3- EME - tetraedre.net

3- EME
Thème N°4 :
TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
A la fin du thème, tu dois savoir :
 Connaitre les relations trigonométriques.
 Calculer une longueur avec une formule trigonométrique.
 Calculer la mesure d’un angle avec la trigonométrie.
Calculs de longueurs
Exercice n°1: Le triangle ABC est rectangle en A; l'unité de longueur est le centimètre.
A l'aide des indications données, calculer une valeur approchée de la longueur des deux autres côtés.
a B et AB b B et AC c B et BC
d C et AB e C et AC f C et BC
) ; ) ; )
) , ; ) ; )
∧ ∧ ∧
∧ ∧ ∧
= ° = = ° = = ° =
= ° = = ° = = ° =
18 5 32 9 68 12
25 3 5 50 4 68 10
a) Calcul de BC
Dans le triangle ABC rectangle en A :
BC
AB
B=
∧
cos donc
BC
5
18cos =°
donc ° =
18
cos
5
BC
d’où BC ≈ 5,26 cm
Calcul de AC
Dans le triangle ABC rectangle en A :
AB
AC
B =
∧
tan donc
5
18tan AC =°
donc AC = 5 × tan18°
d’où AC ≈ 1,62 cm.
b)Calcul de BC
Dans le triangle ABC rectangle en A :
BC
AC
B =
∧
sin donc
BC
9
32sin =°
donc
°
=
32
sin
9
BC
d’où BC ≈ 16,98 cm
Calcul de AB
Dans le triangle ABC rectangle en A :
AB
AC
B =
∧
tan donc
AB
9
32tan =°
donc
°
=
32
tan
9
AB
d’où AB ≈ 14,40 cm.
A
B
C
5 cm ?
18°
?A
B
C
9 cm
?
32°
?

c) Calcul de BA
Dans le triangle ABC rectangle en A :
BC
AB
B=
∧
cos donc
12
68cos AB =°
donc
°
×
=
68cos12AB
d’où AB ≈ 4,50 cm
Calcul de AC
Dans le triangle ABC rectangle en A :
BC
AC
B =
∧
sin donc
12
68sin AC =°
donc AC = 12 × sin 68°
d’où AC ≈ 11,13 cm.
d) Calcul de BC
Dans le triangle ABC rectangle en A :
BC
AB
C =
∧
sin donc
BC
5,3
25sin =°
donc
°
=
25
sin
5,3
BC
d’où BC ≈ 8,28 cm
Calcul de AC
Dans le triangle ABC rectangle en A :
AC
AB
C =
∧
tan donc
AC
5,3
25tan =°
donc
°
=
25
tan
5,3
AC
d’où AC ≈ 7,51 cm.
e)Calcul de BC
Dans le triangle ABC rectangle en A :
BC
AC
C =
∧
cos donc
BC
4
50cos =°
donc
°
=
50
cos
4
BC
d’où BC ≈ 6,22 cm
Calcul de AB
Dans le triangle ABC rectangle en A :
AC
AB
C
=
∧
tan donc
4
50tan AB =°
donc AB = 4 × tan50°
d’où AB ≈ 4,77 cm.
f)Calcul de AC
Dans le triangle ABC rectangle en A :
BC
AC
C =
∧
cos donc
10
68cos AC =°
donc
°
×
=
68cos10AC
d’où AC ≈ 3,75 cm
Calcul de AB
b) Dans le triangle ABC rectangle en A :
BC
AB
C =
∧
sin donc
10
68sin AB =°
donc AB = 10 × sin 68°
d’où AB ≈ 9,27 cm.
A
B
C
3,5 cm ?
25°
?
A
B
C
4 cm
?
50°
?
A
B
C
10 cm
?
68°
?
A
B
C
12 cm
?68°
?

Dans le triangle ABC rectangle en B :
BC
AB
C=
∧
tan donc
50
21tan AB =°
donc AB = 50 × tan21°
d’où AB ≈ 19,19
Conclusion : La largeur de la rivière mesure environ 19,2 m
Exercice n°3: Un observateur placé à 50 m d'une
falaise voit le sommet de celle-ci sous un angle de 45°,
et la bas sous un angle de 30°.
Calculer la hauteur de la falaise, à 10 cm près.
Calcul de AB
Dans le triangle ABD rectangle en B :
BD
AB
BDA =
∧
tan donc
50
45tan AB =°
donc AB = 50 × tan45°
d’où AB = 50
Calcul de BC
Dans le triangle BCD rectangle en B :
BD
BC
BDC =
∧
tan donc
50
30tan BC =°
donc BC = 50 × tan30°
d’où BC ≈ 28,87
Calcul de AC : On a : AC = AB + BC ≈ 50 + 28,87 ≈ 78,87
Conclusion : La hauteur de la falaise mesure environ 78,9 m
Exercice n°4: De puis le point A, un géomètre mesure AS ( avec un
géomètre à laser) et
HSA
∧
:
AS = 785,53 m; mes (
HSA
∧
) = 16,47°.
Calculer SH et AH ?
Calcul de SH
Dans le triangle AHS rectangle en H :
SA
SH
S=
∧
cos donc 53,785 47,16cos
SH
=°
donc
°
×
=
47,16cos53,785SH
d’où SH ≈ 753 m
Calcul de AH
b) Dans le triangle AHS rectangle en H :
SH
AH
H=
∧
sin donc 53,785 47,16sin AH =°
donc AH = 785,53 × sin 16,47°
d’où AH ≈ 222,7 m.
45°
30°
50 m
B
A
C
50 m
21°
?
Exercice n°2: Sur les berges de la rivière, deux
points remarquables A et B se font face.
En partant de B, perpendiculairement à (AB), on
parcourt 50 m et on arrive ainsi au point C. De là,
on voit le segment [AB] sous un angle
ACB
∧
de
21°.
Calculer la largeur AB de la rivière, à 1 dm près.
A
B
C
45°
30°
50 m D
A
S
H
?
?
785,53 m
16,47°

