot provient du nom d’un
mathématicien arabe du IX e siècle : AL Khwarizmi
CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
6
(e) La multiplication des naturels est interne et partout définie.
(f) La multiplication des naturels est associative.
(g) La multiplication des naturels est commutative.
(h) 1 est neutre pour la multiplication des naturels.
(i) o est absorbant pour la multiplication des naturels.
(j) Dans l’ensemble des naturels, la multiplication est distributive par rapport à l’addition.
Activité 1.2 En route vers les entiers
1. Quel ensemble la soustraction de deux naturels quelconques engendre-t-elle ?
2. Comment appelles-tu les éléments de cet ensemble et comment le notes-tu?
3. Dans ZZ, la somme et le produit ont-ils les mêmes propriétés que dans IN?
4. Quel est l’opposé de l’entier n ?
5. Que vaut la somme d’un entier et de son opposé?
Activité 1.3 Passage par les rationnels
1. Quel ensemble le quotient de deux entiers quelconques engendre-il?
2. Est-il possible de diviser par 0 , par 1 ?
3. Comment appelles-tu les éléments de cet ensemble et comment le notes-tu?
4. Dans Q , la somme et le produit ont-ils les mêmes propriétés que dans ZZ. ?
5. Quel est l’inverse du rationnel non nul r?
6. Que vaut le produit d’un rationnel non nul par son inverse?
7. Dessine sur un même diagramme IN, IZ et IQ . Donne ensuite pour autant que ce soit possible,
3 exemples de nombres :
CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
7
(a) entiers non naturels,
(b) rationnels non entiers,
(c) rationnels non naturels,
(d) entiers non rationnels,
et place-les dans le diagramme.
Activité 1.4
Utilise ta calculatrice pour obtenir une valeur approchée arrondie à 3 décimales des nombres suivants:
1. a = (1, 36)3
√
2. b = 10
3. c =
¡ 4 ¢4
5. m = (−5)7
3
4. d = π 2
Reporte a, b, c, d, m dans un diagramme où tu auras représenté les ensembles IN, ZZ, Q et IR
Activité 1.5
Ecris sous forme décimale les fractions suivantes :
1.
38
10
3.
7
20
5.
19
6
7.
2
13
2.
4
625
4.
2007
1250
6.
22
7
8.
3
11
CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
1.2
8
Le champ des réels
Les propriétés de l’addition et de la multiplication des réels confèrent à l’ensemble IR une structure
caractéristique.
IR et l’addition
1. L’addition des réels est une opération interne et partout définie :
∀ a, b ∈ IR : a + b ∈ IR.
2. L’addition des réels est une opération associative :
∀ a, b, c ∈ IR : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c.
3. L’addition des réels admet ” 0 ” comme neutre :
∀ a ∈ IR : a + 0 = 0 + a = a.
4. Tout réel admet un opposé (symétrique pour l’addition) :
∀ a ∈ IR : ∃ b ∈ IR : a + b = b + a = 0,
b = −a convient.
5. L’addition des réels est une opération commutative :
∀ a, b ∈ IR : a + b = b + a.
=⇒
(IR, +) est un groupe commutatif.
(1.3)
IR et la multiplication
6. La multiplication des réels est une opération interne et partout définie :
∀ a, b ∈ IR : a.b ∈ IR.
7. La multiplication des réels est une opération associative :
∀ a, b, c ∈ IR : (a.b).c = a.(b.c) = a.b.c
8. La multiplication des réels admet ” 1 ” comme neutre :
∀ a ∈ IR : a.1 = 1.a = a
9. Tout nombre réel non nul admet un inverse (symétrique de la multiplication):
∀ a ∈ IR0 : ∃ b ∈ IR0 : a.b = b.a = 1
b=
1
a
convient.
10. La multiplication des réels est une opération commutative :
∀ a, b ∈ IR : a.b = b.a
=⇒
(IR0 , .) est un groupe commutatif.
(1.4)
CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
9
IR, l’addition et la multiplication
11. La multiplication des réels se distribue sur l’addition des réels :
∀ a, b, c ∈ IR : a.(b + c) = a.b + a.c
(1.5)
Vu les propriétés (1.3), (1.4) et (1.5) , on en déduit que l’addition et la multiplication des réels confèrent
à IR une structure de champ.
1.3
Quelques remarques concernant le zéro
• 0 est neutre pour l’addition (a + 0 = a) mais absorbant pour la multiplication (a.0 = 0) .
• 0 est son propre opposé mais n’a pas d’inverse : on ne peut donc pas diviser par 0 .
• a.b = 0 ⇐⇒ a = 0
a.b 6= 0 ⇐⇒ a 6= 0
•
ou
et
b=0
b 6= 0
– IR+ est l’ensemble des réels positifs ou nul.
– IR− est l’ensemble des réels négatifs ou nul.
– IR+
0 est l’ensemble des réels strictement positifs.
– IR−
0 est l’ensemble des réels strictement négatifs.
1.4
La droite réelle
Une droite d est orientée dès qu’on a marqué sur celle-ci un point O appelé origine et un point U
appelé point-unitaire.
Dès lors, tout point M de d est l’image d’un et un seul réel r appelé son abscisse.
Ayant choisi |OU | comme unité de longueur :
• si M appartient à la demi-droite [OU , l’abscisse de M est un réel positif qui représente la distance
|OM |.
• sinon l’abscisse de M est un réel négatif, opposé de la distance |OM |.
Inversement tout réel r a un et un seul point image sur d.
En résumé : il existe une bijection entre l’ensemble des réels IR et l’ensemble des points de la droite d.
1.5
Relation d’ordre dans IR
Définition 1.6
a ≤ b ⇐⇒ a − b ∈ IR− ⇐⇒ b − a ∈ IR+
+
a < b ⇐⇒ a − b ∈ IR−
0 ⇐⇒ b − a ∈ IR0
CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
10
Propriétés 1.7 La relation ≤ est
• réflexive : ∀ a ∈ IR : a ≤ a;
• antisymétrique : ∀ a, b ∈ IR : a ≤ b et b ≤ a
• transitive : ∀ a, b, c ∈ IR : a ≤ b et b ≤ c
=⇒
=⇒
a=b ;
a ≤ c.
Propriété 1.8 Quels que soient les réels a, b et c :
a < b ⇐⇒ a + c < b + c;
a ≤ b ⇐⇒ a + c ≤ b + c.
Autrement dit, l’addition ou la soustraction d’un même nombre réel à deux nombres réels conserve
l’ordre de ces nombres.
Propriété 1.9 Quels que soient les réels a, b et c, c étant non nul :
¯
¯ a < b ⇐⇒ ac < bc;
• si c > 0, alors ¯¯
a ≤ b ⇐⇒ ac ≤ bc;
¯
¯ a < b ⇐⇒ ac > bc;
• si c < 0, alors ¯¯
a ≤ b ⇐⇒ ac ≥ bc;
Propriété 1.10 (Transitivité) Quels que soient les réels a, b et c :
a<b
et
b < c =⇒ a < c;
a<b
et
b ≤ c =⇒ a < c;
a≤b
et
b ≤ c =⇒ a ≤ c;
Propriété 1.11 Quels que soient les réels a, b, c et d :
a<b
et
c < d =⇒ a + c < b + d.
Démonstration. En effet, par les propriétés 1.8 et 1.10, on a :
¾
a < b =⇒ a + c < b + c
=⇒ a + c < b + d.
c < d =⇒ b + c < b + d
Propriété 1.12 Quels que soient les réels strictement positifs a, b, c et d :
a<b
et
c < d =⇒ ac < bd.
Démonstration. En effet, par les propriétés 1.9 et 1.10, on a :
¾
a < b =⇒ ac < bc
=⇒ ac < bd.
c < d =⇒ bc < bd
Propriété 1.13 Quels que soient les réels a et b :
1.
0 < a < b =⇒ a2 < b2 ;
2.
a < b < 0 =⇒ a2 > b2 .
Démonstration. En effet, par les propriétés 1.9 et 1.10, on a :
CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
1.
a<b
a<b
et
et
a > 0 =⇒ a2 < ab
b > 0 =⇒ ab < b2
2.
a<b
a<b
et
et
a < 0 =⇒ a2 > ab
b < 0 =⇒ ab > b2
11
¾
=⇒ a2 < b2 ;
¾
=⇒ a2 > b2 .
Propriété 1.14 Quels que soient les réels non nuls a et b :
1.
0 < a < b =⇒
1
1
> ;
a
b
2.
a < b < 0 =⇒
1
1
> .
a
b
Démonstration. La démonstration est la même dans les deux cas :

