Autour du paradoxe de Banach - Tarski

Sujet TER licence 3
Autour du paradoxe de Banach - Tarski
(proposé par Zoé Philippe)
Le paradoxe de Banach-Tarski est souvent cité comme l’énoncé le plus surprenant des mathématiques. Dans sa version faible, il affirme qu’ on peut découper
une sphère un nombre fini de morceaux et les recoller pour former deux sphères
de même rayon que celle de départ.
Ce résultat stupéfiant révèle la difficulté de la définition d’une notion correcte
de mesure. Bien sûr, on savait déjà avant cela que la notion physique intuitive de
mesure d’un objet comme somme de la mesure de ses composants "atomiques"
ne pouvait fonctionner. Deux objets ayant le même nombre de points peuvent
ne pas avoir la même mesure : les intervalles A = [0, 1] et B = [0, 2] sont en
bijection (via l’application x 7→ 2x), mais B est deux fois plus grand que A.
On pourrait imputer cette apparente contradiction à l’utilisation de l’infini
(indénombrable !) dans le découpage point par point des intervalles. Toute la
saveur du résultat de Banach-Tarski réside dans l’utilisation d’un nombre fini
de morceaux en lesquels découper la sphère pour reconstruire deux sphères identiques (on peut montrer que le nombre minimal de morceaux requis est cinq).
Dans ce mémoire, on se propose d’étudier la démonstration de ce théorème.
Le point de départ est l’utilisation de l’axiome du choix pour construire des
ensembles non mesurables de R3 , invariants par l’action des isométries de R3 .
C’est la conjonction de ces deux aspects axiomatique (axiome du choix, théorie
de la mesure) et algébrique/géométrique (groupe des isométries de R3 ) qui fait
la richesse du sujet. Selon les gouts et la motivation des étudiants, on pourra
développer plus l’un ou l’autre de ces points de vue.
Références :
Pierre de la Harpe, Mesures finiment additives et paradoxes, in Autour du centenaire de Lebesgue, Panoramas et Synthèses 18, SMF 2004.
Stan Wagon, The Banach-Tarski Paradox, Cambridge University Press.
Marc Guinot, Le paradoxe de Banach-Tarski, Aléas.
3 sujets “projets tuteurés”, L3 Mathématiques, 2014
proposś par A. Sebbar
Sujet1
Théorèmes de Tannery :
Les théorèmes de J. Tannery sont une sorte de théorèmes de convergence
dominée pour les séries numériques. On peut les utiliser pour calculer des
sommes remarquables de séries ou pour trouver les valeurs de certains produits infinis. Par exemple
Q∞ 1
n=1 1 + 4n2 −1
π=
P∞
1
ou
n=1 4n2 −1
32
52
22
π2
= 2
···
6
2 − 1 32 − 1 5 2 − 1
(seuls les nombres premiers apparaissent au second membre)
Sujet2
Les polynômes de Hermite :
Les polynômes de Hermite sont définis par
n
2 d
2
Hn (x) = (−1)n ex
e−x .
n
dx
Ils ont de nombreuses propriétés spectrales et arithmétiques. Pour établir
ces propriétés on doit faire appel au cours sur les espaces de Hilbert du
semestre 6 et à celui de l’intégration du semestre 5. Ils interviennent dans
l’étude de l’oscillateur harmonique en Mécanique Quantique.
Sujet2
La formule de Faà di bruno :
On connaı̂t la formule de Leibniz donnant la dérivée nième d’un produit
f g de deux fonctions. La formule de Faà di bruno donne la dérivée nième de
la composée f ◦ g. Cette formule du calcul différentiel a été redécouverte par
plusieurs auteurs et a plusieurs facettes (dont de remarquables propriétés
combinatoires).
1
Introduction aux générateurs pseudo-aléatoires,
sujet proposé par Jean-Marc Couveignes
Les algorithmes probabilistes font des choix aléatoires en cours d’exécution. L’efficacité
de ces algorithmes dépend de la qualité des générateurs aléatoires utilisés pour orienter ces
choix. Ces générateurs pseudo-aléatoires robustes sont aussi indispensables à la plupart des
protocoles cryptographiques.
