21-02-2017

Définitions de ≤et |sur Z.
Definition
Soient n,mdeux entiers. On écrit n≤m(ou m≥n) s’il existe un
r∈Ntel que n+r=m.
Definition
Soient n,mdeux entiers. On écrit n|ms’il existe un r∈Ztel que
nr =m.
Si n≤mon dit "nest plus petit que ou égal à m", ou "mest plus
grand que ou égal à n".
Si n|mon dit que "ndivise m", ou "mest divisible par n".
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Théorème
Soient a,b,c trois nombres entiers.
(i) Si a ≤b et b ≤c alors a ≤c.
(ii) Si a ≤b alors a +c≤b+c.
(iii) Si a ≤b et b ≤a alors a =b
(iv) Si a ≤b et c ∈Nalors ac ≤bc
(v) Si a ≤b alors −b≤ −a.
Théorème
Soient a,b,c trois nombres entiers.
(i) Si a|b et b|c alors a|c.
(ii) Si a|b alors ac|bc et a|bc.
(iii) Si a|b et b|a alors |a|=|b|.
(iv) Si a|b et a|c alors a|(b+c).
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Démonstration.
(i) Si a≤bet b≤cil existe r,s∈Ntels que a+r=bet
b+s=c. Donc a+ (r+s) = b+s=cet r+s∈Ndonc a≤c.
Si a|bet b|cil existe r,s∈Ztels que ar =bet bs =c. Donc
a(rs) = bs =cet rs ∈Zdonc a|c.
(ii) Si a≤balors il existe r∈Ntel que a+r=b. Donc
(a+c) + r=b+cet a+c≤b+c.
Si a|balors il existe r∈Ztel que ar =b. Donc (ac)r=bc et
ac|bc. Aussi a|ac donc par (i) : a|bc.
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(suite).
(iii) Si a≤bet b≤a, ils existent r,s∈Ntels que a+r=bet
b+s=a. Donc a+r+s=b+s=aet r=−s. Mais r,s∈N,
donc r=s=0, ou a=b.
Si a|bet b|a, ils existent deux entiers r,stels que ar =bet
bs =a. Donc ars =bs =aet a(rs −1) = 0. Si a=0, alors
b=ar =0 aussi. Si a6=0 alors rs =1 donc r=s=1 ou
r=s=−1. Donc a=bou a=−b.
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(suite).
(iv Si a≤bil existe r∈Ntel que a+r=b. Si aussi c∈Nalors
rc ∈Net ac +rc = (a+r)c=bc, donc ac ≤bc.
Si a|bet a|calors il existe r,s∈Ztels que ar =bet as =c.
Donc a(r+s) = ar +as =b+cet a|(b+c).
(v) Si a≤b, il existe r∈Ntel que a+r=b. Donc −b+r=−a
et −b≤ −a.
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