Matrices : transformations élémentaires

MPSI-´ El´ements de cours Matrices : transformations ´el´ementaires 24 mars 2017
Matrices : transformations ´el´ementaires
R´edaction incompl`ete. Version beta
Plan
I. Algorithmes ................................. 1
1. Algorithme de Gauss ............................. 1
1. Op´erations ´el´ementaires .......................... 1
2. Principe g´en´eral ............................. 1
2. Algorithme I : pivot partiel .......................... 2
3. Algorithme I’ : pivot partiel ´etendu ....................... 2
4. Algorithme II : pivot total ........................... 3
II. Matrices et op´erations ´el´ementaires ........................ 4
III. Applications ................................. 4
1. Invariants ................................. 4
2. Inversibilit´e d’une matrice carr´ee ........................ 5
3. Inversion d’une matrice carr´ee inversible ...................... 5
4. R´esolution d’une ´equation lin´eaire ........................ 6
5. Calcul d’un rang .............................. 6
Index
– algorithme de Gauss, 1
– algorithme du pivot partiel, 2
– algorithme du pivot partiel ´etendu, 2
– algorithme du pivot total, 3
– invariant par ´equivalence, 4
– invariant par transformation ´el´ementaire, 4
– matrices d’op´erations ´el´ementaires, 4
– op´erations ´el´ementaires, 1
– pivot, 1
– syst`eme de Cramer, 6
I. Algorithmes
1. Algorithme de Gauss
1. Op´erations ´el´ementaires
On appelle op´erations ´el´ementaires les transformations suivantes d’une matrice `a plignes et qcolonnes en une
matrice `a plignes et qcolonnes.
– Permuter deux lignes.
– Permuter deux colonnes.
– Pour iet i0entre 1 et pet λscalaire quelconque : ajouter `a la ligne ila ligne i0multipli´ee par λ. Bien noter
que seule la ligne iest modifi´ee.
– Pour jet j0entre 1 et qet λscalaire quelconque : ajouter `a la colonne jla ligne j0multipli´ee par λ. Bien
noter que seule la colonne jest modifi´ee.
– Multiplier une ligne par un scalaire λnon nul.
– Multiplier une colonne par un scalaire λnon nul.
Les op´erations ´el´ementaires sont r´eversibles ; c’est `a dire que si Aest la matrice de d´epart et A0une matrice
obtenue `a partir de Apar une op´eration ´el´ementaire, on peut, par op´eration ´el´ementaire, transformer A0en A.
Par exemple, pour le troisi`eme type, il suffit d’ajouter −λfois la ligne i0`a la ligne i.
2. Principe g´en´eral
L’algorithme de Gauss transforme une matrice en utilisant exclusivement des op´erations ´el´ementaires.
Le diagramme de la figure 1pr´esente un algorithme de Gauss tr`es g´en´eral utilisant des proc´edures Pivot,Nettoie et
Permute. Les diverses variantes s’obtiennent en modifiant ces proc´edures. Un tableau `a deux dimensions repr´esente
une matrice `a plignes et qcolonnes. Il est commode d’utiliser des variables globales (par exemple A,p,q) pour
d´esigner le tableau et ses dimensions. Les variables iet cle sont locales.
– La proc´edure Pivot(i) renvoie une cl´e du tableau dont la valeur (appel´ee pivot) est non nulle. Cette cl´e est
cherch´ee dans une partie de la matrice. Plusieurs strat´egies sont possibles.
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
1R´emy Nicolai C2234

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i <−− 1
i <= min(p,q) cle <−− Pivot(i) cle <> 0 Permute(i,cle) Nettoie(i)
i<−− i+1
retour
retour fin
V
F
V
F
Fig. 1: Algorithme de Gauss
– La proc´edure Permute(i,cle) ´echange des lignes (et ´eventuellement des colonnes) pour placer la valeur
pivot en position (i, i).