0<a<b 
b
1
1
1
1
a
ou
<
=⇒ < =⇒ > .
=⇒

ab
ab
b
a
a
b
a<b<0
1.6
Distance entre deux réels
La question que nous nous posons est la suivante : “Quelle est la distance entre les nombres 2 et 7 ?”
Il est vrai qu’il s’agit là d’un abus de langage pédagogiquement incorrect. En fait, il faudrait plutôt
dire : “Quelle est la distance entre le point d’abscisse 2 et celui dont l’abscisse est 7 ?”
Représentons ces deux nombres sur la droite réelle.
La distance entre les nombres 2 et 7 est la longueur du segment ou du chemin joignant 2 à 7. C’està-dire 5 .
d(2, 7) désigne la distance entre les nombres 2 et 7.
Recherchons maintenant la distance entre −3 et 4 ?
Là encore, s’impose le recours entre à la droite numérique. C’est l’autre nom de la droite réelle.
La distance entre −3 et 4 vaut 7 . Ceci car pour aller de −3 en 0, on parcourt une distance de 3
unités. Puis pour aller de 0 à 4, on parcourt une distance de 4 unités. Leur somme vaut 7 .
Plus généralement quand on a deux réels x et y , la distance2 entre le premier et le second est le plus
grand moins le plus petit.
Définition 1.15 Soient x et y deux nombres.
2 Dois-je
rappeler qu’une distance est toujours positive?
CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
12
Si x < y alors d(x, y) = y − x .
Si x > y alors d(x, y) = x − y .
Remarquons que la distance entre x et y est égale à la distance entre y et x . Le chemin dans un sens
est aussi long que dans l’autre sens.
∀ x, y : d(x, y) = d(y, x)
1.7
Valeur absolue d’un réel
Définition 1.16 Soit x un réel. La valeur absolue du nombre x est la distance entre 0 et x . Cette
valeur absolue est notée |x| . Ainsi
|x| = d(0, x) = d(x, 0).
En tant que distance, la valeur absolue d’un réel est toujours positive.
Essayons d’exprimer plus simplement cette valeur absolue de x .
1er cas : x est négatif.
Si l’on reporte x sur la droite numérique, on a la chose suivante :
La distance entre x et 0 est égale à −x . Ainsi
|x| = −x.
2ème cas : x est nul.
Si x vaut 0 alors sa valeur absolue est la distance qu’il a par rapport à lui-même. Autrement dit,
|x| = 0.
3ème cas : x est positif.
La distance entre 0 et x est égale à x. Ainsi
|x| = x.
La propriété suivante résume tous ces résultats.
Propriété 1.17 La valeur absolue du réel x , notée