Concevoir des générateurs pseudo-aléatoires rapides et sûrs (imprévisibles) est une préoccupation majeure en cryptographie et en algorithmique.
Dans ce travail, on précisera les enjeux, les définitions, et on étudiera quelques classes
de générateurs pseudo-aléatoires. Par exemple les générateurs congruentiels sont rapides et
peu sûrs. Et les générateurs construits à partir de fonctions à sens-unique sont sûrs mais
souvent lents.
On terminera par un développement à choisir parmi les nombreux possibles (étude d’un
standard, complexité des opérations arithmétiques requises, cryptanalyse d’un exemple,
etc.)
Références
[1] L. Blum, M. Blum, and M. Shub.
A simple unpredictable pseudo-random
number generator.
SIAM Journal on Computing, 15 :364–383, 1986.
www.plouffe.fr/simon/math/BlumBlumShub.pdf ?
[2] Oded Goldreich. Modern Cryptography, Probabilistic Proofs and Pseudorandomness.
www.wisdom.weizmann.ac.il/ oded/PDF/mcppp-v2.pdf
[3] Donald Knuth. The art of computer programming. Volume 2.
[4] Victor Shoup. A computational introduction to number theory and algebra. Cambridge
University Press, 2006, http ://shoup.net/ntb/
Fibration de Hopf et homotopie des sphères
(Sujet de TER 2014)
Responsable du sujet : Christophe Bavard
[email protected]
Laboratoire d’accueil : Institut de Mathématique de Bordeaux
Sujet : Fibration de Hopf et homotopie des sphères
Description : Soit Sn la sphère unité de l’espace eucidien de dimension n + 1. On étudiera
les applications continues entre les sphères, en autorisant des déformations continues (ou homotopies). Ainsi, pour k, n ≥ 1, l’ensemble des classes d’homotopies d’applications (pointées) de Sk
dans Sn forment un groupe noté πk (Sn ). L’objectif du sujet est de détailler cette construction,
puis de déterminer le groupe πk (Sn ) pour certaines valeurs de (k, n). On étudiera particulièrement une application fondamentale h : S3 → S2 , dite « fibration de Hopf », qui définit un
élément non trivial du groupe π3 (S2 ). Des applications à la topologie de Rn pourront également
être abordées.
Prérequis : Notions élémentaires de topologie et de géométrie différentielle.
Niveau : L3
Références :
[1] James Dugundji. Topology. Allyn and Bacon Inc., Boston, Mass., 1966.
[2] John W. Milnor. Topology from the differentiable viewpoint. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. Based on notes by David W.
Weaver, Revised reprint of the 1965 original.
Résolubilité par radicaux des équations polynomiales
Sujet proposé par Bruno Winckler
Une équation polynomiale est résoluble (par radicaux) si ses solutions s’expriment à l’aide de sommes, différences, produits, quotients et racines n-ièmes
des coefficients du polynôme qui la définit. Les formules enseignées au lycée pour
déterminer les solutions des équations polynomiales du second degré montrent
qu’elles sont résolubles, et on sait qu’il en est de même pour les degrés 3 et 4 ;
au-delà, ce n’est plus vrai en toute généralité. À l’aide de la théorie de Galois,
réduite à la plus grande simplicité possible, on étudiera la question plus précisément, afin d’exhiber un critère pour déterminer la résolubilité d’une équation
polynomiale, voire expliciter ses solutions quand c’est possible. L’application de
ces mêmes idées à d’autres champs des mathématiques démontrera, si le temps
le permet, la grande latitude des idées de Galois.
Références :
1. John Stillwell, Galois theory for beginners, The American Mathematical
Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22–27.
2. Yvan Gozard, Théorie de Galois, Ellipses.
3. Jean-Pierre Escofier, Théorie de Galois, Dunod.
1
Proposition de sujets pour TER en L3
Clément Dubuisson
Je prendrai au plus 2 groupes. Les 3 sujets proposés utilisent plus ou moins des notions vus pendant le cours sur les
espaces de Hilbert du semestre 6 en L3. Ils fournissent donc de nombreuses occasions de s’entraîner à manipuler les notions
vus et constituent un complément au cours. Nous utiliserons des notions qui seront vues plus en détails en Master 1.
