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Cours Arithmétique Page 5 sur 19 Adama Traoré Professeur Lycée Technique
Ensemble ℤ
ℤ ℤ
ℤ des entiers relatifs
.
ℤ ={….. ; –3 ; –2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ………}
I –
Extension de la division euclidienne à
ℤ:
Théorème : Quels que soient les entiers relatifs a et b (a ≠
≠≠
≠b) il existe un couple
unique (q ;r) d’entiers relatifs tel que a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|.
Exemple : soit a = – 1992 et b = – 5 trouver (q ; r) ε ℤ
2
tel que :
a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|. Effectuons la division euclidienne de |a| par |b|.
1992 = 398
×
5 + 2 ⇔ – 1992 = – 398
×
5 – 2 ⇔ – 1992 = (– 5)
×
398
+ 3
– 5
⇔ – 1992 = (– 5)
× (
398 + 1) + 3 ⇔ – 1992 = (– 5)
× (
399) + 3 ;
donc q = 399 et r = 3.
1 – Ensemble des multiples d’un nombre :
- Définition : Soit a et b deux entiers relatifs ; a est un multiple de b si et
seulement si il existe un nombre entier relatif k tel que a = k b.
. (a est multiple de b ) ⇔ (Ů ! k ε ℤ / a = k
×
b) .
. (a est multiple de b, b≠
≠≠
≠0 ) ⇔ (
a
a pour reste 0) .
Remarque :
L’ensemble des multiples de a est noté : aℤ ={…. ;–2a ;–a ;0 ; a ; 2a ;….}.
Exemple : 7ℤ ={…. ; –14 ; –7 ; 0 ; 7 ; 14 ;….} ; 0ℤ ={0 } ; 1ℤ = ℤ.
2 – Ensemble des diviseurs d’un nombre :
a) Définition : Soit a ε ℤ et b ε ℤ*.
On dit que b est un diviseur de a, ou que b divise a si et seulement si a est un
multiple de b. On note : b/a « lire b divise a ».
b) Propriétés : La relation (../..) est une relation d’ordre partiel sur ℕ*.
c) Notations : L’ensemble des diviseurs d’un entier relatif est noté :
D
a
ou div (a).
Dans la recherche de l’ensemble des diviseurs d’un nombre on se limitera aux
diviseurs positifs.
Exemples : div+(10) = {1 ; 2 ; 5 ; 10 } ; div (0) = {… ; –2 ; –1 ; 1 ; 2 ; …}.