A
B
C
H
3,4 cm
7,2 cm
37°
H
B
P
20°
Exercice n°5: Le vainqueur V est en vue.
De part et d'autre de l'entrée
du port, deux observateurs
munis de goniomètres
mesurent chacun un angle:
mes BAV mes ABV( ) ; ( )
∧
∧
= ° = °70 90
.
a) Sachant que AB = 60 m,
calculer BV.
b) En déduire la distance qui sépare V du milieu M de [AB].
( Arrondir les résultats au mètre le plus proche).
a) Calcul de BV
Dans le triangle BMA rectangle en B
AB
VB
VBA =
∧
tan donc
60
70tan BV =°
donc BV = 60 × tan70°
d’où BV ≈ 165 m
b) Calcul de MV
Dans le triangle BMA rectangle en B, d’après le théorème de
Pythagore, on a :
7,167
28125
28125
27225900
165
2
60
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
≈
≈
≈+≈
+ ≈
+ =
+=
VM
VM
VM
VM
VM
BV
AB
VM
BVMBVM
Conclusion : La longueur VM mesure environ 168 m
Exercice n°6 : Calcule la longueur AH puis l’aire de ABC.
Calcul de AH
Dans le triangle ABH rectangle en H :
AB
AH
B=
∧
sin donc 4,3 37sin AH =°
donc AH = 3,4 × sin 37°
d’où AH ≈ 2,05 cm
Calcul de l’aire du triangle ABC
On a Aire =
2
AHBC
×
, soit Aire 38,7
2
05,22,7 ≈
×
≈
Conclusion : L’aire du triangle ABC est environ 7,38 cm²
Exercice n°7 : Pour un maximum de sécurité, une échelle doit former avec un mur un angle de 20°.
Avec une échelle de 9 m, jusqu’à quelle hauteur de mur peut on monter (au cm près) ?
Calcul de BH
Dans le triangle PBH rectangle en B,
on a :
PH
BH
H=
∧
cos soit
9
20cos BH =°
donc BH = 9 × cos20°
d’où BH ≈ 8,46 m
Il peut donc monter à une hauteur de 8,46 m environ
M
AB
V
AM
V
B
70°
60 m

h
S
B
D
A
25°
C
1,50 m
45 m
Exercice n°8 : Quelle est la hauteur h de la tour ?
Calcul de BS
Dans le triangle ABS rectangle en B,
on a :
AB
BS
BAS =
∧
tan soit
45
25tan BS =°
donc BS = 45 × tan25°
d’où BS ≈ 21 m
Calcul de h : On a h = DB + BS ≈ 1,50 + 21 ≈ 22,50
Conclusion : La hauteur de la tour mesure environ 22,50 m
Calculs d'angles
Exercice n°9:
a MN et MP b MN et NP c MP et NP
d MP et MN e MN et NP
) , ; ) ; ) ,
) , , ; )
=
=
=
=
=
=
= = = =
7 12 3 1 7 0 5 4
5 3 4 5 4 10
Calculer au degré près la mesure des angles aigus.
a) MN = 7 et MP = 12,3
Calcul de l’angle N
Dans le triangle NMP rectangle en M :
3,12
7
cos ==
∧
NP
MN
N
d’où
∧
N ≈ 55°
Calcul de l’angle P
Sachant que dans un triangle rectangle, les angles
aigus sont complémentaires, alors :
°≈°−°≈
∧
355590P
d’où
∧
P
≈ 35°
b) MN = 1 et NP = 7
Calcul de l’angle N
Dans le triangle NMP rectangle en M :
7
1
cos ==
∧
NP
MN
N
d’où
∧
N ≈ 82°
Calcul de l’angle P
Sachant que dans un triangle rectangle, les angles
aigus sont complémentaires, alors :
°≈°−°≈
∧
88290P
d’où
∧
P
≈ 8°
N
P
M
10 cm
?68°
?
?
12,3
7
N
P
M
10 cm
?68°
?
?
7
1