Théorème spectral et construction d’un déterminant en dimension infinie.
Dans un espace euclidien (donc de dimension finie), le théorème spectral dit qu’une matrice A représentant un endormorphisme f autoadjoint est diagonalisable dans une base orthogonale :
∃P ∈ On (R), A = P DP −1 = P DP ⊥
où D est une matrice diagonale. Cela est aussi vrai si le corps de base est C.
Une question que l’on peut se poser est si cela est encore possible dans un espace de dimension infinie. Une généralisation des espaces euclidiens sont les espaces de Hilbert - espace vectoriel complet muni d’un produit scalaire. Nous verrons
que le théorème spectral est toujours vrai pour les opérateurs autoadjoints compacts - notion un peu plus forte que celle de
continuité pour les applicatins linéaires - définis sur un espace de Hilbert.
Le but de ce TER, en plus de la généralisation du théorème spectral, est de montrer que, dans le cas d’un espace de
Hilbert, on peut définir un déterminant pour certains sous-espaces de l’ensemble des opérateurs compacts.
références : Gohberg-Goldberg Basic operator Theory, Gohberg-Krein Introduction to the theory of linear nonselfadjoint operators. Sur la page du théorème spectral de wikipédia est énoncé le cas qui nous intéresse en dimension infinie.
Formule de la trace pour opérateurs intégraux de L2 ([a, b]).
En dimension finie, un résultat concernant les matrices est le suivant : A = aij ∈ Mn (C) de valeurs propres λ1 , · · · , λn
n
n
X
X
comptées avec multiplicité. Alors
ajj =
λj .
j=1
j=1
Dans ce TER nous nous intéresserons aux applications linéaires K définies ci-dessous sur L2 ([a, b]) (espace de dimension infinie donc) pour montrer un analogue continu du résultat précédent. Pour f ∈ L2 ([a, b]), on définit K par
Kf (t) =
Z
b
k(t, s)f (s)ds pour t ∈ [a, b].
a
On l’appelle opérateur intégral (de Hilbert-Schmidt) de noyau k.
L’objectif de ce TER est d’arriver au résultat suivant :
Z bZ b
2
k(t, s)f (s)f (t)dsdt ≥ 0, alors l’opérateur K de noyau k vérifie la formule de
Si k est continue et ∀f ∈ L ([a, b]),
a
a
Z b
X
k(t, t)dt =
λj .
la trace :
a
j
Nous montrerons ce résultat en utilisant le théorème de Mercer : On suppose k continue.
Z bZ b
2
Si ∀f ∈ L ([a, b]),
k(t, s)f (s)f (t)dsdt ≥ 0 alors il existe une famille de vecteurs propres (ϕn )N et de valeurs
a
a
X
propres (λn )N de K telle que k(t, s) =
λj ϕj (t)ϕj (s), et la série converge absolument et uniformément sur [a, b]×[a, b].
j∈N
Nous admettrons le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints compacts (objet du premier sujet).
référence : Gohberg-Goldberg Basic operator Theory. Il existe une petite page wikipédia sur le théorème de Mercer.
1
Polynômes orthogonaux sur le cercle unité.
On se place dans l’espace de Hilbert H = L2 (T, dµ) où T = {z ∈ C, |z| = 1} est le cercle unité de C et µ une mesure
dθ
de probabilité sur le cercle unité (par exemple la mesure de Lebesgue normalisée z = eiθ , dµ(z) = 2π
). Si µ n’est pas
2
triviale alors la famille {1, z, z , · · · } est libre dans H et donc on peut l’orthogonaliser par le procédé de Gram-Schmidt :
cela donne une famille de polynômes orthogonaux (ϕn )n∈Z .
Le théorème de Weierstrass (version trigonométrique) nous dit qu’une fonction continue 2π-périodique à valeurs complexes est limite uniforme de polynômes trigonométriques (i.e. des z n = einθ , n ∈ Z).
L’objectif de ce TER, en plus de nous familiariser avec les polynômes ϕn , est de montrer que, sous une certaine condition, les polynômes (z n )n∈Z ne sont pas dense dans L2 (T, dµ).
référence : Simon Orthogonal polynomials on the unit circle. Il existe une page wikipédia succincte en anglais : orthogonal polynomials on the unit circle.