 |x| = x
|x| = 0

|x| = −x
|x| est définie par
si
si
si
x>0
x=0
x<0
Propriété 1.18 Soit x un nombre réel alors
|x| = | − x|.
CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
13
Démonstration. En deux mots, un réel et son opposé ont même valeur absolue. Ceci car les réels x
et −x sont situés à même distance de 0 . 0 est en quelque sorte le milieu de x et −x .
Propriété 1.19 Soit x un nombre réel alors
|x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
Démonstration. La démonstration est évidente car si on a un réel x dont la valeur absolue vaut 0,
alors cela signifie que la distance de celui-ci par rapport à 0 est égale à 0 ...
Propriété 1.20
∀x ∈ IR, ∀r ∈ IR+
0 : |x| = r ⇐⇒ x = r ou x = −r.
Démonstration. Dire que |x| = r signifie que le réel x est situé à une distance r de 0. Or quels
sont les deux réels situés à une distance r de 0 ?
C’est bien sûr, r et −r . Ainsi
|x| = r ⇐⇒ x = ±r.
Ce qu’on voulait !
1.8
Intervalles dans IR
Les différents types d’intervalles
Si a et b sont réels tels que a < b :



fermé [a, b] 











ouvert
]a,
b[












]a,
b]









[a, b[
l’intervalle
est l’ensemble des réels x tels que
[a, +∞[ 











]a,
+∞[












]
−
∞,
a]









] − ∞, a[
Si a est un réel et r un réel strictement positif :
• [a − r, a + r] est un intervalle fermé centré en a;
• ]a − r, a + r[ est un intervalle ouvert centré en a.
a≤x≤b
a<x<b
a<x≤b
a≤x<b
a≤x
a<x
x≤a
x<a























.
CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
14
Remarques
• La notation
{x tels que a < x < b}
désigne l’ensemble des réels x tels que a < x < b (sous-entendu qui sont strictement plus grand
que a et strictement inférieur à b).
• Le fait de dire qu’un intervalle est par exemple ouvert en b signifie que le réel b ne fait pas partie
de celui-ci. Par contre, s’il y avait été fermé alors il en aurait fait partie.
• Les deux réels qui délimitent un intervalle sont appelés bornes de l’intervalle.
• La notation +∞ se lit ”plus l’infini”. Contrairement à ce que l’on pourrait croire,+∞ n’est
pas un nombre. C’est juste un symbole pour désigner le “bout positif et infiniment grand” de
l’ensemble des réels. C’est une sorte d’horizon...
• La notation −∞ se lit “moins l’infini”.
• Le centre des intervalles [a, b] et ]a, b[ est le réel c =
1.9
a+b
2
et
b−a
2
est le rayon des intervalles.
Exercices
1. Définis les ensembles :
(a) ZZ \ IN
2. (a) Décris le réel
(b) Q \ ZZ
√
(c) IR \ Q
2 par des encadrements décimaux successifs jusqu’à 10−4 près.
(b) Fais de même pour les nombres 3, −5, 43 et 3π − 7.
3. Démontre : quels que soient les réels a, b, c et d :
(a < b
et
c > d) =⇒ a − c < b − d;
CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
15
4. (a) Exprime les propriétés de l’addition dans ZZ.
Confèrent-elles à ZZ une structure de groupe commutatif?
(b) Et pour l’addition dans IN?
(c) Et pour la multiplication dans Q ?
(d) On a vu que l’addition et la multiplication confèrent à IR une structure de champ. En est-il
de même pour Q ? Et pour ZZ?
5. Quelle est la valeur absolue de :
(a) −3
(b) (−5)3
√
√
(c) 2 − 3
(d) (−1)17
6. Représenter dans un système d’axes orthonormés la fonction
√
f (x) = x.
7. Résoudre les équations suivantes :
(a) |x| = 4
(b) |x + 2| = 6
(c) |x − 4| = −5
(d) |x − 8| |x + 2| = 0