– La proc´edure Nettoie fait apparaitre des 0 dans une partie de la colonne i. Pour cela elle utilise exclusivement
des transformations ´el´ementaires. de la forme
Lj←− Lj+λLi
Les proc´edures, la forme de la matrice `a la fin et ce que renvoie l’algorithme sont pr´ecis´es dans les variantes.
Il est important de noter que l’algorithme s’arrˆete soit parceque le id´epasse pou qsoit parceque la recherche d’un
pivot non nul ´echoue.
2. Algorithme I : pivot partiel
La proc´edure Pivot(i) cherche une valeur pivot non nulle dans la bas de la colonne courante c’est dire parmi
les termes ai,i, ai+1,i,· · · ap,i. Pusieurs strat´egies sont possibles. Par exemple, pour un calcul «`a la main », on
pr´ef`erera une valeurcomme 1 ou −1. Dans le cadre d’un calcul num´erique, il vaut mieux choisir le pivot le plus
grand possible pour minimiser les erreurs d’arrond.
La proc´edure Nettoie (figure 2) fait apparaitre des 0 dans le bas de la colonne courante. Pour cela elle effectue
Li0←Li0−ai0,i
ai,i
Li
pour i0de i+ 1 `a p.
Trois formes sont possibles pour la matrice finale suivant que l’algorithme termine avec i>p,i>qou par l‘´echec
de la recherche d’un pivot non nul.
6= 0 . . .
06= 0 . .
.
.
..... .
0· · · 06= 0 . .
6= 0
06= 0
0...
.
.
....6= 0
0 0
6= 0
0...
.
.
....6= 0
0 0
.
.
..
.
.. .
0 0 0 . .
3. Algorithme I’ : pivot partiel ´etendu
La diff´erence avec la version pr´ec´edente porte uniquement sur la proc´edure Nettoie. L’appel Nettoie(i)
proc`ede comme dans la premi`ere version
Li0←Li0−ai0,i
ai,i
Li
mais pour tous les i0de 1 `a psauf i. Pour la ligne i, elle effectue
Li←1
ai,i
Li
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
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· · ·
· · ·
· · ·
· · · a1p
ai+1 p
· · ·
ai+2 p
ai−1p
.
.
.
...
Ligne i
ap p
· · · ai p · · ·0
ai+1 p−1 ai+1 i+1 0
ai+2 p−1 ai+2 i+1 0ai+2 i
ap p−1 ap i+1 0ap i
ai+1 i
ai−1i+1 0ai−1i
a1i+1 a1 1 a1ia1p−1
ai−1i−1ai−1p−1
0
0
0
ai p−1 ai i+1 0ai i
a1i−1
Fig. 2: Proc´edure «Nettoie »pour l’algorithme I
Ainsi la colonne ine contient que des 0 sauf un 1 en position i, i.
La forme de la matrice `a la fin est, pour les trois cas possibles,
1 0 0 . .
0 1 .
.
.. .
.
.
....0. .
0· · · 0 1 . .
1
0 1
0...
.
.
....1
0 0
1 0
0...
.
.
....1
0 0
.
.
..
.
.. .
0 0 0 . .
4. Algorithme II : pivot total
L’algorithme du pivot total se diff´erencie des algorithmes pr´ec´edents par la zone de recherche du pivot non nul
et par la proc´edure de permutation.
L’appel Pivot(i) cherche une valeur pivot non nulle dans tout le bas de la matrice et pas seulement dans la
colonne i. La proc´edure renvoie donc un couple (i0, j0) tel que i≤i0≤p,i≤j0≤qet ai0,j06= 0.
La proc´edure de permutation ´echange les lignes iet i0et les colonnes iet j0de mani`ere `a placer la valeur pivot
non nulle en position i, i.
La proc´edure de nettoyage est la mˆeme que pour le pivot partiel.
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La matrice `a la fin de l’algorithme est de la forme suivante
6= 0 . . .