2
Proposition de Projet Tutoré L3
Modélisation d'un cas de compétition entre deux espèces de phytoplancton
Lieux du stage :
UMR CNRS 5252 IMB
Institut de Mathématiques de Bordeaux
351 Cours de la Libération
33405 Talence cedex
Direction du stage :
Philippe Thieullen
[email protected]
Projet :
La compétition de plusieurs espèces sur une même ressource limitante tend à faire disparaître une
de deux espèces. On constate cependant que, dans de nombreux écosystèmes aquatiques, plusieurs
espèces de phytoplancton peuvent coexister à long terme alors qu'elles doivent partager les mêmes
ressources en quantité limitée. L'objet du mémoire est de faire le point sur cet apparent « paradoxe
du plancton ». Dans une première partie, on étudiera l 'article de Perruche, Rivière, Pondaven et
Carton et on cherchera à reproduire sur logiciel les résultats graphiques publiés. Il sera important,
en remontant la bibliographie, de justifier comment les auteurs en sont arrivés au choix du modèle
proposé. Dans une seconde partie, on fera le point sur l'état de l'art des différents modèles de
dynamique. Ce travail consistera en une analyse approfondie de la littérature publiée à la suite de
l'article, sur la modélisation mathématique du compartiment du phytoplancton.
Bibliographie :
C. Perruche, P. Rivière, P. Pondaven, X. Carton, Phytoplankton competition and coexistence :
Intrinsic ecosystem dynamics impact of vertical mixing, Journal of Marine Systems, Vol. 81 (2010),
99-111.
C. Perruche1, P.Rivière, G. Lapeyre, X.Carton and Ph. Pondaven, Effects of surface quasigeostrophic turbulence on phytoplankton competition and coexistence, Journal of Marine Research,
Vol. 69 (2011), 105–135.
Sujets de
≪
projet tuteuré ≫ de L3 mathématiques proposés par
P. Mounoud
Sujet 1 : Théorème de Jordan
Le théorème de Jordan affirme que toute partie du plan homéomorphe à un cercle partage
le plan en exactement deux parties, ou si on préfère : pour toute application f : S 1 → R2
continue et injective, R2 r f (S 1 ) a deux composantes connexes.
Ce résultat à l’air évident mais sa preuve se révèle être assez subtile. La difficulté vient
du fait que les applications continues peuvent être assez sauvages. Il existe par exemple
des applications continues et surjectives (mais non injectives) de l’intervalle [0, 1] dans le
carré [0, 1] × [0, 1] (courbes de Peano) ou encore des applications continues injectives de
[0, 1] dans R2 dont l’image est de mesure positive (courbes d’Osgood).
Dans ce mémoire on demontrera le théorème de Jordan par l’une ou l’autre des méthodes
possibles. Ces méthodes sont toutes proches (au moins dans l’esprit) du cours de Géométrie
et Topologie, il est donc conseillé de suivre ce cours pour choisir ce sujet. Par exemple. la
notion de groupe fondamental d’un espace topologique, notion qui sera introduite dans ce
cours, joue un grand rôle dans certaines preuves.
Références : Jean-Yves Le Dimet, Le plan, la sphère et le théorème de Jordan, Ellipses
2012.
Sujet 2 : Ellipsoı̈des
Les ellipsoı̈des d’un espace euclidien E sont les images des sphères par les transformations
affines bijectives.
Dans un premier temps il s’agira de montrer les théorèmes de John et de Löwner. Ils
affirment que tout compact convexe de E d’intérieur non vide contient (respectivement est
contenu dans) un unique ellipsoı̈de de volume maximal (resp. minimal).
Il s’agira ensuite de donner des applications de ces résultats. Notamment de comprendre
la ≪ méthode de l’ellipsoı̈de ≫. Il s’agit d’un algorithme servant à déterminer si un ensemble
K de Rn déterminé par k inégalités linéaires (K est donc un polytope convexe) est vide.
Références :
Marcel Berger, Géometrie, Fernand-Nathan 1990,
Grötschel, Lovász et Schrijver, Geometric Algorithms and combinatorial optimization, Springer Verlag, 1988.