Autour du paradoxe de Banach - Tarski

Sujet TER licence 3
Autour du paradoxe de Banach - Tarski
(proposé par Zoé Philippe)
Le paradoxe de Banach-Tarski est souvent cité comme l’énoncé le plus surpre-
nant des mathématiques. Dans sa version faible, il affirme qu’ on peut découper
une sphère un nombre fini de morceaux et les recoller pour former deux sphères
de même rayon que celle de départ.
Ce résultat stupéfiant révèle la difficulté de la définition d’une notion correcte
de mesure. Bien sûr, on savait déjà avant cela que la notion physique intuitive de
mesure d’un objet comme somme de la mesure de ses composants "atomiques"
ne pouvait fonctionner. Deux objets ayant le même nombre de points peuvent
ne pas avoir la même mesure : les intervalles A= [0,1] et B= [0,2] sont en
bijection (via l’application x7→ 2x), mais Best deux fois plus grand que A.
On pourrait imputer cette apparente contradiction à l’utilisation de l’infini
(indénombrable !) dans le découpage point par point des intervalles. Toute la
saveur du résultat de Banach-Tarski réside dans l’utilisation d’un nombre fini
de morceaux en lesquels découper la sphère pour reconstruire deux sphères iden-
tiques (on peut montrer que le nombre minimal de morceaux requis est cinq).
Dans ce mémoire, on se propose d’étudier la démonstration de ce théorème.
Le point de départ est l’utilisation de l’axiome du choix pour construire des
ensembles non mesurables de R3, invariants par l’action des isométries de R3.
C’est la conjonction de ces deux aspects axiomatique (axiome du choix, théorie
de la mesure) et algébrique/géométrique (groupe des isométries de R3) qui fait
la richesse du sujet. Selon les gouts et la motivation des étudiants, on pourra
développer plus l’un ou l’autre de ces points de vue.
Références :
Pierre de la Harpe, Mesures finiment additives et paradoxes, in Autour du cen-
tenaire de Lebesgue, Panoramas et Synthèses 18, SMF 2004.
Stan Wagon, The Banach-Tarski Paradox, Cambridge University Press.
Marc Guinot, Le paradoxe de Banach-Tarski, Aléas.

3 sujets “projets tuteur´es”, L3 Math´ematiques, 2014
propos´s par A. Sebbar
Sujet1 Th´eor`emes de Tannery :
Les th´eor`emes de J. Tannery sont une sorte de th´eor`emes de convergence
domin´ee pour les s´eries num´eriques. On peut les utiliser pour calculer des
sommes remarquables de s´eries ou pour trouver les valeurs de certains pro-
duits infinis. Par exemple
π=Q∞
n=1 1 + 1
4n2−1
P∞
n=1
1
4n2−1
ou π2
6=22 22−1
32
32−1
52
52−1· · ·
(seuls les nombres premiers apparaissent au second membre)
Sujet2 Les polynˆomes de Hermite :
Les polynˆomes de Hermite sont d´efinis par
Hn(x) = (−1)nex2dn
dxne−x2.
Ils ont de nombreuses propri´et´es spectrales et arithm´etiques. Pour ´etablir
ces propri´et´es on doit faire appel au cours sur les espaces de Hilbert du
semestre 6 et `a celui de l’int´egration du semestre 5. Ils interviennent dans
l’´etude de l’oscillateur harmonique en M´ecanique Quantique.
Sujet2 La formule de Fa`a di bruno :
On connaˆıt la formule de Leibniz donnant la d´eriv´ee ni`eme d’un produit
fg de deux fonctions. La formule de Fa`a di bruno donne la d´eriv´ee ni`eme de
la compos´ee f◦g. Cette formule du calcul diff´erentiel a ´et´e red´ecouverte par
plusieurs auteurs et a plusieurs facettes (dont de remarquables propri´et´es
combinatoires).
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Introduction aux générateurs pseudo-aléatoires,
sujet proposé par Jean-Marc Couveignes
Les algorithmes probabilistes font des choix aléatoires en cours d’exécution. L’efficacité
de ces algorithmes dépend de la qualité des générateurs aléatoires utilisés pour orienter ces
choix. Ces générateurs pseudo-aléatoires robustes sont aussi indispensables à la plupart des
protocoles cryptographiques.
Concevoir des générateurs pseudo-aléatoires rapides et sûrs (imprévisibles) est une pré-
occupation majeure en cryptographie et en algorithmique.
Dans ce travail, on précisera les enjeux, les définitions, et on étudiera quelques classes
de générateurs pseudo-aléatoires. Par exemple les générateurs congruentiels sont rapides et
peu sûrs. Et les générateurs construits à partir de fonctions à sens-unique sont sûrs mais
souvent lents.
On terminera par un développement à choisir parmi les nombreux possibles (étude d’un
standard, complexité des opérations arithmétiques requises, cryptanalyse d’un exemple,
etc.)
Références
[1] L. Blum, M. Blum, and M. Shub. A simple unpredictable pseudo-random
number generator. SIAM Journal on Computing, 15 :364–383, 1986.
www.plouffe.fr/simon/math/BlumBlumShub.pdf ?
[2] Oded Goldreich. Modern Cryptography, Probabilistic Proofs and Pseudorandomness.
www.wisdom.weizmann.ac.il/ oded/PDF/mcppp-v2.pdf
[3] Donald Knuth. The art of computer programming. Volume 2.
[4] Victor Shoup. A computational introduction to number theory and algebra. Cambridge
University Press, 2006, http ://shoup.net/ntb/