06= 0 . .
.
.
..... .
0· · · 06= 0 . .
6= 0
06= 0
0...
.
.
....6= 0
0 0
6= 0
0...
.
.
....6= 0 . . .
0 0 · · · 0
.
.
..
.
..
.
.
0 0 0 · · · 0
II. Matrices et op´erations ´el´ementaires
D´efinition. Soit nun entier naturel non nuls. Toutes les matrices d´efinies ici sont `a nlignes et ncolonnes. Elles
sont obtenues par des transformations ´el´ementaires de la matrice identit´e In. On d´esigne par iet jdes entiers
distincts entre 1 et n.
–Pi,j (n) est obtenue `a partir de Inen ´echangeant les lignes iet j.
–Ai,j,λ(n) est obtenue `a partir de Inen ajoutant `a la ligne ila ligne jmultipli´ee par λ(scalaire quelconque).
Elle est donc ´egale `a Insauf pour le terme i, j qui est ´egal `a λ.
–Di,λ(n) est obtenue `a partir de Inen multipliant par λ(scalaire non nul) la ligne ide In.
Les op´erations ´el´ementaires portant sur les lignes sont obtenues par multiplication `a gauche par des matrices
particuli`eres. Les op´erations portant sur les colonnes sont obtenues par multiplication `a droite.
Proposition. Soit M∈ Mp,q(K). Les entiers iet jsont entre 1et pquand ils figurent dans une matrice plac´ee
`a gauche et entre 1et qquand ils figurent dans une matrice plac´ee `a droite.
–Pi,j (p)Mest obtenue `a partir de Aen permutant les lignes iet j.
–MPi,j (q)est obtenue `a partir de Aen permutant les colonnes iet j.
–Ai,j,λ(p)Mest obtenue `a partir de Aen rempla¸cant Li(M)par Li(M) + λLj(M)o`u λest un scalaire
quelconque.
–MAi,j,λ(p)est obtenue `a partir de Aen rempla¸cant Cj(M)par Cj(M) + λCi(M)o`u λest un scalaire
quelconque.
–Di,λ(p)Mest obtenue `a partir de Aen multipliant la ligne ipar λ(scalaire non nul).
–MDi,λ(q)est obtenue `a partir de Aen multipliant la colonne ipar λ(scalaire non nul).
Preuve. On v´erifie `a partir des d´efinitions. Il est utile de remarquer que toutes les lignes de Ai,j,λ(p) sont celles de
Ipsauf la i-eme mais que toutes les colonnes de Ai,j,λ(q) sont celles de Iqsauf la j-eme.
Proposition. Toutes les matrices de transformations ´el´ementaires sont inversibles avec
Pi,j (p)−1=Pi,j (p), Ai,j,λ(n)−1=Ai,j,−λ(n), Di,λ(n)−1=Di, 1
λ(n)
Preuve. C’est facile en utilisant l’effet d’une multiplication par une matrice ´el´ementaire.
III. Applications
1. Invariants
Un invariant par transformation ´el´ementaire est un nombre (ou plus g´en´eralement un objet math´ematique)
attach´e `a une matrice et qui est conserv´e par une transformation ´el´ementaire.
Proposition. Deux matrices sont ´equivalentes si et seulement si elles sont obtenues l’une `a partir de l’autre par
transformations ´el´ementaires.
Les termes «invariant par transformation ´el´ementaire »ou «invariant par ´equivalence »sont donc synonymes.
Proposition. Le noyau et l’image d’une matrice, leurs dimensions, le rang sont des invariants par ´equivalence.
Le caract`ere inversible d’une matrice carr´ee est un invariant par ´equivalence.
L’image d’une matrice est aussi le sous-espace engendr´e par ses colonnes ainsi que l’image de l’application lin´eaire
X⇒AX, sa dimension est donc aussi le rang de la matrice. Le noyau de la matrice est aussi le noyau de
l’application lin´eaire X⇒AX. Le th´eor`eme du rang donne
q= dim(ker A) + rg(A)
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Par cons´equent, si deux matrices de mˆeme taille ont des noyaux (ou des images) de mˆeme dimension, leurs images
(ou leur noyaux) sont aussi de mˆeme dimension.
Preuve. Pour Pmatrice inversible, les matrices Aet P A ont le mˆeme noyau. Pour Qinversible les matrices Aet
AQ ont la mˆeme image. `a compl´eter
Par exemple pour une matrice carr´ee, la trace n’est pas un invariant par ´equivalence mais le caract`ere c’est un
invariant par similitude (deux matrices semblables ont la mˆeme trace).
2. Inversibilit´e d’une matrice carr´ee
Proposition. Une matrice carr´ee A∈ Mp(K)est inversible si et seulement si la matrice obtenue `a partir de A
par l’algorithme I est de la forme
T=
6= 0
06= 0
.
.
....
0· · · 06= 0
Preuve. L’algorithme I conduit `a une matrice P A o`u Pest inversible car ´egal `a un produit de matrices ´el´ementaires.
Lorsque P A =T, comme Test clairement inversible car ses colonnes forment une famille libre, Test ´egalement
inversible.
Si la matrice P A n’est pas de la forme T, elle est de la forme
T0=
6= 0
0...
.
.
....6= 0
0 0
.
.
..
.
.. .
0 0 0 . .
Notons sle nombre de termes non nuls sur le d´ebut de la diagonale. Il est clair que les spremi`eres colonnes de
T0forment une base du sous-espace des matrices colonnes dont les p−sderniers termes sont nuls. D’autre part
Cs+1(T0) est dans ce sous-espace donc les s+ 1 premi`eres colonnes de T0forment une famille li´ee. La matrice T0
n’est donc pas inversible ce qui entraˆıne que Ane l’est pas non plus.
3. Inversion d’une matrice carr´ee inversible
Proposition. Soit A∈ Mp(K)inversible. On forme une matrice par blocs dans Mp,2p(K)en pla¸cant `a droite
de Aun bloc constitu´e de la matrice identit´e. L’algorithme du pivot partiel ´etendu (I’) conduit `a une matrice dont
le bloc de droite est A−1.
[A Ip]Algorithme I’ −−−−−−−−−→ IpA−1
Preuve. Les op´erations ´el´ementaires intervenant dans l’algorithme I’ sont les mˆemes que l’on parte de Aou de
[A Ip. Notons P1, P2,· · · Psles matrices ´el´ementaires correspondant `a ces op´erations. Les algorithmes du pivot
partiels ne font intervenir que des op´erations sur les lignes qui sont associ´ees `a des multiplications par des matrices
´el´ementaires plac´ees `a gauche. On a donc
Ip=PsPs−1· · · P2P1A⇒A−1=PsPs−1· · · P2P1=PsPs−1· · · P2P1Ip
Autrement dit, A−1s’obtient `a partir de Ipen subissant les mˆemes transformations ´el´ementaires que celles per-
mettant de passer de A`a Ip. En ´ecrivant Ip`a droite de A, cela se r´ealise automatiquement sans qu’il soit n´ecessaire
de m´emoriser les transformations ´el´ementaires.
Remarque. Attention, cette m´ethode est tr`es s´eduisante mais il ne faut pas chercher `a l’appliquer syst´ematiquement.
Lorsqu’on fait des calculs `a la main, les ´eventuelles erreurs de calcul sont difficiles `a trouver. D’autres m´ethodes `a
consid´erer sont
– R´esoudre un syst`eme AX =Yavec une colonne Xinconnue et une colonne Yformelle.
– Consid´erer Acomme la matrice d’une famille Ade vecteurs et chercher `a exprimer les vecteurs de la base
comme combinaison lin´eaire de ceux de A.
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