Fibration de Hopf et homotopie des sphères
(Sujet de TER 2014)
Responsable du sujet : Christophe Bavard
Christophe.Bav[email protected]ordeaux1.fr
Laboratoire d’accueil : Institut de Mathématique de Bordeaux
Sujet : Fibration de Hopf et homotopie des sphères
Description : Soit Snla sphère unité de l’espace eucidien de dimension n+ 1. On étudiera
les applications continues entre les sphères, en autorisant des déformations continues (ou homo-
topies). Ainsi, pour k, n ≥1, l’ensemble des classes d’homotopies d’applications (pointées) de Sk
dans Snforment un groupe noté πk(Sn). L’objectif du sujet est de détailler cette construction,
puis de déterminer le groupe πk(Sn)pour certaines valeurs de (k, n). On étudiera particuliè-
rement une application fondamentale h:S3→S2, dite « fibration de Hopf », qui définit un
élément non trivial du groupe π3(S2). Des applications à la topologie de Rnpourront également
être abordées.
Prérequis : Notions élémentaires de topologie et de géométrie différentielle.
Niveau : L3
Références :
[1] James Dugundji. Topology. Allyn and Bacon Inc., Boston, Mass., 1966.
[2] John W. Milnor. Topology from the differentiable viewpoint. Princeton Landmarks in Ma-
thematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. Based on notes by David W.
Weaver, Revised reprint of the 1965 original.

Résolubilité par radicaux des équations polynomiales
Sujet proposé par Bruno Winckler
Une équation polynomiale est résoluble (par radicaux) si ses solutions s’ex-
priment à l’aide de sommes, différences, produits, quotients et racines n-ièmes
des coefficients du polynôme qui la définit. Les formules enseignées au lycée pour
déterminer les solutions des équations polynomiales du second degré montrent
qu’elles sont résolubles, et on sait qu’il en est de même pour les degrés 3 et 4 ;
au-delà, ce n’est plus vrai en toute généralité. À l’aide de la théorie de Galois,
réduite à la plus grande simplicité possible, on étudiera la question plus préci-
sément, afin d’exhiber un critère pour déterminer la résolubilité d’une équation
polynomiale, voire expliciter ses solutions quand c’est possible. L’application de
ces mêmes idées à d’autres champs des mathématiques démontrera, si le temps
le permet, la grande latitude des idées de Galois.
Références :
1. John Stillwell, Galois theory for beginners, The American Mathematical
Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22–27.
2. Yvan Gozard, Théorie de Galois, Ellipses.
3. Jean-Pierre Escofier, Théorie de Galois, Dunod.
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